2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷(理科)

2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知，则有（）A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R2．已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．已知α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos（α﹣）=（）A．B．C．D．4．给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为（）A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p35．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：37．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A．（56，72]B．（72，90]C．（90，110]D．（56，90）9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．D．410．已知不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．3 C．D．211．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．212．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在区间（0，4），上任取一实数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是．14．空间四边形ABCD 中，对角线AC=10，BD=6，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且MN=7，则异面直线AC 与BD 所成的角为 ．15．设函数y=f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，满足x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点Q 为函数y （x ）=f （x ）图象的对称中心，研究并利用函数f （x ）=x 3﹣3x 2﹣sin （πx ）的对称中心，可得f （）+f （）+…+f （）= ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B +sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为 ．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知等差数列{a n }前三项的和为﹣3，前三项的积为8． （Ⅰ）求等差数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x ，y ，p ，q 的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．（Ⅰ）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．20．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（6）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知，则有（）A．M∩N=N B．M∩N=M C．M∪N=N D．M∪N=R【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据题意，解x2﹣x≤0可得集合M，解＜0可得集合N，分析可得N⊆M，由子集的性质可得有M∩N=N、M∪N=M成立，分析选项可得答案．【解答】解：x2﹣x≤0⇔0≤x≤1，则M={x|0≤x≤1}，＜0⇔0＜x＜1，则N={x|0＜x＜1}，有N⊆M，则有M∩N=N，M∪N=M，分析选项可得A符合；故选A．2．已知复数z满足=1﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=1﹣i，∴z=﹣1+2i（1﹣i）=1+2i，∴z的虚部为2．故选：A．3．已知α为锐角，若sin（α﹣）=，则cos（α﹣）=（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，∴0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，则cos（α﹣）=cos[（α﹣）﹣]=cos（α﹣）cos+sin （α﹣）sin=+=，故选：C．4．给定下列三个命题：p1：函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为（）A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p3【考点】2E：复合命题的真假；2K：命题的真假判断与应用．【分析】p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，即可判断出真假；p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，即可判断出真假；p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β（k∈Z），即可判断出真假．【解答】解：p1：当0＜a＜1时，函数y=a x+x（a＞0，且a≠1）在R上不是增函数，是假命题；p2：∀a，b∈R，a2﹣ab+b2=≥0，因此不存在a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0，是假命题；p3：cosα=cosβ⇔α=2kπ±β（k∈Z），因此cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z），是真命题．因此p1∨p2，p2∧p3，p1∨￢p3是假命题；￢p2∧p3是真命题．故选：D．5．若双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，⇔圆心（0，2）到渐近线的距离≥半径r．解出即可．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1的圆心（0，2），半径r=1．∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴≥1，化为b2≤3．∴e2=1+b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，2]．故选：A．6．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）A．3：4 B．2：3 C．1：2 D．1：3【考点】8G：等比数列的性质．【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，所以S15：S5=3：4故选A．7．已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求（+）与（﹣）的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示（+）（﹣）及|+|•|﹣|；由于|+|•|﹣|易于用||表示，所以考虑把（+）（﹣）也用||表示，这需要把已知等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得•=0，2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|•|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2= 2．∴cosα=，解得α=60°．故选B．8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m的取值范围是（）A．（56，72]B．（72，90]C．（90，110]D．（56，90）【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为10，由此易给出判断框内m的取值范围．【解答】解：由于程序的运行结果是10，所以可得解得72＜m≤90．故选：B．9．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．2 B．C．D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体形状，根据图中数据计算体积．【解答】解：该几何体是一个正方体去掉两个三棱锥，如图所示，所以V=2×2×2﹣2××2×1=．故选：B．10．已知不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为，则a=（）A．B．3 C．D．2【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】画出约束条件表示的可行域，如图求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，列出关于a的方程，再求出a即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意B（2，0），A（x，y）不等式组所表示的平面区域的面积为：=∴y=，x=代入直线方程x+ay=2，∴a=故选A．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K8：抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在区间（0，4），上任取一实数x，则2＜2x﹣1＜4的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】解不等式，求出x的范围，根据区间的长度的比值求出满足条件的概率即可．【解答】解：解不等式2＜2x﹣1＜4，得：2＜x＜3，所以，故答案为：．14．空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．【解答】解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得： |=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，满足x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点Q为函数y（x）=f（x）图象的对称中心，研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得f（）+f（）+…+f（）=﹣8066．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x﹣1）﹣2，分析可得x+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，由此1计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）=（x﹣1）3﹣sin（πx）﹣3（x ﹣1）﹣2，分析可得：若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=﹣4，=；故答案为：﹣8066．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+sin2B=1，若|+|=3，则的最小值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】推导出sin（2B+）+=1，从而，由，两边平方，利用余弦定理得b=3，由此能求出的最小值．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2B+ sin2B=1，∴+=sin（2B+）+=1，∵0＜B＜π，∴，∵，∴两边平方得a2+c2﹣2accosB=9=b2，∴b=3，∵，∴ac≤，∴≥．∴的最小值为．故答案为：．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（Ⅰ）求等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【考点】8F：等差数列的性质；8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）和a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，知|a n|=|3n﹣7|=，由此能求出数列{|a n|}的前n项和为S n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d，∵等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8，∴，解得，或，所以由等差数列通项公式，得a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5，或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7．故a n=﹣3n+5，或a n=3n﹣7．（Ⅱ）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2，不成等比数列；当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4，成等比数列，满足条件．故|a n|=|3n﹣7|=，记数列{|a n|}的前n项和为S n．当n=1时S1=|a1|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；当n≥3时，S n =S 2+|a 3|+|a 4|+…+|a n |=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n ﹣7） =5+=．当n=2时，满足此式． 综上所述，．18．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x ，y ，p ，q 的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有4人，“非网购达人”有6人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据题意，有，解得x=9，y=6，∴p=0.15，q=0.10，补全频率分布图有右图所示．（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×=4人，“非网购达人”有10×=6人，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．19．四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=CD，AB∥CD，∠ADC=90°．（Ⅰ）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥平面PAD？证明你的结论；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）当Q为侧棱PC中点时，取PD的中点E，连结AE、EQ，推导出四边形ABQE为平行四边形，从而BQ∥AE，由此能证明BQ∥平面PAD．（Ⅱ）法一：设平面PAD∩平面PBC=l，则BQ∥l，推导出l⊥PD，l⊥PC，则∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，由此能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．法二：建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，利用向量法能求出平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（I）当Q为侧棱PC中点时，有BQ∥平面PAD．证明如下：如图，取PD的中点E，连结AE、EQ．∵Q为PC中点，则EQ为△OCD的中位线，∴EQ∥CD，且EQ=CD．∵AB∥CD，且AB=CD，∴EQ∥AB，且EQ=AB，∴四边形ABQE为平行四边形，则BQ∥AE．…∵BQ⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BQ∥平面PAD．…（Ⅱ）解法一：设平面PAD∩平面PBC=l．∵BQ∥平面PAD，BQ⊂平面PBC，∴BQ∥l．∵BQ⊥平面PCD，∴l⊥平面PCD，∴l⊥PD，l⊥PC．故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．…∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．设PA=AB=AD=，则PD==，PC==，故cos．∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…解法二：如图建立空间直角坐标系，设PA=AB=AD=1，CD=2，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），则=（0，1，﹣1），=（﹣1，1，0）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1）．…由CD⊥平面PAD，AB∥CD，知AB⊥平面PAD，∴平面PAD的法向量为．…设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，则cosθ===．…∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…20．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设点M（x，y），利用条件可得等式=|x﹣4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；（2）通过设存在点P（x0，0）满足题设条件，分AB与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．【解答】解：（1）设点M（x，y），则据题意有=|x﹣4|则4[（x﹣1）2+y2]=（x﹣4）2，即3x2+4y2=12，∴曲线C的方程：．（2）假设存在点P（x0，0）满足题设条件，①当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=k（x﹣1）．当AB与x轴不垂直时，设AB所在直线的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，若∠APF=∠BPF，则k AP+k BP=0，则k AP+k BP==∵（x1﹣1）（x2﹣x0）+（x2﹣1）（x1﹣x0）=2x1x2﹣（1+x0）（x1+x2）+2x0=0∴整理得：k（x0﹣4）=0，因为k∈R，所以x0=4；②当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠APF=∠BPF，满足题意；综上，在x轴上存在点P（4，0），使得∠APF=∠BPF．21．已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx+1．当时，h'（x）＜0；当时，h'（x）＞0．所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增．当时，．…于是，当a≥时，．①…令φ（x）=xe﹣x，则φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．所以函数φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当x=1时，．…于是，当x＞0时，．②…显然，不等式①、②中的等号不能同时成立．故当x＞0，时，xlnx+a＞xe﹣x．…因为b＞1，所以lnb＞0．所以lnb•ln（lnb）+a＞lnb•e﹣lnb．…所以，即．…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由，可得ρ=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x﹣2）2+（y+2）2=8得t2+2t﹣4=0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，由t的意义可得=+==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤m的解集为[﹣1，5]，求实数a，m的值；（Ⅱ）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（Ⅱ）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（Ⅱ）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0≤x≤成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．2017年8月10日。