中国科学院大学电子学院孙应飞随机过程作业答案
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及标准答案汇总
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀Λ210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P Λ形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P ΛΛΛΛΛ因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j Λ相互独立即可。
(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
(解答)《随机过程》第三章习题
第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题解答1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。
对0>s ，试求：（1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律；（2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。
解：（1）由泊松过程状态空间可知)(t X 的状态空间为：},2,1,0:2/)2{(},2,2/3,1,2/1,0,2/1,1{ =-=--=k k St s t t s t t s t t s t N t N E λλλλ++=+++=+)(},min{)()}()({22由于tn e m t n m e n k t k n k t N kP n s N P n s N k t s N P k n s N k t s N kP n s N t s N E m tm n k t n k n k n k nk λλλλλ+=+=-=-=====+===+==+∑∑∑∑∑∞+=-∞+=--∞+=∞+=+∞=0!)()()!()(})({})({})(,)({})()({})()({因此t s N s N t s N E λ+=+)(})()({其分布列为：sn e n s n s N P t n s N t s N E P λλλ-===+=+!)(})({}})()({{（2）由泊松过程的独立增量性可知过程)(t X 也是独立增量的，又因为1)0(-=X ，因此可知过程)(t X 是一马氏过程，其转移概率为：),(;)]!(2[)]([)}1(2)({)}(2)({)}1(2)({)}1(2)({)}1(2)(),1(2)({})({})(,)({),;,()()(2s t i j e i j s t i s N P i j s t N P i s N P i s N P j t N i s N P i s X P j t X i s X P j t i s p s t i j ≥≥--=+=-=-+==+=+=+======---λλ),(;0),;,(s t i j j t i s p ≥<=附：泊松过程相关函数的计算： 设210t t ≤<，我们有：∑∑+∞=+∞=+==+=002121})(,)({)()}()({m n n m t N m t N P n m m t N t N E由于当210t t ≤<时，,2,1,0,,!!)(})(,)({212121=-=+==-+n m e n m t t t n m t N m t N P t nm n m λλ因此，我们有：1212)(1212)(1)(2121112111111212121111101222122121112110121201211112110121001210012120012100212112121212121222222222222)()!1()(!)1()(!)(!)1(!)(!)2(!)1(!)1()(!!)1()(!!)2()(!)1(!)1()(!!)1()(!!)(!!)(!!)()(})(,)({)()}()({t t t e e e t t t e e e t e e e t n t t m t et t t n t t m t et n t t m t et e n m t t t e n m t t t en m t t t en m t t t e n m t t t m en m t t t n m e n m t t t m e n m t t t n m m n m t N m t N P n m m t N t N E t t t t t t t t t t t t n n n m m m t n nn m m m t n nn m m m t m n t n m n m m n t nm n m m n t nm n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t nm n m m n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+=-++=----+--+--=---++--+--=---+--=-+-=-+=+==+=------∞+=--∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-++∞=+∞=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑同理我们有：当120t t ≤<时221221)}()({t t t t N t N E λλ+=因此，有：},min{)}()({),(212122121t t t t t N t N E t t R N λλ+==2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。
第3-4讲随机过程 孙应飞
j
(i
,
1)
,
i 1 i0
其中 为该周期内到达的顾客数。
记 第 n 个 周 期 开 始 的 顾 客 数 为 X n ， 则 X n1 ( X n 1) n ， 其 中
a ˆ max{a,0}，根据马氏链的定义，可知{X n , n 0}是一马氏链。
由此推出：
P(m) P P (m1) (1) (P)m Pm
其中： P(1) P 由此可知：对于齐次马氏链，如果知道了它的初始分布 (0) 和一步转移矩
阵 P ，就可以求得 X (n) 的所有有限维概率分布。即有：
P{X (n1) i1, X (n2 ) i2 ,, X (nk ) ik }
m1
n
j 2
i
,
m2
n
j 2
i
中国科学院大学 2019～2020 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
n ji n ji n ji
C p q , (n)
2
2
2
n
p ij
0 ,
(n j i 是偶数) (n j i 是奇数)
p(n) ii
n
即上面式子的右边与时刻 n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。 对于齐次马氏链，我们记 P ( pi j ) ，称矩阵 P 为齐次马氏链的一步转移概
中国科学院大学 2019～2020 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
率矩阵，简称为转移矩阵。
注 3：对于马氏链{X (n); n 0} ，我们有： P{X (0) i0 , X (1) i1,, X (n) in} P{X (n) in X (0) i0 , X (1) i1,, X (n 1) in1}
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
《随机过程》第四章作业解答
,
f21
=
1 3
f21
+
2 3
,
得到
f61
=
1 。类似可得
2
f62
=
f63
=
f64
=
1。
2
∞
对于状态
1
而言，τ1
=
E(T1|X0
=
1)
=
1×
1 3
+
k·
2 3
·
(
1 3
)k−2
·
2 3
=
2。类似可得：
k=2
∞
∞
∞
τ2
=
1 3
+
k
·
2 3
·
(
1 3
)k−2
·
2 3
=
2,
τ3
=
1 4
+
k
·
3 4
pk0j > pkj。从而有
n
n
pk0j = pk0j
pik >
pikpkj = pij,
k=1
k=1
∀i ∈ E
由 i 的任意性得到矛盾，从而假设不成立。对 ∀i, j ∈ E, p1j = pjj。
1+(−1)k
2k+1
17. 解：(1) P k = 1+(−1)k+1
2k+1
其中, P (Sn > 0|Xn = i) =
n+i
Cn 2
p
n+i 2
(1
−
p)
n−i 2
C p (1 n+i 2 n
随机过程第三章作业答案
Yk-1 ]] ≤ b ⋅ ∑ E[I{T ≥ k} ]
k =0
= b ⋅ ∑ P(T ≥ k) = b(1 + E[T]) < ∞，即E[W] < ∞
10证明：利用停时定理2 由已知P(T<∞)=1,得条件1已满足。
2 2 又∀n ≥ 1，E[X T ∧ n ]=E[|X T ∧ n | ] ≤ c；
利用柯西-施瓦茨不等式(E[XY])2 ≤ E[X 2 ]E[Y 2 ]： 令Y=1，(E[|X T ∧ n |])2 ≤ E[|X T ∧ n |2 ]E[12 ] ≤ c ∴ E[|X T ∧ n |] ≤ c，进而有E[ sup|X T ∧ n |] ≤ c < ∞，
第三章习题解答
3-(1) ∵{ X n , n ≥ 0}是鞅， ∴ E[X 0 ] = E[X n ] = 0，且有 E[Yk ]=E[X k -X k-1 ]=0；Var(Yk )=E[Yk2 ]；Var(X n )=E[X 2 n ]；
2 E[Yk2 ]=E[(X k -X k-1 )2 ]=E[X k +X 2 k-1 -2X k X k-1 ] 2 =E[X k ]+E[X 2 其中 k-1 ]-2E[X k X k-1 ]，
9 (一)常规证明： 右侧不等号： E[X T ∧ n ]=E[X T ∧ n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ∧ n ⋅ I{T<n} ]=E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ⋅ I{T<n} ] =E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[∑ X k ⋅ I{T=k} ]
k =0 n-1
E[X k X k-1 ]=E[E[X k X k-1|X 0 X1 =E[X k-1E[X k |X 0 X1
《随机过程》第二章习题
7、 设具有三个状态的齐次马氏链的一步转移概率矩阵为：
p00 P p10 p 20
（a） 求 3 步首达概率 f 02 ；
( 3)
p01 p11 p 21
p02 1 / 2 0 1 / 2 p12 1 / 3 0 2 / 3 p 22 1 / 4 0 3 / 4
g
k 0
k
k 。
k 1
P0 P k 1 ( I P)e ；
1
（b） 对于任意 0 1 ，有： G( ) 0 ( I P) ( I P)e 。 13、 设有一生灭过程 { (t ); t 0} ，其中参数 n , n n ， 和 均为大于零的
随机过程讲稿
孙应飞
试求： （1） f 00 , f 00 , f 00 , f 01 , f 01 , f 01 ； （2） 确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。 6、 试确定下列齐次马氏链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。已知该链的 一步转移矩阵为：
(1) ( 2) ( 3) (1) ( 2) ( 3)
t o(t ) 生一个儿女，假定这些人是统计独立的，则如果在时刻 t 人口中有 n 个人，
在 (t , t t ) 中出生的概率是 nt o(t ) 。同样地，如果在 (t , t t ) 内一个人死亡的 概率是 t o(t ) ，则如果在 t 时刻有 n 个人活着，在 (t , t t ) 内死亡的概率是
常数，其起始状态为 (0) 0 。试求： （a） 该过程的 Q 矩阵； （b） 列出福克－普朗克微分方程； （c） 其均值函数 M (t ) E{ (t )} ； （d） 证明 lim p0 (t ) exp{ / } 。
随机过程答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。
中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案
中国科学大学随机过程（孙应飞）复习题及答案中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案（1）设是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为，且是一个周期为的函数，即，求方差函数。
解：由定义，有：（2）试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：，有形式上我们有：因此，我们只要能证明在已知条件下，与相互独立即可。
由独立增量过程的定义可知，当时，增量与相互独立，由于在条件和下，即有与相互独立。
由此可知，在条件下，与相互独立，结果成立。
（3）设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，，问过程是否为正态过程，为什么？解：任取，则有：由平稳增量和独立增量性，可知并且独立因此是联合正态分布的，由可知是正态过程。
（4）设为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。
解：标准布朗运动的相关函数为：如果标准布朗运动是均方可微的，则存在，但是：故不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。
（5）设，是零初值、强度的泊松过程。
写出过程的转移函数，并问在均方意义下，是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：其相关函数为：，由于在，连续，故均方积分存在。
（6）在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。
解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为。
（7）设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下：（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求步转移概率矩阵；（c）试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？解：（a）略（b）（c）此链不具遍历性（8）设，其中为强度为的Poission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有如下分布：问：随机过程是否为平稳过程？请说明理由。
由于：故是平稳过程。
（9）设，其中与独立，都服从（a）此过程是否是正态过程？说明理由。
随机过程第一章习题答案
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
随机过程第二章作业及参考答案
第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
(解答)《随机过程》第五章习题
T 2 (u)du
0
T 0
2
(v)dv
P
2
1 T T E{ 2 (u) 2 (v)}dudv P 2 T2 0 0
1 T2
T 0
T 0
[
R2
(0)
2
R2
(u
v)]dudv
P
2
2
T2
T 0
T 0
R2
(u
v)dudv
H ( j) 2 1
j
2 2
由维纳－辛嵌定理，有：
S
()
F[R
(
)]
2
2
2
2
由输入输出功率谱的关系，有：
因此，我们有
S ()
H ( j) 2 S ()
( 2
2
2
2 )( 2
2)
2
2
2 2
2
H ( j) 2 Sn ()
N0 2( 2 2 )
由维纳－辛嵌定理，有：
由于
R
( )
F
1[S
()]
N0 4
e
E{(t)} 0 ， D{(t)}
E{(t)(t)} 2[R (0) R (T )]
N0 2
1 eT
ˆ
（1）在 t 0 时输出(0) 大于 y 的概率 P{(0) y}；
（2）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 ；
（3）求条件概率 P{(0) y (T ) 0}，其中T 0 。
第18-20讲随机过程 孙应飞
xy0
xy0
E{XY} 2 xyf (x, y)dxdy xy0
r 1
2
20
0
xyf
(x,
y)dxdy
0
0
xyf
(x,
y)dxdy
令：
则有：
u v
x
1 y
2
E XY
r 1 2
2 1 2 1 r2
5．例子
设 ( X1, X 2 , X 3, X 4 ) 为服从正态分布的随机向量，且 E{X i} 0,i 1,2,3,4 ，
试证明：
E{X1 X 2 X 3 X 4} E{X1 X 2}E{X 3 X 4} E{X1 X 3}E{X 2 X 4} E{X1 X 4}E{X 2 X 3}
过程为高斯过程或正态过程。正态过程是二阶矩过程。
设 t1,t2 ,,tn T ，则由正态过程的定义，有：
f (xt1 , xt2 ,, xtn )
1 (2 )n / 2
B
1/ 2
exp{ 1 (xt 2
t )T B1 (xt
t )}
其中：
T
xt
(xt1 , xt2 ,, xtn )
征值。
（6） n 维正态随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 的每一个分量都是正态变量；反
中国科学院大学 2019～2020 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
之，若 X1 , X 2 ,, X n 都是正态随机变量，且相互独立，则 ( X1 , X 2 ,, X n ) 是 n 维正态随机变量。
0
(解答)《随机过程》第四章习题
（2）如果 X ~ N (0,1) ，问过程 (t) 是否均方可微？说明理由。
解：计算随机过程 (t) 的相关函数：
R (s,t) E{ (s) (t)} E{( X cos 2s Y sin 2s)(X cos 2t Y sin 2t)} cos 2s cos 2tE{X 2} sin 2s sin 2tE{Y 2} [cos 2s sin 2t sin 2s cos 2t]E{XY}
4、 设有随机过程 X (t) 2Z sin(t ) ， t ，其中 Z 、 是相互独立的随机 变量，Z ~ N (0,1) ，P( / 4) P( / 4) 1/ 2 。问过程 X (t) 是否均方可积
过程？说明理由。
解：由 Z 、 的相互独立性，计算随机过程 X (t) 的均值函数和相关函数： E{X (t)} E{2Z sin(t )} 2E{Z}E{sin(t )} 0
Y (t) 2X (t) 1， t 0 。试求过程{Y (t), t 0} 的相关函数 RY (s,t) 。
解：由相关函数的定义，有：
RY (s,t) E{Y (s)Y (t)} E{(2X (s) 1)(2X (t) 1)} 4E{X (s) X (t)} 2E{X (s)} 2E{X (t)} 1 4E{X (s) X (t)} 4 1
0
T 2 T T E{X (s) X (u)}dsdu m2 00
T 2
T 0
T 0
R
X
(
s
u
)dsdu
m
2
T 2
T 0
T 0
[C
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
孙应飞随机过程答案
孙应飞随机过程答案【篇一：随机过程第18-19讲】lass=txt>（四）随机分析（续）5．随机微分方程初步设{y(t);t?t}是一均方连续的二阶矩过程，x0是一存在一、二阶矩的随机变量，假设{y(t);t?t}和x0是独立的，考虑以下随机微分方程： ?dx(t)?y(t)??dt??x(t0)?x0试研究{x(t);t?t}的统计特性。
解：方程两边在均方意义下积分，有：x(t)?x(t0)??ty(u)dut并且该解是唯一的。
由于：e{x(t)}?e{x(t0)}??te{y(u)}dut所以，当e{y(t)}?0时，e{x(t)}?e{x0}又相关函数为：rx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)}?e{x0}?e{x0}?te{y(u)}du?e{x0}?te{y(u)}du2t2t1??tt2?t1t0ry(u,v)dudv所以，当e{y(t)}?0时，有：rx(t1,t2)?e{x0}??t设有一阶线性微分方程：2t2?t1t0ry(u,v)dudv?dx(t)?a(t)x(t)?y(t)??dt??x(t0)?x0其中a(t),t?t是一确定性函数，{y(t);t?t}是一均方连续的实二阶矩过程，x0是存在一、二阶矩的随机变量，则此线性方程有唯一的解：x(t)?x0exp{?ta(u)du}??ty(v)exp{?va(u)du}dvttt下面研究其均值函数和相关函数?x(t)?e{x(t)}?e{x0}exp{?ta(u)du}??te{y(v)}exp{?va(u)du}dvtttrx(t1,t2)?e{x(t1)x(t2)}?e{x}exp{?ta(u)du}exp{?ta(v)dv}20t1t2?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dvt1t2t2?exp{?ta(u)du}?te{x0y(v)}exp{?va(u)du}dvt2t1t1??tt1?t2t0ry(v1,v2)exp{?va(u)du}exp{?va(u)du}dv1dv2121t1t2（五）各态历经性1．各态历经性本节主要讨论根据试验记录（样本函数）确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。
中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案汇总
（1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。
解：由定义，有：)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D（2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。
证明：我们要证明：n t t t <<<≤∀ 210，有})()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤=======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。
随机过程习题答案
给出，其中为常数，分别为输入平稳过程和输出平稳过程的样本函数， 且输入过程均值为零，初始条件为零，，求输出的谱密度和相关函数。 解 令输入，则，将其带入方程
解出 所以，
又 ，再根据傅氏变换的线性性质 7.16 设一个线性系统输入平稳过程为，其相关函数为。若输入、输出的 样本函数满足微分方程
其中为常数，求输出过程的谱密度和相关函数。 解 令输入，则，将其带入方程
试证 解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有 同理有 所以， 4.5 设为随机过程，且
为独立同分布随机变量序列，令
试证：是马尔可夫链。
证明 只要证明满足无后效性，即 即可。 根据题意，，由此知是的函数，因为是相互独立的随机变量，所以，对 任意的n，与相互独立。从而 （因）
（2）画出状态转移图
因为是有限链，必有正常返态，状态0无周期、正常返，是遍历态；由 于各状态互通，所以1、2也是遍历态，所以是遍历链。 （3）因为该链为遍历链，极限分布就是平稳分布，根据和得方程组 解此方程组得
所以平稳分布为 ，， 4.17 设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空 间是按BOD浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵 （以一天为单位）为
随机过程习题答案
习题2
2.1 设随机过程为常数，，求的一维概率密度、均值和相关函数。 解 因，所以，也服从正态分布， 所以，的一维概率密度为 ， 均值函数 相关函数
2.2 设随机变量Y具有概率密度，令，，求随机过程的一维概率密度 及。 解 对于任意，是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的 分布的求法，
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于， 令，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正）， （正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转 移概率矩阵。 解 对应状态为 ，（正，反），（反，正），（反，反） ， （不可能事件） （不可能事件） 同理可得下面概率 ， ， ， ， ， ， 一步转移概率矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为