第5章 机理分析建模法

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数学建模之机理模型建立的平衡原理

数学建模之机理模型建立的平衡原理

k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼, 不考虑新生鱼,年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3:棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题:
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3

(完整版)姜启源数学模型第五版-第5章

(完整版)姜启源数学模型第五版-第5章
• 20世纪的一段时间内人口增长速度过快. • 年净增人口由最多的2000多万降到2011年的600多万. • 老龄化提速, 性别比失调等凸显,开始调整人口政策.
• 建立数学模型描述人口发展规律,是制定 积极、稳妥人口政策的前提.
1. 两个基本的人口模型 2. 用美国人口数据估计参数

1790
人口(百万) 3.9
3.9 5.1 6.8 … 245.8 265.4 282.4 2810.4
7.7 9.5 11.7 … 228.3 252.0 275.1 458.2
2. 参数估计
x 300
250 logistic模型 200 (方法一)
x 300
250 logistic模型 200 (方法二)

150
150
100
1. 模型建立 r(x) a bx a = r r(x) r(1 x / xm ) r(0)=r, r(xm)=0 b = r/xm
dx rx(1 x ),
dt
xm
x(0) x0
rx~人口自身增长 (1-x/xm)~资源和环境阻滞人口增长
dx/dt
x
渐近线
xm
S形曲线
xm/2
x增加先快后慢
(百万) (方法一) (方法二) 数模型 (方法一) (方法二)
2010年 308.7
515.0
356.0
314.0
296.8
297.0
误差
66.8% 15.3% 1.7%
-3.9%
-3.8%
2020年 ?
327.8
326.8
模型检验的误差在5%以内,可以接受.
拭目
预测准确性需等2020年美国人口调查结果公布. 以待

数学建模介绍

数学建模介绍

数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步,它与数学本身有着同样悠久的历史。

一个羊倌看着他的羊群进入羊圈,为了确信他的羊没有丢失,他在每只羊进入羊圈时,则在旁边放一颗小石子,如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完,则表示他的羊和以前一样多。

究竟羊倌数的是石子还是羊,那是毫无区别的,因为羊的数目同石子的数目彼此相等。

这实际上就使石子与羊“联系”起来,建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。

(1)什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时,常常不是直接面对那个对象的原形,有些是不方便,有些甚至是不可能直接面对原形,因此,常常设计、构造它的各种各样的模型。

如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。

这些模型都是人们为了一定目的,对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物,集中反映了原形中人们需要的那一部分特征,因而有利于人们对客观对象的认识。

数学模型也是反映客观对象特征的,只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。

数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时,所得到的一个数学表述。

建立数学模型的过程称为数学建模。

(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,作为数学的应用,数学建模也越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域,数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具;而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透,一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生;计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。

计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式,极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。

机理法建模的基本步骤

机理法建模的基本步骤

机理法建模的基本步骤
机理建模,根据系统的机理(如物理或化学的变化规律)建立系统模型的过程。

首先,根据建模对象的应用场合和模型的使用目的进行合理的假设;随后,根据系统的内在机理建立数学方程,并比较过程变量数与独立方程数来进行自由度分析,以保证模型有解;最后,进行模型简化与验证。

机理建模的步骤: (1)合理假设(2)数学建模列写基本方程,例如,物料平衡和能量平衡方程等消去中间变量,建立状态变量、控制变量和输出变量的关系对方程进行增量化,获得增量方程(3)简化模型化简、传递函数、方框图。

机理模型

机理模型

§3.3 平衡原理与机理模型一. 平衡原理自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。

二. 机理模型在一定的假设下,根据主要因素相互作用的机理,对它们之间的平衡关系的数学描述。

三. 微分方程模型微元法:在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系, 再利用微分学的思想进一步处理它, 得到以微分方程的形式描述的数学模型。

例1. 人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。

即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。

假设1. 人群个体同质。

令N(t)表示t时刻的人口数。

假设2. 群体规模大。

N(t) 连续可微.假设3. 群体封闭,只考虑生育和死亡对人口的影响。

平衡关系:人口数在区间[t,t+ ❒t ]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。

令B(t, ❒t, N), D(t, ❒t , N) 分别表示在时间区间[t,t+ ❒t ]内生育数和死亡数, 则有N(t+∆t)-N(t)=B(t, ∆ t,N)-D(t, ∆ t,N)假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。

(生育率和死亡率)生育率b(t, ❒t, N) = B(t, ❒t, N)/N, 死亡率d(t, ❒t, N) = D(t, ❒t, N)/N记增长率为 R(t, ∆ t,N)= b(t, ∆ t,N)-d(t, ∆ t,N) 则有 N(t+∆t)-N(t)=R(t, ∆ t,N)N 将R(t, ❒t,N)关于❒t展开. 由于R(t, h, N)|h=0=0,所以两边除以❒t, 并令❒t →0, 得到 dN/dt=r(t, N)N假设5. 群体增长恒定。

(r与 t 无关) dN/dt=r(N) N假设6. 个体增长独立。

(r 与 N 无关) dN/dt=r N给定初值 N(0)=N0,可得人口增长的指数模型(Maithus 模型) N(t)=N0e rt在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有 N(k+1) = e r N(k )Maithus: “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。

机理分析建模概要

机理分析建模概要
机理分析建模法
———成都大学
机理分析是根据对现实对象特性的认识,分析其因 果关系,找出反映内部机理的规律。
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对现实对象的认识来源: ➢与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识; ➢通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的 猜想(模型假设)。
模型特点:有明确的物理或现实意义
在实际问题中, “改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化;关键词 “速率”、“增长” “衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。
(一) 微分方程的建立
建立常微分方程模型的常用方法:
➢ 运用已知物理定律 ➢利用平衡与增长式 ➢运用微元法 ➢运用分析法
ΔV=V(h)-V(h+Δh)=-πΔh[3(r12+r22)+o(Δh)] ≈-πr2Δh+o(Δh)
记 r 1002 (100 h)2 200h h2
令Δt 0, 得 dV=-πr2 dh, (2)
比较(1)、(2)两式得微分方程如下:
0.62 2ghdt (200h h2 )dh
dT
k(T
m)
dt
T (0) 60
其中参数k >0,m=18,求得一般解为
ln(T-m)=-k t+c 或 T m cekt (t 0)
代入条件,求得c=42 ,
k


1 3
ln 16 21
,
最后得
1 ln 16 t
T (t ) 18 42e 3 21 (t 0)
在很短的时间段Δt 内,关于P(t)变化的一个最简单 的模型是:
{Δt时间内的人口增长量} ={Δt内出生人口数}-{Δt内死亡人口数}

机理分析建模讲解

机理分析建模讲解
当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1) (其中k为正整数,h为步长)时,称它是一个k阶公 式. k越大,则数值公式的精度越高.
•欧拉法是一阶公式,改进的欧拉法是二阶公式. •龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式. •线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式.
1.3 用MATLAB软件求常微分方程的数值解
在实际问题中, “改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化;关键词 “速率”、“增长” “衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。
(一) 微分方程的建立
建立常微分方程模型的常用方法:
运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 运用分析法
dt
M
假设1
市场余额
假设2
销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制。
(二) 微分方程的求解
求解常微分方程模型的常用方法: 微分方程的数值解 微分方程的定性分析
1、常微分方程的数值解
1.1 常微分方程数值解的定义:
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且 大多得不出一般解。而实际问题中对初值问题的求 解,一般是要求得到在若干个点上满足规定精确度 的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计 算的表达式。
即:对常微分方程

y' y ( x0
f )
(x,yy0 ),其数值解是指由初始点x0
开始
的若干离散的x处的值,即对x0 x1 x2 xn,求出准确值y(x1 ),
y(x2 ), , y(xn ) 的相应近似值y1, y2 , , yn .
1.2 建立数值解法的一些途径: 用差商代替导数 使用数值积分 使用泰勒公式 数值公式的精度

数学建模之机理模型建立的平衡原理

数学建模之机理模型建立的平衡原理

数学建模之机理模型建立的平衡原理机理模型建立的平衡原理是指根据物理、化学、生物等领域的基本原理与规律,通过建立数学方程组或动力学方程,描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制,以达到系统的平衡状态。

机理模型建立的平衡原理涉及到许多重要的概念和方法,在此我将着重介绍以下几个方面:1.平衡状态的定义:在机理模型建立中,平衡状态是指系统的各个因素之间达到相对稳定的状态,即系统处于一个无明显变化的状态。

平衡状态可以是静态平衡,即系统中各个因素之间的变化速度为零;也可以是动态平衡,即系统中各个因素之间的变化速度相互抵消,使得系统整体保持相对稳定。

2.平衡原理的表达:平衡原理可以通过一系列的数学方程或动力学方程来表示,这些方程描述了系统内部各个因素之间的相互作用和调控关系。

常用的数学工具包括微分方程、偏微分方程、差分方程等。

通过对这些方程的求解,可以推导出系统平衡时各个因素之间的关系,从而揭示系统的机理。

3.平衡条件的确定:机理模型的建立需要确定系统平衡的条件。

一般来说,平衡条件可以通过平衡态的守恒方程来确定,守恒方程描述了系统中一些物质或能量的产生、消耗和传递过程。

在平衡状态下,守恒方程达到平衡时,系统处于相对稳定的状态。

4. 稳定性分析:在机理模型建立过程中,需要对系统的稳定性进行分析。

稳定性分析一般包括线性稳定性和非线性稳定性两方面。

线性稳定性分析主要是通过线性化的方法,将系统的非线性方程线性化,从而判断系统平衡时的稳定性。

非线性稳定性分析则需要对系统的非线性方程进行分析,例如通过构造Lyapunov函数,判断系统在平衡状态附近的稳定性。

5.参数估计与模拟:机理模型的建立需要通过实验或观测数据对模型中的参数进行估计,以获得最合理的模型描述。

参数估计可以通过最小二乘法、极大似然估计等方法进行。

同时,通过对模型的数值模拟,可以验证模型的合理性,并对系统的动态行为进行预测和分析。

总之,机理模型建立的平衡原理是数学建模中的重要环节之一、通过建立数学方程组或动力学方程,描述系统内部各个因素之间的相互作用和调控机制,可以揭示系统的平衡状态和稳定性,为实际问题的研究和解决提供指导和依据。

机理分析建模

机理分析建模

3. 选择如下广告策略,t时刻的广告费用为: 选择如下广告策略, 时刻的广告费用为 时刻的广告费用为:
A, A( t ) = 0,
建模: 建模:
0 < t < τ; t >τ.
记 S(t) — t 时刻商品的销售速度; 时刻商品的销售速度; M — 销售饱和水平,即销售速度的上限; 销售饱和水平,即销售速度的上限; λ(>0)— 衰减因子,广告作用随时间的推移而自 > 衰减因子, 然衰减的速度。 然衰减的速度。 直接建立微分方程
三、微元法 基本思想: 基本思想: 通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况。 很短时间内的变化情况。 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水 米的球体容器里盛了一半的水, 例5.1.3 一个高为 米的球体容器里盛了一半的水, 水从它的底部小孔流出,小孔的横截面积为1平方厘米。 水从它的底部小孔流出,小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。 试求放空容器所需要的时间。 对孔口的流速做两条假设 : 1.t 时刻的流速 依赖于此 . 时刻的流速v 刻容器内水的高度h(t)。 刻容器内水的高度 。 2 .整个放水过程无能量损失。 整个放水过程无能量损失。 容器内水的体积为零 分析:放空容器 分析 放空容器 容器内水的高度为零
模型特点: 模型特点:有明确的物理或现实意义
5.1 微分方程的建立
当实际问题需寻求某个变量y 当实际问题需寻求某个变量 随另一变量 t 的变化 规律 :y=y(t),且直接求很困难时,可以建立关于未知 ,且直接求很困难时, 变量、未知变量的导数以及自变量的方程(即变量满足 变量、未知变量的导数以及自变量的方程 即变量满足 的微分方程)。 的微分方程 。 在实际问题中, 改变” 变化” 增加” 在实际问题中, “改变”、“变化”、“增加”、 减少”等关键词提示我们注意什么量在变化; “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化;关键词 速率” 增长” 衰变” 边际的” “速率”、“增长” “衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 到导数。这些都我们建立微分方程模型的关键。 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种: 建立常微分方程模型的常用方法有以下四种: 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法

被控过程的数学模型

被控过程的数学模型

3机理法建模
机理法建模的基本原理 通过分析生产过程的内部机理,找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等,从而导出对象的数学模型。
STEP1
STEP2
当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描述时,称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业对象可以用一阶特性描述。
0
Δh2(∞)
Δh2
为简化数学模型,可以用带滞后的单容过程来近似。
0
Δh2(∞)
Δh2
τ0
0
T0
Δh2(∞)
在S形曲线的拐点上作一切线,若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点,则曲线可表达为带滞后的一阶特性:
∆h2(t)=
K0∆μ1 (1-e ) t ≥τc
此时,对象的输入量是流入水槽的流量Q1,对象的输出量是液位h。
G(S)
Q1
h
机理建模步骤: 从水槽的物料平衡关系考虑,找出表征h与Q1关系的方程式。 设水槽的截面积为A Ql0= Q20时,系统处于平衡状态,即静态。 这时液位稳定在h0
0
阀门1
阀门2
Q10
Q20
假定某一时刻,阀门1突然开大∆μ1 , 则Q1突然增大,不再等于Q2,于是 h也就开始变化。 Q1与Q2之差被囤积在水槽中,造成液位上升。
阶跃响应曲线法建模 给对象输入一阶跃信号或方波信号测其输出响应。 1.阶跃响应曲线的直接测定
在被控过程处于开环、稳态时,将选定的输入量做一阶跃变化(如将阀门开大) ,测试记录输出量的变化数据,所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。
注意事项
合理的选择阶跃输入信号的幅度 试验时被控过程应处于相对稳定的工况 要仔细记录阶跃响应曲线的起始部分(自衡、非自衡) 多次测试,消除非线性

机理法建模的基本步骤

机理法建模的基本步骤

机理法建模的基本步骤机理法建模是一种非常有效的建模方法,它可以有效地解决复杂问题。

机理法建模包含了一系列的步骤,包括:定义目标、建立模型、数据准备、验证模型、模型优化和产出结果。

本文将详细介绍机理法建模的基本步骤。

第一步,定义目标。

通过机理法建模,需要先确定解决的具体问题,比如求解什么样的模型、想要达到什么目的、期望得到什么结果等。

只有明确定义了目标,才能更好的开展后续的工作。

第二步,建立模型。

在定义明确目标的基础上,可以开始着手建立模型,确定模型的具体形式。

常用的模型包括回归模型、决策树模型、聚类模型和神经网络模型等。

第三步,数据准备。

在模型建立好后,就要准备一些训练和测试数据,这也是建模过程中必不可少的一部分。

一般会把数据分为训练数据和测试数据,训练数据用于训练模型,测试数据用于验证模型的性能。

第四步,验证模型。

在准备好数据后,就可以开始训练模型,并对模型的性能进行验证。

常用的一些指标包括模型的精度、召回率、F1值、ROC曲线等,这些指标能反映出模型的准确度和稳定性。

第五步,模型优化。

根据训练结果可以知道模型的训练效果,如果模型的效果不理想,则可以对模型进行修改、增加或者减少参数,优化模型参数,以获得更好的效果。

第六步,产出结果。

经过上述步骤,模型的训练和优化以及验证都已经完成,最后就是要将最终的结果产出,并可以用于实际应用中。

以上就是机理法建模的基本步骤,它可以有效地解决复杂问题。

机理法建模可以用于统计学、经济学、管理学等各种领域,并且在实际中得到了广泛应用。

它是一种高效、有效的建模方法,有助于我们更好地理解和解决复杂问题。

(第五章)机械系统建模_OK

(第五章)机械系统建模_OK

• 转动
T 1 mv2 2
T
1 2
J 2
T x2 Fdx t2 F dx dt t2 Fvdt t2 mvvdt
x1
t1 dt
t1
t1
v2 v1
mvdv
1 2
mv22
1 2
mv12
T
1 2
J
2 2
1 2
J12
20
• 消耗能量:阻尼元件。
能量公式
• 功率:做功的速率。
W x2 Fdx x2 bxdx t2 bx dxdt t2 bx2dt
2
1
1 2
k2( y2
y1 )2
拉格朗日函数
y1
y2
f
c1 M1
c2 M2
k1
k2
L
T
V
1 2
M1
.
y12
1 2
M2
.
y22
1 2
k1
y
2
1
1 2
k2( y2
y1 )2
拉格朗日方程
d dt
L
.
y1
L y1
c1
.
.
y1 c2( y2
.
y1
);d dt
L
.
y2
L y2
f
.
.
c2 ( y2 30y1 )
h
U 0 mgdx mgh
U
x
Fdx
x kxdx 1 kx2
• 弹簧中储存的势能与弹簧受拉或压0无关。 0
2
U
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
1 2
kx22

数学建模的一般步骤供学习用

数学建模的一般步骤供学习用

一、问题重述:二、条件假设:三、符号说明:四、问题分析:五、模型建立:六、模型求解:七、结果分析:八、模型改进:九、模型评价:十、参考文献:数学建模的一般步骤数学模型是一种概念符号模型。

对数学模型可以做两种理解:一种是数理逻辑和数学基础中的;另一种是应用数学中的。

建立数学模型以解决现实问题一般要经过以下几个步骤:首先,要充分搜集现实原型的资料,数据,分析它的状态,性质,变化规律,特征,结构,建立经验定律,提出理论假说。

其次,建立数学模型。

这一过程包括什么是所需要解决的问题的主要方面,什么是次要方面,什么是本质,什么是无关紧要的,以及探寻用什么数学语言,符号,结构来表示所研究的问题或经验定律的结构,即要使数学模型结构(主要是概念,关系,公理等)尽可能与原型的概念,结构相吻合。

第三步,解决数学模型所提出的数学问题。

第四步,以原型的数据检验数学模型并对数学解决做出解释和评价。

一般认为,评价一个数学模型的科学价值取决于该模型的预测与观察数据的一致程度。

应该指出的是,正常情况下,建立模型是一个多次反复的过程,是在不断地根据原型修正模型的过程中使两者趋于一致。

另外,对于同一个客观事物可以有多种数学描述,即可建立不同的数学模型,因此有必要在若干模型中选择一个最简单,最恰当,最易于进行数学处理的模型。

可简写为:数学模型的建立和选择【关键字】【摘要】【正文】一、从信息原型到数学模型二、数学模型的建立§2.1 机理分析法§2.1.1直接建模法§2.1.2套用常用模型法§2.1.3针对修改常用模型法§2.1.4 综合创造法§2.2 统计分析法三、数学模型的选择四、总结【附录】【程序】【参考书目】【关键词】信息原型数学模型数学建模【摘要】本文主要探讨的是信息学竞赛中解题的关键:数学模型的建立和选择。

首先分析了从信息原型到数学模型的重要性,提出了解题的简单过程:现实——理论——现实。

机理建模方法

机理建模方法

机理建模方法机理建模方法是一种用来描述和解释系统行为的工具和技术。

它通过建立模型来模拟和分析系统中的各种过程和交互关系,从而帮助我们理解系统的运行机制和规律。

本文将介绍机理建模方法的基本概念、常见的建模技术以及其在不同领域的应用。

机理建模方法的核心思想是将一个复杂的系统抽象为一个或多个数学模型。

这些模型可以是基于物理原理、统计学方法或者其他适合系统特点的数学工具。

通过建立这些模型,我们可以定量地描述系统中的各个组成部分以及它们之间的相互作用。

这样一来,我们就可以利用模型进行仿真实验和数值计算,从而预测和分析系统的行为。

在机理建模方法中,常见的建模技术包括系统动力学建模、代理模型、离散事件建模和网络建模等。

系统动力学建模是一种基于微分方程的建模方法,它适用于描述具有时间延迟和反馈机制的系统。

代理模型则是一种基于个体行为规则的建模方法,它适用于研究多智能体系统的行为和演化。

离散事件建模是一种描述系统中离散事件和状态变化的建模方法,它适用于处理系统中的突发性事件和不确定性。

网络建模则是一种描述复杂网络结构和相互作用的建模方法,它适用于分析网络系统的稳定性和性能。

除了上述建模技术,机理建模方法还包括了一系列数据分析和参数估计的方法。

这些方法可以帮助我们从实际观测数据中提取有关系统机理的信息,并对模型的参数进行校准和优化。

常见的数据分析方法包括回归分析、主成分分析和聚类分析等,而参数估计方法则可以通过最大似然估计、贝叶斯推断和遗传算法等进行。

机理建模方法在许多领域中都有广泛的应用。

在生物医学领域,它可以用来研究疾病的发生和发展机制,预测药物的疗效和副作用。

在环境科学领域,它可以用来评估污染物的扩散和传输规律,优化环境保护策略。

在工业制造领域,它可以用来优化生产过程,提高产品质量和效率。

在金融领域,它可以用来建立风险模型,预测市场波动和投资回报。

机理建模方法是一种重要的工具和技术,可以帮助我们理解和解释复杂系统的行为。

数学建模知识及常用方法

数学建模知识及常用方法

数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义,因为站在不同的角度可以有不同的定义。

不过我们可以给出如下定义:“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。

”具体来说,数学模型就是为了某种目的,用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

一般来说数学建模过程可用如下框图来表明:数学是在实际应用的需求中产生的,要解决实际问题就必需建立数学模型,从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。

例如,欧几里德几何就是一个古老的数学模型,牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。

今天,数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透,过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化,需建立大量的数学模型。

特别是新技术、新工艺蓬勃兴起,计算机的普及和广泛应用,数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。

因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。

二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征。

2. 模型假设根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步。

如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化。

3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构。

这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天。

不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值。

过程控制技术 第5章(1)

过程控制技术  第5章(1)

出于成本和安全的原因,有些过程控制由于实验的成本太大,或者危险性太高,不便进行 实际系统的试验和核实,为了检验所选方案的可行性与合理性,改用其数学模型代替实际过程, 进行仿真模拟试验,同时也为优化设计和修改缺陷等提供机会。如核电站的控制、大型水电站、 火力发电厂的控制等。 (4)为了培养和训练操作人员和技术人员 可利用数学模型及其相关设备,对操作人员进行上岗前的培养和训练,使其熟练掌握操作 要领和处置方法,为胜任即将开始的工作创造条件;对过程控制中的故障诊断和排除,可利用 数学模型及相应的配套设施进行实践与演练,为保障系统正常运行培养人材。 2.过程建模的要求 将一个实际的物理过程抽象为控制用的数学模型,本身就要忽略很多因素,该模型仅仅是 从动态特性方面对实际过程的一种近似数学描述,并且其表达形式必须有利于后续的处理与应 用。因此,“突出本质,去繁就简” 将是建模的基本原则。
5.1.2 过程建模的目的与要求
1.建模目的
数学模型在实践中的作用是多方面的,如分析和发现问题、预测发展变化、检验效果等等。 就过程控制而言,建模目的主要体现在以下几个方面: (1)为了选用合适的控制方案与控制算法
被控过程决定控制方案和控制算法。由于被控过程的多样性、特殊性,加上对产品要求的 异同性,过程控制系统之间,从选型到组成、从硬件到软件可能相差很大。只有获得过程的动 态数学模型,才对其具体情况做到心中有数,从而有针对性地选择控制方案和控制算法。例如, 有的过程因受干扰对系统性能影响很大,并且对干扰的源头、强度和路径等有所了解,如果选 用前馈-反馈复合控制系统,如果采用 PID 控制,就难以达到预期的控制效果。
实际中的被控过程是多种多样的,其特性也千差万别。有的简单明了,控制起来方便快捷, 有的错综复杂,运行起来,迟迟不能到位。究其原因,主要是由被控过程本身的工艺流程和设 备实际引起的。也就是说,被控过程的设备与工艺要求,决定了控制任务的难易程度,决定了 采用何种控制方案、选用什么控制策略、装置和仪表等。

机理建模方法

机理建模方法

ˆ Ti = T p ,
Tp K= ˆ TK
i
p
从而构成了炉温控制系统的“自适应控制器” 从而构成了炉温控制系统的“自适应控制器”。
计算机控制的过程: 计算机控制的过程: (a) 开机,施加一定的控制 恒值 ,或手动控制 ,检测 开机,施加一定的控制(恒值 恒值PI,或手动控制),检测u(ih) 和y(ih),以构造 、(2); ,以构造(1)、 ; ˆ ˆ (b) 解(1)、(2)式,得 T p 和K p ,从而获得控制器参数 Ti 和K ; 、 式 (c) 将控制器参数调整为Ti 和K ,并投入运行; 并投入运行; (d) 继续用新的采样数据构造 、(2)式,求出新的控制器参 继续用新的采样数据构造(1)、 式 数。
1)常规控制器设计方法: )常规控制器设计方法: 被控对象: 被控对象: C dy = q − qs
dt
其物理意义为: 其物理意义为:单位时间炉温升高所用的热量等于 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 其中: 其中:
C − −炉子热容量; 炉子热容量; y − −炉温; 炉温; qs − −单位时间内流出炉子的 热量; 热量; a − −散热系数; 散热系数; q − −单位时间内流入炉子的 热量, q = K1u 热量, u − −控制量(如电热炉的加 热功率) 控制量( 热功率) K1 − −系数
例2 在研究单分子化学反应速度时,得到下列数据: 在研究单分子化学反应速度时,得到下列数据:
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
8 24 6.5
τi
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2
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1第四章 机理分析建模法
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.的认
识来源对现实对象 *与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识.
*通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的猜想(模型假设). 模型特点:有明确的物理或现实意义
8.1 微分方程的建立
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化规律:y=y(t).
建立关于未知变量、
未知变量的导数以及
自变量的方程
建立变量能满足
的微分方程
2
3在工程实际问题中

“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.
关键词“速率”、“增长” “衰变” ,“边际的” ,常涉及到导数.

立方
法常
用微分方程运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法应用分析法
机理分析法
一.运用已知物理定律
建立微分方程模型时
应用已知物理定律,
可事半功倍
例8.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的房间内,该物体最初的温度是600c,3分钟以后降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时间?10分钟以后它的温度是多少?
牛顿冷却(加热)定律:将温度为T的物体放入处于常温 m的介质中时,T的变化速率正与周围介质的温度差..
比于T与周围介质的温度差
4
5
分析:假设房间足够大,放入温度较低或较高的物体时,室内温度基本不受影响,即室温分布均衡分布均衡,,保持为保持为m
m ,采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。

建立模型:设物体在冷却过程中的温度为T (t ),t ≥0,
“T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差” 翻译为成正比与m T dt
dT −数学语言
6⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.
60)0(),(T m T k dt dT 建立微分方程
其中参数k >0,m =18. 求得一般解为
ln(T -m )=-k t+c ,
代入条件,求得c=42 ,k=- , 最后得21
16ln 31,
0,≥+=−t ce m T kt 或
7最后得 T (t )=18+42 , t ≥0. t e
2116ln 31结果 :T(10)=18+42 =25.87℃,102116ln 31×e
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性,如封闭区域内的能量、货币量等.
利用变量间的平衡与增长特性,可分析和 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建立有关变量间的相互关系
建立有关变量间的相互关系..
例8.1.2人口增长模型
对某地区时刻t t的人口总数P(t),除考虑个
对某地区时刻
体的出生、死亡,再进一步考虑迁入与迁出的影响
影响..
8
9 在很短的时间段Δt 内,关于P(t)变化的一个最简单的模型是:
{Δt 时间内的人口增长量}=
{Δt 内出生人口数}-{Δt 内死亡人口数}+ {Δt 内迁入人口数}-{Δt 内迁出人口数}
{Δt 时间内的净改变量}
={Δt 时间内输入量}-{Δt 时间内输出量时间内输出量}
}般
化更一基本模型
不同的输入、输出情况对应不同的差分或
微分方程.
输入量:含系统外部输入及系统内部产生的量;输出量:含流出系统及在系统内部消亡的量.
此类建模方法的关键是
分析并正确描述基本模型的右端,
使平衡式成立
10
例8.1.2
8.1.2 战斗模型两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学模型,应用这个模型达到如下目的:
预测哪一方将获胜?
1.
1. 预测哪一方将获胜?
估计获胜的一方最后剩下多少士兵?
2.
2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵?
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士
兵才能赢得这场战斗?
兵才能赢得这场战斗?
11
问题分析
设x(t) ) ——t时刻X方存活的士兵数;
y(t) ) ——t时刻Y方存活的士兵数;
假设:
1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗,x(t)与y(t)都是连续变量.
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队a 名士兵;
3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵;
12
13即有 Δx =-a y Δt ,
同理 Δy =-b x Δt ,
令Δt 0, 得到微分方程组:
0,>−=a ay dt
dx 0,>−=b bx dt
dy {Δt 时间内X 军队减少的士兵数 }
= {Δt 时间内Y 军队消灭对方的士兵数}
平衡式
14三. 微元法
基本思想: 通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况.
例8.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水,水从它的底部小孔流出,小孔的横截面
积为积为11平方厘米平方厘米. . . 试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间.
.
152米对孔口的流速做两条假设 : 1.t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t ).
2 .整个放水过程无能
量损失。

分析:放空容器

容器内水的体积为零
容器内水的高度为零
16 模型建立:由水力学知:水从孔口流出的流量Q 为通过“孔口横截面的水的体积V 对时间t 的 变化率”,即gh S dt
dV Q 262.0==S —孔口横截面积(单位:平方厘米)
h (t ) ) —
—水面高度(单位:厘米) t —时间(单位:秒)
当S=1平方厘米,有
)
1(262.0dt gh dV =
17h+Δh
在[t ,t+Δt ]内,水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为h(t)r 1
2
22200)100(100h h h r −=−−=记r 2)
( ])()(3[6
1)(22221h O h r h o r r h h h V V(h)V ∆+∆−≈∆++∆−=∆+−=∆ππ
18令Δt 0,
得 →dV =-πr 2 dh , (2) 比较(1)、(2)两式得微分方程如下:
⎪⎩⎪⎨⎧=−−−−===.100,,))200200((226262..000
2t h dh dh h h h h dt dt gh gh ππ积分后整理得
)31000700000(265.42523
h h g t +−=π 0≤h ≤100
令 h =0,求得完全排空需要约2小时58分.
19四.分析法
基本思想:根据对现实对象特性的认识,分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 例8.1.4(独家广告模型)(独家广告模型)
广告是调整商品销售的强有力的手段售的强有力的手段, , , 广告与销售量之间有什么内
广告与销售量之间有什么内在联系?如何评价不同时期的广告效果?分析 广告的效果, 可做如下的条件假设: *1. 商品的销售速度会因广告而增大,当商品在市场上趋于饱和时,销售速度将趋于一个极限值;
20*2. 商品销售率(销售加速度)随商品销售速度的增高而降低;
*3. 选择如下广告策略,t 时刻的广告费用为:
⎩⎨⎧><<=.,
0;0,)(ττt t A t A 建模 记
S(t) S(t) S(t) —
— t 时刻商品的销售速度; M M —
— 销售饱和水平,即销售速度的上限; λ(>0)— 衰减因子,广告作用随时间的推移而自然衰减的速度.
直接建立微分方程
)())(1)((t S M
t S t pA dt dS λ−−=称 p 为响应系数,表征A(t) 对 S(t) 的影响力.模型分析:是否与前三条假设相符?)())(()(t S t S M M t A p dt dS λ−−=销售速度因广告作用增大, 同时
又受市场余额的限制.
改写模型
225.2 微分方程的定性分析
随着科学技术的发展,常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具,也是数学建模的必备基础理论.
一. 微分方程定性理论的基本任务和
主要研究方法
极少情况下,能够用初等函数或初等函数的积分表示微分方程的解.
求微分方程的数值解解决
方法对微分方程进行定性分析
23 一般提法:不去积分给定的微分方程, 而根据方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整个区域内的分布状态.
微分方程定性分析
基本任务:考虑在有限区域内积分曲线的形状,或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象:驻定系统
其右端的函数不显含自变量 t ,称为一阶n 维驻定系统(自治系统、动力系统). 若微分方程组
n i x x x f dt
dx n i i ,,2,1),,,,(21⋯⋯==(1)
x
y
t
o
t0
(x,y,t)
解曲线
投影曲线
定义:称平面(x, y)为相平面,称解曲线在相平面上的投影为相轨线,相轨线族称为相位图
相位图..基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析.
24
25 轨线方程可由原方程(1)消去 t 而得到, 相点的运动方向可由原方程确定.
对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究.
若点(x 0, y 0)使 f i (x 0, y 0) =0, 称(x 0, y 0) 为方程(1)的平衡点.
练习
P 129: 4
26。

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