函数中的等腰三角形

函数中的等腰三角形问题

典型问题1. 如图，一次函数4

3

4y x =-+的图象分别交y 轴、x 轴交于点A ，B ，点P 是x 轴上一动点， 当

ABP ∆为等腰三角形时，求点P 的坐标. 解：【分析】对于一个等腰三角形，我们需要确定腰和底，本题中点P 是x 轴上一动点，那么腰和底就会发生变化，因此要对腰进行分类讨论，有三种情况：P A =PB ，AB =AP ，BA =BP ，我们先从最简单的入手.

当x =0时，y =4 ∴(0,4)A

当y =0时，=4

3

40x -+，解得3x =

∴(3,0)B

若AP =AB ，如图1 ∵AO ⊥x 轴 ∴PO =BO =3 ∴1(3,0)P - 若BA =BP ，如图2

在Rt △AOB

中，5AB == ∴BP =BA =5

∴532OP BP BO =-=-=或+5+38OP BP BO === ∴2(2,0)P -，3(8,0)P 若P A =PB ，如图3

设OP a =，则3PA PB a ==+ 在Rt △AOP 中，222+=OP OA PA ∴2224(3)a a +=+

∴7=6

a

∴47

(,0)6

P -

【点评】因为腰的确定性产生了分类讨论，本题有三种情况：P A =PB ，AB =AP ，BA =BP ，定点A ，B 为等腰顶点的情况比较好做，动点P 为等腰顶点则用到了勾股定理列方程进行求解，同学们做题时可注意顺序. 中考真题：

1.如图，抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A ，与y 轴交于点B ． (1)求抛物线的解析式；

(2)P 是y 轴正半轴上一点，且PAB ∆是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．

图1

图2

图3

2.如图，已知二次函数23

(0) 2

y ax x c a

=++≠的图象与y轴交于点(0,4)

A，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8,0)，连接AB、AC．

(1)请直接写出二次函数23 2

y ax x c

=++的表达式；

(2)判断ABC

∆的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；

3.已知抛物线的顶点为(2,4)

-并经过点(2,4)

-，点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为

3

2

-，抛物线交y轴

于点N．如图．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线对称轴上的一点，ANP

∆为等腰三角形，求点P的坐标；

1.【解答】解：(1)抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A 4n ∴=-

254y x x ∴=-+-；

(2)抛物线的解析式为254y x x =-+-， ∴令0x =，则4y =-，

B ∴点坐标(0,4)-

，AB

①当PB AB =

时，PB AB ==，

4OP PB OB ∴=-=．

4)P ∴

②当PA AB =时，P 、B 关于x 轴对称， (0,4)P ∴

因此P

点的坐标为4)或(0,4)．

2.【解答】解：(1)二次函数23

2

y ax x c =++的图象与y 轴交于点(0,4)A ，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐

标为(8,0)， ∴464120c a c =⎧⎨++=⎩

，

解得144

a c ⎧

=-⎪⎨⎪=⎩．

∴抛物线表达式：213

442

y x x =-++；

(2)ABC ∆是直角三角形．

令0y =，则213

4042

x x -++=，

解得18x =，22x =-， ∴点B 的坐标为(2,0)-，

由已知可得，

在Rt ABO ∆中222222420AB BO AO =+=+=， 在Rt AOC ∆中222224880AC AO CO =+=+=， 又2810BC OB OC =+=+=，

∴在ABC ∆中2222208010AB AC BC +=+== ABC ∴∆是直角三角形． (3)(0,4)A ，(8,0)C ，

AC ∴=

①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N 的坐标为(8,0)-，

②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N

的坐标为(8-0)

或(8+0) ③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，此时N 的坐标为(3,0)，

综上，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，

点N 的坐标分别为(8,0)-

、(8-0)、(3,0)

、(8+0)．

3.【解答】(1)解：由题意设抛物线的解析式为2(2)4y a x =--，把(2,4)-代入得到1

2

a =

， ∴ 2211

(2)42222

y x x x =--=--．

(2)由题得：(2, 1.5)A -，(0,2)N -．

AN ∴=

当AP AN =时，可得13)2P -，33(2,2P -． 当NA NP =时，可得25

(2,)2

P -，

当PN PA =时，设4(2,)P a ，则有2223

()2(2)2

a a +=++，

解得23

4a =-，

423

(2,)4

P ∴-，

综上所述，满足条件的点OP 坐标为13)2P -，25(2,)2P -，33(2,2P --，423

(2,)4

P -；