线性代数题库

线性代数12级物联网班李沛华一、填空1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112,1101B A ，则=AB .2. 设D 为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6， 24，则D = _______.3. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是 _____，设A *为A 的伴随矩阵，则1A -= ______.4. 若n 阶矩阵满足2240A A E --=,则1A -= __________.5. ()121,2,3,4_______,34⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()121,2,3,4_______34⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.6. 已知,A B 为n 阶矩阵, 2A =, 3B =-, 则1T A B -= .7. 设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 . 8.8. 设A 三阶矩阵，若A =3，则1A -= , A * = .9. n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα，则{}12,,,n r ααα= .10.行列式4100031000210001的值为 .11.设,a b 为实数，则当a = 且b = 时，10100--a b b a =0.12.10111111)(-=xx f 中，x 的一次项系数是 .13.已知向量组()T13,2,1=α,()()T3T 25,4,3,4,3,2==αα,则该向量组的秩()123,,r ααα= .14.A 为n 阶方阵，且d A =，则k A ⋅= .15.设A 是三阶可逆矩阵，且1121021003A --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*__________A =.16.已知向量TT ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,31,31,0,21,21βα，则βα,的夹角是 .17. 已知()1,0,2,2Tα=，则α的模||||_______α=.18.行列式21064153247308021的值为 .19.已知3阶方阵A 的三个特征值为1,2-,3, 则=-1A .20.二次型222(,,)222f x y z x y z xy yz =+-+-对应的矩阵为________.21.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 .22.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= .23.向量(1,0,0,1)T α= (0,1,1,0)T β=-，则2αβ+= .24. 设n 阶方阵A 满足2290A A E +-=,则1__________A -=.25. 已知向量组()()TTa 6,6,3,2,,121-=-=αα线性相关，则a =__________26. 已知11250303121α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则向量α=__________.27.10111111)(-=xx f 中，x 的一次项系数是 .28. 已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= _____.29. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A ，则=-1A .30. 用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 .31. 设矩阵111121231A λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则λ= .32. 向量组12,,,γααα⋅⋅⋅可由向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性表示且12,,,γααα⋅⋅⋅线性无 关, 则r ____s .(填,,,≤≥<>)33. 如果线性方程组Ax b =有解则必有()r A _____(,)r A b .34. 已知A 是三阶方阵，2A =, 则()12_________A -=.35. 行列式1111141111311112的值为 .36. 二次型()2221231231223134444f x ,x ,x x x x x x x x x x =++---对应的矩阵为.37. 当a = 时, ()1,0,0,1T与(),1,5,3Ta 的内积为5.38. 若12,αα线性无关，而123,,ααα线性相关，则向量组123,2,3ααα的极大线性 无关组为 .39. 已知1121,0110A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则=AB .40. 设1111121113111031A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭,则=)(A r . 41. 若111111022,110110X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭则X = .42. 若3=λ是方阵A 的一个特征值，则3A 必有一个特征值为__________.43.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆；当a = 时，2)(=A r .44.在3ℜ中，向量()T4,3,2=α在基()T0,0,11=ε，()T0,1,02=ε，()T1,0,03=ε下的坐标为_____________.45.设4阶方阵A 的4个特征值为3，1，1，2，则=A .46.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+++003203243143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系是 .47.已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.48. 11101-⎛⎫⎪⎝⎭= .49.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值 为 .50. 如果12,αα都是齐次线性方程组n n A x O ⨯=的解，且12αα≠，则=⨯n n A . 51. 向量组()()()1231,0,0,1,3,0,1,2,1TTTααα==-=-线性 （填相关或无关） 52. 设1λ和2λ是3阶实对称矩阵A 的两个不同的特征值，()11,1,3Tη=和 ()24,5,Ta η=依次是A 的属于特征值1λ和2λ的特征向量，则实数a =_____.53. 如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a . 54.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A .55.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= .56．已知3阶方阵A 的三个特征值为321,,λλλ，若,3,2,3621===λλA 则________3=λ.57.设线性方程组123110110110a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的基础解系含有2个解向量，则=a .58. 设A ，B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 59. 设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A .60. 设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .61. 设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ . 62. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A .63. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a . 64. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充要条件是_________.65. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组 的解空间维数为___________.66. 设A 为三阶可逆阵，1100210321A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A *= .67. 若A 为n m ⨯矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件 是 .68. 已知行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A . 69. 若()1,,1Tk α=与()1,2,1Tβ=-正交，则=k .70. 11135692536⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.71. 设111111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，123124B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭.则2A B += .72. 设向量()2,3,5-与向量()4,6,a -线性相关，则a = .73. 设A 是3×4矩阵，其秩为3，若12,ηη为非齐次线性方程组Ax b =的2个不 同的解，则它的通解为 .74. 设A 是m n ⨯矩阵，A 的秩为()r n <，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解 系中含有解的个数为 .75. 设向量,αβ的模依次为2和3，则向量αβ+与αβ-的内积(),αβαβ+-= .76. 设3阶矩阵A 的行列式A =8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值 为 .77. 设矩阵010********A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，已知212α⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .78. 若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = . 79.A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= .80.已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = .81.已知,,,312,321βααββαT T B A ==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=则=10A ，=10B .82.设三阶方阵A 的行列式*,2A A =为其伴随矩阵,则=*A ，=--*143A A .83.三阶方阵A 与对角阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ200090001相似, 则=A .84.设,A B 均为n 阶矩阵，且B 为可逆矩阵，若AB B =,则A = . 85.当k 时，向量组()()()k ,5,3,6,3,2,3,2,1321=--=-=ααα线性无关. 86.设,A B 均为n 阶矩阵,22()()A B A B A B -=+-成立的充分必要条件是 . 87.已知33⨯A 的特征值为1，2，5，E A B 3-=，则B 的特征值是 ， B = .88.矩阵的不同特征值对应的特征向量必 . 89.已知n 阶矩阵A 各行元素之和为0，则90.已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400014015A ，则1-A ＝ .二、单项选择题1.设A 是n 阶方阵，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则A （ ）. A) 必为0 B) 必不为0 C) 必为1 D) 可取任何值2.已知矩阵满足23A A =，则A 的特征值是（ ）.A)λ=1 B)λ=0 C)λ=3或λ=0 D)λ=3和λ=0 3.假设C B A ,,都为n 阶方阵，下列等式不一定成立的是（ ）． A)A B B A +=+ B)BA AB = C ）()()BC A C AB = D)()()AB B A 22= 4.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组( ). A)有解 B)没解 C)只有零解 D)有非0解5.矩阵1010001000011000011001011⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩为( ).A)5 B)4 C)3 D)2 6.下列各式中( )的值为0.A)行列式D 中有两列对应元素之和为0 B)D 中对角线上元素全为0 C)D 中有两行含有相同的公因子D)D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 7. 矩阵A 可逆，且O AB =，则（ ）．A ）矩阵OB = B ）矩阵O B ≠C ）矩阵I B =D ）B 无法确定 8.向量组()11,1,1α=,()20,2,5α=, ()31,3,6α=是（ ）.A)线性相关 B)线性无关 C)0321=++ααα D)02321=++ααα 9.若A 为三阶方阵，且20,20,340A E A E A E +=+=-=，则A =（ ）. A)8 B)8-C)34D)34-10.设A 为n 阶矩阵, 如果()1-=n A r , 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系所 含向量的个数是( ).A ）0B ） 1C ） 2D ）n 11.设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ）.A)0=A 或0=B B)0=+B A C ）0=A 或0=B D)0=+B A 12.A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ）. A) A E = B)B E = C ）A B = D)AB BA = 13. 关于正交矩阵的性质，叙述错误的是（ ）. A ）若A 是正交矩阵，则1-A 也是正交矩阵 B ）若A 和B 都是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵 C ）若A 和B 都是正交矩阵，则B A +也是正交矩阵 D ）若A 是正交矩阵，则1=A 或1-。