求连续自然数平方和的公式精品

求连续自然数平方和的公式

前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中, 也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式：

12+ 22+ 3一+ n2二

n(n 1)(2n 1)

6

这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。

首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表:

n 1 2 3 4 5 r\6

1 +

2 + 3+^+ n 1

3 6 10 15 21

12+ 22+ 32+…+ n2 1 5 14 30 55 91

然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数

,2 小2小2 2

1 2 3

n

n—-------------------- ，

1 2 3 n

既然人=匚上

3------- ，而它的通项公式是•红」，于是大胆猜想

1 2 3 n 3

2 2 2 2

1 2 3 n 2n 1

------------- = ----- 。

1 2 3 n 3

因为分母1+2+ 3+…+ n= n(n 1)，所以

2

2 2 2 2

1 2 3 n 2n 1

------------- = ----- 。

n(n 1) 3

2

再根据表中的数据，算出分数A的值，列出下表:

3

由此得到

1

2+ 22 + 32...+ n 2

= n(n 1) % 2n 1 = n(n 1)(2n 1)。

2

3

6

。

用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续 自然数平

方和的公式。

这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了 “猜 想一证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心 求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。

这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、 类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。

,2

小2 亠2

1 +

2 +

3 …+

n(n 1)(2 n 1) 。