构造法求数列通项解答题

1.设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+． (1)求{}n a 的通项公式；

(2)记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n

S

．

答案：

(1) 21n

n a =- ；

(2)()()1

11222

n n n n ++-+-

⋅ .

解答： (1)

11111

211211201021

n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴+=++=≠∴+≠∴

=+，（）（）,，，，

∴{1}n a +是以2为公比、2为首项的等比数列，12n n a ∴+＝， ∴21n

n a -＝；

(2)

22211221()(2)n n n n n n n n n a b log a log n b a n n n -∴+⋅∴⋅-⋅-＝，＝＝＝，＝＝，

记122112222212122n n n A n A n n +=⨯+⨯++⋅∴=⨯++-⋅+⋅，（）， ()211121222222212212

n n n n n A A A n n n +++-∴-=-=++

+-⋅=

-⋅=-⋅--（），

1122n A n +∴=-⋅+（），

()()()1

11212

22

n n n n S A n n ++=-+++-+-

⋅＝．

2. 已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足1

22n n n S a +=-,其中*n ∈N ．

(1)

{}n b 是等差数列； (2)设2n

n n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T ；

(3)设1

4(1)2n b

n n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ）

，试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立． 答案： (1)1n b n =+；

(2)略； (3)-1 解答：

(1)当1n =时，1124S a =-，∴14a =，

当2n ≥时，1112222n n

n n n n n a S S a a +--=-=--+，

∴122n

n n a a --=，

∴11n n b b --=（常数）， 又1

122

a b =

=，∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列，1n b n =+． (2)1

2(1)2

n n n n c b n -=⋅=+⋅

， 所以2231

222

n n n T +=+++，

231123122222

n n n n n T ++=++++， 相减得231

11111122222n n n n T ++=++++- 211111(1)13112211222212

n n n n n n -++-++=+-=---，

∴213

333222

n n n n n n T ++=--=-<，

(3) 由n n d d >+1得10n n d d +-> ，

1211()441120()2n n n n n n λλ++-+-+---> ，

111

134312012n n n n n λλ-+-->∴⨯--∴-<（），（），

(i)当n 为奇数时，即1

2

n λ-<恒成立，当且仅当n=1时，1

2

n -有最小值为1，1λ∴<；

(ii)当n 为偶数时，即1

2n λ->-恒成立，当且仅当n=2时，1

2n --有最大值-2，2λ∴>-．

21λ∴-<<，又λ为非零整数，则λ=-1．

综上所述：存在λ=-1，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立．

3. 已知数列{}n a 的首项11a =，23a =，前n 项和为n S ，且

*1121

(2,)n n n n n n

S S a n n N S S a +--+=≥∈-，设11b =，*12log (1)()n n n b a b n N +=++∈

(1)设11

1

14

n b n n n n c a a +-++=，记1

n

n k k G c ==∑，试比较n G 与1的大小，并说明理由；

(2)若数列{}n l 满足*

2log (1)(n n l a n N =+∈），在每两个k l 与1k l +之间都插入12(1,2,k k -=

3,

,*)k N ∈个2，使得数列{}n l 变成了一个新的数列{}p t ，试问：是否存在正整数m ，使

得数列{}

p t 的前m 项的和2015m T =？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 答案： (1) n G 小于1；

(2) 存在990m =使得2015m T = 解答： (1)由题意得

1121n n n n n n

S S a S S a +--+=-，有121n n a a +=+*

(2,)n n N ≥∈

得112(1)n n a a ++=+*

(2,)n n N ≥∈， 又2112(1)a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+*

()n N ∈ 又1+1=20a ≠，有10n a +≠，从而

11

21

n n a a ++=+，

故数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.

从而12n n a +=，即21n

n a =-，从而12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +-=

当2n ≥时，211b b -=，322b b -=，…，11n n b b n --=- 以上式子相加得(1)12n n n b -=+

(2)n ≥，又11b =也适合，从而(1)

12

n n n b -=+

， 则111

11

14211

(21)(21)2121

n b n n n n n n n n n c a a +-++++===-----， 22311

11111111

(

)()(

)1121212121

212121

n

n k n n n k G c ++===-+-++-=-<-------∑