函数中的等腰三角形
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函数中的等腰三角形问题
典型问题1. 如图,一次函数4
3
4y x =-+的图象分别交y 轴、x 轴交于点A ,B ,点P 是x 轴上一动点, 当
ABP ∆为等腰三角形时,求点P 的坐标. 解:【分析】对于一个等腰三角形,我们需要确定腰和底,本题中点P 是x 轴上一动点,那么腰和底就会发生变化,因此要对腰进行分类讨论,有三种情况:P A =PB ,AB =AP ,BA =BP ,我们先从最简单的入手.
当x =0时,y =4 ∴(0,4)A
当y =0时,=4
3
40x -+,解得3x =
∴(3,0)B
若AP =AB ,如图1 ∵AO ⊥x 轴 ∴PO =BO =3 ∴1(3,0)P - 若BA =BP ,如图2
在Rt △AOB
中,5AB == ∴BP =BA =5
∴532OP BP BO =-=-=或+5+38OP BP BO === ∴2(2,0)P -,3(8,0)P 若P A =PB ,如图3
设OP a =,则3PA PB a ==+ 在Rt △AOP 中,222+=OP OA PA ∴2224(3)a a +=+
∴7=6
a
∴47
(,0)6
P -
【点评】因为腰的确定性产生了分类讨论,本题有三种情况:P A =PB ,AB =AP ,BA =BP ,定点A ,B 为等腰顶点的情况比较好做,动点P 为等腰顶点则用到了勾股定理列方程进行求解,同学们做题时可注意顺序. 中考真题:
1.如图,抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A ,与y 轴交于点B . (1)求抛物线的解析式;
(2)P 是y 轴正半轴上一点,且PAB ∆是以AB 为腰的等腰三角形,试求P 点坐标.
图1
图2
图3
2.如图,已知二次函数23
(0) 2
y ax x c a
=++≠的图象与y轴交于点(0,4)
A,与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)请直接写出二次函数23 2
y ax x c
=++的表达式;
(2)判断ABC
∆的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;
3.已知抛物线的顶点为(2,4)
-并经过点(2,4)
-,点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为
3
2
-,抛物线交y轴
于点N.如图.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的一点,ANP
∆为等腰三角形,求点P的坐标;
1.【解答】解:(1)抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A 4n ∴=-
254y x x ∴=-+-;
(2)抛物线的解析式为254y x x =-+-, ∴令0x =,则4y =-,
B ∴点坐标(0,4)-
,AB
①当PB AB =
时,PB AB ==,
4OP PB OB ∴=-=.
4)P ∴
②当PA AB =时,P 、B 关于x 轴对称, (0,4)P ∴
因此P
点的坐标为4)或(0,4).
2.【解答】解:(1)二次函数23
2
y ax x c =++的图象与y 轴交于点(0,4)A ,与x 轴交于点B 、C ,点C 坐
标为(8,0), ∴464120c a c =⎧⎨++=⎩
,
解得144
a c ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩.
∴抛物线表达式:213
442
y x x =-++;
(2)ABC ∆是直角三角形.
令0y =,则213
4042
x x -++=,
解得18x =,22x =-, ∴点B 的坐标为(2,0)-,
由已知可得,
在Rt ABO ∆中222222420AB BO AO =+=+=, 在Rt AOC ∆中222224880AC AO CO =+=+=, 又2810BC OB OC =+=+=,
∴在ABC ∆中2222208010AB AC BC +=+== ABC ∴∆是直角三角形. (3)(0,4)A ,(8,0)C ,
AC ∴=
①以A 为圆心,以AC 长为半径作圆,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(8,0)-,
②以C 为圆心,以AC 长为半径作圆,交x 轴于N ,此时N
的坐标为(8-0)
或(8+0) ③作AC 的垂直平分线,交x 轴于N ,此时N 的坐标为(3,0),
综上,当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,
点N 的坐标分别为(8,0)-
、(8-0)、(3,0)
、(8+0).
3.【解答】(1)解:由题意设抛物线的解析式为2(2)4y a x =--,把(2,4)-代入得到1
2
a =
, ∴ 2211
(2)42222
y x x x =--=--.
(2)由题得:(2, 1.5)A -,(0,2)N -.
AN ∴=
当AP AN =时,可得13)2P -,33(2,2P -. 当NA NP =时,可得25
(2,)2
P -,
当PN PA =时,设4(2,)P a ,则有2223
()2(2)2
a a +=++,
解得23
4a =-,
423
(2,)4
P ∴-,
综上所述,满足条件的点OP 坐标为13)2P -,25(2,)2P -,33(2,2P --,423
(2,)4
P -;