更新过程-精选

我们作如下的一个推广:
保 留 X 1 ， X 2 ， ...的 独 立 性 和 同 分 布 性 ， 但 是 该 分 布 是 任 意 的 ， 不 再 仅 仅 是 指 数 分 布 的 .
由此得到的计数过程就是更新过程, 其定义如下:
定义4.1 设{Xn，n1}是一列独立同分布的非负r.v.s,
分布函数为F(x)，且F(0)<1. 令T0 0，Tn in1Xi.
M (t) in=1Fn(t)．
证 明 M (t)E N (t) nP(N (t)n) i=1
in =1P(T nt) in =1F n(t).
定 理 4 ２ .M ( t) 是 关 于 t不 减 的 ， 且 对 0 t< ,有 M ( t ) < ． 证 明 由 于 N(t)是 关 于 t不 减 的 ， 故 M (t)也 是 不 减 的 .下 证
M (t)的 有 限 性 。 首 先 我 们 先 确 定 一 个 结 论 ， 即
F n(t) [F (t)]n .
实际上，由{Xi，i 1}的非负性知，事件(
X n
i1 i
t)
I I 一定能推出(
in1(Xi t))，即(
X n
i1 i
t)
(
in1(Xi t)).
所以，
I Fn(t)P(
X n
4.1.2 N(t)的分布及EN(t)的性质
我们先讨论一下更新过程的一些性质：
1). 由{Ｘｎ，n 1｝的独立同分布性及强大数律，知
Tn
n
X n
i1 i
n
EX1$
0 以概率1成立。
所 以 ， 当 n 时 ， T n ， 换 言 之 ， 无 穷 多 次 更 新 只 能 发 生 在 无 限 长 时 间 内 , 即 在 有 限 时 间 内 最 多 只 能 发 生
第四章
Renewal process
1. 定义及若干性质 2. 更新方程及其应用 3. 更新定理 4. Lundberg-Cramer 破产论 5. 更新过程的推广
4.1 更新过程的定义及若干分布
4.1.1 更新过程的定义
首先回顾 Poisson 过程. 定义3.3告诉我们:
在 Poisson过 程 中 ， 相 邻 事 件 发 生 的 时 间 间 隔 X1， X2， ...是 一 列 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 ， 此 时 的 "同 分 布 "是 指 他 们 服 从 同 一 个 指 数 分 布 .
i1 i
t) P(
in1(Xi t))=[F(t)]n,
最后一个等号是由于{Xi，i 1}的独立同分布性.
再 由 定 理 4.1及 F(t)<1知 ，
M(t)
n1Fn(t)
[F(t)]n
n1
F(t)(1F(t))1.
定义3.3:
如果事件发生时间间隔X1,X2,X3,…,是一列 独立的且指数分布的随机变量，那么{Nt， t>=0}是Poisson 过程.
X n
i=1 i
t)－P(
X n+1
来自百度文库i=1 i
t)
=Fn(t)-Fn+1(t),
这里Fn是F的n重卷积.
接下来我们讨论EN(t)的性质。
这里的EN(t)称为更新函数，记作M(t).
注：更新函数M(t)就是更新过程{N(t),t≥0}的均值函数， 它不是一个r.v.，而是关于t的函数。
定 理4.1
更新过程可以模拟机器零件更换：
如在0时刻安装一零件，并开始工作，经过时间X1，在T1 时刻发生损坏，立即换新的零件并开始工作，又经过时 间X2，在T2时刻有坏掉了，同样还第三个， ...依次下去， 我们可以认为这些零件的使用寿命是i.i.d.的，显然到 t时刻为之所更换的零件数目就构成一个更新过程.
对t 0,记 N(t)=sup{n，Tn t}，
称{N(t)，t 0}为更新过程.
图示:
X1
X2
X3
X4
X5
X6
T0
T1 T2
T3
T4
T5
t
T6
显然，更新过程亦是一个计数过程，并且是 Poisson 过程把时间间隔由指数分布推广到一般分布的情形.
定义4.1定义的过程为什么被称为更新过程呢？
如果我们将事件发生一次称为一次更新，那么 定义4.1中的Xn就是第n-1次和第n次更新的间隔 时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是 t时刻之前发生的更新次数.
有 限 次 更 新 ， 从 而 P ( N ( t) < ) = 1 。
2). 两 个 等 价 事 件 ：
{N(t)n} {Tnt}； {N(t)n} {Tnt<Tn+1}；
下面我们来看N(t)的分布。
P(N(t) n)=P(Tn t<Tn+1)
=P(Tn t)－P(Tn+1 t)
=P(