平方和与立方和公式推导
推导自然数立方和公式两种方法
推导自然数立方和公式两种方法自然数立方和公式是指1³+2³+3³+.+n³的公式，下面我将介绍两种推导方法。
第一种方法是利用数学归纳法来证明。
第一步，当n=1时，1³=1，所以等式成立。
第二步，假设当n=k时，公式成立，即1³+2³+3³+.+k³=k²(k+1)²/4。
第三步，当n=k+1时，(k+1)³=k³+3k²+3k+1，所以(k+1)³+1³=(k+1)³-k³=3k²+4k+1=(k+1)²(k+2)/4。
因此当n=k+1时，公式也成立。
第四步，根据数学归纳法，我们可以得出1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4对所有正整数n都成立。
第二种方法是利用排列组合的知识来证明。
第一步，考虑从n个不同的自然数中任取3个数的组合数。
这些组合数可以表示为C(n,3)，即从n个不同元素中取出3个元素的组合数。
第二步，根据排列组合的知识，C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。
因此，对于任意的n，我们有C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6。
第三步，利用上述公式，我们可以得到1³+2³+3³+.+n³=C(1,3)+C(2,3)+C(3,3)+.+C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + n(n-1)(n-2)/6 + . + n(n-1)(n-2)/6 =n²(n+1)²/4。
因此，我们得到了自然数立方和公式为1³+2³+3³+.+n³=n²(n+1)²/4，并且利用两种不同的方法证明了该公式的正确性。
数学公式立方和公式
数学公式立方和公式立方和公式是指将一系列连续的整数相加，然后将结果的平方作为最终的值。
这个公式可以用来计算从1到n的整数的立方和。
下面我们来推导一下立方和公式：首先，我们假设有一个等差数列，第一项为1，公差为1，共有n个项。
这个数列可以表示为：1,2,3,...,n。
然后，我们将这个数列的每一项立方得到一个新的数列：1^3,2^3,3^3,...,n^3接下来，我们将新的数列的每一项相加得到一个数值：1^3+2^3+3^3+...+n^3那么，如何计算这个数值呢？首先，我们可以使用数学归纳法证明：1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2假设当n=k时，上式成立，即1^3+2^3+3^3+...+k^3=(1+2+3+...+k)^2当n=k+1时，我们需要证明：1^3+2^3+3^3+...+(k+1)^3=(1+2+3+...+(k+1))^2根据归纳假设，我们可以推导出：1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3接下来，我们可以使用数学等式来证明：(1+2+3+...+k)^2+(k+1)^3=[(k(k+1))/2]^2+(k+1)^3=[(k^2+k)/2]^2+(k+1)^3=[(k^2+2*k+1)/4]*[(k^2+2*k+1)/4]+(k+1)^3=[(k^2+2*k+1)^2+4*(k+1)^3]/4=[(k^4+4*k^3+6*k^2+4*k+1+4*(k^3+3*k^2+3*k+1))]/4=[(k^4+8*k^3+18*k^2+12*k+2)]/4=[(k^4+8*k^3+18*k^2+12*k+2)+4*k^3+12*k^2+12*k+4]/4=[(k^4+12*k^3+30*k^2+24*k+6)]/4=(k^4+12*k^3+30*k^2+24*k+6)/4=(k+1)^4/4因此，我们可以得到：1^3+2^3+3^3+...+(k+1)^3=(k+1)^4/4根据数学归纳法，我们可以确认：1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2这就是立方和公式的推导过程。
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。
有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
自然数的平方和公式的推导方法总结
自然数的平方和公式的推导方法总结
(1)把自然数的平方表示出来，
左右两边分别相加得．
S2(n)＝[S2(n)－n2]＋[2S1(n)－2n]＋n．
等式两边的S2(n)被消去了，无法从中求出S2(n)的值，尝试失败了！
(2)从失败中汲取有用信息进行新的尝试．
前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出S2(n)，
却求出了S1(n)的表达式，即S1(n)＝，它启示我们，既然能用上面的方法求出S1(n)，那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n)．
(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．
具体方法如下：
左右两边分别相加得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n．
∴S2(n)＝．终于导出了公式．。
平方和立方的公式表
平方和立方的公式表一、平方的公式平方是数学中的一个重要概念，指的是一个数自乘的结果。
常见的平方公式有以下几种：1. 平方的定义公式：对于任意实数x，其平方可以表示为x²，即x 的平方等于x乘以自身。
2. 平方的差公式：对于任意实数a和b，其差的平方可以表示为(a-b)²，即(a-b)的平方等于a²-2ab+b²。
3. 平方的和公式：对于任意实数a和b，其和的平方可以表示为(a+b)²，即(a+b)的平方等于a²+2ab+b²。
4. 平方的立方差公式：对于任意实数a和b，其立方差可以表示为(a-b)(a²+ab+b²)，即(a-b)的立方等于a³-b³。
5. 平方的立方和公式：对于任意实数a和b，其立方和可以表示为(a+b)(a²-ab+b²)，即(a+b)的立方等于a³+b³。
二、立方的公式立方是数学中的另一个重要概念，指的是一个数自乘三次的结果。
常见的立方公式有以下几种：1. 立方的定义公式：对于任意实数x，其立方可以表示为x³，即x 的立方等于x乘以自身乘以自身。
2. 立方的差公式：对于任意实数a和b，其差的立方可以表示为(a-b)³，即(a-b)的立方等于a³-3a²b+3ab²-b³。
3. 立方的和公式：对于任意实数a和b，其和的立方可以表示为(a+b)³，即(a+b)的立方等于a³+3a²b+3ab²+b³。
4. 立方的平方差公式：对于任意实数a和b，其平方差可以表示为(a²-b²)(a+b)，即(a²-b²)的立方等于a⁶-3a⁴b²+3a²b⁴-b⁶。
5. 立方的平方和公式：对于任意实数a和b，其平方和可以表示为(a²+b²)(a²-ab+b²)，即(a²+b²)的立方等于a⁶+3a⁴b²+3a²b⁴+b⁶。
数字的平方和立方
数字的平方和立方在数学中，平方和和立方是常见的数学术语。
平方是指一个数字乘以它自己的结果，用符号“^2”表示。
立方是指一个数字乘以它自己两次的结果，用符号“^3”表示。
计算数字的平方和立方可以帮助我们理解数字之间的关系，并在多个领域中有广泛的应用。
数字的平方是该数字乘以它自己的结果。
例如，数字3的平方为3^2=9。
同样地，数字5的平方为5^2=25。
计算数字的平方可以帮助我们确定一个数的平方根。
平方根是指一个数的平方等于给定的数字。
例如，数字9的平方根是3，因为3^2=9。
平方和是指一系列数字的平方相加的结果。
如果我们想计算从1到n的数字的平方和，可以使用以下公式：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2。
例如，计算从1到5的数字的平方和，我们可以得到1^2 + 2^2 + 3^2 +4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55。
平方和在数学和统计学中经常被使用，它们有助于求解各种问题和推导出重要的数学公式。
立方是指一个数字乘以它自己两次的结果。
例如，数字2的立方为2^3=8。
同样地，数字4的立方为4^3=64。
计算数字的立方可以帮助我们理解立方体和解决与三维空间相关的问题。
在几何学中，立方体是一个具有六个相等的正方形面的三维图形，每个面上有四个相等的边。
计算立方体的体积和表面积需要使用立方运算。
类似于平方和，立方和是一系列数字的立方相加的结果。
如果我们想计算从1到n的数字的立方和，可以使用以下公式：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3。
例如，计算从1到4的数字的立方和，我们可以得到1^3 +2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100。
立方和在数学和物理学中经常被使用，它们有助于解决各种问题，包括体积计算和能量计算。
总结来说，数字的平方和立方是数学中常见的概念。
平方是指一个数字乘以它自己的结果，立方是指一个数字乘以它自己两次的结果。
自然数的和,平方和,立方和
=
⑤ 1 2 2 3 3 4 n(n 1) =
⑥ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 n(n 1)(n 2) =
n( n 1)( n 2)( n 3) 4
将以上等式两边相加得：
23 33 43 (n 1) 3 (13 23 33 n3 ) 3 (12 2 2 32 n 2 )
3 (1 2 3 n) 1 n
n(n 1) n 3 (12 2 2 32 n 2 ) = (n 1) 3 — 13 3 2
2 2 2 2
③自然数立方（三次方）的和，即： 1 2 3 n
3 3 3
3
求①式可用 (n 1) 2 来计算；求②式可用 (n 1) 3 来计算；求③式可用 (n 1) 4 来计算 ① ∵ (n 1) 2 n 2 2n 1 ∴
2 2 12 2 1 1
∴
12 2 2 32 n 2 =
n( n 1)( 2n 1) 6
③ 用同样的方法，可得：
13 2 3 33 n 3 =
n 2 (n 1) 2 n(n 1) = 4 2
2
自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n) ∵1 2 3 n ∴
∴ ②
3 ∵ (n 1) = n 3n 3n 1
3 2
1 2 3 n
平方和立方的公式表
平方和立方的公式表平方和立方的公式是数学中常见且重要的公式。
它们分别用于计算一个数的平方和立方。
在本文中，我们将介绍这两个公式的含义、应用场景以及它们在数学中的重要性。
平方和公式可以用来计算一组数的平方和。
平方和是指将一组数的每个数分别平方，并将所有平方数相加所得到的结果。
平方和公式的数学表示如下：平方和 = a^2 + b^2 + c^2 + ...其中，a、b、c等表示一组数。
这个公式在数学和统计学中有广泛的应用。
例如，在统计学中，可以用平方和公式来计算数据的方差，方差是用来衡量数据离散程度的指标。
平方和公式的应用不仅局限于数学和统计学领域，它还可以在物理学中找到应用。
在牛顿力学中，质点的动能可以通过质点的质量和速度的平方和来计算。
因此，平方和公式在物理学中也具有重要的意义。
与平方和公式类似，立方的公式用于计算一个数的立方。
立方是指将一个数自身连续乘以三次的结果。
立方公式的数学表示如下：立方 = a^3其中，a表示一个数。
立方公式常用于计算几何体的体积。
例如，在计算正方体的体积时，可以利用立方公式将正方体的边长立方来计算。
立方公式在实际应用中也有广泛的用途。
它在物理学中用于计算物体的体积和密度，以及化学中用于计算物质的摩尔质量。
此外，在计算机科学中，立方公式也常用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度。
平方和和立方的公式在数学中具有重要的地位。
它们不仅被广泛应用于各个领域，而且也有助于理解和解决实际问题。
通过运用这些公式，我们可以更好地理解数学和科学的本质，更准确地描述和计算各种现象和现实情况。
总结起来，平方和和立方的公式是数学中重要的工具。
它们在数学、统计学、物理学、化学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
了解和掌握这些公式的含义和应用场景，对于提高数学和科学水平，解决实际问题具有重要意义。
立方求和公式推导过程
立方求和公式推导过程（原创实用版）目录1.立方求和公式的定义与意义2.立方求和公式的推导过程3.立方求和公式的应用示例正文1.立方求和公式的定义与意义立方求和公式，又称为立方和公式，是一个在数学中经常使用的公式。
它的主要作用是求解一个立方数数列的前 n 项和。
具体来说，如果 a 是一个实数，那么立方求和公式可以表示为：a^3 + (a^3)^2 + (a^3)^3 +...+ (a^3)^n = a^(3n) * (1 - a^3)^(-n) 其中，n 表示数列的项数，a 表示数列的第一项，a^3 表示数列的第二项，以此类推。
2.立方求和公式的推导过程立方求和公式的推导过程并不复杂，主要涉及到等比数列求和公式的应用。
首先，我们可以将立方数数列看作是一个等比数列，其首项为 a^3，公比为 a^3。
因此，该等比数列的前 n 项和可以表示为：S_n = a^3 * (1 - a^3^n) / (1 - a^3)接下来，我们需要将公式中的 a^3^n 转换为 a^(3n)。
为此，我们可以利用等比数列的性质，即：a^3^n = (a^3)^n = a^(3n)将上述结果代入原公式，得到：S_n = a^(3n) * (1 - a^(3n)) / (1 - a^3)最后，我们需要将分母中的 1 - a^3 转换为 1 - a^(3n)。
为了实现这一目标，我们可以利用差平方公式，即：1 - a^(3n) = (1 - a^3)^n将上述结果代入原公式，得到：S_n = a^(3n) * (1 - a^3)^(-n)这就是立方求和公式的推导过程。
3.立方求和公式的应用示例现在，让我们来看一个立方求和公式的应用示例。
假设我们想要求解数列 1, 8, 27, 64,...的前 10 项和，其中每一项都是立方数。
平方和立方的换算公式
平方和立方的换算公式
在数学中，平方和立方是两个常见的指数运算。
平方是将一个数的值乘以自身，而立方是将一个数的值乘以自身两次。
在某些情况下，需要将平方和立方互相转换。
以下是平方和立方的换算公式。
将一个数的平方转换为立方:
要将一个数的平方转换为立方，只需将该数的平方乘以它本身即可。
例如，5的平方是25，5的立方是125。
因此，将25乘以5即可得到125。
将一个数的立方转换为平方:
要将一个数的立方转换为平方，只需将该数的立方开平方即可。
例如，5的立方是125，5的平方是25。
因此，对125开平方即可得到25。
总结
平方和立方的换算可以用这两个简单的公式实现。
根据需要，可以将一个数的平方转换为立方或将一个数的立方转换为平方。
这些公式在数学中经常出现，因此学生应该熟练掌握它们。
- 1 -。
立方平方公式口诀
立方平方公式口诀
立方平方公式是数学中常用的一组计算立方和平方的公式，可以帮助我们快速计算数字的立方和平方。
下面是一个口诀来帮助记忆立方平方公式：
一的平方等于一，二的平方等于四；
三的平方九，四的平方十六；
五的平方二十五，六的平方三十六；
七的平方四十九，八的平方六十四；
九的平方八十一，十的平方一百最有力。
一的立方是一，二的立方是八；
三的立方是二十七，四的立方是六十四；
五的立方一百二十五，六的立方二百一十六；
七的立方三四三，八的立方五一二；
九的立方七二九，十的立方一千最刁钻。
这个口诀可以帮助我们记忆常见的数字的平方和立方结果。
通过不断重复口诀，我们可以更好地掌握这些公式，提高计算效率。
在实际使用中，可以根据口诀的提示来快速计算数字的平方和立方。
立方求和公式推导过程
立方求和公式推导过程摘要：一、立方求和公式简介1.立方求和公式的定义2.立方求和公式在数学中的重要性二、立方求和公式的推导过程1.立方和的概念2.立方求和公式的一般形式3.立方求和公式的推导三、立方求和公式的应用1.计算立方和2.与其他数学公式和定理的联系正文：立方求和公式是一个在数学中十分重要的公式，它用于计算一组数的立方和。
立方和指的是一个数列中每个数的立方之和。
立方求和公式的一般形式为：S = n(a^3 + b^3 + ...+ z^3)其中，S 表示立方和，n 表示数列中的项数，a、b、...、z 表示数列中的每个数。
立方求和公式的推导过程如下：首先，我们需要理解立方和的概念。
假设我们有一个数列：1, 2, 3, ..., n。
我们需要计算这个数列中每个数的立方和。
我们可以这样做：1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3我们可以将这个式子改写为：(1 + 2 + 3 + ...+ n)^3 - (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3)现在，我们需要计算括号中的部分，即1 + 2 + 3 + ...+ n。
这是一个等差数列，我们可以使用等差数列求和公式来计算它的和。
等差数列求和公式为：S = n(a + z) / 2其中，S 表示和，n 表示项数，a 表示首项，z 表示末项。
在这个例子中，a = 1，z = n，所以：S = n(1 + n) / 2现在我们可以将这个和代入到原来的式子中，得到：S = [n(1 + n) / 2]^3 - (1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3)这就是立方求和公式的一般形式。
立方求和公式在数学中有广泛的应用。
例如，它可以用于计算一组数的立方和，这有助于我们更好地理解这些数之间的关系。
巧用裂项公式推导平方和公式、立方和公式
巧用裂项公式推导平方和公式、立方和公式
张聚海
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)002
【摘要】实施素质教育,而素质教育的核心是创新教育,知识、方法、思想是教师在教育教学中传道、授业、解惑的目的,关注学生的发展为目的,让学生在思考中快乐学习,培养学生的创新思维,实施创新教育.裂项法的实质是将每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.
【总页数】1页(P131-131)
【作者】张聚海
【作者单位】甘肃省积石山县石塬小学,甘肃积石山731699
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.怎样由数列的递推公式推导其通项公式
2.正整数立方和公式的多种裂项构造证法
3.对正整数立方和公式推导的赏析
4.数列递推公式推导通项公式解题策略
5.紧扣递推公式,巧用待定系数法求四类数列通项公式
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
平方与立方转换公式
平方与立方转换公式摘要：一、平方与立方转换公式简介二、平方与立方转换公式推导三、平方与立方转换公式应用举例四、结论正文：一、平方与立方转换公式简介平方与立方转换公式，是指在数学中，将一个数的平方根或立方根转换成另一个数的平方根或立方根的公式。
这个公式在数学运算中有着广泛的应用，尤其在解决一些复杂数学问题时，使用这个公式可以简化计算过程。
平方与立方转换公式包括了平方根与立方根的互化公式，以及一些特殊情况下的转换公式。
二、平方与立方转换公式推导1.平方根与立方根的互化公式设a 是正数，b 是负数，且a > b，我们可以得到以下平方根与立方根的互化公式：(a^(1/2))^2 = aa^(1/3) = (a^(1/2))^(2/3)2.特殊情况下的转换公式（1）当a = 1 时，有：1^(1/2) = 11^(1/3) = 1（2）当a = -1 时，有：(-1)^(1/2) = -1(-1)^(1/3) = -1（3）当a = 0 时，有：0^(1/2) = 00^(1/3) = 0三、平方与立方转换公式应用举例假设我们需要计算以下数值的立方根：(-27)^(1/3)根据平方与立方转换公式，我们可以将-27 转换为它的平方根，然后再计算平方根的立方根。
首先计算-27 的平方根：√(-27) = √(9 * -3) = 3^(1/2) * (-3)^(1/2)然后计算3^(1/2) 和-3^(1/2) 的立方根：3^(1/2)^(1/3) = 3^(1/3)(-3)^(1/2)^(1/3) = -3^(1/3)最后，将两个立方根相乘：3^(1/3) * (-3^(1/3)) = -3^(2/3)所以，(-27)^(1/3) = -3^(2/3)。
四、结论平方与立方转换公式是数学中一个非常有用的公式，通过这个公式，我们可以将平方根或立方根转换为另一种根式，从而简化计算过程。
巧用裂项公式推导平方和公式、立方和公式
数学学习与研究2016.2【摘要】实施素质教育,而素质教育的核心是创新教育,知识、方法、思想是教师在教育教学中传道、授业、解惑的目的,关注学生的发展为目的,让学生在思考中快乐学习,培养学生的创新思维,实施创新教育.裂项法的实质是将每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.【关键词】创新教育;裂项公式;推导;平方和公式;立方和公式创新教育是素质教育的灵魂、核心.创新是民族进步的灵魂,是国家兴旺发达不竭的动力.创新,是一个易想而不易实现的工作,然而创新是未来社会必备的技能之一.教师被称为“人类灵魂的工程师”,肩负着下一代的教育工作,我们培养的学生是下一代的建设者,为此,我们必须培养学生的发散思维和创新精神,实施创新教育,为他们将来成为适应时代步伐,促进时代发展的创新型人才做准备.高中数学课本中对平方和公式、立方和公式只用归纳法证明,没有给出公式的推导过程.本文用裂项公式巧妙地推导出了平方和公式、立方和公式,供读者参考,并希望读者在学习、研究高中数学时巧用裂项公式,掌握数学规律,领悟数学思想,提高学习效率.一、常用的裂项公式1n (n +1)=1n -1n +11n (n +d )=1d 1n-1n +d ()n 2=n ×(n +1)-nn ×(n +1)=13×[n ×(n +1)×(n +1)-(n -1)×n ×(n +1)]n 3=n ×(n +1)×(n -1)+nn ×(n +1)×(n -1)=14×[(n -1)×n ×(n +1)×(n +2)-(n -2)×(n -1)×n ×(n +1)]二、平方和公式的推导过程12+22+32+…+n 2=1×2-1+2×3-2+3×4-3+…+n ×(n +1)-n =13×[1×2×3-0+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…n ×(n +1)×(n +2)-(n -1)×n ×n (n +1)]-n ×(n +1)2=13×n (n +1)×(n +2)-n ×(n +1)2=n ×(n +1)6×(2n +4-3)=n ×(n +1)×(2n +1)6参考裂项公式:n 2=n ×(n +1)-nn ×(n +1)=13×[n ×(n +1)×(n +2)-(n -1)×n (n +1)]三、立方和公式的推导过程13+23+33+…+n 3=1+2+3+…+n +n ×(n +1)×(n -1)=1+2+3+…+n +14×(n -1)×n ×(n +1)×(n +2)=2n ×(n +1)4+2n ×(n +1)×(n -1)×n (n +1)×(n +2)4=n ×(n +1)×(2+n 2+n -2)4=n ×(n +1)×n ×(n +1)4=n ×(n +1)2[]2参考裂项公式:n 3=n ×(n +1)×(n -1)+nn ×(n +1)×(n -1)=14×[(n -1)×n ×(n +1)×(n +2)-(n -2)×(n -1)×n ×(n +1)]教无定法.教师在教学过程中多思考、多研究,把平时的生活实例与教学内容结合,这样教师便于讲解、学生易于理解,课堂导入自然、讲解轻松,实现高效课堂,将知识、方法、思想传授给学生.同学们始终在思考的过程中学习,始终进行自主探究,这样才能把书本知识、老师讲解的知识转化为自己学到的知识,培养学生形成分析问题、解决问题的思路,培养学生严谨的逻辑思维能力和创新思维能力.中学生处于创新意识的唤醒期、创新方法的积累期、创新思维的发展期.抓住学生创造力培养的关键期,全面开发生命的创新潜能,最大化激发生命的创造活力,老师要以“为学生的终身发展奠基,为学生的一生幸福负责”为目标,从学生实际出发,钻研教材、分析学情、充分备课、认真制作课件、狠抓教学过程、总结教学经验.在实际教学中贯彻落实新课程改革理念,发展创新教育,培养学生的创新能力,全面实施素质教育,实现面向未来的教育.创新是一个民族进步的灵魂,建设创新型国家是事关现代化建设全局的重大战略决策.建设创新型国家,核心就是把增强自主创新能力作为发展科学技术的战略基点,增强自主创新能力作为国家战略,激发创新精神,培养高水平创新人才,全面实行创新教育是建设创新型国家的前提,为此,我们在教育教学中深刻贯彻国家的教育方针、政策,更新教育理念,教书育人,培养创新思维担当时代重任,为国家培养合格的精英人才.巧用裂项公式推导平方和公式、立方和公式◎张聚海(甘肃省积石山县石塬小学,甘肃积石山731699). All Rights Reserved.。