第讲余数问题

第十讲余数问题

常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：

㈠带余除法。

一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，

使得α÷b＝q……r

或α＝b×q＋r

当r=0时，我们称α能被b整除。

当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。

带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。

㈡余数周期。

这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。

㈢同余问题。

1、什么是“同余”？

整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。

记作：α≡b （mod c）

例如：15÷4＝3 (3)

23÷4＝5 (3)

15和23对于除数4同余。

记作：15 ≡23 （mod4）

可以理解为15和23除以4的余数相同。

2、“同余”的四个常用性质是什么？

同余性质1：如果α≡ b (mod m)，

则m︱（α－b）

若两数同余，他们的差必是除数的倍数。

例如，73 ≡23 (mod 10)

则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。

同余性质2：如果α≡ b (mod m)，

c ≡

d (mod m),

则α±c ≡ b ± d (mod m)

两数和的余数等于余数的和。

两数差的余数等于余数的差。

例如，73 ≡3 (mod 10)

84 ≡4 (mod 10)

73+84 ≡3+4≡7 (mod 10)

84－73≡4－3≡1 (mod 10)

同余性质3：如果α≡ b (模m)，

c ≡

d (模m),

则α× c ≡b×d (模m)

两数积的余数等于余数的积。

例如，73 ≡3 (模10)

84 ≡4 (模10)

73×84 ≡3×4≡2 (模10)

同余性质4：如果α≡ b (模m)

则αn≡b n (模m)

某数乘方的余数，等于余数的乘方。

例如，40≡1 （mod13）

4031≡131≡1 （mod13）

很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。

4、“物不知其数”。

与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。

我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3

绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3

绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。

例1 （3130＋3031）被13除所得的余数是多少?

分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。即3130除以13的余数为12。

⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。

所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3

解：⑴31≡5 （模13）

3130≡530 ≡52≡12（模13）

⑵30≡4 （模13）

3031≡431≡41≡4 （模13）

⑶3130＋3031≡12＋4≡3 （模13）

答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。

点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。

例2 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少?

分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。

既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。

290－233＝57 233－195＝38 290－195＝95

除数是57、38、95的公约数，

（57，38，95）＝19

答：这个自然数是19。

例3 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1︰2︰3，问学前班有多少位小朋友？

分析：⑴设分完后余下苹果χ个，余下饼干2χ个，余下糖3χ粒。

176÷人数＝A个……χ

216÷人数＝B个……2χ

324÷人数＝C个……3χ

⑵ 176×2－216＝136； 176＋216－324＝68； 176×3－324＝204

（136，68，204）＝68

学前班有几十位小朋友，并且人数是68的约数，68的约数中是几十的只有68和34两个。

⑶检验：176÷34＝5个 (6)