龚政辉-RS码及其编译码算法

RS码及其编译码算法指导教员：雷 菁姓 名：龚 政 辉第一章 引言本文介绍符号取自)GF里的里德-所罗门码（Reed-Solomon(qCode，以下简称RS码)。

RS码是非二进制BCH码的一个最常用的子类，而BCH码是大家所熟悉的。

虽然RS码属于BCH码，但是它却是由Reed和Solomon于1960年采用完全不同的方法独立构造出来的。

RS码的最小距离等于它的奇偶校验符号数加一。

RS码在纠正随机符号错误和随机突发错误方面非常有效，因此被广泛应用于通信和数据存储系统中以便进行差错控制，应用领域涵盖从深空通讯到高密度磁盘等多方面。

以RS码作为外码，简单二进制码作为内码的级联方式在降低译码复杂度的同时，能够提供很高的数据可靠性。

但与二进制BCH码不同，RS码的译码需要同时确定符号错误的的位置和取值，所以它的译码更为复杂而编码算法是大体一致的。

第二章 循环纠错码的基本理论2.1 有限域(Galoias 域)基本概念及相关结论有限域(Galoias 域)就是域中元素的个数是有限的，元素的个数称为域的阶。

q 阶有限域，用()GF q 表示。

如果q 为一个素数，则集合{}0,1,2,,1q − 在模q 加法和乘法下，构成一个q 阶有限域()GF q 。

有限域在编码理论中具有重要的地位，下面给出Galoias 域的几个基本概念和相关结论。

定义1 在域()GF q 中，满足0ne =的最小正整数n 称为域的特征，e 为域的单位。

定义2以q 为特征的域是()m GF q ，1,2,m =…，称()GF q 是()m GF q 的基域，()m GF q 为()GF q 的扩域。

域中一切非零元素的特征都等于域的特征，且域的特征一定为素数。

非零元素构成的乘法群的阶定义为域中该元素的级。

若α为域()GF q 中的n 级元素，则称α为n 次单位原根。

若某一元素α的级为1q −，则称α为本原域元素。

域的特征表明了域中加法运算的循环性，而域的级则表明了域中乘法运算的循环性。

下面给出几个有限域的相关结论。

定理1在()GF q 中，每一个非0元素均满足110q x −−=。

定理2在特征为q 的域中，恒有()q q q x a x a −=−，式中，a 是域中的任一元素。

定理3有限域()GF q 中的1q −个非零元素构成一个循环群，它其中至少有一个本原元，它的其它元素分别为这个本原元的j 次幂构成0,1,,2j q =− 。

2.2 有限域上的多项式有限域GF(q)上的n 次多项式定义为：1110(),()0,1,2,,n n n n i f x f x f x f x f f GF p i n −−=++++∈= … (2.1)定理4给定任意两个多项式(),()f x g x 为()GF q 上的多项式，一定存在有唯一的多项式()q x 和()r x 使()()()()0()()()0f x q x g x r x r x g x or r x =+≤∂<∂= (2.2) 定义3 设()f x 是次数大于零的多项式，如若除了常数和常数本身的乘积以外，再不能被域()GF q 上的其它多项式除尽，则称()f x 为域()GF q 上的既约多项式。

定理5 每一个首一多项式()f x 必可分解为首一既约多项式之积，并且当不考虑因式的顺序时，这种分解是唯一的，即：1212()()()()s i f x p x p x p x ααα= (2.3) 式中，()i p x 为首一既约多项式，i α是某一正整数，1,2,,i s = 。

定义4 若()(),(),,()f x g x k x 是同时除尽多项式(),(),,()f x g x k x 的次数最高的首一多项式，则称()(),(),,()f x g x k x 是(),(),,()f x g x k x 的最大公因式，用()(),(),,()f x g x k x 表示之。

定理6多项式的欧几里德算法()(),()()()()()f x g x A x f x B x g x =+ (2.4) 式中()()0()()(),()0()()(),()A x g x f x g x B x f x f x g x ≤∂<∂−∂≤∂<∂−∂定义5若()GF q 上的多项式上()a x 、()b x 被同一多项式()f x 除时有相同的余式：12()()()()0()()()()()()a x q x f x r x r x f x b x q x f x r x =+≤∂<∂=+ (2.5)则称()a x 、()b x 关于()f x 同余，记为()()()mod ()a x b x f x ≡ (2.6) 定理7若(0)n >次首一多项式()f x 在域()GF q 上既约，则由模()f x 所组成的多项式剩余类环是一个有n q 个元素的有限域()n GF q 。

定理8 设()f x 为()GF q 上的多项式，若q 特征域的的元素ω是方程()0f x =的根，则对于一切自然数n 、nq ω也必是()f x 的根。

定义6系数取自()GF q 上，且以()m GF q ω∈为根的所有首一多项式中，必有一个次数最低的，称它为ω的最小多项式。

定理9在q 特征有限域中的每一个元素ω，皆存在有唯一的最小多项式，记为()m x ，则它具有如下性质：(1)()m x 在()GF q 域上既约；(2)若()f x 也是21,,,,m p p p ωωωω− 上的多项式，且()0f ω=，则()|()m x f x 。

定理10 设ω为q 特征有限域()m GF q 中的n 级元素，而m 是q 关于模n 的方次数，则ω的最小多项式()m x 是m 次多项式，且10()()im p i m x x ω−==−∏ (2.7)定义7元素ω的最小多项式的次数，称ω为m 次域元素。

定义8系数取自()GF q 上的以()m GF q 中本原域元素为根的最小多项式，称为本原多项式。

定理11 若ω是q 特征有限域F 上的m 次域元素，则()GF q 上的次数小于m 的、ω的多项式的全体构成域F 上的m q 阶子域。

由于有限域的阶必是其特征的幂，而有限域的特征必是素数q 的幂m q 。

因此，若有一素数q ，则一定可以从()GF q 的多项式中选出一个m 次既约多项式()p x ，以它构造出一个m q 阶有限域()m GF q 。

并且该域包含了()GF q 上所有m 次既约多项式的全部根。

如果把()p x 的一个根称为α，则由定理11，可把m q 阶有限域中的每一个元素，表示成系数在()GF q 上且次数低于m 的α多项式。

2.3 BCH 码自1950年汉明发表了纠正单个错误的码以来，几乎过了10年的时间，才于1959年由霍昆格姆 (Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和雷一查得胡里 (Ray-Chaudhuri)分别提出了纠正多个随机错误的循环码——BCH 码的构造方法。

BCH 码是目前所发现的一类很好的线性纠错码类，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便，编码简单。

特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。

BCH 码是迄今为止研究得最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。

BCH 码的定义：给定任一有限域()GF q 及其扩域()m GF q ，其中，q 是素数或素数的幂，m 为某一正整数。

若码元取自()GF q 上的一循环码，它的生成多项式()g x 的根集合中含有以下1δ−个连续根：{}00012,,,m m m R δααα++−⊇ (2.8) 时，则由()g x 生成的循环码称为q 进制BCH 码。

其中，()m GF q α∈是域中的n 级元素，0()(02)m i m GF q i αδ+∈≤≤−，0m 是任意非负整数。

如果生成多项式()g x 的根中，有一个()m GF q 域中的本原域元素，则1m n q =−，称这种码长1m n q =−的BCH 码为本原BCH 码；否则，称为非本原BCH 码。

()m GF q 中元素的级一定是1m q −的因子。

2.4 RS 码RS 码是一类有很强的纠错能力的码，是二进制BCH 码的多进制推广，也是一种典型的代数几何码，它首先由里得(Reed)和索洛蒙(Solomon)应用MS 多项式于1960年构造出来的，所以称为Reed-Solomon 码，简称RS 码。

RS 码的定义：()(2)GF q q ≠上，码长1N q =−的本原BCH 码称为RS 码。

RS 码是符号域和根域相一致的BCH 码。

长为1N q =−，设计距离为δ的RS 码，生成多项式00012()()()()m m m g x x x x δααα++−=−−− (2.9) 其中0m 是任意非负整数，α为()GF q 上的本原域元素。

由此生成了一个q 进制的[1,]q q δ−−RS 码，有最小距离δ。

RS 码最小距离等于校验元的个数加1，所以也称RS码为极大最小距离可分码，简称MDS 码。

任何一个()n k RS码，对任何k个符号位置，将只有一GF q上的(,)个与这个位置内k q种符号组合之一相对应的码字。

第三章 RS 码编码算法及其高速化 常用的RS 码编码方法可采用乘法电路或者除法电路来实现。

采用乘法电路编出的码为非系统码，而采用除法电路编出的为系统码。

因此，本文将只介绍用除法电路实现的系统码的典型编码算法。

这种算法实现结构简单，但需要全局时钟信号，因此限制了编码速度。

脉动(systolic)RS 编码算法，不需要全局时钟信号，可以实现高速编码。

因此，本章也将会对这种算法进行分析。

3.1 除法电路实现的RS 系统码典型编码算法设(2)m GF 域上的待编码的信息矢量为()120,,,k k m m m −− ，可用多项式表示为如下的形式：121210()k k k k m x m x m x m x m −−−−=++++ (3.1)首先确定(2)m GF 上的一个本原域元素α，构成生成多项式： 000121()()()()m m m t g x x x x ααα++−=−−− (3.2) 其中，t 为设计的纠错符号个数，0m 为任意非负整数。

把2()t x m x 除以()g x ，所得余式是一个次数小于等于21t −次多项式()r x ，计算式如下：()2()()mod ()t r x x m x g x ≡ (3.3) 于是2()()()t C x x m x r x =−能被()g x 整除，故是一个码多项式。

这样的RS 码字中，信息集中在码字的高k 位，称这种码为系统RS 码。