高中数学-直线方程的几种形式练习

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高中数学第03章直线与方程专题3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程试题

直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为. 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的，简称.当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是00y y -=,或0y y =.当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =.深度剖析（1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程.（2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线.2．直线的点斜式方程的推导如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得y y k x x -=- (1),即00()y y k x x -=- (2).注意方程(1)与方程(2)的差异：点0P 的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点0P 不在方程(1)表示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l 的方程.上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点0P ,斜率为k 的直线l 的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义我们把直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的.如果直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则方程为(0)y b k x -=-，即叫做直线的，简称.当b =0时，y kx =表示过原点的直线；当k =0且b ≠0时，y b =表示与x 轴平行的直线；当k =0且b =0时，0y =表示与x 轴重合的直线.深度剖析（1）纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y 轴平行时.（2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.2．直线的斜截式方程的推导已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，求直线l 的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0)y b k x -=-,即y kx b =+. 三、直线的两点式方程 1．直线的两点式方程的定义已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y ,当1212,x x y y ≠≠时，直线l 的方程为.这个方程是由直线l 上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 2．直线的两点式方程的推导已知直线l 过两点111222(,),(,)P x y P x y (其中1212,x x y y ≠≠)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的.当12x x ≠时，所求直线的斜率2121y y k x x -=-.任取12,P P 中的一点，例如取111(,)P x y ，由点斜式方程，得211121()y y y y x x x x --=--,当12y y ≠时，可写为112121y y x x y y x x --=--.四、直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b (0,0a b ≠≠)，则由直线的两点式方程可以得到直线l 的方程为___________.我们把直线l 与x 轴的交点的横坐标a 叫做直线在x 轴上的_____________，此时直线在y 轴上的截距是___________.这个方程由直线l 在两个坐标轴上的截距a 和b 确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，如图，其中0,0a b ≠≠.将两点(,0)A a ,(0,)B b 的坐标代入两点式，得000y x a b a --=--,即1x ya b+=. 五、中点坐标公式若点12,P P 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，且线段12P P 的中点M 的坐标为(,)x y ,则____________________x y =⎧⎨=⎩.此公式为线段12P P 的中点坐标公式. 六、直线系方程 1．过定点的直线系方程当直线过定点000(,)P x y 时，我们可设直线方程为00()y y k x x -=-.由此方程可知，k 取不同的值时，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点000(,)P x y ,当k 取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点0P 的许多直线，所以把这个方程叫做过定点0P 的直线系方程.由于过点000(,)P x y 与x 轴垂直的直线不能被00()y y k x x -=-表示，因此直线系00()y y k x x -=- (k ∈R )中没有直线0x x =. 2．平行直线系方程在斜截式方程(0)y kx b k =+≠中，若k 一定，而b 可变动，方程表示斜率为k 的一束平行线，这些直线构成的集合我们称之为平行直线系.K 知识参考答案：一、00()y y k x x -=- 点斜式方程点斜式二、截距 y kx b =+斜截式方程斜截式三、112121y y x x y y x x --=-- 四、1x ya b+=截距 b 五、122x x +122y y +K —重点直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，根据直线方程判定两直线的平行与垂直K —难点直线系问题、直线方程的综合应用K —易错忽略直线重合的情形或直线方程成立的条件致错、忽略直线方程的局限性致错1．直线的点斜式方程用点斜式求直线的方程，确定直线的斜率和其上一个点的坐标后即可求解. 【例1】已知点(3,3)A 和直线l ：3542y x =-.求：（1）过点A 且与直线l 平行的直线方程；（2）过点A 且与直线l 垂直的直线方程.【例2】已知在第一象限的△ABC 中,A (1,1),B (5,1),且∠CAB =60°,∠CBA =45°,求边AB ,AC 和BC 所在直线的点斜式方程.【解析】由A (1,1),B (5,1)可知边AB 所在直线的斜率为0,故边AB 所在直线的方程为y -1=0. 由AB ∥x 轴,且△ABC 在第一象限，知边AC 所在直线的斜率k AC =tan 60°=,边BC 所在直线的斜率k BC =tan(180°-45°)=-1,所以,边AC 所在直线的方程为y -1=(x -1),边BC 所在直线的方程为y -1=-(x -5).2．直线的斜截式方程根据斜率和截距的几何意义判断k ，b 的正负时，（1）0k >直线呈上升趋势；0k <直线呈下降趋势；0k =直线呈水平状态.（2）0b >直线与y 轴的交点在x 轴上方；0b <直线与y 轴的交点在x 轴下方；0b =直线过原点. 【例3】已知直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,且在y 轴上的截距为5,求直线l 的斜截式方程,并画出图形.【解析】因为直线l 与直线y =-2x+3的斜率相同,所以直线l 的斜率为-2. 又直线l 在y 轴上的截距为5,所以直线l 的斜截式方程为y =-2x+5. 在直线l 上取一点(1,3),作出图形如图所示.【名师点评】直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情形. 【例4】已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程.3．直线的两点式方程已知直线上两点的坐标求解直线方程，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得.代入点的坐标时注意横纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数，需注意当直线平行于坐标轴或与坐标轴重合时，不能用两点式求解.【例5】已知三角形的三个顶点Α(－4，0)，B (0，－3)，C (－2，1)，求： (1)BC 边所在的直线的方程； (2)BC 边上中线所在的直线的方程.4．直线的截距式方程（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式1x ya b+=中，可得所求的直线方程．（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 【例6】已知直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．【解析】设直线的方程为1x ya b+=，则，①又直线过点，∴341a b-+=，② 由①②得93a b =⎧⎨=⎩或416a b =-⎧⎨=⎩. ∴直线的方程为193x y +=或1416x y+=-，即或．5．中点坐标公式的应用（1）利用中点坐标公式可求以任意已知两点为端点的线段的中点坐标.（2）从中点坐标公式可以看出线段12P P 中点的横坐标只与12,P P 的横坐标有关，中点的纵坐标只与12,P P 的纵坐标有关. 【例7】已知7(3,),(1,2),(3,1)2M A B ，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为 A ．425x y +=B ．425x y -= C ．25x y +=D ．25x y -= 【答案】B【解析】由题意可知线段AB 的中点坐标为1321(,)22++，即3(2,)2.故所求直线方程为732372322y x --=--，整理，得4250x y --=，故选B. 6．直线过定点问题本题考查了直线过定点的问题，实际上就是考查直线方程的点斜式，同时要利用数形结合的思想解题. 若直线存在斜率，则可以把直线方程化为点斜式00()y y k x x -=-的形式，无论直线的斜率k 取何值时，直线都过定点00(,)x y .【例8】已知直线:21l y kx k =++. （1）求证：直线l 过一个定点；（2）当33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，某某数k 的取值X 围．【解析】（1）由21y kx k =++，得1(2)y k x -=+．由直线方程的点斜式可知，直线过定点(2,1)-．（2）设函数()21f x kx k =++，显然其图象是一条直线(如图)，若使33x -<<时，直线上的点都在x 轴上方，需满足(3)0(3)0f f -≥⎧⎨≥⎩,即32103210k k k k -++≥⎧⎨++≥⎩,解得115k -≤≤. 所以实数k 的取值X 围是115k -≤≤. 7．直线的平移规律直线y kx b =+上下(或沿y 轴)平移(0)m m >个单位长度，得y kx b m =+±(上加下减)；直线y kx b =+左右(或沿x 轴)平移(0)m m >个单位长度，得()y k x m b =±+(左加右减).【例9】已知直线1:23l y x =-，将直线1l 向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到直线2l ，则直线2l 的方程为. 【答案】27y x =+【解析】根据直线的平移规律，可得直线2l 的方程为2(4)32y x =+-+，即27y x =+. 8．点斜式和斜截式的实际应用由直线的斜截式方程与一次函数的表达式的关系，利用一次函数的图象和性质求出直线方程，可以解决实际问题.9．忽略了直线重合的情形致错【例11】已知直线12:60,:(2)320l x my l m x y m ++=-++=，当12l l ∥时，求m 的值. 【错解】∵2l 的斜率223m k -=-，12l l ∥，∴1l 的斜率1k 也一定存在，由1l 的方程得11k m =-,由12k k =,得213m m--=-, 解得3m =或1m =-. ∴m 的值为3或1-.【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易忽略纵截距不相等，从而导致错解. 10．忽略直线方程的局限性致错【例12】求经过点(2,3)P ，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程. 【错解】设直线方程为1x y a a +=,将2,3x y ==代入，得231a a+=,解得5a =. 故所求的直线方程为50x y +-=.【错因分析】截距相等包含两层含义，一是截距不为0时的相等，二是截距为0时的相等，而后者常常被忽略，导致漏解.【正解】（1）当截距为0时，直线l 过点(0,0),(2,3)， ∵直线l 的斜率为303202k -==-, ∴直线l 的方程为32y x =,即320x y -=. （2）当截距不为0时，可设直线l 的方程为1x ya a+=, ∵直线l 过点(2,3)P ，∴231a a+=，∴5a =， ∴直线l 的方程为50x y +-=.综上，直线l 的方程为320x y -=或50x y +-=.【误区警示】不同形式的方程均有其适用条件，在解题时应注意截距式方程的应用前提是截距均不为0且不垂直于坐标轴.1．经过点(－2,2)，倾斜角是60°的直线方程是A ．y ＋23x －2) B ．y －23x ＋2)C ．y －2＝33(x ＋2)D ．y ＋2＝3(x －2) 2．直线的方程00()y y k x x --= A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 3．直线1x ya b+=过一、二、三象限，则 A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0 4．直线1y ax a=-的图象可能是5．与直线21y x =+垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是 A ．142y x =+ B ．y =2x ＋4C ．y =−2x ＋4D ．142y x =-+ 6．在y 轴上的截距是－3，且经过A (2，－1)，B (6,1)中点的直线方程为 A ．143x y +=B ．143x y-= C ．134x y +=D ．136x y-= 7．已知直线l 1过点P (2，1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为． 8．直线32()y ax a a =-+∈R 必过定点．9．斜率与直线32y x =的斜率相等，且过点(4,3)-的直线的斜截式方程是. 10．已知△ABC 中,A (1,-4),B (6,6),C (-2,0),则△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的两点式方程是.11．写出下列直线的点斜式方程:(1)经过点A (2,5),且与直线y =2x+7平行; (2)经过点C (-1,-1),且与x 轴平行.12．已知直线l 的斜率与直线326x y -=的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 13．已知的顶点是，，．直线平行于，且分别交边、于、，的面积是面积的14．(1)求点、的坐标； (2)求直线的方程．14．两直线1x y m n -=与1x yn m-=的图象可能是图中的A B C D15．若直线l 1:y =k (x-4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2过定点A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(-2,4)D ．(4,-2)16．若三点()()()2,2,,,0)0,0(A B a C b ab ≠共线，则11a b+=. 17．已知直线l 过定点A (−2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．1 2 3 4 5 6 14 15 BDCBDBBB1．【答案】B【解析】k 3，则点斜式方程为y －23x ＋2)．5．【答案】D【解析】因为所求直线与y =2x ＋1垂直，所以设直线方程为12y x b =-+.又因为直线在y 轴上的截距为4，所以直线的方程为142y x =-+. 6．【答案】B【解析】易知A (2，－1)，B (6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x 轴上的截距为4，则所求直线的方程为143x y-=. 7．【答案】y －1＝－(x －2)【解析】根据题意可知直线l 1的斜率为−1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)． 8．【答案】(3，2)【解析】将直线方程变形为y −2=a (x −3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)． 9．【答案】392y x =+ 【解析】因为所求直线的斜率与直线32y x =的斜率相等，所以所求直线的斜率32k =.又直线过点(4,3)-，所以直线方程为33(4)2y x -=+，所以直线的斜截式方程为392y x =+.11．【解析】(1)由题意知,直线的斜率为2,所以其点斜式方程为y-5=2(x-2).(2)由题意知,直线的斜率k =tan 0°=0,所以直线的点斜式方程为y-(-1)=0,即y =-1. 12．【解析】由题意知，直线l 的斜率为32，故可设直线l 的方程为32y x b =+，所以直线l 在x 轴上的截距为23b -，在y 轴上的截距为b ，所以213b b --=，35b =-，所以直线l 的方程为3325y x =-. 13．【解析】(1)因为，且的面积是面积的14，所以、分别是、的中点，由中点坐标公式可得点的坐标为502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点的坐标为722，⎛⎫ ⎪⎝⎭．(2)由两点式方程，可知直线的方程为502752022y x --=--，即．14．【答案】B【解析】由1x y m n -=，得y ＝n m x －n ；由1x y n m -=，得y ＝mnx －m ，即两条直线的斜率同号且互为倒数，故选B. 15．【答案】B【解析】因为直线l 1:y =k (x-4)过定点(4,0),所以原问题转化为求(4,0)关于(2,1)的对称点.设直线l 2过定点(x ,y ),则422012x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得x =0,y =2.故直线l 2过定点(0,2).16．【答案】12【解析】易知直线BC 的方程为1x y a b +=，由点A 在直线BC 上，得221a b +=，故1112a b +=.。

高中数学必修二同步练习题库：直线的方程(填空题：容易)

直线的方程（填空题：容易）1、对于任意实数，直线所经过的定点是；2、过点(1,3)且在x轴的截距为2的直线方程是________．3、经过点A(－5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程是________．4、已知点则直线的方程是_____________5、若点A（1，2）在直线ax+3y﹣5=0上，则实数a的值为_____．6、求过点，且在两轴上的截距相等的直线方程_________________________。

7、双曲线的右焦点坐标为__________，过右焦点且平行于该双曲线渐近线的直线方程是__________．8、若直线与直线互相平行，则实数________.9、当a为任意实数时，直线ax－y＋1－3a＝0恒过定点_____．10、若k∈R，直线kx－y－2k－1＝0恒过定点P，则点P的坐标为__________．11、倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是__________．12、若直线与直线互相平行，则实数________.13、过点且垂直于直线的直线方程是_____________．14、直线：与：互相垂直，则实数．15、直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且坐标原点到直线的距离为，则直线的方程为．16、过点且与直线垂直的直线方程为________17、已知倾斜角为的直线与直线垂直，则．18、已知点和在直线的同侧，则的取值范围是__________．19、已知点和在直线的同侧，则的取值范围是__________．20、已知直线，，若直线，则____．21、已知两条直线，平行，则等于_________.22、设直线与间的距离为，则．23、直线：，：，若，则．24、直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a= ．25、如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a= ．26、设直线与间的距离为，则。

高中数学第二章解析几何初步 1.2.2 直线方程的两点式和一般式练习(含解析)北师大版必修2-北

第二课时直线方程的两点式和一般式填一填1.直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在x ，y 轴上的截距分别为a ，b示意图方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 适用X 围y 1≠y 2且x 1≠x 2 ab ≠02.直线的一般式方程把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A ，B 满足A ，B 不同时为0.判一判1.两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．(√) 2．截距式可表示除过原点外的所有直线．(×)3．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)4．平面上任一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)表示．(√)5．过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)6．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋y b＝1.(×) 7．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√)8．若直线Ax ＋By ＋想一想1.过点(1,3)和，(5,3)的直线呢？提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面；当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图像．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.直线x a ＋y b＝1(ab <0)的图像可能是( )答案：C2．过两点(2018,2019)，(2018,2020)的直线方程是( ) A ．x ＝2018 B ．x ＝2019 C ．y ＝2018 D ．x ＋y ＝2020 答案：A3．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B．60° C ．120° D．135° 答案：A4．在x 轴、y 轴上的截距分别是5，－3的直线的截距式方程为( ) A.x 5＋y 3＝1 B.x 5－y 3＝1 C.y 3－x5＝1 D.x 5＋y3＝0 答案：B5．直线2x ＋3y －6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________．答案：3知识点一直线的两点式方程1.已知直线l 经过点A (1，－2)，B (－3,2)，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－－2＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A.答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C.25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A.答案：A知识点二直线的截距式方程3.过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C. 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一平面直角坐标系中的图像可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b )，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a )．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A.答案：A知识点三直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )，若l 不经过第二象限，则实数a 的取值X 围是________．解析：将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. 则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 答案：(知识点四直线方程的应用7.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值X 围．解析：(1)证明：方法一将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0. 当定点为(x ，y )时，上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同方法一．(2)如图，直线OA 的斜率为 k ＝35－015－0＝3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3.8．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：对于任意的实数k ，直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，某某数k 的取值X 围．解析：(1)由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线的点斜式方程，可知直线l 恒过定点(－2,1)． (2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1.若－3<x <3时，直线l 上的点都在x 轴的上方，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3≥0，f 3≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，1. 综合知识直线的方程9.(1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0.解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3，整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.10．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋－52＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴平行或重合时，斜率不存在，直线方程不能用点斜式、斜截式，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0 解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－C B>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．已知两条直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c解析：由题图可知，直线l 1的斜率－1a >0，在y 轴上的截距－ba<0，因此a <0，b <0；直线l 2的斜率－1c >0，在y 轴上的截距－d c >0，因此c <0，d >0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a >－1c，因此a >c ，故选C.答案：C7．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足( )A ．m ≠0 B．m ≠－32C ．m ≠1 D．m ≠1且m ≠－32且m ≠0解析：∵当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1，要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1，故选C.答案：C 二、填空题 8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________________________________________________________________________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足．所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________________。

【精品】高中数学必修2_直线的一般式方程及综合讲义知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】（1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0．（6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示．【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。

高中数学-直线的方程的几种形式

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学点一直线的点斜式方程求倾斜角为直线y= - 3 x+1的倾斜角的一半且分别满足下列条件的直线方程: (1)经过点(-4,1); (2)在y轴上的截距为-10.
【分析】通过已知直线的斜率求出所求直线的斜率，再分别由直线的点斜式方程和斜截式方程求解.
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【解析】直线y= - 3x+1的斜率为 3,可知此直线的倾斜角为120°,由题意知所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率k= 3 . (1)由于直线过(-4,1),由直线的点斜式方程得 y-1= 3(x+4)，即 3x-y+1+4 3=0. (2)由于直线在y轴上的截距为-10,所以由直线的斜截式方程得y= 3x-10,即 3 x-y-10=0.
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4.利用待定系数法求直线方程时,要能根据题中所给
已知条件选用最恰当的形式,并能根据问题的需要灵
活准确地进行互化.在研究无特殊限制的直线情况时,
常将直线化为一般形式,而当研究直线的斜率与倾斜
角时,又以直线的斜截式最为方便,也常将直线方程
的一般式化为斜截式:当B≠0时,直线方程为
y=- A x- C , 其中- A为直线的斜率,- C为直线在y
m2 -2m-3 (2)当斜率为-1时,有 - m2 -2m-3 1 ,但要注意
2m 2 m-1 2m2+m-1≠0.
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【解析】(1)由题意可得
m2-2m-3≠0 ① 2m-6 3 ②
m 2 -2m -3
由②解得m=3或m= 5 .
3
分别代入①检验可知m= 5 .
3
(2)由题意可得
2m2+m-1≠0 ③
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三角形的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 如图2-4-1所示,求这个三角形三边所在直线的方程.

高中数学2直线的方程2

2。

2.2 直线方程的几种形式5分钟训练（预习类训练,可用于课前)1。

过点A （-2,1）且与x 轴垂直的直线的方程是( ）A 。

x=-2B 。

y=1C 。

x=1D 。

y=—2解析：过点（x 0,y 0）与x 轴垂直的直线的方程是x=x 0，所以所求直线的方程为x=—2.答案：A2.已知直线l 过点P （3,2)，且斜率为54-，则下列点不在直线l 上的是( ） A.(8，-2） B 。

（4,-3） C.（—2,6) D 。

（-7，10)解法一：由斜率公式k=1212x x y y --（x 1≠x 2），知选项A 、C 及D 中的点与点P 确定的直线斜率都为54-。

解法二：由点斜式方程，可得直线l 的方程为y —2=54- (x —3）,即4x+5y —22=0. 分别将A 、B 、C 、D 中的点代入方程，可知点（4,-3)不在直线上。

答案：B3。

过点P(3,2）和点Q(4，7）的直线方程为____________.解:过两点P 1(x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)的直线的两点式方程121121x x x x y y y y --=--，代入点P(3，2)和点Q （4，7)，求得直线方程为343272--=--x y ，整理得5x-y —13=0。

答案：5x —y —13=010分钟训练（强化类训练，可用于课中)1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax 与y=x+a 的图象正确的是（ )图2—2—2解析:结合四个图象，a 在两方程中分别表示斜率和纵截距，它们的符号应一致。

逐一判断知A 、B 、D 均错,只有C 正确.答案：C2。

下列命题中：①00x x y y --=k 表示过定点P （x 0，y 0）且斜率为k 的直线； ②直线y=kx+b 和y 轴交于B 点,O 是原点,那么b=|OB|;③一条直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b,那么该直线的方程为by a x +=1； ④方程（x 1-x 2）(y-y 1）+（y 2-y 1）(x —x 1）=0表示过P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2,y 2)两点的直线.其中错误命题的个数是( ）A.0B.1 C 。

全国名校高中数学题库--直线方程

高三数学第一轮总复习讲义讲义31 直线的的方程、两条直线的位置关系一、基本知识体系：1、直线的倾斜角、斜率、方向向量：① 求直线斜率的方法：（1）、定义法：k= tan α (α≠π2)；②斜率公式：k= y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2）；当x 1=x 2时，斜率不存在。

③直线的方向向量：直线L 的方向向量为→m =（a,b),则该直线的斜率为k= b a2、直线方程的五种形式：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式y-y 1=k(x-x 1) (x 1,y 1)为直线上的一个定点，且k 存在不垂直于x 轴的直线斜截式y= kx+b k 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距不垂直于x 轴的直线两点式 y-y 1y 2-y 1 = x-x 1x 2-x 1 (x 1≠x 2,y 1≠y 2(x 1,y 1)、 (x 2,y 2)为直线上的两个定点，不垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 x a +yb =1 (a,b ≠0)a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点的直线一般式Ax+By+C=0 (A 2+B 2≠0) 斜率为-AB，在x 轴上的截距为-CA，在y 轴上的截距为-C B任何位置的直线3、判断两条直线的位置关系的条件：斜载式：y=k 1x+b 1 y=k 2x+b 2一般式：A 1x+B 1y+C 1=0A 2x+B 2y+C 2=0 相交 k 1≠k 2 A 1B 2-A 2B 1≠0 垂直 k 1·k 2=-1 A 1A 2+B 1B 2=0平行 k 1=k 2且b 1≠b 2 A 1B 2-A 2B 1=0且 A 1C 2-A 2C 1≠0 重合k 1=k 2且b 1=b 2A 1B 2-A 2B 1= A 1C 2-A 2C 1= B 1C 2-B 2C 1≠0=04、直线L 1到直线L 2的角的公式：tan θ = k 2-k 11+k 1k 2 (k 1k 2≠-1) 直线L 1与直线L 2的夹角公式：tan θ = |k 2-k 11+k 1k 2| (k 1k 2≠-1) 5、点到直线的距离：点P （x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=| Ax 0+By 0+C| A 2+B 26、两条平行的直线之间的距离：两条平行线Ax+By+C 1=0 和Ax+By+C 2=0之间的距离d=|C 1-C 2|A 2+B 27、直线系方程：①、过定点P （x 0,y 0)的直线系方程：y-y 0=k(x-x 0)；②、平行的直线系方程：y=kx+b ；③、过两直线A 1x+B 1y+C 1=0 和A 2x+B 2y+C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x+B 1y+C 1+λ（A 2x+B 2y+C 2）=08、对称问题：点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称：二、典例剖析：★【例题1】、设函数ƒ（x ）=asinx-bcosx 图象的一条对称轴方程为x=π4,则直线ax-by+c=0的倾斜角为（B ）Aπ4 B 3π4 C π3 D 2π3★【例题2】已知集合A={（x,y)|x=cos θ且y=sin θ,θ∈[0,π]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若A ∩B 有两个元素，则k 的取值范围是_____▲解：画图可知，直线与半圆有两个交点，则[-12,0)★【例题3】已知直线过点P （-1，2）,且与以点A （-2，-3）、B （3，0）为端点线段相交，则直线L 的斜率的取值范围是__ (k ≥5,或k ≤-12)三、巩固练习：★【题1】已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-▲解：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a=－1，选D.★【题2】已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则的值为 ( )A 0B 8-C 2D 10 ▲解： (m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8, 选(B) ★【题3】 “21=m ”是“直线03)2()2(013)2(=-++-=+++y m x m my x m 与直线相互垂直”的（ B ）A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 ▲【详解】当12m =时两直线斜率乘积为1-，从而可得两直线垂直；当2m =-时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在,但两直线仍然垂直；因此12m =是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件.●注意：对于两条直线垂直的充要条件①12,k k 都存在时12.1k k =-；②12,k k 中有一个不存在另一个为零；对于②这种情况多数考生容易忽略.★【题4】若三点 A （2，2），B （a ，0），C （0，b ）（0 ,b ）(ab ≠0)共线，则, 11a b+的值等于________1/2★【题5】已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____.▲解：已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233a -=-，则a =2.★【题6】已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是．▲ 解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：|201|2211d --==+； ★【题7】过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝． 22★【题8】直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是A ．(0,21)-B ．(21,21)-+C ．(21,21)--+D ．(0,21)+ ▲解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A 。

高中数学第二章 2.2.2直线方程的几种形式(二)基础过

2.2.2 直线方程的几种形式(二)一、基础过关1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( ) A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠02．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )A．－2 B．2 C．－3 D．33．若AC<0，BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．经过点P(4,2)且在x，y轴上的截距相等的直线有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条5．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过定点______________．6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.8．已知直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程，并将直线的方程化为一般式．二、能力提升9．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )10．直线ax＋by＋c＝0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足( ) A．a＝b B．|a|＝|b|且c≠0C．a＝b且c≠0 D．a＝b或c＝011．已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________．12．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x 轴上．(1)求顶点C的坐标；(2)求直线MN的方程．三、探究与拓展13．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求证：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围．答案1．D 2.D 3.C 4.B 5．(3,1) 6．－4157．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1，即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.8．解由题意知直线不过原点，且与两坐标轴都相交，可设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵直线l 过点P (－5，－4)， ∴－5a ＋－4b＝1，即4a ＋5b ＝－ab .又12|a |·|b |＝5，即|ab |＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0. 9．C 10．D 11．x －y ＋1＝012．解 (1)设M (0，m )，N (n,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x A ＝2x M y C ＋y A ＝2y M，⎩⎪⎨⎪⎧x C ＋x B ＝2x Ny C ＋y B ＝2y N，∴x C ＝0－5＝－5，y C ＝0－3＝－3，∴点C 的坐标为(－5，－3)．(2)∵2m ＝y C ＋y A ＝－3＋(－2)＝－5，故m ＝－52.2n ＝x C ＋x B ＝－5＋7＝2，故n ＝1. ∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.13．(1)证明直线l 的方程可变形为k (x ＋2)＝y －1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解当k ＝0时，直线l 为y ＝1，符合条件，当k ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不过经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－1＋2k k ≤01＋2k ≥0，解得k >0.综上可知，k 的取值范围是k ≥0.。

高中数学第二册(上)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．此题由老师归纳成两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用X围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出以下直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(1.5练习第2题)以下直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出以下直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过以下两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。

高中数学必修二直线的方程课后训练

直线的方程1．经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（） A ．2x y +=B ．1x y +=C ．2x y +=或y x =D ．1x =或1y =【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y -1=x -1，即y=x ；当直线不过原点时，设直线的方程是：1x ya a+=，把点M （1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2．综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=2故选C.2．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【解析】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =-.故选：A.3．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不通过的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】0Ax By C ++=化为A Cy x B B =--， 0AC <且0BC <，0,0,0A CAB B B>∴-<->，直线0Ax By C ++=不通过第三象限.故选:C.4．抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=【解析】由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，选：A.5．方程1y ax a=-表示的直线可能是（） A ． B ． C ． D ．【解析】由题意0a ≠，排除B . 当0a >时，10a >，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的负半轴上，排除A .当0a <时，10a <，此时直线与y 轴的交点10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在y 轴的正半轴上，排除D ，选C .6．不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过的定点的坐标为（） A ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,0-C ．(2,3)D ．(9,4)-【解析】∵直线方程为()1(21)5m x m y m -+-=-∴直线方程可化为(21)(5)0x y m x y +-+--+=∵不论m 为何值，直线()1(21)5m x m y m -+-=-恒过定点∴210{50x y x y +-=--+=∴9{4x y ==-故选D7．经过点()3,0A 且直线斜率1k =的直线方程是（） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．30x y ++=D ．30x y -+=【解析】由题意可得直线的点斜式方程为()013y x -=⨯-，整理为一般式即30x y --=.故选：B.8．直线l 在平面直角坐标系中的位置如图，已知//l x 轴，则直线l 的方程不可以用下面哪种形式写出（）．A ．点斜式B ．斜截式C ．截距式D ．一般式【解析】//l x 轴，则l 的横截距不存在，因此不能用截距式表示直线方程．点斜式、斜截式，一般式都可以．故选：C ．9．若直线:l y kx =-30x y +-=相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（） A ．()000,60B ．()0030,60C ．()0030,90D ．()0060,90【解析】联立方程30y kx x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得交点，由交点在第一象限知：00>>⎩解得3k >，即tan ,3αα>是锐角，故3090α︒<<︒ ，选C. 10．已知点()2,0A -，()2,0B ，()1,1C ，()11D -,，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是（） A ．()0,1B ．11,32⎛⎤⎥⎝⎦C．13⎛ ⎝⎦D．12⎤⎥⎝⎦ 【解析】如图，当12k ≥时，因为三角形OGE 与三角形KHE 全等，所以直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，所以m 的值始终为12，排除C ；当0k =时，y m =与y 轴交于F 点，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，计算得，m =，进一步，当102k <<时，直线()0y kx m k =+>将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，直线与y 轴的交点必须在F 点上方，排除,A B ；所以D 一定正确. 故选D.11．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0【解析】设点A （3,1）关于直线1y x =+的对称点为11'(,)A x y ，则111111313122y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=+⎪⎩ ，解得1104x y =⎧⎨=⎩ ，即'(0,4)A ，所以直线'A B 的方程为240x y -+=，联立2401x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩ ，即(3,2)C -- ,又(3,1)A ，所以边AC 所在的直线方程为210x y --=，选C.12．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点为()0,0A ，()5,0B ，()2,4C ，则该三角形的欧拉线方程为（）．注：重心坐标公式为横坐标：1233x x x ++；纵坐标：1233y y y ++A ．2100x y --=B ．250x y --=C ．2100x y +-=D ．250x y +-=【解析】设ABC ∆的重点为G ，外心为M ，则由重心坐标公式得74(,)33G ，并设M 的坐标为5(,)2a ，||||MA MC 222255(0)(0)(2)(4)22aa解得54a =，即55(,)24M4513475232GMk ∴欧拉方程为：417()323y x -=--，即： 250x y +-=故选：D 13．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. （1）证明：直线恒过定点；（2）m 为何值时，点()3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，求AOB 面积的最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）证明：直线方程为()()221340m x m y m -++++=，可化为()()24230x y m x y +++-++=，对任意m 都成立，所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点()1,2--；（2）解：点()3,4Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值，=423312PQ k +==+， ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-，可得22321m m --=-+，解得47=m .（3）解：若直线分别与x 轴，y 轴的负半轴交于,A B 两点，直线方程为()21y k x +=+，k 0<，则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -，()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△，当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4.此时直线的方程240x y ++=.14．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，．（1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【解析】（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-=（2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =，∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -= 15．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. （1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标. 【解析】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,.16．求适合下列条件的直线方程.（1）经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =.【解析】（1）设直线l 在,x y 轴上的截距均为a ，若0a =，即l 过点(0,0)和(3,2)，l ∴的方程为23y x =，即230x y -=.若0a ≠，则设l 的方程为1x ya a +=，l 过点(3,2)，321a a∴+=，5a ∴=，l ∴的方程为50x y +-=，综上可知，直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=.（2）①过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =.解方程组1,260,x x y =⎧⎨+-=⎩求得B 点坐标为(1,4)，此时5AB =，即1x =为所求. ②设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)(2)y k x k +=-≠-，解方程组260,1(1).x y y k x +-=⎧⎨+=-⎩得两直线交点为7,242,2k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 则B 点坐标为742,22k k k k +-⎛⎫ ⎪++⎝⎭.22274211522k k k k +-⎛⎫⎛⎫∴-++=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得34k =-，11(1)4y x ∴+=--，即3410x y ++=.综上可知，所求直线方程为1x =或3410x y ++=. 17．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求AB 的中垂线方程；（2）求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程．【解析】（1）8252+=，6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--，∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=（2）由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=18．求分别满足下列条件的直线l 的方程．（1）经过直线220x y ++=和直线310x y ++=的交点且与直线2350x y ++=垂直；（2）与直线4310x y --=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．【解析】（1）将220x y ++=与310x y ++=联立得220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得14x x =⎧⎨=-⎩ 所以交点坐标为()1,4-．由所求直线与直线2350x y ++=垂直，则所求直线斜率为32，所以方程为)324(1y x +=-，从而所求直线方程为32110x y --=（2）依题意设直线方程为430x y m -+=，则直线过点,04m -⎛⎫⎪⎝⎭、0,3m ⎛⎫⎪⎝⎭所以13243m mS =-=，解得m =±430x y -+=或430x y --= 19．方程y ＝k(x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线【解析】由方程y=k （x -2）知直线过点（2，0）且直线的斜率存在．故选C ． 20．若0k >，0b <，则直线y kx b =+不经过（）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由0k >，0b <，则直线y kx b =+不经过第二象限，故选B. 21．经过点(2,5)A ,(3,6)B -的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2B ．3-C ．27-D ．27【解析】由两点式得直线方程为＝，即x ＋5y －27＝0，令y ＝0得x ＝27．故选D ．22．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1【解析】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x ya a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选：D ．。

2021_2022年高中数学第三章直线与方程3

(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两条平行直线间_公__垂__线__段___的长叫做这两条平行直线间的距离．
(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点点到到另直一线条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
探索延拓
探究方向三：距离公式的应用
两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d， (1)求d的变化范围； (2)求当d取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2，则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2，即bb12＝＝23－k－61k，，而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，由于 k∈R，所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
[解析] (1)用数形结合法容易得到，当直线 l⊥AB 时，d 取最大值，当 l 经过 A、B 时，d 取最小值，
∴0≤d≤5. (2)当 d＝5 时，kl＝－k1AB， kAB＝1－4－－13＝34， ∴l 方程 y－1＝－43(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.
(3)设 l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，由 A(1,4)到 l 距离为 4 知 |k－41＋＋3kk2＋1|＝4，∴k＝－274，故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0.
－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线 l 的方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0. [总结] 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率

高中数学-直线与方程_练习测试题

高中数学-直线与方程测试练习题1. 直线y=−2x+1在y轴上的截距是（）A.0B.1C.−1D.122. 直线2x+y+1=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则（）A.k=2，b=1B.k=−2，b=−1C.k=−2，b=1D.k=2，b=−13. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1:x−2y+1=0和l2:3x−y−2=0，此四边形两条对角线的交点是(2, 3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是（）A.2x−y+7=0和x−3y−4=0 B.x−2y+7=0和3x−y−4=0C.x−2y+7=0和x−3y−4=0D.2x−y+7=0和3x−y−4=04. 若ab<0，则直线xa +yb=1的倾斜角为（）A.arctg(ba ) B.π−arctg(ba) C.−arctg(ba) D.π+arctg(ba)5. 直线：，，所得到的不同直线条数是（）A.22B.23C.24D.256. 设a<0，两直线x−a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0垂直，则ab的最大值为（）A.−2B.−1C.1D.27. 已知点A(2, 0)，B(−1, 1)到直线l的距离分别为1和2，则满足条件的直线l有（）A.1条B.2条C.3条D.4条8. 设椭圆x24+y23=1的长轴端点为M、N，不同于M、N的点P在此椭圆上，那么PM、PN的斜率之积为( )A.−34B.−43C.34D.439. 过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有（）条．A.1B.2C.3D.410. 已知两点A(−2, 0)，B(0, 4)，则线段AB的垂直平分线方程是（）A.2x+y=0B.2x−y+4=0C.x+2y−3=0D.x−2y+5=011. 过点A(3, 2)、B(−1, 4)直线l的斜率k是________．12. 已知三角形的三个顶点是O(0,0)，A(4,3)，B(2,−1)，则此三角形AB边上的中线所在直线的方程为________.13. 经过原点且经过直线I1:3x+4y−2=0，I2:2x+y+2=0交点的直线方程是________．14. 已知直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(1, +∞)时，S(λ)的最小值是________．15. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg(sin B)=lg(sin A)+lg(sin C)，则两条直线l1:x sin A+y sin B=a与l2:x sin B+y sin C=c的位置关系是________．16. 已知直线l1:ax+2y+6=0，直线l2:x+(a−1)y+a2−1=0．当a________时，l1与l2相交；当a________时，l1⊥l2；当a________时，l1与l2重合；当a________时，l1 // l2．17. 已知圆O:x2+y2＝1和点A(−2, 0)，若定点B(b, 0)(b≠−2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则：(Ⅰ)b＝________−1；2(Ⅱ)λ＝________1．218. 设点，若直线与线段有一个公共点，则的最小值为________．19. 直线x−y−4=0上有一点P，它与A( 4, −1 )，B( 3, 4 )两点的距离之差最大，则P 点坐标为________．20. 两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是________．21. 已知两直线l1：ax−by+4=0，l2：(a−1)x+y+b=0. 求分别满足下列条件的a，b的值.(1)直线l1过点(−3, −1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等.22. 已知直线l的倾斜角为30∘，（结果化成一般式）(1)若直线l过点P(3, −4)，求直线l的方程．(2)若直线l在x轴上截距为−2，求直线l的方程．(3)若直线l在y轴上截距为3，求直线l的方程．23. 过点M(2, 4)作两条互相垂直的直线，分别交x轴y轴的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程．24. 已知直线l经过点P(1, 2).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若A(1，−1)，B(3，1)两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交25. 已知O为坐标原点，直线l的斜率为−34于B，三角形AOB面积等于6．（1）求直线l的方程．（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．参考答案与试题解析高中数学-直线与方程测试练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】确定直线位置的几何要素【解析】根据截距的定义，令x=0即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=1，即直线y=−2x+1在y轴上的截距是1，故选：B2.【答案】B【考点】直线的斜截式方程【解析】要求直线与x轴的截距就要令x=0求出y的值，要求直线与y轴的截距就要令y=0求出x的值即可．【解答】解：由直线方程2x+y+1=0，即y=−2x−1，故斜率为k=−2，截距为b=−1.故选B.3.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】直接利用两直线平行的条件，斜率相等，得出答案．【解答】解：l1的对边与l1平行应为x−2y+c=0形式排除A、D；l2对边也与l2平行，应为3x−y+c1=0形式排除C，故选B．4.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】根据题意，求出直线的斜率，再根据倾斜角的范围求出倾斜角的大小．解：直线xa +yb=1转化成y=−bax+ab直线斜率为−ba ，即直线倾斜角的正切值等于−ba，又倾斜角大于或等于0小于π，故倾斜角为−arctg(ba)，故选C．5.【答案】B【考点】直线的倾斜角直线的两点式方程直线的截距式方程【解析】ry】根据排列知识求解，关键要减去重复的直线．【解答】当m,n相等时，有1种情况；当mn不相等时，有A12=6×5=30种情况，但1 2=24=36,21=42=63,23=46,13=26．重复了8条直线，因此共有1+30−8=23条直线故选B．6.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】由直线x−a2y+1=0与(a2+1)x+by+3=0互相垂直，结合两直线垂直，两斜率积为−1，我们易得到a，b的关系，结合基本不等式即可求出ab的范围．【解答】解：∵直线x−a2y+1=0与直线(a2+1)x+by+3=0互相垂直∴1a2×(−a2+1b)=−1∴b=a2+1a2∵a<0ab=a⋅a2+1a2=a+1a=−[−a+(−1a)]≤−2∴ab的最大值是−2．故选：A．7.【答案】D点到直线的距离公式确定直线位置的几何要素【解析】由已知得直线l与圆A：(x−2)2+y2=1相切，且直线l与圆B：(x+1)2+(y−1)2= 4相切，即直线l是圆A与圆B的公切线，由圆心距离d=|AB|=√(2+1)2+(0−1)2=√10>1+2=3，得两圆相离，从而求出满足条件的直线l有4条．【解答】解：点A(2, 0)到直线l的距离为1，则直线l是以A为圆心，1为半径的圆的切线，即直线l与圆A：(x−2)2+y2=1相切，点B(−1, 1)到直线l的距离为2，则直线l是以B为圆心，2为半径的圆的切线，即直线l与圆B：(x+1)2+(y−1)2=4相切，∴直线l是圆A与圆B的公切线，圆心距离d=|AB|=√(2+1)2+(0−1)2=√10>1+2=3，∴两圆相离，∴满足条件的直线l有4条．故选：D．8.【答案】A【考点】直线的斜率【解析】根据椭圆方程求得M，N的坐标，设P的坐标为(2cos w, √3sin w)，进而表示出PM、PN 的斜率，二者相乘整理可求得答案．【解答】解：依题意可知M(2, 0)，N(−2, 0)，P是椭圆上任意一点，设坐标为P(2cos w, √3sin w)，PM、PN的斜率分别是K1=√3sin w2(cos w−1)，K2=√3b sin w 2(cos w+1)于是K1×K2=√3sin w2(cos w−1)⋅√3b sin w2(cos w+1)=34×sin2wcos2w−1=−3 4故选A．9.【答案】 C【考点】直线的截距式方程【解析】设直线的斜率为k ，则有直线的方程为y −3=k(x +2)，由直线过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12求出k 的值有3个，从而得出结论．【解答】解：过点P(−2, 3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ，则有直线的方程为y −3=k(x +2)，即kx −y +2k +3=0，它与坐标轴的交点分别为M(0, 2k +3)、N(−2−3k , 0)．再由12=12OM ⋅ON =12|2k +3|×|−2−3k|，可得|4k +9k+12|=24，4k +9k+12=24，或4k +9k +12=−24．解得k =32，或 k =−9−6√22或 k =−9+6√22，故满足条件的直线有3条，故选C ． 10. 【答案】 C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程中点坐标公式两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】求出AB 的中点坐标，直线AB 的斜率，然后求出AB 垂线的斜率，利用点斜式方程求出线段AB 的垂直平分线方程．【解答】解：两点A(−2, 0)，B(0, 4)，它的中点坐标为：(−1, 2)，直线AB 的斜率为：4−00+2=2，AB 垂线的斜率为：−12，线段AB 的垂直平分线方程是：y −2=−12(x +1)，即：x +2y −3=0．故选C .二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 11. 【答案】 −12【考点】斜率的计算公式根据题意，由直线l 过点A 、B 的坐标，代入直线斜率的公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l 过点A(3, 2)、B(−1, 4)，则其斜率k =4−2−1−3=−12；故答案为：−12． 12.【答案】 x −3y =0 【考点】中点坐标公式直线的两点式方程【解析】因为AB 边上的中线所在直线经过点O 与AB 的中点，所以先求出AB 的中点坐标，写出直线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵ A (4,3)，B (2,−1)， ∴ AB 的中点坐标为C(4+22,3−12)，即C(3,1). 又O(0,0)，∴ 直线OC 方程为y =13x ，即x −3y =0，∴ 此三角形AB 边上的中线所在直线的方程为x −3y =0. 故答案为：x −3y =0. 13.【答案】 y =−x 【考点】两条直线的交点坐标【解析】联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得交点(−2, 2)，再利用点斜式即可得出．【解答】解：联立{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得{x =−2y =2．∴ 交点(−2, 2)．∴ 要求的直线斜率k =2−2=−1． ∴ 要求的直线方程为y =−x ．14. 【答案】 8直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】求出直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点A、B的坐标，计算△AOB的面积，求出最小值即可．【解答】直线2x+y+2+λ(2−y)＝0中，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝−λ−1，所以直线2x+y+2+λ(2−y)＝0与坐标轴的交点为A(−λ−1, 0)，B(0，），其中λ∈(1, +∞)，所以△AOB的面积为S(λ)＝×|−λ−1|×||＝＝λ−1+ +4≥2×+4＝8，当且仅当λ−1＝，即λ＝3时取等号．所以S(λ)的最小值是8．15.【答案】平行或重合【考点】直线的一般式方程【解析】由对数的运算性质可知sin2B=sin A⋅sin C，再利用比例关系sin Asin B =sin Bsin C≠ac即可判断两直线的位置关系．【解答】解：依题意，sin2B=sin A⋅sin C，∴sin Asin B =sin Bsin C，即两直线方程中x的系数之比与y的系数之比相等，∴两条直线l1:x sin A+y sin B=a与l2:x sin B+y sin C=c平行或重合．故答案为：平行或重合．16.【答案】a≠−1且a≠2,=23,a=2,a=−1【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系【解析】由a(a−1)−2×1=0可解得a=−1或a=2，验证可得两直线平行，重合，相交的条件，由a ×1+2(a −1)=0可解得垂直的条件．【解答】解：由a(a −1)−2×1=0可解得a =−1或a =2，当a =−1时，l 1:−x +2y +6=0，l 2:x +2y =0，显然l 1 // l 2．当a =2时，l 1:x +y +3=0，l 2:x +y +3=0，显然l 1与l 2重合， ∴ 当a ≠−1且a ≠2时，l 1与l 2相交，由a ×1+2(a −1)=0可解得a =23，此时l 1⊥l 2；故答案为：a ≠−1且a ≠2；=23；a =2；a =−1 17. 【答案】 ,【考点】三点共线【解析】(Ⅰ)利用|MB|＝λ|MA|，可得(x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得b ；(Ⅱ)取(1, 0)、(−1, 0)分别代入，即可求得λ．【解答】解法一：设点M(cos θ, sin θ)，则由|MB|＝λ|MA|得(cos θ−b)2+sin 2θ＝λ2[(cos θ+2)2+sin 2θ]，即−2b cos θ+b 2+1＝4λ2cos θ+5λ2对任意θ都成立，所以{−2b =4λ2b 2+1=5λ2．又由|MB|＝λ|MA|得λ>0，且b ≠−2，解得{b =−12λ=12．解法二：(Ⅰ)设M(x, y)，则 ∵ |MB|＝λ|MA|，∴ (x −b)2+y 2＝λ2(x +2)2+λ2y 2，由题意，取(1, 0)、(−1, 0)分别代入可得(1−b)2＝λ2(1+2)2，(−1−b)2＝λ2(−1+2)2，∴ b =−12，λ=12．（2）由(Ⅰ)知λ=12．18. 【答案】15【考点】待定系数法求直线方程点到直线的距离公式【解析】 tb +P试题分析：一…直线ax+b=1与线段AB有一个公共点，2)…点A(1,0),B(2,1)在直线ax+by=1的两侧，(a−1)(2a+b−1)≤0即a−1≤0,2a+b−1≥0或a−1≥0,2a+b−1≤0画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y−1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，d=|−1|√4+1那么a2+b2的最小值为：d2=15【解答】此题暂无解答19.【答案】(3, −1)【考点】两点间的距离公式与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】判断A，B与直线的位置关系，求出A关于直线的对称点A1的坐标，求出直线A1B的方程，与直线x−y−4=0联立，求出P的坐标．【解答】解：易知A(4, −1)、B(3, 4)在直线l:x−y−4=0的两侧．作A关于直线l的对称点A1(3, 0)，当A1、B、P共线时距离之差最大，A1B的方程为：x=3…①直线x−y−4=0…②解①②得P点的坐标是(3, −1)故答案为：(3, −1)．20.【答案】126【考点】两条平行直线间的距离【解析】先把两条直线方程中对应未知数的系数化为相同的，再代入两平行直线间的距离公式进行运算．【解答】解：∵两平行直线ax+by+m=0与ax+by+n=0间的距离是√a2+b2，5x+ 12y+3=0即10x+24y+6=0，∴两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是√102+242=√576=126．故答案为126．三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）21.【答案】解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①又点(−3, −1)在l1上，∴−3a+b+4=0，②由①②得a=2，b=2.(2)∵l1 // l2，∴ab =1−a，∴b=a1−a，故l1和l2的方程可分别表示为：(a−1)x+y+4(a−1)a =0，(a−1)x+y+a1−a=0.又原点到l1与l2的距离相等，∴4|a−1a |=|a1−a|，解得a=2或a=23，∴a=2，b=−2或a=23，b=2.【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）利用直线l1过点(−3, −1)，直线l1与l2垂直，斜率之积为−1，得到两个关系式，求出a，b的值．（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．【解答】解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a−1)+(−b)⋅1=0，即a2−a−b=0. ①又点(−3, −1)在l1上，∴−3a+b+4=0，②由①②得a=2，b=2.(2)∵l1 // l2，∴ab =1−a，∴b=a1−a，故l1和l2的方程可分别表示为：(a−1)x+y+4(a−1)a =0，(a−1)x+y+a1−a=0.又原点到l1与l2的距离相等，∴4|a−1a |=|a1−a|，解得a=2或a=23，∴a=2，b=−2或a=23，b=2.22.【答案】解：直线l的倾斜角为30∘，则直线的斜率为：√33．(1)过点P(3, −4)，由点斜式方程得：y+4=√33(x−3)，∴y=√33x−√3−4，即√3x−3y−3√3−12=0. (2)在x轴截距为−2，即直线l过点(−2, 0)，由点斜式方程得y−0=√33(x+2)，则y=√33x+2√33，即√3x−3y+2√3=0.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y=√33x+3．即√3x−3y+9=0．【考点】各直线方程式之间的转化直线的斜截式方程直线的点斜式方程直线的斜率【解析】(1)先求出直线的斜率，分别根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．(2)根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．(3)根据直线的点斜式和斜截式方程，代入求出即可．【解答】解：直线l的倾斜角为30∘，则直线的斜率为：√33．(1)过点P(3, −4)，由点斜式方程得：y+4=√33(x−3)，∴y=√33x−√3−4，即√3x−3y−3√3−12=0.(2)在x轴截距为−2，即直线l过点(−2, 0)，由点斜式方程得y−0=√33(x+2)，则y=√33x+2√33，即√3x−3y+2√3=0. (3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y=√33x+3．即√3x−3y+9=0．23.【答案】解：由题意，设A(a, 0)、B(0, b)．则直线AB 方程为xa+yb =1(a >0, b >0)∵ MA ⊥MB ，∴4−02−a×4−b 2−0=−1，化简得a =10−2b ．∵ a >0，∴ 0<b <5．直线AB 的一般式方程为bx +ay −ab =0 ∴ 点M(2, 4)到直线AB 的距离为d 1=√a 2+b 2．又∵ O 点到直线AB 的距离为d 2=√a 2+b 2，∵ 四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，∴ d 1=d 2，∴ 2b +4a −ab =±ab ．又∵ a =10−2b ．解得{a =2b =4或{a =5b =52， ∴ 所求直线为2x +y −4=0或x +2y −5=0．【考点】直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系点到直线的距离公式【解析】设A(a, 0)、B(0, b)．得到直线AB ，由题知MA ⊥MB 即直线MA 与直线MB 的斜率乘积为−1，得到a 与b 的关系式；又因为四边形OAMB 的面积被直线AB 平分得到M 到直线AB 与O 到直线AB 的距离相等得到a 与b 的关系式，两者联立求出a 和b 即可得到直线AB 的方程．【解答】解：由题意，设A(a, 0)、B(0, b)．则直线AB 方程为xa +yb =1(a >0, b >0) ∵ MA ⊥MB ，∴ 4−02−a ×4−b2−0=−1，化简得a =10−2b ．∵ a >0，∴ 0<b <5．直线AB 的一般式方程为bx +ay −ab =0 ∴ 点M(2, 4)到直线AB 的距离为d 1=√a 2+b 2．又∵ O 点到直线AB 的距离为d 2=√a 2+b 2，∵ 四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，∴ d 1=d 2，∴ 2b +4a −ab =±ab ．又∵ a =10−2b ．解得{a =2b =4或{a =5b =52，∴ 所求直线为2x +y −4=0或x +2y −5=0． 24.【答案】解：(1)当直线l 不过原点，设直线l 的方程为：xa +yb =1，把点P 代入可得：1a +2b =1，联立{1a +2b =1,a =b,解得{a =3,b =3,∴ 直线l 的方程为x +y =3.当直线l 过原点，则设直线l 的方程为：y =kx ，代入P 点坐标得：k =2, 此时直线l 的方程为y =2x .综上所述，直线l 的方程为x +y =3或y =2x . (2)若A ，B 两点在直线l 同侧，则AB//l ， AB 的斜率k =−1−11−3=−2−2=1，即l 的斜率为1，则l 的方程为y −2=x −1，即y =x +1，若A ，B 两点在直线的两侧，即l 过A ，B 的中点C(2,0), 则l 的方程为y =−2x +4，综上所述，l 的方程为y =−2x +4或y =x +1. 【考点】待定系数法求直线方程直线的截距式方程直线的点斜式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当直线l 不过原点，设直线l 的方程为：xa+yb =1，把点P 代入可得：1a +2b =1，联立{1a +2b =1,a =b,解得{a =3,b =3,∴ 直线l 的方程为x +y =3.当直线l 过原点，则设直线l 的方程为：y =kx ，代入P 点坐标得：k =2, 此时直线l 的方程为y =2x .综上所述，直线l 的方程为x +y =3或y =2x . (2)若A ，B 两点在直线l 同侧，则AB//l ， AB 的斜率k =−1−11−3=−2−2=1，即l 的斜率为1，则l 的方程为y −2=x −1，即y=x+1，若A，B两点在直线的两侧，即l过A，B的中点C(2,0), 则l的方程为y=−2x+4，综上所述，l的方程为y=−2x+4或y=x+1.25.【答案】如图，设直线在y轴上的截距为m(m>0)，则直线方程为y=−34x+m，取y＝0，得x=43m．由S△AOB=12×43m2=6，解得m＝3．∴直线l的方程为y=−34x+3；由（1）可得，A(4, 0)，B(0, 3)．由重心坐标公式可得G(43, 1)；联立直线{x=2y=32，得M(2, 32)；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝−tan∠BAO2=−sin∠BAO1+cos∠BAO=−351+45=−13．∴∠BAO的角平分线方程为y=−13(x−4)，联立{y=−13(x−4)y=x，解得N(1, 1)．∵k MG=32−12−43=34，k MN=32−12−1=12，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．【考点】直线的一般式方程与直线的性质直线的斜率【解析】（1）设直线在y轴上的截距为m(m>0)，取y＝0求出直线在x轴上的截距，代入三角形面积公式求得m，则直线方程可求；（2）利用重心坐标公式求重心，利用两边垂直平分线的交点求外心，由两内角平分线的交点求内心，再由斜率的关系判断不共线．【解答】如图，设直线在y轴上的截距为m(m>0)，则直线方程为y=−34x+m，取y＝0，得x=43m．由S△AOB=12×43m2=6，解得m＝3．∴直线l的方程为y=−34x+3；由（1）可得，A(4, 0)，B(0, 3)．由重心坐标公式可得G(43, 1)；联立直线{x=2y=32，得M(2, 32)；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝−tan∠BAO2=−sin∠BAO1+cos∠BAO=−351+45=−13．∴∠BAO的角平分线方程为y=−13(x−4)，联立{y=−13(x−4)y=x，解得N(1, 1)．∵k MG=32−12−43=34，k MN=32−12−1=12，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．。

必修2直线和圆复习题及答案

1．直线方程的几种基本形式及适用条件：(1)点斜式：，注意斜率k 是存在的．(2)斜截式：，其中b 是直线l 在上的截距．(3)两点式： (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，当方程变形为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0时，对于一切情况都成立．(4)截距式：，其中a ·b ≠0，a 为l 在x 轴上的截距，b 是l 在y 轴上的截距．(5)一般式：，其中A 、B 不同时为0.1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔ 且，l 1与l 2重合⇔ .②当l 1，l 2都垂直于x 轴且不重合时，则有 .③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1，l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝(2)两条直线的垂直①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔ . ②假设两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线．③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ .(3)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2相交的条件是 . 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的条件是 .自测题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜斜角为45° ，则m 的值为2. 以下四个命题中真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)－(x －x 1)(y 2－y 1)＝0表示C ．不过原点的直线都可以用x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示3．假设三点A (2,3)，B (3，－2)，C (12，m )共线，则m 的值是________．4．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为________．5．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于________．例题例1.已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求：(1)求直线AB 的斜率； (2)求直线AB 的方程；例2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是______例3.已知直线：l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值例4.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2； (3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.练习题1．以下命题中，正确的选项是( )A ．假设直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．假设直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．假设直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈[0，π2)∪(π2，π)时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.．假设直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( ) A.7B ．－77 C.77 D ．－7 3.．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )4.．假设点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于______5.．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，假设M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为______6.．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．7.．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．8.．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．9.．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)假设l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)假设l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔〕A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为〔〕A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔〕A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，假设线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为〔〕A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )条条条 D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )、、8.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3. 与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x 2+y 2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A 为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

新课标人教A版高中数学必修二第三章第2节《直线的两点式方程与截距式方程》专题练习(含精品解析)

直线的两点式方程与截距式方程1. 过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为______【答案】【解析】【分析】已知两点坐标，代入两点式公式，化简即可得出结果.【详解】将两点坐标代入两点式公式可得：，化简得：.【点睛】本题考查直线方程的两点式求法，熟练掌握公式，代入化简即可，注意符号问题.2. 经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为_____【答案】【解析】【分析】由于两点纵坐标相等，所以过两点的直线不能用两点式求，根据两点的位置可知，该直线为平行于x轴的直线，所以可以直接写出方程.【详解】因为两点纵坐标均为2，所以不能用两点式求，由其在坐标轴的位置可确定为平行于x轴的直线，所以直线方程为：.【点睛】直线的方程求法有多种，但大多有其限制条件，两点式要求两点横坐标、纵坐标均不相等，否则无法得出结果.3. 已知点A(3,2)，B(－1,4)，则过点C(2,5)且过线段AB的中点的直线方程为______【答案】【解析】【分析】由两点的坐标可求出中点坐标，与点C横纵坐标均不相同，所以代入两点式，求出直线方程.【详解】A、B中点坐标为，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得：，化简得：.【点睛】本题考查中点坐标的求法以及两点式方程的求法，代入时注意符号不要出错，注意两点式求直线方程的约束条件.4. 过点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是_____【答案】【解析】【分析】因为两点横纵坐标均不相等，由两点式公式，代入两点求直线方程，令，即可求得x轴上的截距.【详解】将两点代入两点式公式可得：，化简可得：，令，得，即为截距.【点睛】根据两点式公式可求得直线方程，令可得x轴上截距，令，可得y轴上截距，注意求截距时，截距有正负.5. 已知△ABC三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为______【答案】【解析】【分析】由两点坐标分别求解中点坐标，因为两中点横纵坐标均不相等，由两个中点坐标结合，代入两点式方程即可求得直线方程.【详解】由中点坐标公式可求得中点坐标：，，代入两点式公式可得：，化简得：.【点睛】本题考查两点式公式求直线方程，注意中点坐标的求法，以及两点式的限制条件.6. 已知点P(－1,2m－1)在经过M(2，－1)、N(－3,4)两点的直线上，则m＝_____【答案】【解析】由M(2，－1)、N(－3,4)得直线MN方程为：，即x+y-1=0又点P(－1,2m－1)在直线MN上∴－1+2m－1-1=0∴m＝故答案为：点睛：点在两点的连线上的处理方法：①此点满足两点直线方程；②利用斜率相等布列方程；（3）利用距离相等布列方程，比较繁琐；（4）利用向量共线处理等等.7. 若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____【答案】【解析】【分析】点A、点B的坐标均不相等，可利用两点式求直线方程，因为点P在直线上，故可将点的坐标代入直线方程，即可求出m.【详解】将点A、点B代入两点式方程可得：，化简得：，将点P代入直线方程，可得：，解得：.【点睛】本题考查两点式求直线方程和点在直线上两个知识点，注意两点式的应用条件，注意计算的准确性.8. 直线在x轴，y轴上的截距分别为____【答案】【解析】【分析】由截距式标准形式可直接得出截距.【详解】由截距式的标准方程：，其中a、b为截距，可直接得出截距分别为：-2、-3.【点睛】本题考查截距式的标准形式，注意截距有正负即可.9. 直线在y轴上的截距是_____【答案】【解析】【分析】将直线方程化为截距式的标准形式，即可得到y轴上截距.【详解】将直线方程化为截距式标准形式：，则y轴上截距为.【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据截距式求截距，一定注意变化为标准形式，注意正负号. 10. 过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_______【答案】【解析】【分析】由两点坐标可知，两点在x轴、y轴上，求出截距，由截距式即可求得方程.【详解】由两点坐标可知此直线在x轴、y轴上的截距分别为2、3，由截距式方程可得：.【点睛】本题考查截距式直线方程的求法，写出截距，代入标准方程即可.11. 直线在两坐标轴上的截距之和为______【答案】【解析】【分析】将直线方程化为截距式的标准形式，求出截距，再求和即可.【详解】将直线方程化为截距式：，所以截距分别为：3、-4，所以截距之和为：-1.【点睛】本题考查截距式的标准形式与截距的读取，注意计算的准确性.12. 过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是_______【答案】或【解析】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为y=x，即3x−2y=0.当直线不过原点时，设方程为，把点P(2,3)代入可得，故直线的方程为x−y+1=0，故答案为3x−2y=0，或x−y+1=0.点睛：本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.13. 已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，－2)，则直线l的方程为_______【答案】【解析】【分析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可将直线表示出来，因为直线某过点，所以将点代入，即可求得a，得到直线方程.【详解】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可得：，将代入直线方程，解得：或3，所以代入直线方程化简可得，或.【点睛】本题考查直线方程的截距式，根据题意假设参数，最后代入已知点解出即可，注意截距式的标准形式与限制条件.14. 过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是___【答案】或【解析】设所求直线方程为，将点代入上式可得或.考点：直线的方程15. 过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为x＝3，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为___【答案】【解析】【分析】与x轴垂直的直线为：，a为横截距，与y轴垂直的直线为：，b为纵截距，则由题意可直接写出直线方程.【详解】与y轴垂直的直线为，b为纵截距，故直线方程为：.【点睛】本题考查特殊位置直线方程，熟练掌握各类直线的表示方法，注意各种直线方程的限制条件，避免无解或错解.16. 已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为_____【答案】【解析】【分析】分别求出两直线的斜率与截距，从而由题意求得直线l的斜率与截距，由直线方程的斜截式可求出直线方程，化简即可.【详解】将直线化为斜截式：，斜率为，所以直线l的斜率为，令直线中，，求得y轴上截距为4，所以直线l的纵截距为8，根据斜截式可得直线l的方程为，化简得：.【点睛】本题考查直线的各种方程间的互化以及直线中的系数求法，求斜率就要化简为斜截式，求截距就令或，要熟练直线方程的不同形式所对应的不同已知条件，注意各种形式下的限制条件.17. 已知直线l的斜率为6，且在两坐标轴上的截距之和为10，则此直线l的方程为___【答案】【解析】设直线l的方程为：令x=0得：纵截距为b令y=0得：横截距为又截距之和为10，即b，∴∴此直线l的方程为故答案为：18. 如右图所示，直线l的截距式方程是＋＝1，则有 ( )A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<0【答案】B【解析】【分析】由直线与坐标轴交点的位置及截距式中参数的几何意义直接得出参数的符号.【详解】直线与x轴交于正半轴，与y轴交于负半轴，所以横截距与纵截距符号一正一负，根据截距式参数的意义可知：.故选B.【点睛】本题考查直线的图像与解析式的关系，根据直线方程中参数的几何意义解题，只需要观察图像以及确定直线方程为标准形式即可.19. 两条直线l1：和l2：在同一直角坐标系中的图象可以是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由方程得出直线的截距，逐个选项验证可得．详解：由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a，﹣b，直线l2的横、纵截距分别为b，﹣a，选项A，由l1的图象可得a＜0，b＞0，可得直线l2的截距均为正数，故正确；选项B，只有当a=﹣b时，才有直线平行，故错误；选项C，只有当a=b时，才有直线的纵截距相等，故错误；选项D，由l1的图象可得a＞0，b＞0，可得直线l2的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误．故选：A．点睛：本题考查直线的截距式方程，属基础题，对于已知表达式求函数图像的题目，可代入特殊点验证，可通过定义域排除，由表达式的奇偶性进行排除等方法.20. 两直线与的图象可能是图中的哪一个 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】当m＜0，n＞0时，直线＝1在x轴上的截距m＜0，在y轴上的截距﹣n＜0；＝1的在x轴上的截距n＞0，在y轴上的截距﹣m＞0．只有B满足．故选：B．21. 已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则( )A. 若c＞0，则a＞0，b＞0B. 若c＞0，则a<0，b＞0C. 若c＜0，则a>0，b<0D. 若c<0，则a>0，b＞0【答案】D【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.22. 直线过第一、二、三象限，则( )A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜0【答案】C【解析】【分析】由题意作出直线过第一、二、三象限的简图，通过与坐标轴交点的位置，即可判断参数的符号，得出结果. 【详解】由题意可作出直线的简图：由图像可知纵截距大于，横截距小于0，所以.故选C.【点睛】本题考查直线的位置与直线方程截距式中参数的关系，根据与坐标轴交点确定截距参数的符号. 23. 过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有___条，方程为：_______【答案】(1). 2(2). ，【解析】【分析】由题意假设截距不为0，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程，当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有2条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.24. 过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有___条方程为：________【答案】(1). 2(2). ，【解析】【分析】由题意假设截距不为0，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程，当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有2条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.25. 过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有____条，方程为：_____【答案】(1). 3(2). 、、【解析】【分析】本题分三种情况讨论：①截距不为0，且截距相等，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；②截距不为0，且截距互为相反数，设出截距，利用截距式表示直线方程，将点P代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；③当截距为0时，设相应的直线方程，代入点P坐标，求解即可.【详解】①当截距不为0，且截距相等时，设直线的截距为a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；②当截距不为0，且截距互为相反数时，设直线的横截距为a，则纵截距为-a，则直线方程为：，将点P坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；③当截距为0时，设直线方程为：，代入点P，可得：，直线方程为：，故直线有3条.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.26. 经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为________【答案】或【解析】【分析】由题意：假设截距不为0时，设出纵截距，利用截距的关系表示出横截距，再用截距式表示直线方程，将点A代入直线方程，即可求出参数值，将参数值待入直线方程再化简，即可求出方程；当截距为0时，设相应的直线方程，代入点A坐标，求解即可.【详解】当截距不为0时，设直线的纵截距为b，则横截距为，直线方程为：，将点A坐标代入直线方程，解得：，所以直线方程为：；当截距为0时，设直线方程为：，代入点A，可得：，直线方程为：.【点睛】本题考查直线方程的截距式，以及截距式的限制条件，截距未知时，要考虑截距为0的情况，并加以讨论.当截距为0时，则不能用截距式求直线方程，要利用其它形式.27. 已知直线与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为_____【答案】【解析】【分析】由截距式定义可知直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，在y轴上截距为6，此面积为三角形面积，则利用截距表示面积，列出方程，即可求出a.【详解】由题意得：直线在x轴上截距为a，则与原点的距离为，直线在y轴上截距为6，由于此面积为三角形，所以面积为：，解得：.【点睛】本题考查截距式与图像相结合，根据截距的几何意义，与几何图形相联系，注意截距的符号问题，长度只能为正数.28. 过点P(1,3)且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积为6的直线方程是______【答案】【解析】【分析】分别假设直线横截距a与纵截距b，由于与坐标轴正半轴相交，所以截距为正数，由截距列出直线方程并将点P代入，可得关于a、b的方程，由截距表示三角形的边长，列出有关面积的方程，解方程组即可求得截距，从而求出直线方程.【详解】设直线横截距为a与纵截距为b，则，直线方程为：，将点P代入可得：，三角形面积：，解方程可得：，故直线方程为：.【点睛】本题考查直线方程截距式与直线图像相结合，考查截距的几何意义，利用截距表示长度，注意截距的正负与三角形面积的求法，一般求三角形面积可采用直接求或者割补法，本题直接求即可.29. 斜率与直线4x＋3y＝0相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是______【答案】或【解析】【分析】将已知直线化为斜截式，求出斜率，设未知直线在y轴上的截距，列出直线方程，求出该直线在x轴上的截距，列出三角形面积方程，解出未知数，代入x轴上截距的表达式即可.【详解】将已知直线化为斜截式：，斜率为，设直线在y轴上截距为b，则直线方程为：，在x轴上截距为：，所以三角形面积为：，解得，所以x轴上截距为.【点睛】本题考查斜截式、截距的求法以及截距的几何意义，已知斜率可设纵截距，用斜截式表示直线，以截距表示长度时要用截距的绝对值，求三角形面积可用割补法或直接法.30. 直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面积S＝.选D.31. 平面直角坐标系中，直线的斜率为________【答案】【解析】【分析】将直线一般方程化为斜截式，即可求出斜率.【详解】直线方程移项，系数化为1，可得：，可知斜率为：.【点睛】本题考查直线一般方程与斜截式之间的互化，移项、系数化为1即可，注意符号的变化，计算的准确性.32. 已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．【答案】(1). (2). (3). (4).【解析】【分析】由直线倾斜角可得直线斜率，又已知在y轴上的截距和交点坐标，，故可直接得到直线的斜截式方程与点斜式方程，由直线方程求出在x轴上的截距，即可求出截距式，最后将方程化简为一般方程的形式即可. 【详解】由倾斜角可得斜率：，因为纵截距为-4，所以斜截式方程为：；由于与y轴交点坐标为，所以点斜式方程为：；由直线方程可求得在x轴上的截距为：，所以截距式为：；将直线方程化为一般式：.【点睛】本题考查直线的各种方程之间的互化以及斜率的求法，要熟练掌握各种方程所需的基本条件，并注意其限制条件，注意计算的准确性.33. 若直线Ax＋By＋C＝0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件( )A. A，B，C同号B. AC＜0，BC＜0C. C＝0，AB＜0D. A＝0，BC＜0【答案】A【解析】【分析】由题意可知直线通过第二、三、四象限，故其斜率为负数，纵截距为负数，以三个系数分别表示斜率和纵截距，即可判断三个系数符号关系.【详解】将直线化为斜截式：，因为直线过第二、三、四象限，所以：，所以A、B、C同号.故选A.【点睛】本题考查一般式与斜截式之间的互化，以及直线的纵截距与斜率对直线图像的影响，注意转化时计算的准确性，熟练掌握各系数的作用即可.34. 直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是______【答案】【解析】【分析】将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A、B之间的关系，将此关系式代入A、B、C三者的关系式，即可得出B、C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为以B表示的式子，消去B，即可得到直线方程. 【详解】直线的斜截式为：，所以，即，将A、B关系代入，可得：，将直线方程中参数全部化为关于B的式子：，消去B，化简可得：.【点睛】本题考查斜率的求法与直线方程的求法，由于参数较多，方程较少，所以无法解出各个参数的值，只能用同一个参数表示其他参数，最后消掉参数即可，注意计算的准确性.35. 光线从A(－3，4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC所在直线的方程为_____【答案】【解析】【分析】由光的反射原理可知，直线AB与直线BC斜率互为相反数，设点B的坐标，分别表示两个斜率，令其之和为0，可解得点B的坐标，由两点式方程可求出直线BC的方程.【详解】设点B的坐标，则直线AB的斜率为：，直线BC的斜率为：，由光的反射原理可知两直线斜率互为相反数，则：，解得：，由B、C的坐标求得直线方程为：.【点睛】本题考查物理知识与几何知识相结合，入射角等于反射角，则斜率互为相反数，此类题型辅助作图会更好理解，求直线方程时注意已知条件，选择最简单的求法.36. 设直线l的方程为y＝(－a－1)x＋a－2.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分别求出横截距与纵截距，令其相等即可解出a的值，代入方程即可得到直线方程；（2）由于不过第二象限所以斜率大于等于0，纵截距小于等于0，由题意列不等式组即可求得参数范围. 【详解】（1）令方程横截距与纵截距相等：，解得：或0，代入直线方程即可求得方程：，；（2）由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，当且仅当解得a≤－1，故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．【点睛】本题考查直线方程的系数与直线的位置关系，纵截距决定直线与y轴的交点，斜率决定直线的倾斜程度，解题时注意斜率与截距等于0的特殊情况，需要分别讨论，避免漏解.37. 如图所示，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时l的方程．【答案】【解析】【分析】假设直线与坐标轴交点，设直线的截距式，将点P代入直线方程，求出a、b关系，根据三角形面积的公式，用a表示三角形面积，整理为关于a的二次方程，令，求得三角形面积的最小值，然后求出参数值，即可得出直线方程.【详解】设A(a，0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，则直线l的方程为＋＝1，因为P(3，2)在直线l上，所以＋＝1，于是b＝，所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．因为此方程有解，所以Δ＝S－12S △AOB≥0，又因为S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．将S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0．【点睛】本题考查直线方程与几何图形之间的关系，学会用直线的系数表示几何长度及面积等，根据方程的性质求最值，同时解题时注意题目中条件的限制，注意参数的取值范围等情况.。

高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案

|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0．（ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ．综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ．已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程．解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程直线与直线的位置关系直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程描述：直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系描述：直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ．当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ；当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ；当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ．当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ；当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ；当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ．例题：直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定解：两直线的斜率分别为交．）

【原创】2.2直线的方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义

2.2 直线的方程1、直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率 y ＝kx ＋b与x 轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线2、直线与x 轴的交点),(0a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，与y 轴的交点),(b 0的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距。

截距不是距离3、两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0).4、两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.知识梳理题型一直线方程例 1 求适合下列条件的直线方程：()1经过点()1,3A --，倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍； ()2经过点()3,4B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【答案】（1）3330x y -+-=（2）10x y -+=或70.x y +-= 【分析】（1）根据倾斜角等于直线3y x =的倾斜角的2倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线．（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为±1. 【详解】（1）已知3tan =α，22tan tan 231tan k ααα===- 直线方程为33(1)y x +=+化简得3330x y -+-= （2）由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点()3,4，由点斜式得()43y x -=±-，所求直线的方程为10x y -+=或70.x y +-=求下列直线方程：(1)求过点()1,3A ，斜率是直线4y x =-的斜率的13的直线方程. (2)求经过点()5,2A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. (3)求过()2,1A ，(),3B m 两点的直线l 的方程.知识典例巩固练习【答案】（1）43130x y +-=；（2）250x y +=或210x y ++=；（3）2(2)60x m y m --+-=. 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解；（3）按照2m =、2m ≠分类，结合两点式方程即可得解. 【详解】（1）设所求直线的斜率为k ，依题意14433k =-⨯=-，又直线经过点(1,3)A ，∴所求直线方程为43(1)3y x -=--，即43130x y +-=；（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为12x ya a+=，将(5,2)-代入可得5212a a -+=，解得12a =-， ∴直线方程为210x y ++=；当直线过原点时，设直线方程为y kx =，则52k -=，解得25k =-， ∴直线方程为25y x =-，即250x y +=；故所求直线方程为250x y +=或210x y ++=；（3）①当2m =时，直线l 的方程为2x =； ②当2m ≠时，直线l 的方程为12312y x m --=--，即2(2)60x m y m --+-=， ∵2m =时，代入方程2(2)60x m y m --+-=，即为2x =， ∴直线l 的方程为2(2)60x m y m --+-=.题型二截距例 2 已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=；综上所述，实数a 2=或a 1=．故选D ．直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为【答案】21 【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积. 【详解】令0x =可得1y =-；令0y =可得1x =，故所求三角形的面积为111122⨯⨯=题型三两直线位置关系例 3 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求下列直线l ′的方程，l ′满足：（1）过点(－1,3)，且与l 平行；（2）过点(－1,3)，且与l 垂直；【答案】(1)3x ＋4y －9＝0; （2）4x -3y +13＝0.巩固练习（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解. 【详解】(1)∵l ∥l ′，∴l ′的斜率为－34∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. （2）l ′的斜率为43， ∴直线l′的方程为：y －3＝43(x ＋1)，即4x-3y+13＝0.已知点()4,2P －和直线370l x y --=：．求： (1)过点P 与直线l 平行的直线方程； (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程．【答案】（1）3140x y -+=；（2）320x y +-=. 【分析】(1) 由所求直线与直线l 平行，先设所求直线的方程是30x y m -+=，再将点P 坐标代入即可求出结果； (2)由所求直线与直线l 垂直，先设出所求直线方程为30x y n ++=，再将点P 坐标代入即可求出结果. 【详解】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-，点()4,2P －在直线上，()342m 0∴⨯-+－＝，m 14∴=，即所求直线方程是3140x y -+=．(2)设所求直线的方程是30x y n ++=，点()4,2P －在直线上， ∴432n 0+⨯+=－，巩固练习n 2∴=－，即所求直线方程是320x y +-=．题型四中线所在的直线例 4 已知ABC 的三个顶点分别为()2,8A ，()4,0B -，()6,0C ，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线方程为（）． A ．240x y -+= B ．240x y ++= C ．240x y +-= D ．240x y -+=【答案】D 【分析】由中点坐标公式先求,A C 的中点坐标为()44D ,，再利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由()2,8A ，()6,0C，则,A C 的中点坐标为()44D ,，则过点B 将ABC ∆的面积平分的直线过点()44D ,，则所求直线方程为40(4)4(4)y x -=+--，即 240x y -+=，故选D.已知ABC 的三个顶点(1,1)A ，(2,0)B ，(4,4)C .（1）求AB 边所在直线的方程；巩固练习（2）求BC 边上中线所在直线的方程. 【答案】（1）20x y +-= （2）210x y -+= 【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出BC 中点D 的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可. 【详解】（1）因为(1,1)A ，(2,0)B ，由直线的两点式方程可得：AB 边所在直线的方程021012y x --=--，化简可得20x y +-=；（2）由(2,0)B ，(4,4)C ，则BC 中点2404(,)22D ++，即(3,2)D ，则BC 边上中线AD 所在直线的方程为231213y x --=--，化简可得210x y -+=.题型五定点问题例 5 直线方程kx －y +2－3k =0恒过定点（） A ．（3，2） B ．（2，3）C ．（－3，2）D ．（－2，3）【答案】A 【分析】将直线方程kx －y +2－3 k =0，转化为()320k x y --+= 求解. 【详解】因为直线方程kx －y +2－3 k =0，即为()320k x y --+=所以3020x y -=⎧⎨-+=⎩ ，解得32 xy=⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点（3，2）.故选：A直线kx－y＋1－3k＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点【答案】),(13【解析】【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组3010xy-=⎧⎨-=⎩即得直线所经过的定点.【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以3010xy-=⎧⎨-=⎩，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.题型六对称问题例6已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋3)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程．【答案】x＋3y－(1＋3)＝0【分析】根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线l的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线y＝x（过Q与直线l垂直的直线）的对称点P′(3＋1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求．【详解】如图，设入射光线与l交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，巩固练习由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－3 ，又入射光线过点P(0,1＋3)，∴入射光线所在的直线方程为()133y x -+=－，即3x ＋y －(1＋3)＝0．解方程组()313020x y x y ⎧+-+=⎪⎨+-=⎪⎩得11x y =⎧⎨=⎩,所以点Q 的坐标为(1,1)．过点Q 作垂直于l 的直线l′，显然l′的方程为y ＝x ．由反射原理知，点P(0,1＋3)关于l′的对称点P′(3＋1,0)必在反射光线所在的直线上．所以反射光线所在直线P Q '的方程为0(31)101(31)y x --+=--+，即x ＋3y －(1＋3)＝0．一束光线从0(1)A ，点处射到y 轴上一点(0)B ，2后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程是（） A ．220x y +-= B ．220x y -+= C ．220x yD ．220x y +-=【答案】B 【分析】由反射定律得点A 关于y 轴的对称点，又因为B 点也在直线上，根据截距式可得直线方程．【详解】由题得点(1,0)A 关于y 轴的对称点(1,0)A '-在反射光线所在的直线上，再根据点(0,2)B 也在反射光线所巩固练习在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为112x y+=-，即220x y -+=，故选B.1、若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B 【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =. 故答案为B.2、经过点（3-，2），倾斜角为60°的直线方程是（） A ．23)y x +=-B ．2(3)3y x -=+ C ．23)y x -=+ D ．23)3y x +=- 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点()32-，，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可【详解】由直线的倾斜角为60︒，得到直线的斜率tan60k =︒=又直线过点()32-，则直线的方程为)23y x -=+ 故选C3、设直线53150x y +-=在x 轴上截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（）巩固提升A ．5,3a b ==B ．3,5a b ==C ．3,5a b =-=D ．3,5a b =-=-【答案】B【分析】由截距的定义，分别求出直线在x 轴和y 轴的截距即可.【详解】由直线53150x y +-=令0,3y x ==令0,5x y ==即3,5a b ==故选B4、下面说法正确的是（）.A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示【答案】D【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程1x y a b+=表示，所以B 错；经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错；当12x x ≠时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程()211121y y y y x x x x --=--，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，当12x x =时，经过点()()1122,,,P x y Q x y 的直线可以用方程1x x =，即()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，因此经过任意两个不同的点()()1122,,,P x y Q x y 的直线都可以用方程()()()()211211-⋅-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对；故选：D5、若直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，则k =( )A ．3-或1-B ．3或1C ．3-或1D ．1-或3【答案】C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线(1)30kx k y +--=和直线(1)(23)20k x k y -++-=互相垂直，所以(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，解方程可得1k =或3k =-，故选C.6、（多选）下列说法正确的是（）A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【答案】ABD【分析】将方程化为点斜式，即可判断A ；令0x =，得出在y 轴上的截距，进而判断B ；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C ；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D .【详解】 32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确； 310x y ++=可化为31y x =--，则该直线的斜率为3-，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确；故选：ABD7、若直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m 的取值范围为________．【答案】2m ≥，或2m ≤-【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：令0x =,得2y m =，令0y =,得2x m =-，由直线20x y m -+=与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则2216m m ⨯-≥，解得2m ≥或2m ≤-，故实数m 的取值范围为2m ≥或2m ≤-.8、倾斜角为直线31y x =-+的倾斜角的一半且经过点(4,1)-的直线方程为_____．【答案】13(4)y x -=+【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，由点斜式可求得直线方程．【详解】直线y ＝－x ＋1的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率为．又直线过定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为)134y x -=+9、已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点__________【答案】21(,)77.【分析】利用（ax+by+c ）+λ（mx+ny+p ）=0 过定点即ax+by+c =0和mx+ny+p =0的交点，解方程组求得定点的坐标．【详解】直线（3k ﹣1）x +（k+2）y ﹣k=0即﹣x +2y+k （3x+y ﹣1）=0，由20310x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得 x=27，y=17，故定点的坐标为（27，17），故答案为：（27，17）．10、直线320x y k -+=在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k =______.【答案】12【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于k 的方程，解方程后可得实数k 的值.【详解】令0x =，则2k y =；令0y =，则3k x =-，故223k k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得12k =. 故答案为：12.11、设光线l 从点(A -出发，经过x 轴反射后经过点0,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则光线l 与x 轴交点的横坐标为______，若该入射光线l 经x 轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为______．【答案】()1,0-【分析】首先，根据光线从点(A -射向x 轴，得到其关于x 轴的对称点(4,A '-，然后根据反射光线的反向延长线经过(4,A '-和B ⎛⎝⎭，得到直线A B '，即得光线与x 轴的交点.由入射角是60°可得折射角是30°，且光线经过()1,0-，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.【详解】点(A -关于x轴的对称点为(4,A '-，则直线A B ':33y x =+ 与x 轴交于点(1,0)- ，所以光线与x 轴的交点为()1,0-;由入射角是60,得折射角是30，且光线经过(1,0)-,得出折射光线所在直线方程为y =12、根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点()2,1且与直线230x y +=平行；（2）与直线y x =垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4-.【答案】（1）2370x y +-=（2）20x y ++=【分析】（1）根据平行关系可设直线为：230x y c ++=，代入点()2,1可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.【详解】（1）设所求直线方程为：230x y c ++=则430c ++= 7c ∴=-∴所求直线方程为：2370x y +-=（2）设直线方程为：1x y a b+= 由题意可得：41a b b a+=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：22a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求直线方程为：122x y +=--，即：20x y ++=。

高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目(附答案)一、两直线的位置关系1求直线斜率的基本方法(1) 定义法：已知直线的倾斜角为a,且a工90°,贝U斜率k = ta n a .y2 — y i⑵公式法：已知直线过两点P i(x i,y i) ,P2(X2,y2)，且X i M X2,则斜率k = .X2 一X i2. 判断两直线平行的方法(1) 若不重合的直线11与12的斜率都存在，且分别为k i, k2,贝U k i= k2? 11//I 2.(2) 若不重合的直线I i与I 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°,则I i//l2.3. 判断两直线垂直的方法(1) 若直线I i与丨2的斜率都存在，且分别为k i, k2，贝U k i • k2=—i? I i±12.(2) 已知直线I i与12,若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则I i 丄I 2.i. 已知两条直线I i：ax —by+ 4= 0和12：(a—i)x + y + b = 0,求满足下列条件的a, b的值.(1) I i 丄12 且I i 过点(—3,—i)；(2) I i / I 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.［解］⑴••• Ii丄I2,a(a—i) —b = 0,①又丨i过点(一3, —i),—3a + b+4 = 0.②a= 2,解①②组成的方程组得.cb = 2.(2) I 2的斜率存在，I i / I 2 ,.直线I i的斜率存在.a--k i = k2,即二=i —a.③b又•••坐标原点到这两条直线的距离相等，I i // I 2, .11, 12在y轴上的截距互为相反数，即b = — （一 b ）.④经检验此时的l 1与丨2不重合，故所求值为2a=- 或 3b = 2.注：已知两直线 11: A i X + By + C = 0 和 12: Ax + By + C 2= 0(1) 对于I 1//I 2的问题，先由AB — AB i = 0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的I l 和I 2是否重合，若重合，舍去.⑵ 对于丨1丄12的问题，由AiA +0解出字母的值即可.2. 直线ax + 2y — 1 = 0与直线2x — 3y — 1= 0垂直，则a 的值为()4A•- 3 B .- 3 C. 2D . 3解析：选D 由2a — 6= 0得a = 3.故选D.3. 已知直线 x + 2ay — 1 = 0与直线(a — 1)x + ay + 1 = 0平行，则a 的值为 ( )或0C. 0D . — 2解析：选A 当a = 0时，两直线的方程化为x = 1和x = 1，显然重合，不符 a 1 a 3合题意；当a ^O 时，^厂= ，解得a =-.故选A.1 2a 2、直线方程1 .直线方程的五种形式由③④联立，解得：=2,b = — 2a = _b = 2.a= 2，b = — 22.常见的直线系方程(1) 经过两条直线I仁A i X + By + C i= 0, 12 ：Ax+ By + G= 0父点的直线系方程为A i x + B i y + C i+入(A2X + By + Q) = 0,其中入是待定系数.在这个方程中，无论入取什么实数，都不能得到Ax + By + C2= 0,因此它不能表示直线丨2.⑵平行直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)平行的直线系方程是Ax+ By+入=0(入工C).(3) 垂直直线系方程：与直线Ax+ By+ C= 0(A, B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx—Ay+入=0.4. 过点A(3 , - 1)作直线I交x轴于点B,交直线I仁y二2x于点C,若| Bq 二2| AB，求直线I的方程.［解］当直线I的斜率不存在时，直线I : x = 3,••• B(3,0) , C(3,6).此时| Bq = 6, I AB = 1, |Bq 工2|AB ,•••直线I的斜率存在.设直线I的方程为y +1 = k(x-3),显然k M0且k工2.••• B3 +1 0 ,k ，-| Bq = 2| AB|，…| X B — X c | = 2| X A — X B | , 3k + 1 1 1•- 口 — k — 3= 2 k ，3k +1 1 2 3k +1 1 2 ■k^ — k — 3= k 或 T —2 — k — 3= — k ， 3 1解得k =—㊁或k = 4.•••所求直线I 的方程为3X + 2y — 7 = 0或X — 4y — 7= 0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解： (1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；⑵ 待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程.5. 已知直线I 仁3X — 2y — 1 = 0和丨2： 3X — 2y — 13= 0,直线I 与I 1，12的距离分别是d 1， d 2，若d 1 : d 2=2 ： 1，求直线I 的方程.解：由直线丨1，I 2的方程知I 1//I 2,又由题意知，直线I 与丨1,丨2均平行(否则d 1 = 0或d 2= 0，不符合题意).设直线I : 3x — 2y + m = 0( mr^ — 1且m^ — 13)，由两平行直线间的距离公式，=—25 或 m = — 9.故所求直线I 的方程为3x — 2y — 25 = 0或3x — 2y — 9 = 0. 6. 已知直线I : 3x — y + 3= 0，求： (1)点P(4,5)关于I 的对称点；y = 2x , y + 1 = k x — 3得点C 的横坐标X c =3k + 1k — 2 .得d 1d 2=| n + 13|13又 d 1 : d 2=2 ： 1，所以 | 1| = 2| m + 13|，解得 m| m + 1|⑵直线x—y — 2 = 0关于直线I对称的直线方程.解：设P(x，y)关于直线I : 3x—y+ 3= 0的对称点为P'(x'，y').y — y••• k pp • ki 二―1 即x ^—x x 3二—1.① 又PP'的中点在直线3x — y + 3= 0上,—4x + 3y — 9 — ,—4x + 3y — 9 3x + 4y + 3—2= 0,化简得 7x + y + 22 = 0.三、圆的方程(1) 圆的标准方程：(x — a)2+ (y — b)2 = r 2 (2) 圆的一般方程：x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0(3) 若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：① 过两圆 C i : x 2+y 2+ Dx + E i y + F i = 0, G : x 2+y 2+ D 2x + &y + F ?= 0 交点的圆系方程为 x 2+ y 2+ Dx + E i y + F i + 入(x 2+y 2+ Dx + Ey + F 2) = 0( X 为参数，入工 —1)，该方程不包括圆G ;② 过圆C : x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0与直线I : Ax + By + C = 0交点的圆系方程2 2 __________________为 x + y + Dx + Ey + F + X (Ax + By + C) = 0( X 为参数，X € R).7.在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A — 3,0),B(2,0) , C(0，— 4)，经过这三个点的圆记为 M(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程；⑵求圆M 的方程.••• 3X 22 +3 = 0.②由①②得=3x + 4y + 3(1)把x = 4, y =5代入③④得 =—2, y ' = 7,••• P(4,5)关于直线I 的对称点 P' 的坐标为(一2,7).⑵用③④分别代换x — y — 2= 0 中的x , y ，得关于I 的对称直线方程为［解］⑴法一：由B(2,0) , C(0，—4)，知BC的中点D的坐标为(1 , —2).即中线AD 所在直线的一般式方程为x + 2y + 3= 0. 法二：由题意，得| AB = | Aq = 5, 则厶ABC 是等腰三角形，所以ADL BC因为直线BC 的斜率k Bc = 2, 1所以直线AD 的斜率k AD = — 2 ,1由直线的点斜式方程，得y — 0= — 2(x + 3), 所以直线AD 的一般式方程为x + 2y + 3= 0.⑵ 设圆M 的方程为x 2 + y 2+ Dx + Ey + F = 0.将 A — 3,0) , B(2,0) , C(0 , — 4)三点的坐标分别代入方程，得5所以圆M 的方程是x + y + x + qy — 6= 0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a , b , r 的方程组，从而求出a , b , r 的值.(2) 若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E , F 的方程组，从而求出D, E , F 的值.8.以线段AB x+ y — 2 = 0(0< x < 2)为直径的圆的方程为()A. (x + 1)2+ (y + 1)2= 2B. (x — 1)2+ (y — 1)2= 2C. (x + 1)2+ (y + 1)2= 8D. (x — 1)2+ (y — 1)2= 8又A — 3,0),所以直线AD 的方程为y —0 x +3—2—0=~1+3，9 — 3D+ F = 0,4+ 2D+ F = 0,16— 4E + F =—1,5解得E = 2，F = —解析：选B直径的两端点分别为(0,2) ,(2,0)，二圆心为(1,1)，半径为2 故圆的方程为(x—1)2+ (y —1)2= 2.9. 已知圆C经过点A(2 , —3), B( —2,—5)，且圆心在直线I : x—2y —3 =0上，求圆C的方程.解：设圆C的方程为(x —a)2+ (y—b)2= r2.2 一a + —3一b = r ， a = —1，由题意，得一2— a 2+ —5— b 2= r2，解得b= —2，a —2b—3= 0，r2= 10.所以圆C的方程为(x+ 1)2+ (y + 2)2= 10.10. 求以圆C: x2+ y2—12x —2y —13 = 0 和圆Q: x2+ y2+ 12x + 16y—25= 0 的公共弦为直径的圆C的方程.解：联立两圆的方程得方程组2 2x + y —12x —2y—13= 0，2 2x + y + 12x + 16y —25 = 0，相减得公共弦所在直线的方程为4x + 3y —2= 0.4x+ 3y —2 = 0，再由2解得两圆交点坐标为(一1,2)，(5，—6).2x + y —12x—2y —13 =1 •••所求圆以公共弦为直径，•••圆心C是公共弦的中点(2，—2)，半径长为2厂5+ 厂2+ 一- 6—2一2= 5.2 2•••圆C的方程为(x —2) + (y + 2) = 25.四、直线与圆的位置关系1. 直线与圆位置关系的判断方法(1) 几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dvr，则直线和圆相交；若d= r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离.(2) 代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为△ . △= 0?直线与圆相切；△ >0?直线与圆相交；△ <0?直线与圆相离.2. 过圆外一点(X o，y o)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y —y o= k(x—X。

第70讲直线方程的求法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、直线的方程有5种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式.二、两点确定一条直线，所以写出直线的方程，必须知道两个独立的几何条件.求直线方程，一般用待定系数法，先定式（形式）后定量.三、直线方程的点斜式（1）点斜式方程 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）点斜式方程必须知道直线上的一个点的坐标和直线的斜率.（3）直线方程的点斜式不能表示没有斜率的直线，所以过定点11(,)P x y 的直线应设为11()y y k x x -=-或1x x =，不能遗漏了没有斜率的那条直线1x x =.四、直线方程的斜截式（1）斜截式方程 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（2）斜截式方程必须知道直线的斜率和纵截距.截距不是距离，是一个实数，可以正，可以负，也可以为零.（3）直线方程的斜截式不能表示没有斜率的直线，要使用它，必须对斜率分两种情况讨论. 五、直线方程的两点式（1）两点式方程112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（2）两点式方程必须知道直线上两个点的坐标.（3）当两个点的横坐标相等或纵坐标相等时，两点式方程不能表示，直接写出直线的方程即可. （4）两点式方程的化简形式121121()()()()y y x x x x y y --=--可以表示过任意两点的直线的方程. （5）直线方程的两点式比较复杂，很少用，一般先根据两点的坐标求出直线的斜率，再利用直线方程的点斜式写出直线的方程.六、直线方程的截距式 (1)截距式方程1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （2）截距式方程必须知道直线方程的横截距和纵截距.（3）截距式方程不能表示横截距为零或纵截距为零的直线，即不能表示和坐标轴平行或垂直或过坐标原点的直线.七、直线方程的一般式 0Ax By C ++=(其中A B 、不同时为0).（1）直线方程必须知道直线的两个独立条件；（2）我们求出的直线方程，一般要化成一般式. 八、涉及到直线的斜率时候，一定要对斜率存在不存在进行讨论，一般先讨论斜率不存在的情况. 九、设直线方程时，一定要考虑到该方程所不能表示的直线是否满足题意，以免漏解. 十、求直线的方程，最后一般要写成直线方程的一般式. 十一、直线的方程【方法讲评】【例1 】已知点1P （2，3），2P （﹣4，5）和A （﹣1，2），求过点A 且与点1P ，2P 距离相等的直线方程．【点评】本题用到了直线方程的点斜式方程，所以必须要分斜率存在或不存在两种情况讨论.否则容易漏解. 学科#网【反馈检测1】过点)0,3(P 作一直线l ，使它被两直线022:1=--y x l 和03:2=++y x l 所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．【例2】求斜率为43，且与坐标轴围成的三角形周长是12的直线L 的方程. 【解析】设直线L 的方程为b x y +=43令0x =得y b =；令0y =得bx 34-=. ∴|b|+12||||54=+-b b ，∴b=±4,∴直线L 的方程为43±=x y .【点评】在斜率已知的情况下，直线方程的斜截式有点类似于一次函数的形式，其中的b 表示直线在y 轴上的截距.【反馈检测2】直线13y x =-+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值.【例3】求过点(4,3)P 并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.【点评】由于直线方程的截距式不能表示没有截距或截距为零的直线，所以在求该直线的方程时，要分类讨论.否则容易漏解.【反馈检测3】直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 .【例4】过点M （0，1）作直线L ，使它被两条已知直线1:3100L x y -+=和2:280L x y +-=所截得的线段AB 被点M 平分.求直线L 的方程.【解析】设点(,)A a b 在1L 上，由题设知，点(,2)B a b --必在2L 上，∴⎩⎨⎧=--+-=+-08)2(20103b a b a ∴⎩⎨⎧=-=24b a 即(4,2)(4,0)A B -、根据两点式可得，直线AB 方程为：440x y +-=.【点评】以上用设点法借助直线方程的两点式而获得了简解.【反馈检测4】三角形的顶点是A (－5，0)、B (3，－3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.【例5】求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.【点评】与直线0ax by c ++=平行的直线可以设为0ax by d ++=的形式，与直线0ax by c ++=垂直的直线可以设为0bx ay d -+=.【反馈检测5】与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第70讲：直线方程的求法参考答案【反馈检测1答案】8240x y --=【反馈检测1详细解析】（1）当k 不存在时，l ：3=x 不满足题意；（2）当k 存在时，设直线l ：)3(-=x k y ，可得)24,232(k k k k A ----，)16,133(+-+-k kk k B ，由中点坐标公式得8=k ∴直线方程为8240x y --=. 【反馈检测2答案】m =#网【反馈检测2详细解析】由已知可得直线//CP AB ，设CP的方程为,(1)3y x c c =-+>，则3AB c ===，因为3y x =+过1(,)2P m得13,2m =+=【反馈检测3答案】230x y -=或50x y ++=【反馈检测4答案】直线AB 的方程为38150x y ++=，直线BC 的方程为5360x y +-=，直线AC 的方程为25100x y -+=.【反馈检测4详细解答】（用两点式求AB 所在直线的方程）直线AB 经过点A (－5，0)、B (3，－3)，由两点式得5335y x +=-+，整理得38150x y ++=，这就是直线AB 的方程.（用斜截式求BC 所在直线方程）因为B (3，－3)、C (0，2)，所以23533BC k +==--，截距b =2，由斜截式得523y x =-+，整理得5360x y +-=，这就是直线BC 的方程.（用截距式求AC 所在直线的方程）因为A (－5，0)、C (0，2)，所以直线在,x y 轴上的截距分别是－5与2，有截距式得152x y+=-，整理得 25100x y -+=，这就是直线AC 的方程.【反馈检测5答案】724700x y ++=或724800x y +-=。

高中数学直线方程的几种形式总结练习含答案解析B

2.2.2 直线方程的几种形式直线方程的几种形式名称点斜式斜截式两点式截距式一般式已知条件点P(x 0,y 0)和斜率k斜率k 和直线在y 轴上的截距b点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)直线在x 、y 轴上的截距分别为a 、b系数 A 、B 、C 图示方程 ① ② ③ ④ ⑤ 适用范围斜率存在 x 1≠x 2,y 1≠y 2a≠0,b≠0A 2+B 2≠0判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”1.直线的点斜式与斜截式不能表示平行于x 轴的直线.( )2.直线的两点式与截距式能表示任何直线.( )3.直线的一般式方程为Ax+By+C=0.( )4.截距为距离只能为非负.( )5.直线的一般式方程中有A 、B 、C 三个参数,因此需三个条件求解.( )选择直线方程形式的原则1.(2014广东,10改编,★☆☆)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线的斜率为-5,则切线方程为.思路点拨利用直线的点斜式方程求解.在点(0, f(0))处切线的斜率为2.求曲线y=f(x)在2.(2015北京,18改编,★☆☆)已知函数f(x)=ln1+x1-x点(0, f(0))处的切线方程.思路点拨3.(2015河南扶沟包屯高中期末,★☆☆)如图,已知三角形的顶点为A(2,4),B(0,-2),C(-2,3),求AB边上的中线CM所在直线的方程.思路点拨4.(2016湖北荆州中学月考,★★★)已知两点A(2,1),B(m,4),求:(1)直线AB的斜率和直线AB的方程;(2)已知m∈[2-√3,2+3√3],求直线AB的倾斜角α的范围.思路点拨(1)题组一直线的点斜式及斜截式方程1.若对任意的实数k,直线y-2=k(x+1)恒经过定点M,则M的坐标是( )A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)x+k与两坐标轴围成的三角形面积不大于1,则实数k的取值范围是.2.已知直线y=123.(1)根据条件求出下列直线的方程.①经过点B(-1,4),倾斜角为135°;②经过点C(4,2),倾斜角为90°;(2)写出斜率为2,在y轴上的截距是3的直线的斜截式方程.题组二直线的两点式与截距式方程4.在x轴和y轴上的截距分别是-2,3的直线方程是( )A.2x-3y-6=0B.3x-2y-6=0C.3x-2y+6=0D.2x-3y+6=05.经过点A(2,5),B(-3,6)的直线在x轴上的截距为( )A.2B.-3C.-27D.276.求过点P(2,3)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线方程.题组三直线的一般式方程7.直线l的方程为Ax+By+C=0,若l过原点和第二、四象限,则有( )A.C=0且B>0B.C=0且B>0,A>0C.C=0且AB<0D.C=0且AB>08.若直线(m2-1)x-y-2m+1=0不经过第一象限,则实数m的取值范围是.9.已知△ABC的三个顶点在第一象限,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:(1)AB边所在直线的方程;(2)AC边和BC边所在直线的方程.(时间:40分钟;分值:50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016内蒙古巴彦淖尔一中期中,★★☆)已知A(1,2)、B(-1,4)、C(5,2),则△ABC的边AB上的中线所在的直线方程为( )A.x+5y-15=0B.x=3C.x-y+1=0D.y-3=02.(2016江西南昌二中第四次考试,★★☆)过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0C.x-2y-1=0D.x-2y-1=0或2x-5y=03.(2015四川成都石室中学月考,★★☆)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或14.(2015湖北武汉二中期中,★★☆)过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有( )A.4条B.5条C.6条D.7条二、解答题(共30分)5.(2016广西桂林期末,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点坐标为A(2,4),B(1,-2),C(-2,3).(1)求直线BC的方程;(2)求边BC上的高AD所在直线的方程.6.(2016辽宁葫芦岛期末,★★☆)已知直线l经过点(0,-2),其倾斜角的大小是60°.(1)求直线l的方程;(2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积.7.(2014山东德州期末,★★☆)已知直线l过点M(1,2),且直线l与x轴正半轴和y轴正半轴的交点分别是A、B.若三角形AOB的面积是4,求直线l的方程.知识清单①y -y 0=k(x-x 0) ②y=kx+b ③y -y 1y2-y 1=x -x 1x2-x 1④x a +yb =1 ⑤Ax+By+C=01.×2.×3.×4.×5.×链接高考1.答案 5x+y-3=0解析曲线在点(0,3)处的切线斜率k=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0. 2.解析因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.3.解析 AB 的中点M 的坐标是(1,1),中线CM 所在直线的方程是y -13-1=x -1-2-1,即2x+3y-5=0. 4.解析 (1)当m=2时,直线AB 的斜率不存在,直线AB 的方程为x=2; 当m≠2时,直线AB 的斜率k AB =3m -2,直线AB 的方程为y-1=3m -2(x-2). (2)当m=2时,α=π2;当m≠2时,由m∈[2-√3,2+3√3]⇒k AB =3m -2∈(-∞,-√3]∪[√33,+∞)⇒α∈[π6,π2)∪(π2,2π3].所以直线AB 的倾斜角α的范围是[π6,2π3].基础过关1.C 由点斜式可知此直线恒过点(-1,2).2.答案 [-1,1]解析直线y=12x+k 与x 、y 轴的交点分别为A(-2k,0),B(0,k), ∵S=12|-2k|·|k|≤1, ∴k 2≤1,∴-1≤k≤1.故实数k 的取值范围为[-1,1].3.解析 (1)①由题意知,直线的斜率为-1, 所以直线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.②由题意知,直线垂直于x 轴,所以直线方程为x=4. (2)∵直线斜率为2,在y 轴上的截距是3, ∴由直线方程的斜截式可得直线方程为y=2x+3.4.C 由直线方程的截距式知,所求直线方程为x -2+y3=1,即3x-2y+6=0,故选C. 5.D 由两点式得直线方程为x+32+3=y -65-6,即x+5y-27=0,令y=0,得x=27. 6.解析设直线在y 轴上的截距为b,则在x 轴上的截距为2b. 若b=0,则直线过(0,0)与(2,3), 所以直线方程为3x-2y=0. 若b≠0,则可设直线方程为x2b +y b =1, ∵直线过点(2,3), ∴22b +3b =1,∴b=4.∴直线方程为x 8+y4=1,即x+2y-8=0.综上,所求直线方程为3x-2y=0或x+2y-8=0.7.D 直线过原点,则C=0,又过第二、四象限,所以斜率为负值,即k=-AB <0,∴AB>0,故选D. 8.答案 12≤m≤1解析原方程变形为y=(m 2-1)x-2m+1,由题意得{m 2-1≤0,-2m +1≤0,解得12≤m≤1.故实数m 的取值范围是12≤m≤1.9.解析 (1)由题意知,直线AB 平行于x 轴,由A 、B 两点的坐标知,AB 边所在直线的方程为y=1,即y-1=0. (2)由题意知,直线AC 的倾斜角等于45°,所以k AC =tan 45°=1,又点A(1,1),所以直线AC 的方程为y-1=1×(x -1),即x-y=0.直线BC 的倾斜角等于180°-∠B=135°,所以k BC =tan 135°=-1,又点B(5,1),所以直线BC 的方程为y-1=-1×(x -5),即x+y-6=0.三年模拟一、选择题1.A 由题意可知AB 的中点坐标为(0,3),所以△ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为y -23-2=x -50-5,即x+5y-15=0.2.B 当直线过原点时,易知直线的斜率为25,故直线的方程为y=25x,即2x-5y=0.当直线不过原点时,设直线在x 轴上的截距为k,则在y 轴上的截距为2k,所以直线方程为x k +y 2k =1,把点(5,2)代入,得5k +22k =1,解得k=6.故直线方程为x 6+y12=1,即2x+y-12=0.故选B. 3.D 当截距都为0时,-2-a=0,则a=-2;当截距都不为0,即a≠-2时,直线方程可变形为x a+2a+ya+2=1,由已知得a+2a=a+2,解得a=1.当a=1时,直线在x 轴、y 轴的截距都为3. 综上,a 的值为-2或1.4.D 当直线经过原点时,满足条件,直线方程为y=43x;当直线不经过原点时,设直线方程为x a +yb =1,把点P(3,4)代入可得3a +4b =1,满足条件的(a,b)有(6,8),(4,16),(5,10),(9,6),(15,5),(7,7). 综上可得,满足条件的直线共有7条. 二、解答题5.解析 (1)由两点式方程得直线BC 的方程为y -3-2-3=x+21+2,即5x+3y+1=0. (2)直线BC 的斜率为-53,∴直线AD 的斜率k=35.由点斜式得AD 所在直线的方程为y-4=35(x-2),整理得3x-5y+14=0.6.解析 (1)易知直线l 的斜率为√3,由点斜式方程得直线l 的方程为y-(-2)=√3x,即√3x-y-2=0. (2)设直线l 与x 轴,y 轴的交点分别为A,B,令y=0,得x=2√33,令x=0,得y=-2,所以S △OAB =12×|OA|·|OB|=12×2√33×2=2√33. 7.解析解法一:设直线l 的斜率是k,则直线方程为y-2=k(x-1)(k<0), 当x=0时,y=2-k, 即|OB|=2-k,(2分) 当y=0时,x=1-2k , 即|OA|=1-2k ,(4分)所以S △AOB =12×|OA|×|OB|=12×(1-2k )·(2-k)=4,(6分)整理得k2+4k+4=0,解得k=-2,(8分)所以直线方程是y-2=-2(x-1), 即2x+y-4=0.(10分)解法二:设A(a,0),B(0,b),则直线l的方程为xa +yb=1(a>0,b>0),(2分)将M(1,2)代入直线方程得1a +2b=1.①(4分)∵△AOB的面积是4,∴12ab=4.②(6分) 由①②解得a=2,b=4.(8分)∴直线l的方程为x2+y4=1,即2x+y-4=0.(10分)。

2.2.3 直线的一般式方程

(1)斜率是 3 ,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
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(2)4x-y+3=0, 3x+12y-11=0.
解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,
∴两直线平行.
(2)∵4×3+(-1)×12=0,
∴两直线垂直.
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典例解析
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
同学们,请根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式
和斜截式,求出对应的4个直线方程；
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常数项的顺序排列.
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跟踪训练
跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
1
(1)斜率是- ,经过点 A(8,-2);
2
(2)经过点 B(4,2),且平行于 x 轴;
(3)在 x 轴和
3
y 轴上的截距分别是 ,-3;