构造法求数列通项解答题
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1.设数列{}n a 满足11a =,121n n a a +=+. (1)求{}n a 的通项公式;
(2)记()2log 1n n b a =+,求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n
S
.
答案:
(1) 21n
n a =- ;
(2)()()1
11222
n n n n ++-+-
⋅ .
解答: (1)
11111
211211201021
n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴+=++=≠∴+≠∴
=+,()(),,,,
∴{1}n a +是以2为公比、2为首项的等比数列,12n n a ∴+=, ∴21n
n a -=;
(2)
22211221()(2)n n n n n n n n n a b log a log n b a n n n -∴+⋅∴⋅-⋅-=,===,==,
记122112222212122n n n A n A n n +=⨯+⨯++⋅∴=⨯++-⋅+⋅,(), ()211121222222212212
n n n n n A A A n n n +++-∴-=-=++
+-⋅=
-⋅=-⋅--(),
1122n A n +∴=-⋅+(),
()()()1
11212
22
n n n n S A n n ++=-+++-+-
⋅=.
2. 已知数列{}n a ,0n a >,其前n 项和n S 满足1
22n n n S a +=-,其中*n ∈N .
(1)
{}n b 是等差数列; (2)设2n
n n c b -=⋅,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求证:3n T ;
(3)设1
4(1)2n b
n n n d λ-=+-⋅(λ为非零整数,*n ∈N )
,试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n d d >+1成立. 答案: (1)1n b n =+;
(2)略; (3)-1 解答:
(1)当1n =时,1124S a =-,∴14a =,
当2n ≥时,1112222n n
n n n n n a S S a a +--=-=--+,
∴122n
n n a a --=,
∴11n n b b --=(常数), 又1
122
a b =
=,∴{}n b 是首项为2,公差为1的等差数列,1n b n =+. (2)1
2(1)2
n n n n c b n -=⋅=+⋅
, 所以2231
222
n n n T +=+++,
231123122222
n n n n n T ++=++++, 相减得231
11111122222n n n n T ++=++++- 211111(1)13112211222212
n n n n n n -++-++=+-=---,
∴213
333222
n n n n n n T ++=--=-<,
(3) 由n n d d >+1得10n n d d +-> ,
1211()441120()2n n n n n n λλ++-+-+---> ,
111
134312012n n n n n λλ-+-->∴⨯--∴-<(),(),
(i)当n 为奇数时,即1
2
n λ-<恒成立,当且仅当n=1时,1
2
n -有最小值为1,1λ∴<;
(ii)当n 为偶数时,即1
2n λ->-恒成立,当且仅当n=2时,1
2n --有最大值-2,2λ∴>-.
21λ∴-<<,又λ为非零整数,则λ=-1.
综上所述:存在λ=-1,使得对任意*n ∈N ,都有n n d d >+1成立.
3. 已知数列{}n a 的首项11a =,23a =,前n 项和为n S ,且
*1121
(2,)n n n n n n
S S a n n N S S a +--+=≥∈-,设11b =,*12log (1)()n n n b a b n N +=++∈
(1)设11
1
14
n b n n n n c a a +-++=,记1
n
n k k G c ==∑,试比较n G 与1的大小,并说明理由;
(2)若数列{}n l 满足*
2log (1)(n n l a n N =+∈),在每两个k l 与1k l +之间都插入12(1,2,k k -=
3,
,*)k N ∈个2,使得数列{}n l 变成了一个新的数列{}p t ,试问:是否存在正整数m ,使
得数列{}
p t 的前m 项的和2015m T =?如果存在,求出m 的值;如果不存在,说明理由. 答案: (1) n G 小于1;
(2) 存在990m =使得2015m T = 解答: (1)由题意得
1121n n n n n n
S S a S S a +--+=-,有121n n a a +=+*
(2,)n n N ≥∈
得112(1)n n a a ++=+*
(2,)n n N ≥∈, 又2112(1)a a +=+,从而112(1)n n a a ++=+*
()n N ∈ 又1+1=20a ≠,有10n a +≠,从而
11
21
n n a a ++=+,
故数列{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列.
从而12n n a +=,即21n
n a =-,从而12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +-=
当2n ≥时,211b b -=,322b b -=,…,11n n b b n --=- 以上式子相加得(1)12n n n b -=+
(2)n ≥,又11b =也适合,从而(1)
12
n n n b -=+
, 则111
11
14211
(21)(21)2121
n b n n n n n n n n n c a a +-++++===-----, 22311
11111111
(
)()(
)1121212121
212121
n
n k n n n k G c ++===-+-++-=-<-------∑