自然数平方和公式推导
自然数平方和公式是如何推导的？
自然数平方和公式是如何推导的？大家都知道自然数前n项和公式：1 2 ... n=n(n 1)/2。
它的推导方法很简单，就是利用所谓的倒序相加法（据传德国大数学家高斯在其读小学的时候就已经独自想出这一方法）。
令Sn=1 2 3 ... (n-2) (n-1) n则Sn=n (n-2) (n-1) ... 3 2 1所以2Sn=(1 n) [2 (n-1)] [3 (n-2)] ... [(n-2) 3] [(n-1) 2] (n 1) (*) 注意到1 n=2 (n-1)=3 (n-2)=...=(n-2) 3=(n-1) 2=n 1也就是说（*）式右边每一项均等于n 1，一共有n项，因此有2Sn=n(n 1)，所以Sn=n(n 1)/2。
即：1 2 ... n=n(n 1)/2。
但是对于自然数前n项的平方和公式，恐怕很多朋友就不是很清楚了，现在推导如下。
首先回顾一个重要公式，两个数的和的立方展开式(a b)^3=a^3 3*(a^2)*b 3*a*(b^2) b^3 所以：(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 12^3=(1 1)^3=1^3 3*1^2 3*1 13^3=(2 1)^3=2^3 3*2^2 3*2 14^3=(3 1)^3=3^3 3*3^2 3*3 1......(n 1)^3=n^3 3*n^2 3*n 1等式左右两边相加得，消掉相同的立方项得：(n 1)^3=1^3 3*(1^2 2^2 ... n^2) 3*(1 2 ... n) n令Sn=1^2 2^2 ... n^2，则(n 1)^3=1 3Sn 3n(n 1)/2 n化简后易得Sn=n(n 1)(2n 1)/6即：1^2 2^2 ... n^2=n(n 1)(2n 1)/6顺便说一句，利用同样的方法还可以得出1^3 2^3 ... n^3=n^2*(n 1)^2/4=[n(n 1)/2]^2=(1 2 ... n)^2这是一个非常有趣的结论，大家可以自己尝试去证明一下！。
平方的求和方法
平方的求和方法宝子，今天咱们来唠唠平方求和的方法呀。
咱先说说自然数的平方和。
有个超酷的公式哦，1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6。
你看这个公式，就像一个魔法咒语一样。
比如说，要求1到5的平方和。
那n就是5啦，把5代到公式里，5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 5×6×11÷6 = 55。
是不是很神奇呀 。
那这个公式是咋来的呢？其实有好几种推导方法呢。
有一种比较有趣的是用数学归纳法。
先验证当n = 1的时候，公式成立。
1² = 1，而1×(1 + 1)×(2×1 + 1)÷6 = 1，对啦。
然后假设当n = k的时候公式成立，再去证明n = k + 1的时候也成立。
这就像是搭积木，一块一块稳稳地搭起来呢。
要是遇到不是从1开始的连续自然数的平方和呢？比如说3² + 4² + 5²。
咱可以先求出1² + 2² + 3² + 4² + 5²的和，再减去1²+2²。
按照前面的公式，1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 5×(5 + 1)×(2×5 + 1)÷6 = 55，1²+2² = 1+4 = 5，那3² + 4² + 5² = 55 - 5 = 50啦。
还有哦，如果是一些有规律的数的平方和，比如说奇数的平方和或者偶数的平方和。
奇数的平方和公式是n(2n - 1)(2n + 1)/3，偶数的平方和公式是2n(n + 1)(2n + 1)/3。
自然数的平方和公式推导过程
自然数的平方和公式推导过程好的，以下是为您生成的文章：在数学的奇妙世界里，自然数的平方和公式就像一把神奇的钥匙，能打开许多复杂问题的大门。
那这个公式到底是怎么来的呢？让咱们一起来瞧瞧。
记得我上中学那会，有一次数学考试，最后一道大题就是关于自然数平方和的。
当时我绞尽脑汁，在草稿纸上不停地写写画画，可就是找不到头绪。
看着时间一分一秒过去，心里那个着急呀！交卷铃声响起的时候，我只能无奈地交上了一份不太满意的答卷。
从那以后，我就下定决心，一定要把这个知识点弄明白。
咱们先来说说啥是自然数的平方和。
简单来讲，就是把 1 的平方、2 的平方、3 的平方……一直加到 n 的平方。
用数学式子表示就是 1² + 2² + 3² + …… + n² 。
要推导这个公式，咱们可以用巧妙的方法。
先假设有一个数列，它的通项公式是 n²。
咱们把这个数列的前 n 项和记为 Sₙ ，也就是 Sₙ = 1² + 2² + 3² + …… + n² 。
接下来，咱们可以利用已知的公式来帮助推导。
大家都知道，(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1 。
那咱们把 n 从 1 到 n 依次代入这个式子，得到：2³ = 1³ + 3×1² + 3×1 + 13³ = 2³ + 3×2² + 3×2 + 14³ = 3³ + 3×3² + 3×3 + 1……(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1把这些式子相加，左边就是2³ + 3³ + 4³ + …… + (n + 1)³ ，右边呢，一堆式子相加，整理一下会发现：(n + 1)³ = 1³ + 3×(1² + 2² + 3² + …… + n²) + 3×(1 + 2 + 3 + …… + n) + n因为 1³ = 1 ，1 + 2 + 3 + …… + n 这个咱们也有公式，是 n(n + 1)/2 。
n个连续自然数的平方和的推导
n个连续自然数的平方和的推导大家好，今天咱们来聊聊一个看起来挺高大上的数学题——n个连续自然数的平方和。
听起来挺复杂对吧？这个问题一点都不难，大家完全可以用轻松愉快的心态来解决它。
想象一下，咱们从1开始数，数到n。
然后，把每个数的平方都加起来。
你可能会想：“嗯，这不就是1² + 2² + 3² + … + n²嘛！我一算就知道了！”哈哈，别急，真要仔细算起来，可能还得用点小窍门。
今天就让我们一起用轻松的方式，跟着这个问题走一走，看看怎么从头到尾搞明白。
咱们来聊聊这个“平方和”是什么意思。
简单来说，平方和就是把一系列数（比如1、2、3、4、5）分别平方之后，再把它们加起来。
比如，1² + 2² + 3²，结果就等于1 + 4 + 9，也就是14。
你可能会想，这不就几个小数相加嘛，难道还需要复杂的公式？哈哈，表面上是这样，实际上，数学可不是只会看表面，它能让我们用很巧妙的方式，一下子就得出结果。
好了，那我们接着说，怎么样才有个规律，让咱们可以在不用逐个计算的情况下，直接算出n个连续自然数的平方和呢？数学家早就给我们找到了这种规律，嘿嘿！这个规律长这样：平方和 = ( frac{n(n+1)(2n+1){6 )。
是不是觉得好像有点眼花？不过没关系，我给你解释清楚，肯定不麻烦。
先别看这个公式吓人，咱们从头来。
n是你要加到的最大数。
比如说，如果你想算1到5的平方和，那n就等于5。
然后，n+1就是n之后的那个数；2n+1是2倍n再加1。
看到这个公式，你是不是就觉得，哦！这就是一个标准的乘法表达式？所以，大家别担心，搞定这个公式后，算出结果就像是拆开一盒糖果，一颗一颗都不难。
拿个例子来说吧。
假设咱们要算1到4的平方和。
按照咱们的公式，n=4，先来算算：4乘以(4+1)，就是4乘以5，得到20。
再乘以2乘以4再加1，就是2乘以4得8，再加1得9。
关于自然数平方和公式的十种证明方法
关于自然数平方和公式的十种证明方法潮阳区谷饶中学 张泽锋摘要：在《数列》的教学过程中，大家都能够熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：22221123=(1)(21)6n S n n n n =++++++，但涉及到如何进行推导证明，很多学生却无从下手。
为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和公式的十种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所创新。
关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法 方法一：观察、猜想、数学归纳法证明对于自然数平方和公式的证明，通过观察、分析，得出猜想：2222321n S n ++++= 应该是一个与n 有关的一个多项式，不妨设D n C n B n A S n +⋅+⋅+⋅=23，分别取4,3,2,1=n 时，得到：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0612131304166414392752481D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A)12)(1(6161213123++=++=∴n n n n n n S n下面利用数学归纳法进行证明：证明：（1）当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+=，左边=右边∴当1n =时，原式成立.（2）假设当)(+∈=N k k n 时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++成立，则当1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++左边 左边=右边 ∴当1n k =+时，原式也成立.∴由（1）、（2）可知，2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++对任意n N +∈ 都成立。
自然数平方和公式及证明
自然数平方和公式证明1：此式对于任何自然数n都成立。
依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。
因而我们得到。
现在这里对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2:设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。
D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=12 ，D=0，再用数学归纳法证明。
证明3:设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n=12 [12+ 22 + … + n 2]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -14n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1x,其中x 2的系数为C 3n+1 ,于是有12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)6关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 (222)2321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。
有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
自然数平方之和公式推导
自然数平方之和公式推导摘要：1.引言2.自然数平方和公式的推导过程3.结论正文：【引言】在数学领域，自然数平方和公式是一个非常有趣的公式。
它可以帮助我们计算前n 个自然数平方的和，从而为我们解决一些实际问题提供便利。
那么，如何推导自然数平方和公式呢？接下来，我们将详细地介绍自然数平方和公式的推导过程。
【自然数平方和公式的推导过程】我们先从最简单的情况开始，即当n=1 时，自然数平方和公式为：1^2 = 1当n=2 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5当n=3 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14通过观察以上例子，我们可以猜测自然数平方和公式的一般形式为：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = (1 + 2 + 3 +...+ n)^2现在，我们需要证明这个猜测。
为了证明这一点，我们可以使用数学归纳法。
首先，当n=1 时，等式成立：1^2 = (1)^2假设当n=k 时等式成立，即：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2我们需要证明当n=k+1 时等式仍然成立：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 + (k+1)^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k +(k+1))^2将等式右侧展开：(1 + 2 + 3 +...+ k + (k+1))^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2 + 2 * (1 + 2 + 3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2由于我们已经假设当n=k 时等式成立，所以：(1 + 2 + 3 +...+ k)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2因此，我们只需要证明：2 * (1 + 2 +3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+k^2 + (k+1)^2这可以通过数学归纳法证明。
连续自然数平方和公式推导
连续自然数平方和公式推导推导连续自然数数平方和公式有多种方法，今天我们主要用代数法和三角形数阵图法来推导连续自然数求和公式。
代数法推导过程：用代数法推导连续自然数求和公式，我们需要知道以下两个公式。
（1）连续自然数求和公式：这个公式很容易可以证明，就不再赘述。
(2)整数列项公式：对于这个公式，我们可以对每一项作如下拆分。
比如3✖️4=（3✖️4✖️5-2✖️3✖️4）➗33✖️4后面加一个因数5扩大5倍，前面加一个因数2扩大2倍，作减法后扩大3倍，因此后面除以3。
然后把每一项都作上述拆分并相加，相加后几乎所有项都可以抵消，只剩最小的第一项和最大的最后一项，因为第一项是0✖️1✖️2=0，因此省略。
得如上公式形式。
上述从1✖️2开始的整数列项如果用语言表述，就是最后一项后边添一项，然后再除以3.（3）推导过程：把每个平方数拆为两数相乘形式，并把其中一个因数写成一个数减1的形式，或一个数加1的形式。
比如3✖️3=3✖️（4-1）或3✖️3=3✖️（2+1）。
这两种形式选一种即可。
我们选择相减，拆分后如下。
1×(2-1)+2×(3-1)+3×(4-1)+…+n×[(n+1)-1]然后再把括号展开变为如下形式1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)-(1+2+3+4+…+ n)然后按照上面所讲的整数裂项公式和连续自然数求和公式求得结果如下最后通分相减得出公式：这个就是连续自然数求和公式的结果数阵图法推导过程看如下三角形数阵图这个数阵图每一行的和刚好是该行数字的平方，比如倒数第2行，2个2就是2的平方。
因此这个数阵图的所有数字和就是从1开始的连续自然数平方和。
下面我们对数阵图进行变形这三个数阵图的数字一样，只是排列方式不一样，你会发现这三个数阵相同位置的三个数字和都是2n+1,因此这三个数阵图的所有数字和是：(1+2+3+…+n)×(2n+1)。
关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法
关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L ，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。
在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。
方法一：数学归纳法当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立.当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立.假设n k =时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++L 成立， 则1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++L 左边 左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.∴对任意n N +∈，2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L 都成立。
数学归纳法步骤简单、计算方便。
但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n +++++L ,一步步把右边的1(1)(21)6n n n ++“从无到有”地推算出来的.方法二：观察规律法记22222212()12345,()12345S n n S n n =++++++=++++++L L发现规律 21()()3326S n S n ∴==⋅=方法三：代数推导法由公式33223()33a b a a b ab b +=+++，得33322333322332333223323332233233321(01)0301301112(11)131131111313113(21)232132112323214(31)33313311333331(11)(1)3(1)13(1)1n n n n n =+=+⨯⨯+⨯⨯+==+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=-+=-+⨯-⨯+⨯-⨯L23323321(1)3(1)3(1)1(1)331n n n n n n n +=-+⨯-+⨯-++=+++将以上n +1个等式累加，得：32222(1)3(123)3(123)1n n n n +=⨯+++++++++++L L22223(1)(1)(21)3(123)(1)3122n n n n n n n n +++∴⨯++++=+-⋅++=L22221123=(1)(21)6n n n n ∴++++++L方法四：巧用“1”法11(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=⨯+=+--⨯+=++--+Q122334(1)n A n n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+L 111[123012][234123][345234]333=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+1[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+L 1[1230122341233452343=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+L 11[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-⨯⨯=++2222123122334(1)(123)n n n n ∴++++=⨯+⨯+⨯+⨯+-++++L L L1(1)1(1)(2)(1)(21)326n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：构造法（利用组合公式11m m m n n n C C C -++=）22222223222342224522211124133936416610n n C C C C C C C n C C +====+=+==+=+==+=+=+L把上述n 个等式累加得：222222222232234111(1)(21)12342()26n n n n n n n n C C C C C C C ++++++++++=+++++=+=L L 方法六：平面几何法图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。
平方的和公式推导过程
平方的和公式推导过程咱们在数学的世界里溜达，经常会碰到各种各样的公式，其中平方的和公式那可是相当重要。
那这公式到底是咋来的呢？咱们一起来瞅瞅。
咱先来说说平方的和公式是啥，就是1² + 2² + 3² + …… + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 。
那它是咋推导出来的呢？咱们来一步步分析。
咱们先想想，如果要算 1 到 n 这几个连续自然数的平方和，是不是感觉有点头疼？那咱换个思路，从简单的开始。
比如说，咱们先算一下 (k + 1)³ - k³是多少。
展开一下，(k + 1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1 ，所以 (k + 1)³ - k³ = 3k² + 3k + 1 。
接下来，咱们让 k 从 1 取到 n ，把这些式子都加起来。
左边就是 2³ - 1³ + 3³ - 2³ + 4³ - 3³ + …… + (n + 1)³ - n³，一消，左边就剩下 (n + 1)³ - 1 。
右边呢，就是3×(1² + 2² + 3² + …… + n²) + 3×(1 + 2 + 3 + …… + n) + n 。
咱们先不看平方和这部分，先瞅瞅 1 + 2 + 3 + …… + n ，这个咱们知道，它等于 n(n + 1) / 2 。
把这个代到刚才右边的式子，整理一下，就能得到 3×(1² + 2² + 3²+ …… + n²) = (n + 1)³ - 1 - 3×n(n + 1) / 2 - n 。
再整理一下，就能求出1² + 2² + 3² + …… + n² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 ，这就是咱们要的平方的和公式。
(完整word版)自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…,n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n—1 + nn + n—1 + … + 2 + 1 （n+1）+(n+1)+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②,得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到:第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道,而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式.自然数平方和公式的推导与证明(一)12+22+32+…+n2=n（n+1）(2n+1）/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1）2+(n+2)2+(n+3)2+…+（n+n）2，此步设题是解题的关键，一另设：S1般人不会这么去设想.有了此步设题，=12+22+32+…+n2+(n+1）2+（n+2)2+（n+3)2+…+(n+n）2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1）2+(n+2）第一：S12+(n+3)2+…+（n+n)2可以展开为（n2+2n+12）+（ n2+2×2n+22) +（ n2+2×3n+32）+…+（ n2+2×nn+n2)=n3+2n（1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2,即=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)……………………………………………….。
连续自然数平方和的公式的推导过程
连续自然数平方和的公式的推导过程连续自然数平方和的公式的推导过程 1由 ( n + 1 ) 2 = n 2 + 2 n + 1 得 : ( n + 1 ) 2 − n 2 = 2 × n + 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 2 − 3 2 = 2 × 3 + 1. 3 2 − 2 2 = 2 × 2 + 1. 2 2 − 1 2 = 2 × 1 + 1. 由(n+1)^2=n^2+2n+1得: \\ \begin{aligned} (n+1)^2-n^2&=2\times n+1.\\\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots \\ 4^2-3^2&=2\times3+1.\\ 3^2-2^2&=2\times2+1.\\ 2^2-1^2&=2\times1+1.\\ \end{aligned} 由(n+1)2=n2+2n+1得:(n+1)2−n2⋯⋯⋯42−3232−2222−12=2×n+1.⋯⋯⋯⋯=2×3+1.=2×2+1.=2×1+1.求和以上式子 , 得 : 求和以上式子,得: 求和以上式子,得: ( n + 1 ) 2 − 1 2 = 2 ∑ i = 1 n i + n . n 2 + 2 n − n = 2 ∑ i = 1 n i . ∑ i = 1 n i = n 2 + n 2 = n ( n + 1 ) 2 . \begin{aligned} (n+1)^2-1^2&=2\sum_{i=1}^ni+n.\\ n^2+2n-n&=2\sum_{i=1}^ni.\\ \sum_{i=1}^ni&=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}.\end{aligned} (n+1)2−12n2+2n−ni=1∑ni=2i=1∑ni+n.=2i=1∑ni.=2n2+n=2n(n+1).连续自然数平方和的公式的推导过程 2由 ( n + 1 ) 3 = n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 得 : ( n + 1 ) 3 − n 3 = 3 × n 2 + 3 × n + 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 3 − 3 3 = 3 × 3 2 + 3 × 3 + 1. 3 3 − 2 3 = 3 × 2 2 + 3 × 2 + 1. 2 3 − 1 3 = 3 × 1 2 + 3 × 1 + 1. 由(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1得: \\\begin{aligned} (n+1)^3-n^3&=3\times n^2+3\times n + 1. \\\cdots\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdot s\cdots\cdots\cdots \\ 4^3-3^3&=3\times 3^2+3\times 3 + 1. \\ 3^3-2^3&=3\times 2^2+3\times 2 + 1. \\ 2^3-1^3&=3\times 1^2+3\times 1 + 1. \\ \end{aligned} 由(n+1)3=n3+3n2+3n+1得:(n+1)3−n3⋯⋯⋯⋯43−3333−2323−13=3×n2+3×n+1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=3×32+3×3+1.=3×22+3×2+1.=3×12+3×1+1.求和以上式子 , 得 : 求和以上式子,得: 求和以上式子,得: ( n + 1 ) 3 − 1 3 = 3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 × n 2 + n 2 + n . n 3 + 3 n 2 + 3 n = 3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 n 2 + 3 n 2 + n . n 3 + 3 n 2 + 2 n − 3 n 2 + 3 n 2 = 3∑ i = 1 n i 2 . 2 n 3 + 3 n 2 + n 2 = 3 ∑ i = 1 n i2 . ∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 .\begin{aligned} (n+1)^3-1^3&=3\sum_{i=1}^ni^2+3\times\frac{n^2+n}{2}+n. \\n^3+3n^2+3n&=3\sum_{i=1}^ni^2+\frac{3n^2+3n}{2}+n. \\ n^3+3n^2+2n-\frac{3n^2+3n}{2}&=3\sum_{i=1}^ni^2. \\\frac{2n^3+3n^2+n}{2}&=3\sum_{i=1}^ni^2. \\\sum_{i=1}^ni^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \\\end{aligned} (n+1)3−13n3+3n2+3nn3+3n2+2n−23n2+3n22n3+3n2+ni=1∑ni2=3i=1∑ni2+3×2n2+n+n.=3i=1∑ni2+23n2+3n+n.=3i=1∑ni2.=3i=1∑ni2.=6n(n+1)(2n+1).连续自然数平方和的公式的推导过程 3由 ( n + 1 ) 4 = n 4 + 4 n 3 + 6 n 2 + 4 n + 1 得 : ( n + 1 ) 4 − n 4 = 4 × n 3 + 6 × n 2 + 4 × n + 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 4 − 3 4 = 4 × 3 3 + 6 × 3 2 + 4 × 3 + 1. 3 4 − 2 4 = 4 × 2 3 + 6 × 2 2 + 4 × 3 + 1. 2 4 − 1 4 = 4 × 1 3 + 6 × 1 2 + 4 × 3 + 1. 由(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1得: \\\begin{aligned} (n+1)^4-n^4&=4\times n^3+6\timesn^2+4\times n+1.\\\cdots\cdots\cdots&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdot s\cdots\cdots\cdots\cdots \\ 4^4-3^4&=4\times3^3+6\times3^2+4\times3+1. \\ 3^4-2^4&=4\times2^3+6\times2^2+4\times3+1. \\ 2^4-1^4&=4\times1^3+6\times1^2+4\times3+1. \\ \end{aligned} 由(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1得:(n+1)4−n4⋯⋯⋯44−3434−2424−14=4×n3+6×n2+4×n+1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=4×33+6×32+4×3+1.=4×23+6×22+4×3+1.=4×13+6×12+4×3+1.求和以上式子 , 得 : 求和以上式子,得: 求和以上式子,得: ( n + 1 ) 4 − 1 4 = 4 ∑ i = 1 n i 3 + 6 × ∑ i = 1 n i 2 + 4 × ∑ i = 1 n i + n . n 4 + 4 n 3 + 6 n2 + 4 n = 4 ∑ i = 1 n i3 + 2 n 3 + 5 n 2 +4 n . n 4 + 2 n 3 + n 2 = 4 ∑ i = 1 n i 3 . 4 ∑ i = 1 n i 3 =n 2 ( n 2 + 2 n + 1 ) . ∑ i = 1 n i 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 . \begin{aligned} (n+1)^4-1^4&=4\sum_{i=1}^ni^3+6\times\sum_{i=1}^ni^2+4\times\s um_{i=1}^ni+n.\\n^4+4n^3+6n^2+4n&=4\sum_{i=1}^ni^3+2n^3+5n^2+4n.\\n^4+2n^3+n^2&=4\sum_{i=1}^ni^3.\\4\sum_{i=1}^ni^3&=n^2(n^2+2n+1).\\\sum_{i=1}^ni^3&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left[\frac{n(n+ 1)}{2}\right]^2.\\ \end{aligned}(n+1)4−14n4+4n3+6n2+4nn4+2n3+n24i=1∑ni3i=1∑ni3=4i=1∑ni3+6×i=1∑ni2+4×i=1∑ni+n.=4i=1∑ni3+2n3+5n2+4n.=4i=1∑ni3.=n2(n2+2n+1).=4n2(n+1)2=[2n(n+1)]2.。
自然数平方和公式
自然数平方和公式
关于自然数平方和公式，首先有必要了解一下自然数平方和的定义。
自然数平方和是指把平方数的和在有限的自然数N中，对这N个数分别求其平方和，即把自然数1、2、3...N的平方和，其公式为：
S = 1^2 + 2^2 + ... + N^2 = (1+2+…+N)^2
根据公式，有如下几种计算方法：
1. 等差数列求和法：Sn=n(n+1)(2n+1)/6
2. 等差数列求积法：Sn=(n+1)(2n+1)(3n+2)(n!)/30
3. 二次项积分法：Sn=n^3/3+ n^2/2+n/6
4. 数值积分法：Sn=2*Σn(i-1)^2*h(i)
最后，借此可以用自然数平方和公式解决许多经典的数学问题，比如两边的数的平方和等于一边的数的平方、数的立方和等，增加了算法的深度，也提高了计算的效率，为后边的科学研究打下坚实的基础。
自然数平方和公式推导
我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4……n n …… n这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：1 1 1 (1)2 2 2 (2)3 3 3 (3)4 4 4 (4)……n n n …… n这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我们补上的数字是哪些呢？1 1 1 …… 1 (n-1)个的12 2 …… 2 (n-2)个的23 …… 3 (n-3)个的3………n-1又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。
而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2=S(n-1)/2+(n-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一种经典的方法设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。
1~n连续自然数的平方求和公式是什么，怎么证明？
1~n连续自然数的平方求和公式是什么，怎么证明？
从1开始到n连续自然数平方求和公式：n(n+1)(2n+1)/6。
我是王老师，专注于小学数学！这个公式在小学阶段只要会灵活运用即可，不需要去了解公式推导过程，记忆这个公式也比较容易，第三项为前两项和。
本着知其然更要知其所以然，今天王老师带大家了解下公式推导的方法。
公式推导
关于平方求和公式，推导方法还是很多，我选个最容易理解的吧。
① 公式推导模型~数形结合
三个相同三角形数列①②③。
数列① 1²，2²，3²，…n²排列
数列的数和即为所求。
→ ①绕三角形中心顺时针旋转120°得到②
→ ②顺时针旋转120°得到③。
② 观察数列
三个三角形数列每个对应位置数字和都为2n+1。
如图三种颜色圈之和。
我们只要求出每个三角形数列有多少位置，就有多少2n+1
→位置数：1+2+3+4+…+n
等差数列求和公式→ 位置数：(n+1)n÷2
3个三角形数列总和：n(n+1)(2n+1)/2
每个三角形数列和：n(n+1)(2n+1)/6
1²+2²+3²+…+ n²=n(n+1)(2n+1)/6。
公式应用。
平方和通项公式
平方和通项公式平方和通项公式是指将连续的自然数的平方进行求和时得到的通项公式。
设要求的连续自然数为1到n的平方和，表示为S。
则平方和通项公式可以表示为：S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = (n * (n + 1) * (2n + 1)) / 6其中，n代表自然数的上限。
这个公式可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们可以验证当n=1时，公式成立。
假设当n=k时，公式成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = (k * (k + 1) * (2k + 1)) / 6接下来，我们来验证当n=k+1时，公式是否成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k + 1)^2根据归纳假设，我们将k带入公式中：= [(k * (k + 1) * (2k + 1)) / 6] + (k + 1)^2= [(k^3 + 3k^2 + 2k) / 6] + (k^2 + 2k + 1)= [(k^3 + 3k^2 + 2k) + 6(k^2 + 2k + 1)] / 6= [(k^3 + 3k^2 + 2k + 6k^2 + 12k + 6) / 6]= [(k^3 + 9k^2 + 14k + 6) / 6]= [(k + 1) * (k + 2) * (2k + 3)] / 6= [(k + 1) * ((k + 1) + 1) * (2(k + 1) + 1)] / 6= [(k + 1) * (k + 2) * (2k + 3)] / 6= (k + 1) * ((k + 1) + 1) * (2(k + 1) + 1) / 6可以看出，当n=k+1时，公式也成立。
因此，根据数学归纳法，平方和通项公式成立。
通过使用平方和通项公式，我们可以更快速地计算给定范围内连续自然数的平方和。
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我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
……
n n …… n
这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和
接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n
这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用
如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求
1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢
注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：
1 1 1 (1)
2 2 2 (2)
3 3 3 (3)
4 4 4 (4)
……
n n n …… n
这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2
而我们补上的数字是哪些呢？
1 1 1 …… 1 (n-1)个的1
2 2 …… 2 (n-2)个的2
3 …… 3 (n-3)个的3
………
n-1
又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。
而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，
最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于
(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]
将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得
T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2
=S(n-1)/2+(n-1)*n/4
=S(n-1)/2+n2/4-n/4
也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)
=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4
=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①
因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2
可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到
S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2
3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4
3S(n)=n3+3n2/2+n/2
S(n)=n3/3+3n2/6+n/6
上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6
另外一种经典的方法
设：S=12+22+32+…+n2
另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。
有了此步设题，第一：
S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)
+( n2+2×3n+32)+...+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+...+n)+ 12+22+32+...+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)
第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：
S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：
22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+
(22×n2-2×2×n+1)2
=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3
)
由(2)+ (3)得：
S1=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)
由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位
自然数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一
位自然数。
由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
设S=13+23+33+...+n3. (1)
有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+...+13 (2)
由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13
=(n+1)(n2-n+1)
+
(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)
+
(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)
+
.
.
.
+
(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)
即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n
(n-n+1)] (3)
由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：
2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)] =(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+...+(n-1)2+1 +2+...+ (n-1)] (4)
由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：
2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2
=n2(n+1)2/2
即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4
结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。
自然数偶数立方和公式推导
设S=23+43+63+…+(2n)3
有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2
结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。
自然数奇数立方和公式推导
设S=13+23+33+…+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+…+ (2n)3+13+33+53…+ (2n-1)3=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3
移项得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2=n2(2n2-1)
结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，
即n的取值。