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内心外心题目

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奥数群英会——外心和内心

奥数群英会——外心和内心

从垂直平分线，角平分线到三角形的“四心”（1）
【垂直平分线，角平分线综合运用】
例1如图所示，正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM=AN ，点E 在BD 上，EN 平分∠DNM ，EF ⊥MN 于点F ，问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？
B
【内心和外心】
一些基本性质
1. 三角形的内心到三边距离相等
2. 设I 是△ABC 的内心，则∠BIC=90°＋2
1∠A 3. 直角三角形内切圆的半径r=2
c b a -+ 4. 内切圆半径r ，和三角形面积S 间的关系是c b a s r ++=
2 5. 三角形的外心到三个顶点距离相等，直角三角形的外心是斜边的中点，锐角三角形外心
在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部
6. 设O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A
7. 外切圆半径R 和三角形面积S 的关系是s
abc R 4= 例2 在△ABC 中，I 是内心，且CA+AI=BC ，若∠A=80°，求∠B
例3 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，O是△ABC 的内心
（1）当DE=6，求O到△ABC的三边距离之和
（2）试猜测：∠B,∠A和∠DOE间的数量关系，并说明理由
C
B
例4 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC，DC于点F,E,O是△CEF的外心。

求证：∠ABC=2∠OBD
D B。

三角形内心、外心专项训练

三角形内心、外心专项训练

三角形内心、外心专项训练内心相关知识一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心）4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.外心相关知识一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三角形的外心）2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.。

【中考提分】三角形五心的经典考题

【中考提分】三角形五心的经典考题

有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H HM AB BA ABC CC F12111222D E∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于A B C D O O O 234O 1AααMBCNE R OQFrP一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2]=21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p . 而r =21(a +b -c ) =p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA =A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅， Kr r r r O O O 213AOE CBabcA ...'B 'C 'OO 'EDO ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222Btg CNB tg CMA tgA tg ∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC . ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心.Erdos ..I P AB CD E FQ SA B CD E F OKG易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO )=30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBHsin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，O A BC DEFI K30°B C O IA O G H O G H GO G H 123112233须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B +cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.。

几何三角形的五心练习及解答

几何三角形的五心练习及解答

第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1． 过等腰△底边上一点引∥交于；引∥交于.作点关于的对称点′.试证：′点在△外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)例．在△的边，，上分别取点，，.证明以△，△，△的外心为顶点的三角形与△相似.(·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 二、重心A BCPP MN'A BCQK P O O O ....S123三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比及中线长度公式，便于解题.例．，，是△的三条中线，是任意一点.证明：在△，△，△中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第届莫斯科数学奥林匹克)例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真. 三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角AA 'F F 'GEE 'D 'C 'PCBD.OA A A A 1234H H 12形，给我们解题提供了极大的便利.例．设1A 2A 3A 为⊙内接四边形，，，，依次为△2A 3A ，△3A 4A ，△4A 1A ，△1A 2A 的垂心.求证：，，，四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.例．为△的垂心，，，分别是，，的中心.一个以为圆心的⊙交直线，，于，，，，，.求证：.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：H H H MA B B A A B C CC F12111222D E设为△的内心，射线交△外接圆于′，则有′′′.换言之，点′必是△之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例．已知⊙内接△，⊙切，于，且与⊙内切.试证：中点是△之内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. 例．在直角三角形中，求证：.式中，，，分别表示内切圆半径及与，，相切的旁切圆半径，表示半周. 分析：设△中，为斜边，先来证明一个特性：()()(). ∵()21()·21() 41[()] 21； ()()21()·21()41[()]21.∴()()().① 观察图形，可得，，.而21(). ∴()()()().由①及图形易证.例．是△边上的任意一点，，分别是△，△，△内切圆的半径，，，分别是上述三角形在∠内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r qr.()分析：对任意△′′′，由正弦定理可知′·2'sinA AααMBC NE R OQFr P A ...'B 'C 'O O 'ED′′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A ′′·2''sin 2'sin2'sin B A B A +⋅，′ ′′·2''sin 2'cos2'cos B A B A +.∴2'2''B tg A tg E O OD =.亦即有11q r ·22q r 2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠22B tg A tg qr.六、众心共圆这有两种情况：()同一点却是不同三角形的不同的心；()同一图形出现了同一三角形的几个心.例．设在圆内接凸六边形中，，，.试证：()，，三条对角线交于一点；()≥.(，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接，，，由已知可证，，是△的三条内角平分线，为△的内心.从而有，， .再由△，易证，，是它的三条高，是它的垂心，利用不等式有： ≥·(). 不难证明，，. ∴≥. ∴ ()≥()() 就是一点两心.例．△的外心为，，是中点，是△的重心. 证明丄.分析：设为高亦为中线，取中点，必在上且.设 交于，必为△重心.连，，交于.易证：31).∴⇒∥. ∵丄，∥，∴丄⇒丄.但丄⇒又是△之垂心.易证丄.例．△中∠°，是外心，是内心，边上的点与边上的点使得.求证：丄，. 分析：辅助线如图所示，作∠平分线交于.I PABCDEFQ SABCDE FOKG O ABCDEF I K30°易证△≌△≌△，∠∠∠. 利用内心张角公式，有∠°21∠°， ∴∠°°×°. ∵∠°21∠°21(∠∠)°21(∠°)21∠∠∠.∴∥. 由等腰△可知丄，∴丄，即是△的一条高. 同理是△之垂心，丄.由∠∠，易知.。

三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇

三角形中的四心问题(重心、外心、内心、垂心)(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招-几何模型篇

模型介绍1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心例题精讲（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.例题精讲考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC 的中线BD 、CE 相交于点F ，若四边形AEFD 的面积为6，则△CBF 的面积为．变式训练【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，中线AE 与CO 相交于点F，则的值为．【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B （﹣2，3），点C 在x 轴负半轴，OB ＝BC ，点M 为△OBC 的重心，若将△OBC 绕着点O 旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．变式训练【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC 的外接圆半径的长为．【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．变式训练【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长的值为（）是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABCA．30B．15C．60D．13【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．变式训练【变式4-1】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式4-2】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F 为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A 逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

三角形的四心问题(最全面精品)

三角形的四心问题(最全面精品)

三角形的外心、内心、重心、垂心序号名称定义图形性质1 三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)1.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径；2.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2 三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)1.三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一3 三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心1.三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2；2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4 三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心1.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；2.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外AB COIKHEFDAB CMABCDEFGA BCDEFO三角形的外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径. 用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式SR 4abc公式中 是这三角形的三条边，S 为三角形的面积.证明：例题精讲一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径.2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径. （用三角函数表示）COCO例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. .③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.ABCODABCOD E ABCOD E三角形的内切圆定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 内切圆半径;一般三角形中，r=c b S++a 2(S 为三角形面积）Rt △中，r=2b ca -+（a,b 为直角边，c 为斜边）例题精讲：探索1：如图，在△ABC 中，点O 是内心，∠ABC=50°，∠ACB ＝7０°，求∠BOC 的度数.变式1：在△ABC 中，点O 是内心，∠BAC=50°，求∠BOC 的度数.变式2：在△ABC 中，点O 是内心，∠BOC=120°，求∠BAC 的度数.探索2：.已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，它的内切圆半径为r ，你会求△ABC 的面积吗？探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a ，b,斜边为c 求其内切圆的半径ｒ和外接圆半径R.二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形例 已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.2、一般三角形 ①已知三边例 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.②已知两边夹一角例 已知：如图，在△ABC 中，sin ∠B=53,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.ABCOE Dbca A BCO E FDABCOD③已知两角夹一边例 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°,BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(精确到0.1)总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.三角形的重心三角形重心是三角形三条中线的交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方最小.例：已知：△ABC ，E 、F 是AB ，AC 的中点.EC 、FB 交于G. 求证：EG=1/2CGABCO D例：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线.根据重心性质知：例题精讲：⑴求线段长例如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC 的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm.解：⑵求面积例在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积.解：如图，若G 是ABC ∆的重心，且GH ∥BC ,则GH:BC=如图，若G 是ABC ∆的重心，且GE ∥,CB GF ∥AB ,则=∆GEBF四边形S S ABC。

中考数学圆内心外心

中考数学圆内心外心

B前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。

第1个问题 内心、外心知多少 【2013元调 第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠=o D 、121802AOB AIB ∠-∠=o 分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。

内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。

∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠o o o（2）1()2S a b c r ABC =++V ，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=o 时，四边形ADOF 为正方形，2a b cr +-=AABE【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PMOBIN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。

立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心）例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心如图所示，作PO ⊥平面α于O ，连OA 、OB 、OC ，那么∠PAO 、∠PBO 、∠PCO 分别是PA 、PB 、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等.∴Rt ΔPAO ≌Rt ΔPBO ≌Rt ΔPCO. ∴OA ＝OB ＝OC ∴应选B.例2． Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心，∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。

∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9401880==MH PH 例3．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A 1A=A 1B=A 1C∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156取AB 中点E ，连A 1E∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB∴ 12)2AB (AA E A 2211=-= ∴ 1111120AA C C AA B B S S ==∴ S 侧=396二、内心问题（若P 点到三边AB,BC,CA 的距离相等，则O 是三角形ABC 的 内心）例4．如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ΔABC 内，那么O 是ΔABC 的( )A.垂心B.重心C.外心D.内心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O 到ΔABC 的三边的距离相等，因而O 是ΔABC 的内心，因此选D.说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.质找出与平面平行的直线。

初三数学北师大版三角形的内心与外心高频题解析仲沈

初三数学北师大版三角形的内心与外心高频题解析仲沈

初三数学北师大版三角形的内心与外心高频题解析仲沈1、若a是一个两位数，b是一个三位数，如果把b放在a的左边组成一个五位数，这个五位数是（答案D 解析2、下面四个数中，负数是（）A．-6B．0C．0.2D．3 答案A 解析3、在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图1所示，如果要答案B 解析解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，∴可列方程为（80+2x）（50+2x）=5400．故答案为4、若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E （x，）可以由E（x 答案D 解析5、若在实数范围内有意义，则的取值范围是（; 答案C 解析6、在0，-1，1，2这四个数中，最小的数是A．-1B．0C．1D．2 答案A 解析考点：有理数大小比较．专题：推理题．分析：根据有理数的大小比较法则判断即可．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．解答：解：∵-1＜0＜1＜2，∴最小的数是-1，故选A．点评：本题考查了对有理数的大小比较的应用，关键是理解法则正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．7、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式(; 答案A 解析8、如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（答案A 解析9、1978年，我国国内生产总值是3 645亿元，2007年升至249 530亿元．将249 530亿元用科学记数表答案C 解析10、计算：【小题1】(1 + )－()0【小题2】 + ――答案【小题1】原式?????【小题2】原式== 解析11、水平放置的正方体的六面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2 答案B 解析初三数学部审人教版角的大小比较、估计下列函数关系中，可以看做二次函数y="ax2" +bx +c(a≠0)模型的是( 答案C 解析12、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D 解析13，。

三角形内心和外心练习题

三角形内心和外心练习题

CEB 内心和外心一、选择题：1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D.它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有（）○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm3、下列说法错误的是（）A.三角形有且只有一个内切圆B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BACC.三角形的内心不一定都在三角形的内部D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（）A.254cm2 B.5πcm2 C.254πcm2 D.25cm25、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（）A.1cmB. 2cmC.3cmD.2.5cm第5题第7题第9题6、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O的半径为5，则BC的长为（）527、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（）A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（）A.1：2：3 B.1 2 C.2：1：3 D.19、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )A.45B.54C.34D.5610、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（）A. ○1○2○3B.○1○3C. ○1○2○4D. ○1○2○3○4第10题第15题第16题二、三、填空题11、已知I是△ABC的内心，且∠BIC=130°，则∠A= ；12、已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则△DEF一定是三角形；13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5，则其内切圆半径是；14、三角形的周长为20，面积为35，则其内切圆半径是；15、如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为16、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是17、等边三角形的边长为6cm，则这个等边三角形的外接圆半径为 cm，外接圆的面积是 cm2；18、等腰△ABC的外接圆半径是5，其底BC=4 ，则S△ABC= .三、解答题19、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求其内心和外心之间的距离.。

初二数学苏科课标版三角形的内心与外心常见题

初二数学苏科课标版三角形的内心与外心常见题

初二数学苏科课标版三角形的内心与外心常见题1、下列图形中，不能确定为轴对称图形的是A．线段B．三角形C．等腰梯形D．圆答案B 解析2、对图的对称性表述，正确的是（;）．A．轴对称图形B．中答案B 解析3、某校乒乓球训练队共有9名队员，他们的年龄（单位：岁）分别为：12,13,13,14,12,13,15,13,15 答案B 解析4、用化学方程式表示下列反应原理：(1)如图：甲、乙组成元素相同且常温下均为液体，甲常用于实验室制取氧气（反应产物为答案(1)?? 2H2O2=2H2O＋O2↑或2H2O2H2↑＋O2↑等(2)?CO2＋Ca(OH)2＝CaCO3↓＋H2O(3) Zn+H2SO4=ZnSO4+H2↑解析5、【小题1】解方程：－＝0【小题2】解不等式组：答案解析6、（7分）先将·(1－)化简，然后请自选一个你喜欢的x值，再求原式的值．答案x+1 解析7、（2011?湛江）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）; 答案C 解析8、下列所给的几何体中，主视图是三角形的是（）; 答案B 解析9、如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积答案B 解析10、若是关于的方程的一个解，则常数a为（;）.A．1B．2 答案B 解析11、如图所示，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是（ ;）A．x＜3B．x＞3 C．D．答案A 解析初三数学北师大版展开图之间的关系（2014?宜宾县模拟）图形分割是令人困惑有趣的．比如将一个正方形分割成若干锐角三角形，要求分割的锐角三角的个数答案A 解析试题分析：根据轴对称图形的性质直接得出全等三角形即可．解：∵图④是一个轴对称图形，∴图④中全等三角形有△AFC≌△EGC，△AFB≌△EGD，△BFN≌△DGN一个有3对．故选；A．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出是解题关键．12、下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是答案A 解析考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选：A．13。

三角形内心和外心练习题上课讲义

三角形内心和外心练习题上课讲义

CEB 内心和外心一、 选择题：1、 对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）A.它到三角形三个顶点的距离相等B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D.它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有（ ）○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离是（ ）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm3、下列说法错误的是（ ）A.三角形有且只有一个内切圆B.若I 为△ABC 的内心，则AI 平分∠BACC.三角形的内心不一定都在三角形的内部D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则△ABC 的外接圆的面积为（ ）A.254cm 2B.5πcm 2C. 254πcm 2 D.25cm 2 5、⊙O 与△ABC 分别相切于点D 、E 、F ，△ABC 的周长为20cm ，AF=5cm ，CF=3cm ，则BE 的长度为（ ）A.1cmB. 2cmC.3cmD.2.5cm第5题 第7题 第9题6、△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，⊙O 的半径为5，则BC 的长为（ ）527、已知，如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，则⊙O 的半径为（ ）A.12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（）A.1：2：3 B.1 2 C.2：1：3 D.19、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )A.45B.54C.34D.5610、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（）A. ○1○2○3B.○1○3C. ○1○2○4D. ○1○2○3○4第10题第15题第16题二、填空题11、已知I是△ABC的内心，且∠BIC=130°，则∠A= ；12、已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则△DEF一定是三角形；13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5，则其内切圆半径是；14、三角形的周长为20，面积为35，则其内切圆半径是；15、如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为16、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是17、等边三角形的边长为6cm，则这个等边三角形的外接圆半径为 cm，外接圆的面积是 cm2；18、等腰△ABC的外接圆半径是5，其底BC=4 ，则S△ABC= .三、解答题19、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求其内心和外心之间的距离.。

高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题

高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题

三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明 作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。

2022年中考数学复习：圆的内心和外心综合解答题

2022年中考数学复习：圆的内心和外心综合解答题

2022年中考数学复习:圆的内心和外心综合解答题1．如图，已知点D在O的直径AB延长线上，点C为O上，过D作ED AD⊥，与AC的延长线相交于E，CD为O的切线，2AE=．AB=，3（1）求证：CD DE=；（2）求BD的长；（3）若ACB∠的平分线与O交于点F，P为ABC的内心，求PF的长．2．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD△BC，垂足为点F，△ABC的平分线交AD 于点E，连接BD，CD．(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC，△O是△ABC的外接圆，过点C作△BCD＝△ACB 交△O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是△O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．4．如图，O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6,cm ACB ∠的平分线交O 于点D ． （1）求AD 的长；（2）试探究CA CB CD 、、之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接,OD P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE OD ⊥于点E ，设OPE ∆的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长5．如图1，在△ABC 中，I 是内心，AB ＝AC ，O 是AB 边上一点，以点O 为圆心，OB 为半径的△O 经过点I ．（1）求证：AI 是△O 的切线；（2）如图2，连接CI 交AB 于点E ，交△O 于点F ，若tan△IBC ＝12，求BE AE．6．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆△O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使△BDM=△DAC ．（1）求证：直线DM 是△O 的切线；（2）求证：DE 2=DF•DA ．7．如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为C 是劣弧AB 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE ，OD ，OE ．（1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记,ODE CDE ∆∆的面积为12,S S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度．8．如图，在五边形ABCDE 中，90BCD EDC ∠=∠=︒，BC ED =，AC CD AD ==．（1）求证：ABC AED ∆∆≌；（2）当140B ∠=︒时，求BAE ∠的度数；（3）如果ABC ∆的外心与ACD ∆的内心重合，请直接写出B 的度数．9．如图，A B ∠=∠，AE BE =，点D 在AC 边上，12∠=∠．()1求证：AEC △△BED ；()2若75C ∠=︒，求AEB ∠的度数；()3若90AEC ∠=︒，当AEC △的外心在直线DE 上时，2CE =，求AE 的长．10．如图，O 是△ABC 的外心，I 是△ABC 的内心，连接AI 并延长交BC 和△O 于D ，E ．(1)求证：EB =EI ；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．11．如图，四边形ABCD是△O的内接四边形，对角线AC是△O的直径，AB=2，I是△ADC的内心，△ADB=45°．(1)求△O半径的长；(2)求证：BC＝BI．12．如图，AB是△O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交△O于点E，连接OE与AC相交于点D．BC(1)求证：OD=12(2)求证：EM=EA13．如图，△O为△ABC的外接圆，AC=BC，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且△EAC=△ABC．(1)求证：直线AE是△O的切线．(2)若D为AB的中点，CD=6，AB=16，求△O的半径；(3)在（2）的基础上，点F在△O上，且BC BF，△ACF的内心点G在AB边上，求BG的长．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，△BAC与△ABC的角平分线相交于点E，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．(1)求证：△BAD＝△DBC；(2)证明：点B、E、C在以点D为圆心的同一个圆上；(3)若AB＝5，BC＝8，求△ABC内心与外心之间的距离．15．如图，点E是ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交ABC的外接圆O点D ．过D 作直线DM BC ∥．(1)求证：DM 是O 的切线；(2)求证：DE BD =；(3)若DE =8BC =，求O 的半径．16．如图1，在ABC 中，30,24cm A B AB ∠=∠=︒=，点D 和点E 分别从点A 、点B 同时出发，在线段AB 上以2cm /s 做等速运动，分别到达点B 、点A 后停止运动．设运动时间为t 秒．(1)求证：ADC BEC ≌；(2)若AC AE =，求ADC ∠的度数；(3)当△ADC 的外心在其外部时，请直接写出t 的取值范围．17．如图，线段6AB =，以AB 为直径作O ，C 为O 上一点，过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，连接BC ．(1)求证：BCD ABD ∽(2)若50D ∠=︒，求BC 的长．(3)点P 在线段AC 上运动，直接写出PBD △的外心运动的路径长．18．如图，点O 为线段AB 的中点，点C 为线段OA 上一点（不与O ，A 重合），以点O 为圆心，OC 为半径作圆O 交线段OB 于点D 、△EAB ＝△FBA ＝60°，AE ＝BF ＝2，AB ＝10，连接EC ，FD ．(1)求证：EC ＝DF ；(2)当EC 与圆O 相切时，求OC 的长度；(3)直接写出△AEC 的外心在该三角形内部时，△E 的取值范围．19．如图，点A B 、分别在DPE ∠两边上，且PA PB =，以AB 为直径作半圆O ，点C 是半圆O 的中点(1)连接AC BC 、，求证： PAC PBC ≌；(2)若60APB ∠=︒， 4PA =，求阴影部分面积(3)若点O 是PAB △的外心，判断四边形APBC 的形状，并说明理由20．.如图所示,已知锐角△ABC 的外接圆半径R =1,△BAC =60°，△ABC 的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P(1)求凹四边形ABHC的面积；(2)求PO·OH的值．。

平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明

平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明

平面几何：有关三角形五心的经典试题及证明部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑平面几何：有关三角形五心的经典试卷三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM∥CA 交AB 于M ；引PN∥BA 交AC 于N.作点P 关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ABC 外接圆上.b5E2RGbCAP (杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC ，故点M 是△P′BP 的外心，点N 是△P′PC 的外心.有∠BP′P=∠BMP=∠BAC， ∠PP′C=∠PNC=∠BAC.∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.从而，P′点与A ，B ，C 共圆、即P′在△ABC 外接圆上. 由于P′P 平分∠BP′C，显然还有 P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.p1EanqFDPw A BCP P MN'(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》> 分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP， △CSQ 的外心，作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， ∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.DXDiTa9E3d ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K =(∠O2O1S+∠SO1K> =(∠O2O1S+∠PO1O2> =∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.A BCQ K PO O O ....S123例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.RTCrpUDGiT (第26届莫斯科数学奥林匹克> 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′， D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′， ∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH=DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF.5PCzVD7HxA (1>a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a≥b≥c，有 CF=， BE=，A A 'F F 'GEE 'D 'C 'PCB DAD=.将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.∴CF:BE:AD =::=a:b:c.故有△∽△′.(2>△∽△′a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴＝(>2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有=.∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接>圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.jLBHrnAILg例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.xHAQX74J0X (1992，全国高中联赛>分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径 为R.由△A2A3A4知=2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4.但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2，故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M ，故H1H2与A1A2关于M 点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.LDAYtRyKfE 例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A1，A2，B1，B2，C1，C2.Zzz6ZB2Ltk 求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. ∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H H MA B BA A C CF121122D E(1989，加拿大数学奥林匹克训练题>分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r.连HA1，AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2>，①又AM2-HM2=(AH1>2-(AH-AH1>2=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2，②而=2R AH2=4R2cos2A,=2R a2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③由①、②、③有A=r2+·bc-(4R2-a2>=(a2+b2+c2>-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2>-4R2+r2，=(a2+b2+c2>-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A′，则有A′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用>.dvzfvkwMI1例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD， △CDA 的内心O1， O2，O3， O4.求证：O1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题> 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》>分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC ，怎样证明呢？rqyn14ZNXI 如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ=.∵QK·AQ=MQ·QN，∴QK===.由Rt△EPQ 知PQ=. ∴PK=PQ+QK=+=.ABCDO O O 234O 1AααMBCKNE R OQF r P∴PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r ，ra ，rb ，rc 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》>分析：设Rt△ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c>=(p-a>(p-b>.∵p(p -c>=(a+b+c>·(a+b-c> =[(a+b>2-c2]=ab ；(p-a>(p-b>=(-a+b+c>·(a-b+c> =[c2-(a-b>2]=ab.∴p(p -c>=(p-a>(p-b>. ① 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b ， rb=BG-BC=p-a ， rc=CK=p.Kr r r r O O O 213AOE CBabc而r=(a+b-c>=p-c.∴r+ra+rb+rc=(p-c>+(p-b>+(p-a>+p=4p-(a+b+c>=2p.由①及图形易证.例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：·=.EmxvxOtOco(IMO-12>分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′·=A′B′··=A′B′·，O ′E= A′B′·.∴.亦即有·=A...'B'C'OO'E D==.六、众心共圆这有两种情况：(1>同一点却是不同三角形的不同的心；(2>同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA.试证：(1>AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；SixE2yXPq5 (2>AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学实验班招生试卷>分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID=CD=DE ，6ewMyirQFL IF=EF=FA ， IB=AB=BC.再由△BDF，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS>.不难证明IE=2IP ，IA=2IQ ，IC=2IS.∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI> ≥(IA+IE+IC>+(BI+DI+FI> =AD+BE+CF. I 就是一点两心.Erdos..I PABC DEFQ S例12．△ABC 的外心为O ，AB=AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD.(加拿大数学奥林匹克训练题> 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE:EF=2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K.易证： DG:GK=DC:(>DC=2:1.∴DG:GK=DE:EFGE∥MF.∵OD 丄AB ，MF∥AB， ∴OD 丄MFOD 丄GE.但OG 丄DEG 又是△ODE 之垂心.易证OE 丄CD.例13．△ABC 中∠C=30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD=BE=AB.求证：OI 丄DE ，OI=DE.kavU42VRUs (1988，中国数学奥林匹克集训题>分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式，有 ∠AIB=90°+∠C=105°， ∴∠DIE=360°-105°×3=45°.AB CDE FOKG O ABCDEF I K30°∵∠AKB=30°+∠DAO=30°+(∠BAC -∠BAO> =30°+(∠BAC -60°> =∠BAC=∠BAI=∠BEI. ∴AK∥IE.由等腰△AOD 可知DO 丄AK ， ∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE. 由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重.分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C. 易知d 外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC ，∴2d 外=2(cosA+cosB+cosC>. ① ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC>=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3. ∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB> ②BCO IAO G H O G H G O G H 123112233∴=2，∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>③欲证结论，观察①、②、③，须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB>+( cosA+ cosB+ cosC>=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.y6v3ALoS89练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克>2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克>M2ub6vSTnP3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克>0YujCfmUCw4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.eUts8ZQVRd5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7>sQsAEJkW5T6.△ABC的边BC=(AB+AC>，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克>GMsIasNXkA7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克>TIrRGchYzg8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1>△AEF与△ABC有公共的内心；(2>△AEF与△ABC有一个旁心重合.7EqZcWLZNX申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

中考数学命题点精准练习5 三角形的内心与外心

中考数学命题点精准练习5 三角形的内心与外心
A
9. （2021河南模拟）如图， 的三边 、 、 长分别是60、 、 ，其三条角平分线将 分为三个三角形，则 等于( )
第9题图
A. B. C. D.
D
10. （2021河南模拟）如图，已知点 为勾股形 （我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中 为直角．点 、 、 分别在边 、 、 上，且 ，若 ， ，则正方形 的面积是( )
第10题图
A. B. C. D.
B
B
6. （2020濮阳模拟）如图，在 中， 的平分线 与 的平分线 交于点 ，下列说法正确的是( )
第6题图
A. 点 是 的内切圆的圆心 B. C. 的内切圆经过 ， 两点 D.
A
7. 如图， 截 的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )
第7题图
A. 点 是 的内心 B. 点 是 的外心C. 是正三角形 D. 是等腰三角形
A
8. （2019荆门）如图， 内心为 ，连接 并延长交 的外接圆于 ，则线段 与 的关系是( )
第8题图
A. B. C. D. 不确定
第1题图
A. 淇淇说的对,且 的另一个值是 B. 淇淇说的不对, 就得 C. 嘉嘉求的结果不对, 应得 D. 两人都不对, 应有3个不同值
A
2. （2020连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， 、 、 、 、 、 均是正六边形的顶点.则点 是下列哪个三角形的外心( )
第4题图
考向2 与内心有关的计算与判断
5. （2021郑州模拟）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条角平分线的交点C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条中线的交点

知识点56 涉及内心外心的试题2020

知识点56 涉及内心外心的试题2020

一、选择题 8．（2020•丽水）如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是上一点，则∠EPF 的度数是（ ） A ．65° B ．60° C ．58° D ．50° {答案}B{解析}如图，连接OE ，OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆，E ，F 是切点，∴OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠OEB ＝∠OFB ＝90°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴∠EOF ＝120°，∴∠EPF ∠EOF ＝60°,因此本题选B ． 9．（2020·嘉兴）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =25，BC =8，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆．则⊙O 的半径为（ ） A ．25 B ．10 C ．4 D ．5{答案}D{解析}本题考查了三角形的外接圆、垂径定理以及线段垂直平分线、角平分线的尺规作图.如图，由尺规作图可知，AH 为∠BAC 的平分线，又AB ＝AC ，知AO ⊥BC ，BG ＝CG ＝4，又因为AB ＝25，得到AG ＝2.在Rt △OGC 中，设OC ＝r ，则OG ＝r –2，所以222(2)4r r =-+，解得r ＝5，因此本题选D ．7. (2020·连云港) 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A 、B 、C 、D 、E 、O 均是正六边形的顶点.则点O 是下列哪个三角形的外心A.△AEDB.△ABDC.△BCDD.△ACD（第7题图）{答案}D{解析}本题考查了三角形外心的概念，外心到三角形三个顶占的距离相等，即是三角形三边垂直平分线的交点处，故选D ．（2020·济宁）9.如图，在△ABC 中一点D 为△ABC 的内心,∠A =60°,CD=2,BD=4.则△DBC 的面积是（ ） A.43 B.23 C.2 D.4GOBC{答案}B{解析}如图，∵点D 为△ABC 的内心,∴BD ，CD 分别是∠B 、∠C 的平分线， 又∵∠A =60°，∴∠ABC+∠ACB=120°,∴∠DBC+∠DCB=60°,∴∠BDC=120°. 过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，垂足为E ，∴∠EDC=60°，∵CD=2,∴CE=CD ·∵BD=4，∴1122BDC S BD CE ∆=⋅=⨯=8．（2020·随州）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（ ）A. h=R+rB.R=2rC.a r 43=D.a R 33={答案}C{解析}本题考查了正三角形的内切圆和外接圆的相关计算、三角函数，解答过程如下：如图所示，由题意得：h=R+r ，R=2r ，h=AD=a 23，BD=2a ， ∴r=OD=a 63，R=OA=OB=a 33.∴C 错误.因此本题选C ．二、填空题15．（2020·南京）如图，线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝____°.{答案}78{解析}由题意可知点O 是△ABC 的外接圆圆心，如图，∴∠AOC ＝2∠B.在四边形OEBD 中，∠OEB ＋∠ODB ＝180°，∴∠B ＋∠DOE ＝∠1＋∠DOE ＝180°，∴∠B ＝∠1＝39°.∴∠AOC ＝2∠B ＝78°.15．（2020·泰州）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC ∆内心的坐标为______．C{答案}(2，3){解析}本题考查了三角形内心的知识，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，本题我们只需作出∠B 和∠C 的两条角平分线，两角平分线的交点就是内心的位置．10．(2020·青海)如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则△ABC 的内切圆半径r ＝______．{答案}1{解析}AB ＝22AC BC ＝5．由“直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半”可知，r ＝12×(3＋4－5)＝1．三、解答题 21．（2020湖州）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，连结BD ，BC 平分∠ABD ．（1）求证：∠CAD ＝∠ABC ；（2）若AD ＝6，求CD̂的长． 【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC ＝∠ABC ＝∠CAD ；（2）由圆周角定理可得CD̂=AC ̂，由弧长公式可求解． 【解答】解：（1）∵BC 平分∠ABD ，∴∠DBC ＝∠ABC ，∵∠CAD ＝∠DBC ， ∴∠CAD ＝∠ABC ；（2）∵∠CAD ＝∠ABC ，∴CD ̂=AC ̂，∵AD 是⊙O 的直径，AD ＝6， ∴CD ̂的长=12×12×π×6=32π．A Or 图4。

内心外心试题

内心外心试题

内心外心题目一．选择题 <共 1 小题）1．如图， Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °，点 O、 I 分别为△ ABC 的外心和内心，AC=6 ，BC=8 ，则 OI 的值为b5E2RGbCAP<）A ．2B．C． D ．1二．解答题 <共 29 小题）2．如图，⊙ O 的内接四边形ABCD 中， AC ，BD 是它的对角线， AC 的中点 I 是△ ABD 的内心．求证：<1） OI 是△IBD 的外接圆的切线；<2） AB+AD=2BD ．3．如图，△ ABC 的三边满足关系BC= <AB+AC ）， O、I 分别为△ ABC 的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙ O 于 E， AI 的延长线交⊙ O 于 D ， DE 交 BC 于 H ，p1EanqFDPw求证： <1）AI=BD ；<2） OI=AE ．4． <2018?随州）如图，点P 为△ ABC 的内心，延长 AP 交△ ABC 的外接圆于 D ，在 AC 延长线上有一点E，满足2AD =AB ?AE ．DXDiTa9E3d求证： DE 是⊙ O 的切线．5．已知△ ABC 中， O 为外心， I 为内心，且AB+AC=2BC ．求证： OI⊥ AI< 图）．6．在△ ABC 中，已知I 为内心， O 为外心， AB=8 ，BC=6 ， CA=4 ．求证： OI⊥ CI ．7．△ ABC 中∠ C=30 °，O 是外心， I 是内心，边AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB ．求证： OI 丄DE，OI=DE． RTCrpUDGiT<1988，中国数学奥林匹克集训题）8．如图，已知∠BAC 的平分线与△ ABC 的边 BC 和外接圆分别相交于D、 E．求证： AB ?AC=AD ?AE ．9．如图，不等边△ABC内接于⊙ O，I是其内心，且AI ⊥OI ．求证： AB+AC=2BC ．10．如图，△ ABC 内接于⊙ O，点 I 是△ABC 的内心， AI 交⊙ O 于 D 点，交 BC 于点 E，连接 BD 、BI ；5PCzVD7HxA<1）求证： DB=DI ；<2）连接 OI ，若 OI⊥ AD ，且 AB+AC=10 ，求 BC 的长．<2）若 OI⊥ AD ，求的值．12． <1999?南京）已知：如图，在△ ABC中，∠ C=90°，BE是角平分线，DE⊥ BE交AB于D，⊙ O是△ BDE的外接圆． jLBHrnAILg<1）求证： AC 是⊙ O 的切线；<2）若 AD=6 ， AE=6，求DE的长．13．如图，已知△ BAC ， AB=AC ， O 为△ ABC 外心， D 为⊙ O 上一点， BD 与 AC 的交点为E，且2BC =AC ?CE xHAQX74J0X①求证： CD=CB ；②若∠ A=30 °，且⊙ O 的半径为 3+，I为△ BCD内心，求O I 的长．14．已知在△ ABC 中，∠ BAC 的平分线AD 与△ ABC 的外接圆交于D，过 D 作 EF∥ BC ．求证： EF 是⊙ O 切线．LDAYtRyKfE 15． <1998?江西）如图，在△ABC 中， AC=BC ， E 是内心， AE 的延长线交△ABC 的外接圆于 D．求证： <1）BE=AE ；<2）．16．规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心．<1）已知 I 为三角形ABC 的内心，连接AI 交三角形ABC 的外接圆于点D，如图所示，连接BD 和 CD，求证：BD=CD=ID ．Zzz6ZB2Ltk<2）己知三角形ABC ， AD 平分∠ BAC 且与它的外接圆交于点 D ，在线段 AD 上有一点 I 满足 BD=ID ．试问点 I是否是三角形ABC 的内心？若是加以证明；若不是，说明理由．dvzfvkwMI117． <2003?南宁）如图，已知 E 是△ ABC 的内心，∠ BAC 的平分线交BC 于点 F，且与△ABC 的外接圆相交于点D． rqyn14ZNXI<1）求证：∠ DBE= ∠DEB ；<2）若 AD=8cm ， DF： FA=1 ： 3．求 DE 的长．18．如图． AD 、 AH 分别是△ ABC< 其中 AB ＞ AC ）的角平分线、高线，M 点是 AD 的中点，△ MDH 的外接圆交CM 于 E，求证∠ AEB=90 °．EmxvxOtOco19． <2018?安徽模拟）已知：如图，在△ ABC中，E是内心，延长AE 交△ ABC 的外接圆于点D，弦 AD 交弦 BC 于点 F．SixE2yXPq520．如图，在△ ABC 中，点 E 是内心，延长AE 交△ ABC 的外接圆于点D，连接 BD 、 CD 、CE，且∠BDA=60 °．6ewMyirQFL<1）求证：△ BDE 是等边三角形．<2）若∠ BDC=120 °，猜想四边形BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想．21．点 D 是△ ABC 内一点， AD 平分∠ ABC ，延长 AD 交△ABC 的外接圆于点E， BE=ED ．<1）点 D 是否是△ABC 的内心？说明理由；<2）点 E 是否是△ BDC 的外心？说明理由．22．如图所示， I 为△ ABC 的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．23．已知：如图，点I 是△ ABC 的内心， AI 交边 BC 于点 D，交△ABC 外接圆于点E．求证：<1） IE=BE ；2<2） IE =AE ×DE ．24．如图所示，在△ABC 中， AB=AC ，有一个圆内切于△ ABC 的外接圆，且与 AB 、AC 分别相切于 P、 Q，求证：线段 PQ 的中点 O 是△ ABC 的内心．kavU42VRUs25．如图，在△ ABC 中，∠ A=60 °， O， I， H 分别是它的外心，内心，垂心．试比较△ ABC的外接圆与△ IOH的外接圆的大小，证明你的论断．y6v3ALoS8926． <2002?三明）已知：如图△ ABC 中， AB=AC ， CD、 BE 是△ ABC 的角平分线；求证： AD=AE ．27． <2008?岳阳）如图，⊙O 是△ ABC 的外接圆， BD 为圆 O 的直径， AB=AC ，AD 交 BC 于 E，ED=2AE． M2ub6vSTnP2<1）求证： AB =AD ?AE ；<2）求∠ ADB 的度数；<3）延长 DB 到 F，使 BF=BO ，连接 FA ．求证：直线FA 为⊙ O 的切线．28． <2005?万州区模拟）在△ABC中，∠ BAC的平分线 AD 交△ ABC 的外接圆⊙ O 于点 E，交 BC 于点 D，过点E 作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于点F，若 AD=，DE=．0YujCfmUCw求证：<1） EF∥ BC ；<2） AF=2EF ．29．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90 °，∠ ABC 的平分线BD 交 AC 于点 D ，DE ⊥ DB 交 AB 于点 E，设⊙ O 是△BDE 的外接圆．eUts8ZQVRd<1）求证： AC 是⊙ O 的切线；<2）若 DE=2 ，BD=4 ，求 AE 的长．30．已知：如图，AD 是△ ABC 外接圆⊙ O 的直径， AE 是△ ABC 的边 BC 上的高， DF ⊥ BC， F 为垂足． sQsAEJkW5T<1）求证： BF=EC ；<2）若 C 点是弧 AD 的中点，且DF=3 ， AE=3 ，求 BC 的长．2018 年 1 月 1482572436的初中数学组卷参考答案与试卷解读一．选择题 <共 1 小题）1．如图， Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °，点 O、 I 分别为△ ABC 的外心和内心，AC=6 ，BC=8 ，则 OI 的值为GMsIasNXkA<）A ． 2B．C． D ． 1考三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．点：专压轴题．题：解解：如图，作△ABC 的内切圆⊙ I，过点 I 作 ID ⊥BC 于 D ， IE⊥ AC 于 E，IN ⊥ AB 于 N ．答：在 Rt△ABC 中，∵∠ ACB=90 °， AC=6 ， BC=8，∴ AB==10 ．∵点 O 为△ABC 的外心，∴ AO 为外接圆半径，AO= AB=5 ．设⊙ I 的半径为r，则 ID=IE=r ，又∵∠ IDC= ∠ IEC= ∠ C=90 °，∴四边形IECD 是正方形，∴CE=CD=r ，AE=AN=6 ﹣ r， BD=BN=8 ﹣ r，∵ AB=10 ，∴8﹣ r+6 ﹣r=10 ，解得 r=2，∴IN=r=2 ， AN=6 ﹣r=4 ．在 Rt△OIN 中，∵∠ INO=90 °，ON=AO ﹣AN=5 ﹣ 4=1，∴OI==．故选 C．点此题考查了直角三角形的外心与内心的概念及性质，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理，综合性评：较强，难度适中．求出△ABC 的内切圆半径是解题的关键．二．解答题 <共 29 小题）2．如图，⊙ O 的内接四边形ABCD 中， AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点 I 是△ ABD 的内心．求证：<1） OI 是△IBD 的外接圆的切线；<2） AB+AD=2BD ．考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；切线的判定．专题：证明题．分析：<1 ）根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得 C 是△IBD 的外心，然后证得 OI ⊥ CI，即可证得OI 是△IBD 的外接圆的切线；<2 ）根据 <1）可以得到AI=CD ， AB=2BF ，即可证得．解答：解： <1）∵∠ CID= ∠ IAD+ ∠IDA ，∠ CDI= ∠ CDB+ ∠ BDI= ∠BAC+ ∠ IDA= ∠ IAD+ ∠ IDA ∴∠ CID= ∠ CDI ，∴CI=CD ．同理， CI=CB ．故点 C 是△ IBD 的外心．连接 OA ，OC，∵ I 是 AC 的中点，且 OA=OC ，∴OI ⊥ AC，即 OI⊥ CI ．∴OI 是△ IBD 外接圆的切线．<2 ）由 <1）可得：又∵∠ ACD= ∠ DCF，∴△ ADC ∽△ DFC ，∴= ，∵AC=2CI∴ AC=2CD∴ AD=2DF同理可得： AB=2BF∴AB+AD=2BF+2DF=2BD ．点评：本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得 C 是△ IBD 的外心是关键．3．如图，△ ABC 的三边满足关系BC= <AB+AC ）， O、I 分别为△ ABC 的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙ O 于 E， AI 的延长线交⊙ O 于 D ， DE 交 BC 于 H ，TIrRGchYzg求证： <1）AI=BD ；<2） OI=AE ．考点：三角形的五心．专题：证明题．分析：<1 ）作 IG⊥ AB 于 G 点，连 BI ， BD ，则 AG= <AB+AC ﹣ BC），而 BC= <AB+AC ），可得到AG= BC ，根据题意得∠EAD=90 °，得到 ED 为⊙ O 的直径， ED 垂直平分BC，因此 AG=BH ，从而得到Rt△ AGI ≌ Rt△ BHD ，即有 AI=BD ；<2 ）由∠ BID= ∠BAI+ ∠ ABI ，而∠ BAI= ∠DBC ，∠ ABI= ∠ CBI ，即可得到∠DBI= ∠ BID ，则 ID=DB ，得到 AI=ID ，由此得到 OI 为三角形 AED 的中位线，利用中位线的性质即可得到结论．解答：证明： <1）作 IG ⊥AB 于 G 点，连 BI ， BD ，如图，∴AG= <AB+AC ﹣ BC ），而 BC= <AB+AC ），∴AG= BC，又∵ AD 平分∠ BAC ， AE 平分∠ BAC 的外角，∴∠ EAD=90 °，∴O 点在 DE 上，即 ED 为⊙ O 的直径，∴ AG=BH ，而∠ BAD= ∠ DAC= ∠ DBC ，∴ Rt △ AGI ≌ Rt △BHD ，∴ AI=BD ；<2 ）∵∠ BID= ∠BAI+ ∠ ABI ，而∠ BAI= ∠ DBC ，∠ ABI= ∠ CBI ， ∴∠ DBI= ∠ BID ，∴ ID=DB ，而 AI=BD ， ∴ AI=ID ，∴ OI 为三角形 AED 的中位线，∴ OI= AE ．点评： 本题考查了三角形内心的性质和圆周角定理及推论．也考查了等腰三角形的判定以及三角形中位线的性质．4． <2018?随州）如图，点 P 为△ ABC 的内心，延长 AP 交△ ABC 的外接圆于 D ，在 AC 延长线上有一点E ，满足2AD =AB ?AE ． 7EqZcWLZNX 求证： DE 是⊙ O 的切线．考点 ： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题 ： 证明题．分析： 要证 DE 是⊙ O 的切线，只要连接 DC ， DO 并延长交⊙ O 于 F ，连接 AF ．根据已知再证∠ FDE=90 °即可．解答： 证明：连接 DC ， DO 并延长交⊙ O 于 F ，连接 AF ．∵ P 点为 △ABC 的内心， ∴∠ BAD= ∠ DAE ，又∵ AD 2=AB ?AE ，即 =，∴△ BAD ∽△ DAE ， ∴∠ ADB= ∠ E ．又∵∠ ADB= ∠ ACB ，∴∠ ACB= ∠ E ，BC ∥ DE ，∴∠ CDE= ∠ BCD= ∠ BAD= ∠ DAC ， 又∵∠ CAF= ∠ CDF ，∴∠ FDE= ∠CDE+ ∠CDF= ∠ DAC+ ∠ CAF= ∠ DAF=90 °，故 DE 是⊙ O 的切线．点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点<即为半径），再证垂直即可．5．已知△ ABC 中， O 为外心， I 为内心，且AB+AC=2BC ．求证： OI⊥ AI< 图）．考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心．专题：证明题．分析：因 I 是内心，故，=，又因 AC+BA=2BC ，故 AB=2BE ．由△ ABE ∽△ ADC 知AD=2DC ．又 DC=DI< 内心性质），故AD=2DI ．从而即可证明．解答：证明：∵ I 是内心，∴，= ．又∵ AC+AB=2BC ，∴AB=2BE ．由△ABE ∽△ ADC 知 AD=2DC ．又∵ DC=DI< 内心性质），∴AD=2DI ．而 O 是外心，∴OI⊥AI．点评：本题考查了相似三角形的性质与判定及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是掌握外心与内心的性质．6．在△ ABC 中，已知I 为内心， O 为外心， AB=8 ，BC=6 ， CA=4 ．求证： OI⊥ CI ．考点：正弦定理与余弦定理；三角形的面积．专题：证明题．分析：因 I 是内心，故，= ．又因 AB=8 ， BC=6 ， CA=4，所以 AC+BC=2BC ，故AB=2BE ．由△ABE ∽△ ADC 知 AD=2DC ．又 DC=DI< 内心性质），故AD=2DI ．从而即可证明．解答：证明：∵ I 是内心，∴，= ．又∵ AB=8 ，BC=6 ， CA=4∴AC+AB=2BC ，∴AB=2BE ．由△ABE ∽△ ADC 知 AD=2DC ．又∵ DC=DI< 内心性质），∴AD=2DI ．而 O 是外心，∴OI⊥AI．点评：本题考查了相似三角形的性质与判定及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是掌握外心与内心的性质．7．△ ABC 中∠ C=30 °，O 是外心， I 是内心，边AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得 AD=BE=AB ．求证： OI 丄DE，OI=DE． lzq7IGf02E<1988，中国数学奥林匹克集训题）考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：辅助线如图所示，作∠ DAO 平分线交 BC 于 K．易证△AID ≌△ AIB ≌△ EIB ，∠ AID= ∠ AIB= ∠ EIB ．利用内心张角公式，有∠ AIB=90 °+∠ C=105°，可证得AK ∥ IE ．由等腰△AOD 可知 DO 丄 AK ，从而得出OI 丄 DE ．由∠DIE= ∠ IDO ，则 OI=DE ．解答：证明：如图所示，作∠DAO 平分线交 BC 于 K．易证△ AID ≌△ AIB ≌△ EIB ，∠AID= ∠ AIB= ∠ EIB ．利用内心张角公式，有∠AIB=90 °+ ∠ C=105°，∴∠ DIE=360 °﹣ 105°×3=45°．∵∠ AKB=30 °+∠ DAO=30 °+ <∠BAC ﹣∠ BAO ）=30 °+<∠BAC ﹣ 60°）=∠BAC=∠BAI=∠ BEI．∴AK ∥IE．由等腰△AOD 可知 DO 丄 AK ，∴DO 丄 IE ，即 DF 是△ DIE 的一条高．同理 EO 是△ DIE 之垂心， OI 丄 DE．∵∠ DIE= ∠ IDO ，∴ OI=DE ．点评：本题考查了三角形的内切圆和全等三角形的判定和性质．8．如图，已知∠BAC 的平分线与△ ABC 的边 BC 和外接圆分别相交于D、 E．求证： AB ?AC=AD ?AE ．考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先连接EC，证出∠ BAE=∠ CAE，∠ ABC=∠ AEC，得出△ ABD∽△ AEC，即可得出AB ?AC=AD ?AE ．解答：解：连接EC ，∵EA 是∠ BAC 的平分线，∴∠ BAE= ∠ CAE ，∵∠ ABC= ∠ AEC ，∴△ ABD ∽△ AEC ，∴= ，∴AB ?AC=AD ?AE ．点评：此题考查了圆周角定理，关键是根据圆周角定理和已知条件证出△ ABD∽△ AEC，用到的知识点是圆周角定理、相似三角形的判定与性质．9．如图，不等边△ABC内接于⊙ O，I是其内心，且AI ⊥OI ．求证： AB+AC=2BC ．考点：三角形的内切圆与内心．专题：证明题．分析：延长AI交⊙ O于D，连接OA、OD、BD和BI，可得BD=ID=AI．易证=，则OD⊥BC，作IG⊥ AB 于 G，又∠ DBE= ∠ IAG ，则 BD=AI ，所以 Rt△ BDE ≌ Rt△ AIG ，从而得出 AB+AC=2BC ．解答：证明：延长 AI 交⊙ O 于 D，连接 OA 、 OD 、BD 和 BI ，∵OA=OD ，OI ⊥AD ，∴ AI=ID ，又∠ DBI= ∠ DBC+ ∠ CBI= ∠ DAC+ ∠ CBI ，= <∠BAC+ ∠ABC ） =∠ DIB ，因此， BD=ID=AI ，易证=，故 OD⊥ BC，记垂足为 E，则有 BE= BC，故 AB+AC=2BC ．点评：本题考查了三角形的内切圆和全等三角形的判定和性质．zvpgeqJ1hk 10．如图，△ ABC 内接于⊙ O，点 I 是△ABC 的内心， AI 交⊙ O 于 D 点，交 BC 于点 E，连接 BD 、BI ；<1）求证： DB=DI ；<2）连接 OI ，若 OI⊥ AD ，且 AB+AC=10 ，求 BC 的长．考点：三角形的内切圆与内心；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．分析：<1 ）要证明 ID=BD ，利用内心的定义可以得到∠ABI= ∠ CBI ，然后利用同弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于不相邻的两个外角的和，即可证得∠BID= ∠ IBD ，利用等边对等角即可证得；<2 ）作 IG⊥ AB 于 G，又∠ DBE= ∠ IAG ，而 BD=AI ，证得： Rt△ BDE ≌Rt △ AIG ，则 AG=BE= BC，根据直角三角形的内心的性质可得：AG= <AB+AC ﹣BC ），再根据AB+AC=10即可求解．解答：<1 ）证明：∵点I 是△ ABC 的内心∴∠ BAD= ∠ CAD ，∠ ABI= ∠CBI∵∠ CBD= ∠ CAD∴∠ BAD= ∠ CBD∴∠ BID= ∠ ABI+ ∠BAD ，∠ BAD= ∠ CAD= ∠ CBD ，∵∠ IBD= ∠ CBI+ ∠ CBD ，∴∠ BID= ∠ IBD∴ID=BD ；<2 ）证明：延长AI 交⊙ O 于 D ，连接 OA 、OD 、 BD 和 BI ，∵OA=OD ，OI ⊥AD ∴ AI=ID ，∵I 为△ ABC 内心，∴∠ BAD= ∠ BCD ，∴弧 BD= 弧 CD，∵弧CD= 弧 CD，∴∠BCD= ∠ BAD ，∴∠ DBI= ∠ BCD+ ∠ CBI= ∠ CAD+ ∠ CBI ，= <∠BAC+ ∠ACB ），∵∠ DIB= ∠ DAB+ ∠ ABI=<∠ BAC+ ∠ ABC ），∴∠ DIB= ∠ DBI ，∴BD=ID=AI ，=，故 OD⊥ BC，记垂足为 E，则有 BE= BC，于是， AG=BE= BC ，但 AG= <AB+AC ﹣BC），故 AB+AC=2BC ，∴ BC=5 ．点评：考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的内心的性质，正确证明Rt△BDE ≌ Rt△AIG 是关键．11．如图△ ABC 内接于圆O， I 是△ABC 的内心， AI 的延长线交圆O 于点 D ．<1）求证： BD=DI ；<2）若 OI⊥ AD ，求的值．考点：三角形的内切圆与内心．分析：<1 ）要证明 ID=BD ，利用内心的定义可以得到∠ABI= ∠ CBI ，然后利用同弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于不相邻的两个外角的和，即可证得∠BID= ∠ IBD ，利用等边对等角即可证得；<2 ）作 IG⊥ AB 于 G，又∠ DBE= ∠ IAG ，而 BD=AI ，证得： Rt△ BDE ≌Rt △ AIG ，则 AG=BE= BC，根据直角三角形的内心的性质可得：AG= <AB+AC ﹣BC ），再根据AB+AC=2BC即可求解．解答：<1 ）证明：∵点I 是△ ABC 的内心∴∠ BAD= ∠ CAD ，∠ ABI= ∠CBI∵∠ CBD= ∠ CAD∴∠ BAD= ∠ CBD∴∠ BID= ∠ ABI+ ∠BAD ，∠ BAD= ∠ CAD= ∠ CBD ，∵∠ IBD= ∠ CBI+ ∠ CBD ，∴∠ BID= ∠ IBD∴ID=BD ；<2 ）解：连接OA 、OD 、 BD 和 BI，∵OA=OD ，OI ⊥ AD∴AI=ID ，∵I 为△ ABC 内心，∴∠ BAD= ∠ BCD ，∴弧 BD= 弧 CD，∵弧= <∠BAC+ ∠ACB ），∵∠ DIB= ∠ DAB+ ∠ ABI=<∠ BAC+ ∠ ABC ），∴∠ DIB= ∠ DBI ，∴BD=ID=AI ， = ，故 OD⊥ BC，记垂足为 E，则有 BE= BC，作 IG ⊥AB 于 G，又∠ DBE= ∠ IAG ，而 BD=AI ，∴ Rt△ BDE ≌ Rt△ AIG ，于是， AG=BE= BC ，但 AG= <AB+AC ﹣BC），故 AB+AC=2BC ，∴=2．点评：考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的内心的性质，正确证明Rt△BDE ≌ Rt△AIG 是关键．12． <1999?南京）已知：如图，在△ ABC中，∠ C=90°，BE是角平分线，DE⊥ BE交AB于D，⊙ O是△ BDE的外接圆． NrpoJac3v1<1）求证： AC 是⊙ O 的切线；<2）若 AD=6 ， AE=6，求DE的长．考点：切割线定理；切线的判定．专题：几何综合题．分析：<1 ）连接 OE ，由于 BE 是角平分线，则有∠CBE=∠ OBE ；而 OB=OE ，就有∠ OBE= ∠ OEB，等量代换有∠ OEB= ∠CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥ BC；又∠ C=90°，所以∠ AEO=90 °，即AC 是⊙ O 的切线；<2 ）先利用切割线定理可求出半径OD ，容易证出△ AED ∽△ ABE ；设 DE=x， BE=2x ，利用相似比，结合勾股定理可求x，从而求出DE 的长．解答：<1 ）证明：连接OE； <1 分）∵⊙ O 是△ BDE 的外接圆，∠ DEB=90 °，∴BD 是⊙ O 的直径， <不证直径，不扣分）∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ CBE= ∠OBE ，∵OB=OE ，∴∠ OBE= ∠ OEB ，<2 分）∴∠ OEB= ∠ CBE ，∴OE∥ BC ， <3 分）∵∠ C=90°，AD=6 ， AE=6，2分）∴ AE =AD ?AB ，<5 ∴AB===12，∴ BD=AB ﹣ AD=12 ﹣ 6=6； ∵∠ AED= ∠ABE ，∠ A= ∠A ， ∴△ AED ∽△ ABE ， <6 分）∴ ；设 DE=x ， BE=2x ，222，<7 分）∵ DE +BE =BD 22∴ 2x +4x =36，解得 x= ± <负的舍去）， ∴ DE=2 ． <8 分）点评： 本题利用了平行线的性质、切线的判定、切割线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．13．如图，已知 △ BAC ， AB=AC ， O 为△ ABC 外心， D 为⊙ O 上一点， BD 与 AC 的交点为 E ，且2BC =AC ?CE 1nowfTG4KI① 求证： CD=CB ；② 若∠ A=30 °，且⊙ O 的半径为 3+ ， I 为△ BCD 内心，求 O I 的长．考点 ： 圆的综合题．专题 ： 压轴题．分析： ① 先求出= ，然后求出 △ BCE 和△ ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得∠ A= ∠ CBE ，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠ A= ∠ D ，然后求出∠ D= ∠CBE ，然后根据等角对等边即可得证；② 连接 OB 、OC ，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍求出∠ BOC=60 °，然后判定 △ OBC 是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得 OC 经过点 I ，设 OC 与 BD 相交于点 F ，然后求出 CF ，再根据 I 是三角形的内心，利用三角形的面积求出 IF ，然后求出CI ，最后根据 OI=OC ﹣ CI 计算即可得解．解答：2① 证明：∵ BC =AC ?CE ，∴ = ，又∵ AB=AC ，∴∠ BCE= ∠ABC ， ∴△ BCE ∽△ ACB ， ∴∠ CBE= ∠A ， ∵∠ A=∠D ， ∴∠ D=∠ CBE ， ∴ CD=CB ；② 解：连接 OB 、 OC ， ∵∠ A=30 °，设 OC 与 BD 相交于点F，则 CF=BC ×sin30°=BC ，BF=BC ?cos30°=BC，所以， BD=2BF=2 ×BC=BC ，设△ BCD 内切圆的半径为r，则 S△BCD = BD ?CF= <BD+CD+BC ）?r，即?BC? BC= <BC+BC+BC ）?r ，解得 r=BC=BC ，即 IF=BC，所以， CI=CF ﹣IF= BC﹣BC=<2 ﹣）BC，OI=OC ﹣ CI=BC ﹣ <2 ﹣）BC=<﹣1）BC，∵⊙ O 的半径为 3+，∴ BC=3+，∴ OI=<﹣1）<3+）=3+3﹣ 3﹣=2．点评：本题是圆的综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质， <2 ）作辅助线构造出等边三角形并证明得到 OC 经过△ BCD 的内心 I 是解题的关键．14．已知在△ ABC 中，∠ BAC 的平分线AD 与△ ABC 的外接圆交于D，过 D 作 EF∥ BC ．求证： EF 是⊙ O 切线．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：连接OD，根据角平分线得出弧BD= 弧 CD，根据垂径定理得到OD ⊥ BC ，推出 OD ⊥ EF，根据切线的判定推出即可．解答：证明：连接OD ，∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD= ∠ CAD ，∴弧 BD= 弧 CD，又∵ EF 过半径 OD 外端，∴EF是⊙O 切线．点评：本题考查了垂径定理，切线的判定，圆周角定理的应用，关键是推出 OD ⊥ EF，主要考查学生的推理能力．fjnFLDa5Zo 15． <1998?江西）如图，在△ABC 中， AC=BC ， E 是内心， AE 的延长线交△ABC 的外接圆于 D．求证： <1）BE=AE ；<2）．考点：三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：<1 ）根据等边对等角可以证得∠CAB= ∠ CBA ，然后根据内心的定义即可证得∠1=∠ 3，从而依据等角对等边即可证得；<2 ）首先证明△ BED 是等腰三角形，然后证明△ABC∽△ EBD，根据相似三角形的对应边的比相等，以及<1 ）的结论即可证得．解答：证明：<1）∵ AC=BC∴∠ CAB= ∠ CBA ，又∵ E 是内心，∴∠ 1=∠ 2=∠ 3= ∠ 4．∴ BE=AE ；<2 ）∵∠ BED= ∠ 1+∠ 3，∠ EDB= ∠ 2+∠ 5，又∵∠ 5=∠4，∴∠ BED= ∠ EDB ，∴BD=DE ，∴= ，又∵∠ D=∠ C∴△ ABC ∽△ EBD ，∴= ，∵BE=AE ，∴ = ．△ ABC ∽△ EBD 是关键．16．规定三角形的三条内角平分线的交点叫三角形的内心．<1）已知 I 为三角形ABC 的内心，连接AI 交三角形ABC 的外接圆于点D，如图所示，连接BD 和 CD，求证：BD=CD=ID ．tfnNhnE6e5<2）己知三角形ABC ， AD 平分∠ BAC 且与它的外接圆交于点 D ，在线段 AD 上有一点 I 满足 BD=ID ．试问点 I 是否是三角形ABC 的内心？若是加以证明；若不是，说明理由．HbmVN777sL考点：三角形的内切圆与内心；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：证明题．分析：<1 ）连接 BI ，根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到BD=DC ，根据三角形外角性质求出∠ IBD= ∠ BID ，根据等腰三角形的判定求出BD=ID 即可；<2 ）连接 BI ，根据等腰三角形的性质求出∠BID= ∠ IBD ，推出∠ ABI= ∠ CBI ，得出 I 是∠ BAC 何∠ ABC的平分线的交点即可．解答：<1 ）证明：连接 BI，∵ I 是△ ABC 的内心，∴∠ BAD= ∠ DAC ，∠ ABI= ∠CBI ，∴弧 BD= 弧 DC，∴BD=DC ，∵∠ BID= ∠ ABI+ ∠BAD ，∠ IBD= ∠ CBI+ ∠ DBC ，∵∠ CAD= ∠ BAD= ∠ DBC ，∴∠ DBI= ∠ BID ，∴BD=DI ，∴BD=CD=ID ．<2 ）答： I 是三角形ABC 的内心．证明：连接BI ，∵∠ BID= ∠ ABI+ ∠BAD ，∠ IBD= ∠ CBI+ ∠ DBC ， BD=ID ，∴∠ BID= ∠ IBD ，∴∠ ABI= ∠ CBI ，即 I 在∠ ABC 的平分线上，即 I 是∠ BAC 何∠ ABC 的平分线的交点，∴ I 也在∠ ACB 的角平分线上，即 I 是三角形 ABC 的内心．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．17． <2003?南宁）如图，已知 E 是△ ABC 的内心，∠ BAC 的平分线交BC 于点 F，且与△ABC 的外接圆相交于点D． V7l4jRB8Hs<1）求证：∠ DBE= ∠DEB ；<2）若 AD=8cm ， DF： FA=1 ： 3．求 DE 的长．考点：三角形的内切圆与内心；角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：<1 ） E 是△ABC 的内心， AD ，BE 分别是∠ BAC 和∠ ABC 的角平分线，又同弦所对的圆周角相等，易证明∠ DBE= ∠ DEB ；<2 ） AD=8cm ， DF ：FA=1 ： 3，易知 DF=2 ，∠ DBE= ∠ DEB ，即 BD=DE ，可以通过证明△DBF ∽△ DAB得出．解答：<1 ）证明：∵ E 是△ ABC 的内心，∴∠ ABE= ∠ CBE ，∠ BAD= ∠ CAD ，∵∠ CBD= ∠ CAD ，∠ DEB= ∠ BAD+ ∠ ABE ，∠ DBE= ∠ CBD+ ∠ EBC ，∴∠ DBE= ∠ DEB ；<2 ）解：∵ AD=8cm ， DF： FA=1 ： 3，∴DF=2 ，∵∠ DBC= ∠ DAC ，∠ BAD= ∠ CAD ，∴∠ DBC= ∠ BAD ，∵∠ D=∠ D，∴△ DBF ∽△ DAB ，∴DB ：DA=DF ：DB ，∵∠ DBE= ∠ DEB ，∴BD=DE ，∴DE=4 ．点评：本题考查了三角形的外接圆与内心，同时考查了相似三角形的判定和性质．18．如图． AD 、 AH 分别是△ ABC< 其中 AB ＞ AC ）的角平分线、高线，M 点是 AD 的中点，△ MDH 的外接圆交83lcPA59W9CM 于 E，求证∠ AEB=90 °．考点：四点共圆；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接MH，EH，由直角三角形斜边中点的性质，得MH=MA=MD，则∠ MHD=∠ MDH，由圆内接四边形的性质，得∠HEC= ∠ MDH ，即∠ MHD= ∠ HEC，利用互补关系可证∠MHC= ∠ MEH ，又公共角∠ CMH= ∠ HME ，可证△ CMH ∽△ HME ，利用相似比得22MH =ME ?MC ，而 MH=MA ，故 MA=ME ?MC，将问题转化到△ CMA 与△ AME 中，利用公共角证明△ CMA ∽△ AME ，可得∠ MCA= ∠ MAE ，利用角的相等关系转化，证明∠ BHE+ ∠ BAE=180 °，可判断 A ， B， H， E 四点共圆，证明结论．解答：证明：如图，连接 MH ， EH，∵ M 是 Rt△ AHD 斜边 AD 的中点，∴ MA=MH=MD，∴∠ MHD= ∠MDH ，∵M ，D，H，E 四点共圆，∴∠ HEC= ∠ MDH ，∴∠ MHD= ∠MDH= ∠ HEC，∴∠ MHC=180 °﹣∠ MHD=180 °﹣∠ HEC= ∠ MEH ，∵∠ CMH= ∠HME ，∴△ CMH ∽△ HME ，2∴，即 MH =ME ?MC ，∴MA 2=ME ?MC ，又∵∠ CMA= ∠AME ，∴△ CMA ∽△ AME ，∴∠ MCA= ∠ MAE ，∴∠ BHE+ ∠ BAE= ∠DHE+ ∠BAD+ ∠ MAE= ∠ DHE+ ∠ MAC+ ∠ MCA= ∠ DHE+ ∠ DME=180 °，∴A ，B ， H， E 四点共圆，∴∠ AEB= ∠ AHB ，又∵ AH ⊥BH ，∴∠ AHB=90 °，∴∠ AEB= ∠ AHB=90 °．点评：本题考查了四点共圆，相似三角形的判定与性质．关键是利用直角三角形斜边上中线的性质证明角相等，证明三角形相似，再利用相似比，将线段转化，证明新的相似三角形，得出相等角，利用角的和差关系证明四点共圆．19． <2018?安徽模拟）已知：如图，在△ ABC中，E是内心，延长AE 交△ ABC 的外接圆于点D，弦 AD 交弦 BC 于点 F．mZkklkzaaP<1）求证： DE=DB ；<2）当点 A 在优弧 BC 上运动时，若DE=2 ，DF=y ， AD=x ，求 y 与 x 之间的函数关系．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心．分析：<1 ）首先连接BE，由 E 是内心，易证得∠BED= ∠ EBC+ ∠ EAC ，∠ EBD= ∠ EBC+ ∠ CBD ，又由同弧所对的圆周角相等，证得∠EAC= ∠ CBD ，则可得∠ EBD= ∠ BED ，即可证得 DE=BD ；<2 ）首先根据有两角对应相等的三角形相似，证得2△ BDF ∽△ ADB ，则可证得： BD =AD ×DF，将已知线段的长代入即可求得x 与 y 的关系式．解答：解：<1）连接BE，∵ E 为内心，∴ AE ， BE 分别为∠ BAC ，∠ ABC 的角平分线，∴∠ BED= ∠ BAE+ ∠EBA ，∠ EBA= ∠ EBC ，∠ BAE= ∠ EAC ，∴∠ BED= ∠ EBC+ ∠EAC ，∠ EBD= ∠ EBC+∠ CBD ，∵弧 DC= 弧 DC，∴∠ EAC= ∠ CBD ，∴∠ EBD= ∠ BED ，∴DE=BD ；<2 ）由 <1）得∠ DBC= ∠ DAC ，∠ BAD= ∠ CAD ，∴∠ DBC= ∠ BAD ，∵∠ BDA 为共公角，∴△ BDF ∽△ ADB ，∴，∴BD 2=AD ×DF ，∵DF=y ，AD=x ，DE=2 ，∴ xy=4 ，∴ y 与 x 之间的关系式y=．点评：此题考查了圆的内心的性质与三角形相似的判定与性质等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．20．如图，在△ ABC 中，点 E 是内心，延长AE 交△ ABC 的外接圆于点D，连接 BD 、 CD 、CE，且∠BDA=60 °．AVktR43bpw<1）求证：△ BDE 是等边三角形．<2）若∠ BDC=120 °，猜想四边形BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想．考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理；三角形的内切圆与内心．专题：证明题．分析：<1 ）根据：∵∠ BCA 和∠ BDA 都是弧 AB 所对的圆周角，得到∠ BCA= ∠ BDA=60 °，根据三角形的内心，得出∠ BAE+ ∠ ABE=60 °，推出∠ BED=60 °，即可推出答案；<2 ）四边形 BDCE 是菱形，理由是：由<1）得∠ EDC=60 °，推出∠ BEC=120 °，得到等边△DCE ，得出CE=CD=DE ，进一步推出CE=BE=BD=CD ，即可推出答案．解答：<1 ）证明：∵∠BCA 和∠ BDA 都是弧 AB 所对的圆周角，∴∠ BCA= ∠ BDA=60 °，又∵∠ BED= ∠ BAD+ ∠ ABE ，∵ AE 、 BE 分别是∠ BAC 和∠ ABC 的角平分线，∴∠ BAE+ ∠ ABE=< ∠ BAC+ ∠ABC ）÷2=<180 °﹣∠ BCA ）÷2=60°，∴∠ BED=60 °，∴△ BDE 是等边三角形．<2 ）答：四边形BDCE 是菱形，证明：∵∠ BDC=120 °，由<1）得∠EDC=60 °，∵∠ BED=60 °，同<1）得，可推出∠BEC=120 °，∴△ DCE 是等边三角形，∴CE=CD=DE ，由 <1）得△BDE 是等边三角形，∴ BE=BD=DE ，∴CE=BE=BD=CD ，∴四边形 BDCE 是菱形．点评：本题主要考查对菱形的判定，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行证明是证此题的关键．21．点 D 是△ ABC 内一点， AD 平分∠ ABC ，延长 AD 交△ABC 的外接圆于点E， BE=ED ．<1）点 D 是否是△ABC 的内心？说明理由；<2）点 E 是否是△ BDC 的外心？说明理由．考点：三角形的内切圆与内心；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心．专题：证明题．分析：<1 ）根据角平分线性质求出BE=CE ，根据三角形外角性质和等腰三角形性质推出∠CBD= ∠ ABD ，即可得到答案；<2 ）根据 BE=CE=DE 即可推出答案．解答：解：<1）点D是△ABC的内心．理由是：连接CE，∵AD 平分∠ ABC ，∴∠ BAD= ∠ CAD ，∴弧 BE= 弧 CE，∴BE=EC ，∠EBC= ∠CAE= ∠BAE ，∵ BD=BE ，∴∠ EDB= ∠ DBE ，即∠ BAE+ ∠ ABD= ∠ CBD+ ∠ EBC ，∴∠ ABD= ∠ CBD ，即 D 是∠ ABC 和∠ BAC 的角平分线的交点，∴点 D 是△ ABC 的内心．<2 ）点 E 是△ BDC 的外心．理由是：由 <1）知： BE=CE=ED ，∴点 E 是△BDC 的外心．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．22．如图所示， I 为△ ABC 的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．考点：四点共圆；三角形的五心．专题：证明题．分析：如图，连接OB 、 BI 、OC，由 O 是外心知∠ IOC=2 ∠ IBC ，由 I 是内心知∠ ABC=2 ∠ IBC ，然后利用三角形的内角和定理即可证明∠ BOC+ ∠ A=180 °，接着即可证明△ BIC 的外心 O 与 A 、 B 、C 四点共圆．解答：证明：连接 OB 、 BI 、OC，由O 是外心知∠IOC=2 ∠IBC ．由I 是内心知∠ABC=2 ∠IBC ．从而∠ IOC= ∠ ABC ．同理∠ IOB= ∠ ACB ．而∠ BAC+ ∠ ABC+ ∠ ACB=180 °，故∠ BOC+ ∠ BAC=180 °，于是 O、 B 、A 、 C 四点共圆．点评：此题主要考查了四点共圆的问题，解题的关键是利用三角形的外心和内心得到角的关系，然后利用三角形的内角和解决问题．23．已知：如图，点I 是△ ABC 的内心， AI 交边 BC 于点 D，交△ABC 外接圆于点E．求证：<1） IE=BE ；2<2） IE =AE ×DE ．考点：圆的综合题．分析： <1 ）利用内心的性质得出∠1=∠ 2，∠ 3=∠ 5，再利用外角性质得出∠BIE= ∠ EBI ，进而求出即可；<2 ）利用相似三角形的性质与判定得出2△ BED ∽△ AEB ，进而求出 BE =AE ?ED，即可得出答案．解答：证明： <1）连接 BI 、 BE ．∵I 为△ ABC 内心，∴∠1=∠2，∠3=∠5，∵∠ 3=∠ 4，∴∠ 4=∠5，∵∠ BIE= ∠ 2+ ∠ 5，。

初中数学,借助一道和垂心、外心有关的题目复习下三角形的“心”

初中数学,借助一道和垂心、外心有关的题目复习下三角形的“心”

初中数学,借助一道和垂心、外心有关的题目复习下三角形的“心”大家好，感谢大家的关注，今天继续为大家分享！我们在学习三角形的时候，会有好多“心”的知识，其实三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心等等，可能好多同学已经被搞迷糊了，弄清楚它们很容易，我们先看一道题。

已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M。

（1）求证：AH=2OM；（2）若∠BAC=60°，求证：AH=AO。

分析：这道题出现了三角形的外心还有三角形的垂心，如果我们对三角形的各'心'很清楚的话我们很快就有思路（1）延长AD到F连BF，做OG⊥AF，求出矩形OGDM，求出OM=GD，根据等腰三角形的性质和判定、垂径定理求出HD=DF，代入求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出B=2OM即可．下面来看详细解答过程：证明（1）过O作OF⊥AC于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM=FN，∵AH=2FN，∴AH=2OM．证明（2）连接OB，OC∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∴∠BOM=60°，∴∠OBM=30°，∴OB=2OM=AH=AO，即AH=AO．本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点。

题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线以及对三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心等考点的理解。

可能还有好多朋友对这几个'心'还掌握的不是太好，那么今天我们就借助这道题再来把三角形内心、外心、中心、重心的知识再复习一下。

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• 16．规定三角形的三条内角平分线的交点 叫三角形的内心． • （1）已知I为三角形ABC的内心，连接AI交 三角形ABC的外接圆于点D，如图所示，连 接BD和CD，求证：BD=CD=ID
• 2）己知三角形ABC，AD平分∠BAC且与 它的外接圆交于点D，在线段AD上有一点I 满足BD=ID．试问点I是否是三角形ABC的 内心？若是加以证明；若不是，说明理 由．
• 6．在△ABC中，已知I为内心，O为外心， AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI．
• 如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的 内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接 BD、BI；
• （1）求证：DB=DI； • （2）连接OI，若OI⊥AD，且AB+AC=10， 求BC的长．
• 3．如图，△ABC的三边满足关系BC= （AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、 内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI 的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，
• 求证：（1）AI=BD； • （2）OI=AE．
• 已知△ABC中，O为外心，I为内心，且 AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图）．
内心外心题目
金子塔学校
• 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分 别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI 的值为 • （ ）
• •
A． 2
B．
C．
D． 1
• 2．如图，⊙O的内接Байду номын сангаас边形ABCD中，AC， BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的 内心．求证：
• （1）OI是△IBD的外接圆的切线； • （2）AB+AD=2BD．
• （1）求证：BF=EC； • （2）若C点是弧AD的中点，且DF=3， AE=3，求BC的长．
• 19．（2011•安徽模拟）已知：如图，在 △ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的 外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．
• （1）求证：DE=DB； • （2）当点A在优弧BC上运动时，若DE=2， DF=y，AD=x，求y与x之间的函数关系．
• 29．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB 交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．
• （1）求证：AC是⊙O的切线； • （2）若DE=2，BD=4，求AE的长．
• 30．已知：如图，AD是△ABC外接圆⊙O 的直径，AE是△ABC的边BC上的高， DF⊥BC，F为垂足．
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