9.3 椭圆及其性质(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件

2
答案 x+2y-3=0
考向三 直线与椭圆的综合问题
例3
(2016四川,20,13分)已知椭圆E:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的两个焦点与短轴
的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个
公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线
x02 a2
+ y02
b2
<1;
(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔ x02 + y02 =1;
a2 b2
(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔
x02 a2
+ y02
b2
>1.
2.弦长公式
设直线l:y=kx+m与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2).则 (1)|AB|= (x1-x2 )2 (y1-y2 )2 ;
.
解题导引
解法一:
解法二:
解析 解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x-1),
A(x1,y1),B(x2,y2).
y-1 k(x-1),
由
x2
4
y2 2
1
消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,∴x1+x2=
4k (k -1) 2k 2 1
+
yHale Waihona Puke Baidu2 2
=1①,
x22 + y22 =1②,
42
①-②得 (x1 x2 )(x1-x2 ) + (y1 y2 )(y1-y2 ) =0,
4
2
∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴
x1 -x2 2
+y1-y2=0,∴k=
y1 -y2 x1 -x2
=-
1 2
.
∴此弦所在直线的方程为y-1=- 1 (x-1),即x+2y-3=0.
(2)P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到焦点 距离的最大值为a+c,最小值为a-c.
2b2
(3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 a ,通径是最短的焦点弦.
考向突破
考向一 利用几何性质求参数的范围
例1 (2017课标全国Ⅰ文,12,5分)设A,B是椭圆C: x2 + y2 =1长轴的两个端
e= c =
1-
b2 a2
(0<e<1),
a
A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)
|x|≤b,|y|≤a
2.常用结论 (1)设P,A,B是中心在原点,焦点在x轴的椭圆上不同的三点,其中A,B两点关
b2
于原点对称,且直线PA、PB的斜率都存在,则kPA·kPB=- a2 .
焦点F1,与椭圆相交于A、B两点,则弦AB的长为
.
解析 由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).
y 2(x-1),
联立
x2
y2
消去y,整理得3x2-5x=0.
5 4 1,
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=
5 3
,x1x2=0.则|AB|=
此时方程①的解为x=2,
所以椭圆E的方程为 x2 + y2 =1.点T坐标为(2,1).
63
(2)证明:由已知可设直线l'的方程为y=
1 2
x+m(m≠0),
由方程组
y y
1 x m,
2 可得
-x 3,
x
y
2- 2m , 3
1 2m . 3
所以P点坐标为
2-
2m 3
,1
2m 3
l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
解析 (1)由题意知,a= 2 b,
则椭圆E的方程为
x2 2b2
+
y2 b2
=1.
x2
由方程组
2b
2
y2 b2
1,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
y -x 3,
方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,
(2)|AB|= 1 k 2 |x1-x2|= 1 k 2 (x1 x2 )2 -4x1x2 ;
(3)|AB|=
1
1 k2
(y1 y2 )2 -4 y1 y2
(k≠0).
注意
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ≥0,|x1-x2|=
Δ.
|a|
3.弦中点问题
设A(x1,y1),B(x2,y2)为弦端点坐标,P(x0,y0)(y0≠0)为AB中点,其中k= y1-y2 (x1≠x2).
2a 3
2=
4a 3
2⇒e=
选C.
5;
3
3.故
3
答案 C
考点三 直线与椭圆的位置关系
考向基础 1.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问 题.反映在代数上,就是直线与椭圆方程联立所得的方程组有无实数解及实 数解的个数问题,它体现了方程思想的应用. 如把椭圆方程 x2 + y2 =1(a>b>0)与直线方程y=kx+m(k≠0)联立消去y,整理
,
又∵x1+x2=2,∴
4k (k -1) 2k 2 1
=2,解得k=-
1 2
.
故此弦所在直线的方程为y-1=- 1 (x-1),即x+2y-3=0.
2
解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k.
解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x12 4
,|PT|2=
8 9
m2.
设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x2
由方程组 6
y2 3
1,
可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
y 1 x m,
2
方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),
由Δ>0,解得- 3 2 <m< 3 2 .
2
2
由②得x1+x2=- 4m ,x1x2= 4m2 -12 .
3m
点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 ( )
A.(0,1]∪[9,+∞)
B.(0, 3 ]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)
D.(0, 3]∪[4,+∞)
解析 当0<m<3时,椭圆C的长轴在x轴上,如图(1),A(- 3 ,0),B( 3 ,0). 当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取最大值,此时∠AMB≥120°,则|MO|=
(x1-x2 )2 (y1-y2 )2
=
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 -4x1x2 ]
=
(1
22
)
5 2 3
-4 0=
55
3.
答案 5 5
3
考向二 弦中点问题
例2
已知P(1,1)为椭圆 x 2
y2
+
=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点
42
平分,且弦与椭圆交于A、B两点,则此弦所在直线的方程为
考向二 求离心率
例2
(2019贵州凯里一中2月月考,11)设F1,F2是椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的两
个焦点,P是椭圆上的点,|PF1|∶|PF2|=2∶1,且△PF1F2为直角三角形,则椭圆
的离心率为 ( )
A. 3 或 3
32
C. 3 或 5
33
B. 3 或 6
33
D. 3 或 6
53
解析
由
||PPFF11∶|||P|PFF2|2
| 2a, 2∶1
可得
|PF1| |PF2 |
4a 3 2a 3
, ,
①若∠F1PF2为直角,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2⇒
4a 3
2+
2a 3
2
=(2c)2⇒e=
②若∠PF2F1为直角,则|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2⇒(2c)2+
m ≤1,即0<m≤1. 当m>3时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0, m ),B(0,- m ). 当点M运动到短轴的端点时,不妨取M( 3 ,0),此时∠AMB取最大值,∠AMB ≥120°,则|OA|≥3,即 m ≥3,即m≥9. 综上,m∈(0,1]∪[9,+∞).
图(1)
图(2)
2.标准方程
x2 y2
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 a2 + b2 =1(a>b>0);
y2 x2
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 a2 + b2 =1(a>b>0).
注意:(1)焦点位置的判断 焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大;焦点在y轴上⇔标准方程中 含y2项的分母较大. (2)a2=b2+c2,即a最大. (3)焦点位置不确定,可设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B).
a2 b2
成Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为零),设其判别式为Δ.
位置关系 相交 相切
相离
图形
判断方法 Δ>0 Δ=0
Δ<0
公共点个数 2 1
0
【知识拓展】
点与椭圆的位置关系
已知点P(x0,y0),椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0),则
(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔
3.焦点三角形 (1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则 SVPF1F2
θ
=b2tan 2 ,其中θ为∠F1PF2.
(2)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则 △PF1F2的周长为2(a+c). (3)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a.
x1 -x2
若椭圆方程为
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0),则k=-
b2 x0 a2 y0
.
若椭圆方程为
y2 a2
+
x2 b2
=1(a>b>0),则k=-
a2 x0 b2 y0
.
考向突破
考向一 弦长问题
例1 (2018山西五校联考,14)已知斜率为2的直线经过椭圆 x2 + y2 =1的右
54
2-
2m 3
-
4m 3
4m2 -12 3
=10
9
m2.
故存在常数λ= 4 ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
5
方法技巧
方法 求椭圆离心率或取值范围的方法
1.椭圆的离心率是椭圆的一个重要基本量,在椭圆中有着特殊的作用,也是 高考常考的知识点,通常有两类问题:一类是求椭圆的离心率;另一类是求 椭圆离心率的取值范围. 2.求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法:①若给定椭圆的方程,则根据椭 圆方程确定a2,b2,进而求出a,c的值,从而利用公式e= c 直接求解;②若椭圆的
12 4
解析 由题意及椭圆的定义知4a=4 3 ,则a= 3 ,又 c = c = 3 ,∴c=1,∴b2=
a 33
2,∴C的方程为 x2 + y2 =1,选A.
32
答案 A
考点二 椭圆的几何性质
考向基础 1.椭圆的方程与简单几何性质
焦点在x轴上
标准方程 一般方程
x 2 + y2 =1(a>b>0)
a2 b2
Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)
图形
焦点在y轴上
y2 + x 2 =1(a>b>0)
a2 b2
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
顶点坐标
范围 长轴长 短轴长 焦距 离心率
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) |x|≤a,|y|≤b |A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2|=2c
考向突破
考向一 椭圆定义的应用
例1
(2019四川成都七中3月月考,14)设F1、F2分别是椭圆
x2 25
+
y2 16
=1的
左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值
为
.
解题导引
解析 由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|,∴|PM||PF1|=|PM|-(2a-|PF2|)=|PM|+|PF2|-2a≥|MF2|-2a,当且仅当M,P,F2三点共线时 取得等号,又|MF2|= (6-3)2 (4-0)2 =5,2a=10,∴|PM|-|PF1|≥5-10=-5,即|PM||PF1|的最小值为-5. 答案 -5
3
3
所以|PA|=
2-
2m 3
-x1
2
1
2m 3
-y1
2
=
5 2
2-
2m 3
-x1
,
同理|PB|=
5 2
2-
2m 3
-x2
.
所以|PA|·|PB|=5
4
2-
2m 3
-x1
2-
2m 3
-x2
=5
4
2-
2m 3
2
- 2-
2m 3
(x1
x2 )
x1x2
=
5 4
2-
2m 3
2
-
考向二 椭圆的标准方程
例2
已知椭圆C:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为
3 ,过
3
F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 3,则C的方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
32
C. x2 + y2 =1
12 8
B. x2 +y2=1
3
D. x2 + y2 =1
高考理数
9.3 椭圆及其性质
考点清单
考点一 椭圆的定义及标准方程
考向基础 1.定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数. 注意 若2a=|F1F2|, 则动点的轨迹是线段F1F2;若2a<|F1F2|,则动点的轨迹不存在.