沪科版九年级上二次函数的图象和性质
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第2课时二次函数y=a(x+h)_的图象和性质课件沪科版九年级上册数学
预习导学
归纳总结 抛物线y＝a(x＋h)2与y＝ax2形状相同，位置不同，
y＝a(x＋h)2是由y＝ax2 左右 平移得到的，结合上节课所学
内容可知二次函数图象的平移规律:左 加
下
减
.
右
减
，上 加
预习导学
1.将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次
函数的表达式为 (
D )
A.y＝x2－1
到新的图象的函数表达式是( D )
A.y＝x2＋3
B.y＝x2－3
C.y＝(x＋3)2
D.y＝(x－3)2
合作探究
2.已知二次函数y＝3(x＋1)2的图象上有三点A(1，y1)、
B(2，y2)、C(－2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系为( B
A.y1＞y2＞y3
B.y2＞y1＞y3
C.y3＞y1＞y2
D.y3＞y2＞y1
)
合作探究
3.已知抛物线y＝2(x－3)2，请解答下列问题.
(1)试说明此抛物线是由抛物线y＝2x2怎样平移得到的.
(2)请写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(3)请写出y随x的变化规律.
(4)求该函数的最大值或最小值.
合作探究
解:(1)抛物线y＝2x2向右平移3个单位得到抛物线y＝2(x－
第21章 二次函数与反比
例函数
21.2 二次函数的图象和性质
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和
性质
素养目标
1.通过视察二次函数y＝a(x＋h)2的图象，理解其性质.
2.掌握二次函数y＝a(x＋h)2与y＝ax2的变换关系.
沪科版九年级上 数学课件21.2.1二次函数图象与性质(演示)(24张PPT)
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
y = x2
10
8
6
4
2 1
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4x
-2
（3）用平滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
活动 (“几何画板”绘图呈现) 1、在同一坐标系画出函数y=x2与y=-x2的图象。 2、在同一坐标系画出函数y=2x2与y=-2x2的图象 3、将所画的四个函数的图象做比较，你能发现什么 呢？
（小组合作，组间评比）
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
根据函数的图象通过表格对比以上四个函数特点：
（表格的对比可以使学生更直接的找出四个函数的 相同点和不同点，降低学生对函数性质的理解难度）
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
思考： 你能归纳二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质吗？ （分组讨论，师生共同归纳）
2．类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质
归纳： 如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
3．巩固练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1） y 3x2； 开口向上、y 轴、原点．
（2） y3x2； 开口向下、y 轴、原点． （3） y 1 x 2 ； 开口向上、y 轴、原点．
3 （4） y 1 x2．开口向下、y 轴、原点．
3
3．巩固练习
沪科初中数学九上《21.2 二次函数的图象和性质》PPT课件 (9)
二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
c>0
c<0
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是(-1,0);对称轴
的增大而减小.当x=1时,函数
是直线:x=-1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x2
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12 27 12 3 0 3 12 27
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
y 3x2
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y 3x 12
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y 3x2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
c>0
c<0
开口向上
c>0 c<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
顶点是(-1,0);对称轴
的增大而减小.当x=1时,函数
是直线:x=-1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=-1)的左侧,当x<-1时, y随 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
着x的增大而增大;在对称轴 (x=-1)右侧,当x>-1时, y随着 x的增大而减小.当x=-1时,函 数y的值最大(是0).
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3x2
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12
27 12 3 0 3 12 27
y 3x 12 27 12 3 0 3 12 27
1. 函 数 y=3(x+1)2 的 图 象
y 3x2
与 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的 图 y 3x 12
(3)函数y=3(x-1)2的图象 与 y=3x2 的 图 象 有 什 么 关 系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别 是什么?
y 3x2
y 3x 12
二次函数y=3(x-1)2
沪科版九上数学二次函数的图象和性质
3. 连线：如图，再用平滑曲线 顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口 向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减
y 9
6
3
-4 -2O 2 4 x 双击演示
操作
当取更多个点时，函
y
数 y = x2 的图象如下： 9
对称轴与抛物线的交
6
点叫做抛物线的顶点
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
3
对称轴.
-3 o 3
x
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过
顶点是 (0，0) .
典例精析
例1 已知 y = (m + 1)xm2 + m 是二次函数，且其图象开口 向上，求 m 的值和函数解析式.
m + 1＞0， ① 解：依题意有
m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2.
1. y＝x2 是一条抛物线；
y y = x2
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
o
x
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下；
y o
x
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
a＞0 y
Ox
a＜0 y
Ox
开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0 在对称轴左侧递减
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质PPT课件(沪科版)
九年级数学沪科版·上册
第二十一章 二次函数与反比例函数
21.2.3 二次函数y=a（x+h）2的图象和性质
教学目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x+h)²的图象； 2.掌握形如y=a(x+h)²的二次函数图象的性质，并会应用； （重点） 3.理解y=a(x+h)²与 y=ax²之间的联系.（难点）
2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
y
y = 2x2
y＝2(x-2)2
函 数 y=2(x-2)2 的 图 象 是
由函数y=2x2的图象向右 平移2个单位得到.
O2 x
课堂小结
复习
y=ax2+k
探索y=a(x+h)2 的图象及性质
图象的画法
描点法 平移法
y=ax2
图象的特征
h＞0沿x轴方向向左平移∣h∣个单位 h＜0沿x轴方向向右平移∣h∣个单位
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.
思考：二次函数 y = a﹙x-h﹚²(a≠0)的图象和性质,以及与 y=ax²(a≠0)的联系与区分.
新知探究
例1 画出二次函数y 1 x 12 , y 1 x 12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
随堂小测
4．已知二次函数y=a(x-h)2 ，当 x=2时有最大值，且此函数的图象 经过点 (1，-3)，求此二次函数的关系式，并指出当 x为何值时， y 随 x的增大而增大．
解：根据题意得y=a（x﹣2）2， 把（1，﹣3）代入得a=﹣3， 所以二次函数表达式为y=﹣3（x﹣2）2， 因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
九年级数学上册第21章第4课时二次函数y=ax^2 bx c的图象和性质习题课件新版沪科版ppt
1 2
,y2),(3 1
2
,y3),则y1,y2,y3的大小关系为
y1＜y2＜y3 ．
9.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3. (1)求抛物线的顶点及与x轴交点的坐标； 解：(1)它与x轴的交点为(－1,0),(3,0),顶点为(1,4)．
(2)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小？ (2)x＞1时,y的值随x值的增大而减小．
知识点四 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax2的关系
10.(2018·广西)将抛物线y＝1 x2－6x＋21向左平移2个单位长度后,得到新抛 2
物线的表达式为( D )
A. y＝12 (x－8)2＋5 B. y＝1 (x－4)2＋5
2
C. y＝1(x－8)2＋2
2
D. y＝1(x－4)2＋3
2
A.图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x＜0时,y的值随x值的增大而减小 D. y的最小值为－3
8.(1)如图,抛物线的顶点是P(1,3),则函数y随自变量x的增大
而减小的x的取值范围是 x＞1 ；
(2)小颖在二次函数y＝2x2＋4x＋5的图象上找到三点
(－1,y1),(
解：(2)△ABM是直角三角形,且∠BAM＝90°.理由如下：作BC⊥x轴 于点C.∵点A的坐标为(－1,0),点B的坐标为(2,3),∴AC＝BC＝3, ∴∠BAC＝45°.∵点M是抛物线y＝x2－1的顶点,∴点M的坐标为(0, －1),∴OA＝OM＝1.∵∠AOM＝90°,∴∠MAC＝45°,∴∠BAM＝ ∠BAC＋∠MAC＝90°,∴△ABM是直角三角形．
11.(2018·德州)如图,函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数,且a≠0)在同 一平面直角坐标系的图象可能是( B )
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
04:09
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第5课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。
教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.二次函数的图象和性质的推导和证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。
3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学PPT或投影片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。
《二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质》PPT课件
向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝12(x＋1)2－1 的图象． (1)试确定 a，h，k 的值；
解：由题意，得 a＝12，h＝－1，k＝－5.
能力提升练
(2)指出二次函数 y＝a(x＋h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标．
解：∵二次函数表达式为 y＝12(x－1)2－5， ∴图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
②对称轴为直线 x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确结论的个数为( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
基础巩固练
7．已知二次函数 y＝(x－m)2－1，当 x≤1 时，y 随 x 的增大而减 小，则 m 的取值范围是__m_≥__1___．
(3)当 x 取何值时，函数取最值？并求出此时的最值．
解：当x＝4时，函数取最小值，为－27.
能力提升练
9．[2019·桐城二中月考]如图，抛物线对应的函数表达式为 y＝ －2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( A ) A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＞0，k＜0 D．h＜0，k＜0
素养核心练 即－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得 m＝2； 当－2≤m≤1 时，∵－2≤x≤1，∴当 x＝m 时，y 取得最大值， 即 m2＋1＝4，解得 m＝－ 3或 3(不合题意，舍去)； 当 m＜－2 时，∵－2≤x≤1， ∴当 x＝－2 时，y 取得最大值，即－(－2－m)2＋m2＋1＝4， 解得 m＝－74(不合题意，舍去)． 综上所述，实数 m 的值为 2 或－ 3.
能力提升练 (2)已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，
求点 M 的坐标． 解：①当 MA＝MB 时，M(0，0)； ②当 AB＝AM 时，M(0，－3)； ③当 AB＝BM 时，M(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)． 所以点 M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 2)或 (0，3－3 2)．
解：由题意，得 a＝12，h＝－1，k＝－5.
能力提升练
(2)指出二次函数 y＝a(x＋h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标．
解：∵二次函数表达式为 y＝12(x－1)2－5， ∴图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
②对称轴为直线 x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确结论的个数为( C ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
基础巩固练
7．已知二次函数 y＝(x－m)2－1，当 x≤1 时，y 随 x 的增大而减 小，则 m 的取值范围是__m_≥__1___．
(3)当 x 取何值时，函数取最值？并求出此时的最值．
解：当x＝4时，函数取最小值，为－27.
能力提升练
9．[2019·桐城二中月考]如图，抛物线对应的函数表达式为 y＝ －2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( A ) A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＞0，k＜0 D．h＜0，k＜0
素养核心练 即－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得 m＝2； 当－2≤m≤1 时，∵－2≤x≤1，∴当 x＝m 时，y 取得最大值， 即 m2＋1＝4，解得 m＝－ 3或 3(不合题意，舍去)； 当 m＜－2 时，∵－2≤x≤1， ∴当 x＝－2 时，y 取得最大值，即－(－2－m)2＋m2＋1＝4， 解得 m＝－74(不合题意，舍去)． 综上所述，实数 m 的值为 2 或－ 3.
能力提升练 (2)已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，
求点 M 的坐标． 解：①当 MA＝MB 时，M(0，0)； ②当 AB＝AM 时，M(0，－3)； ③当 AB＝BM 时，M(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)． 所以点 M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 2)或 (0，3－3 2)．
沪科版九上数学1 二次函数的图象和性质
抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)，顶
点是抛物线的最高点；
y
O
-3
3x
增减性相同： 当x<0时，y
随x增大而增大；当x>0时，
-3
y随x增大而减小.
-6
a值越小，抛物线的
开口越小．
开口都向下；
-9
对称轴都是y轴；
y=-x2
y=-2x2 y 1 x2 2
状元成才路
小 结状元成才路
1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质:
D
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC， 求点D的坐标.
D （2，2） （4，0）
状元成才路
状元成才路
解：（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
2 0
2a b， 4a b
a b
-1， 4
∴直线AB的函数表达式为：y=-x+4.
轴及顶点坐标.
4
y
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为 y轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线 y 1 x2的开口向下，对 4
称轴为y轴，顶点坐标（0，0）.
O
x
y
O
x
状元成才路
状元成才路
4. 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
y 1 x2; y 1 x2.
3
3
y
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y
y=2x2 y 1 x2
8
2
6
4
a值越大，抛物线的
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计1一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。
这部分教材主要介绍二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。
教材通过例题和练习题帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有一定的了解。
但是，学生可能对二次函数的图象和性质的概念和规律还不够清晰，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。
2.过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳二次函数的图象和性质，培养数形结合的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强对数学学习的信心和兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质的概念和规律。
2.教学难点：开口方向、对称轴、顶点、增减性的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题和情境，引发学生的兴趣和思考，引导学生观察和分析二次函数的图象和性质。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析和归纳，自主发现二次函数的图象和性质的规律。
3.练习法：通过适量的练习题，巩固学生对二次函数的图象和性质的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质的实例和规律。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次函数的图象和性质的概念。
例如，可以提出一个关于抛物线的问题，让学生思考抛物线的开口方向和顶点位置。
2.呈现（15分钟）教师通过课件展示一些二次函数的图象，让学生观察和分析开口方向、对称轴、顶点等特征。
同时，教师引导学生通过观察和分析，归纳出二次函数的增减性规律。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
沪科版九年级上册二次函数总复习课件PPT
1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 （1）∵a= — 2 >0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0 c=0 c<0
b x=- 2a
0
•
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x
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
题型分析:
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） 前进 ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
(四)二次函数综合应用
1 2 3 已知二次函数 y= — x +x— 例 5： 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 前进
沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数21
平移 3 个单位，那么在新坐标系下抛物线的表达式为
（C ）
A．y＝2(x－3)2
B．y＝2x2－3
C．y＝2(x＋3)2
D．y＝2x2＋3
自主学习
基础夯实
整合运用
思维拓展
第 16 页
九年级 数学 上册 沪科版
9．平行于 x 轴的直线与抛物线 y＝a(x＋2)2 的一个交点坐标为(1，2)，
则另一个交点坐标为
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思维拓展
第 22 页
九年级 数学 上册 沪科版
解：∵S▱ ABCD＝12，∴BC·OA＝12，即 6OA＝12，∴OA＝2， ∵AD＝BC＝6，∴A(0，2)，D(6，2)， 由抛物线的对称性，得点 C(3，0)， ∴设函数表达式为 y＝a(x－3)2，将 A(0，2)代入，得 a＝29， ∴函数表达式为 y＝29(x－3)2.
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第 13 页
九年级 数学 上册 沪科版
6．将抛物线 y＝x2 平移得到抛物线 y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的
是
（A ）
A．向左平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位
C．向上平移 2 个单位
D．向下平移 2 个单位
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15．如图所示，抛物线 y1＝ 3(x＋1)2 的顶点为 C，与 y 轴的交点为 A， 过点 A 作 y 轴的垂线，交抛物线于另一点 B. (1)求直线 AC 的表达式 y2＝kx＋b； (2)求△ABC 的面积； (3)当自变量 x 满足什么条件时，有 y1＞y2?
沪科版九年级数学上册《二次函数y=a(x+h)2的图象和性质》课件
1．(4 分)抛物线 y＝21(x＋2)2 的开口向_上___， 对称轴是___x_＝__－__2___，顶点坐标是_(4 分)将抛物线 y＝2(x－1)2 向左平移 1 个单位后得到的新抛物线 的关系式为_y__＝__2_x_2 __．
3．(4 分)把抛物线 y＝x2 向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表
8．(4 分)在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－32(x－ 1)2 的图象大致是( D )
9．(8 分)已知抛物线 y＝a(x－h)2 的对称轴为 x＝－2，且过点(1，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)画出函数的图象； (3)从图象上观察，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时， 函数有最大值(或最小值)? 解：(1)y＝－13(x＋2)2 (2)略 (3)当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x＝－2 时函数有最大值 0
x___＜__－__h___ 时，y随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最___小__值___＝__0__；当a＜0时，抛物
线的开口向__下__，当x___＜__－__h__时，y随x的增大而增大，当x__＞__－__h__时，y 随x的增大而减小，当x＝_－__h_时，y最_大__值___＝__0__．
21.2.2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质
1．抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是__x_＝__－__h__，顶点坐标是__(－__h_，__0_)_，当a ＞0时，抛物线的开口向上____，当x___＞__－__h___时，y随x的增大而增大；当
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当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
当x=0时,最. 大值为0.
看图说话
驶向胜利
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 的彼岸
y
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是
y=ax2当a=±1时的
着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外).
(2)抛物线
在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为
,所以点B（-1 ，-4）
?
不在此抛物线上. （3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
知道就做别客气
驶向胜利 的彼岸
1.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是 y轴 , 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧,y随
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴 右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
范例研讨，运用新知
驶向胜利 的彼岸
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
0
x
？
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大
沪科版九年级上二次函 数的图象和性质
2020/9/22
复习旧知
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是_____ ． 特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是_____ ． (2)描点法画出一次函数的步骤，分为_____ ，_____ ，_____ 三个步骤． (3)我们把形如_____ 的函数叫做二次函数．
描点,连线 y 10
8
6
4
2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 -2
y=x2
2 3 4x
观察图象,回答问题
y
10
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
8
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什 么?请你找出几对对称点,并6与同伴交流. (3)图象 与x轴有交点吗？如4 果有,交点坐标是什么? (4)当x<0时,随着x的值增大2,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最1 小?最小值是什么？你是如何 知道的？-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
0
特殊例子.a的符号
确定着抛物线的
……
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称 轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开 口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开 口向下,并且向下无限伸展.
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
在学中做—在做中学
驶向胜利 的彼岸
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
-2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出猜想
吗？
描点,连线
y 2
驶向胜利 的彼岸
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
观察图象,回答问题
描点,连线
驶向胜利 的彼岸
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律
是什么？ •你想直观地了解它的性质吗?ห้องสมุดไป่ตู้
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应 的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？
y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y y=x2
y 0
x
它
们
之
间
?有 何
关 系
当x=0时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
当x=0时,最. 大值为0.
看图说话
驶向胜利
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 的彼岸
y
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是
y=ax2当a=±1时的
着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外).
(2)抛物线
在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为
,所以点B（-1 ，-4）
?
不在此抛物线上. （3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
知道就做别客气
驶向胜利 的彼岸
1.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是 y轴 , 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧,y随
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴 右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
范例研讨，运用新知
驶向胜利 的彼岸
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
0
x
？
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
对称轴
y轴
y轴
位置 在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大
沪科版九年级上二次函 数的图象和性质
2020/9/22
复习旧知
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是_____ ． 特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)其图象是_____ ． (2)描点法画出一次函数的步骤，分为_____ ，_____ ，_____ 三个步骤． (3)我们把形如_____ 的函数叫做二次函数．
描点,连线 y 10
8
6
4
2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 -2
y=x2
2 3 4x
观察图象,回答问题
y
10
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
8
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什 么?请你找出几对对称点,并6与同伴交流. (3)图象 与x轴有交点吗？如4 果有,交点坐标是什么? (4)当x<0时,随着x的值增大2,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最1 小?最小值是什么？你是如何 知道的？-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
0
特殊例子.a的符号
确定着抛物线的
……
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称 轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开 口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开 口向下,并且向下无限伸展.
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
在学中做—在做中学
驶向胜利 的彼岸
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
-2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x= -2时，y=4 当x= -1时，y=1
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出猜想
吗？
描点,连线
y 2
驶向胜利 的彼岸
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
观察图象,回答问题
描点,连线
驶向胜利 的彼岸
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律
是什么？ •你想直观地了解它的性质吗?ห้องสมุดไป่ตู้
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应 的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
二次函数y= -x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
y
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？
y=-x2
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请 你找出几对对称点,并与同伴交流.
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y y=x2
y 0
x
它
们
之
间
?有 何
关 系