2012-2013秋季学期《随机过程》第六章习题
随机过程答案
2012-2013学年第一学期统计10本《随机过程》期中考试一. 填空题1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵()()n ij P p =，二者之间的关系为(n)n P P =2.状态i 常返的充要条件为()0n iin p ∞==∑∞。
3.在马氏链{},0n X n ≥中，记()n i jp ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==，n ≥1.i j p =()1n i j n p ∞=∑,若i j p <1,称状态i 为 。
二. 判断题1. S 是一个可数集，{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量，若()1011100111111,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-∀≥∀∈X =|====X =|X=并且满足，则{:0n n X ≥}是一个马氏链。
×2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。
×3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。
×4. 若状态i ↔状态j ，则i 与j 具有相同的周期。
√5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。
√三. 简答题1．什么是随机过程，随机序列答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。
当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。
2 .什么是时齐的独立增量过程答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<<L 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
随机过程习题和答案
一、设二维随机变量 ( ,) 的结合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：＝当时，＝设失散型随机变量X 听从几何散布：试求的特点函数，并以此求其希望与方差。
解：因此：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确立的 t对应随机变量t假如对 t时获得红球X (t )3e t假如对 t时获得白球试求这个随机过程的一维散布函数族 .设随机过程，此中是常数，与是相互独立的随机变量，听从区间上的均匀散布，听从瑞利散布，其概率密度为试证明为宽安稳过程。
解：（ 1）与没关（2），因此（3）只与时间间隔有关，因此为宽安稳过程。
设随机过程X (t ) U cos2t，此中 U 是随机变量，且E(U ) 5， D (U ) 5.求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数 .设有两个随机过程X (t ) Ut 2， Y(t ) Ut 3 ,此中 U 是随机变量，且 D (U ) 5.试求它们的互协方差函数。
设 A, B是两个随机变量, 试求随机过程X (t) At 3B，t T ( ,)的均值函数和自有关函数.若 A, B互相独立,且 A ~ N (1,4), B ~ U (0,2),则m X(t)及R X(t1, t2)为多少？一队学生按序等候体检。
设每人体检所需的时间听从均值为 2 分钟的指数散布而且与其余人所需时间互相独立， 则 1 小时内均匀有多少学生接受过体检在这 1 小时内最多有40 名学生接受过体检的概率是多少（设学生特别多，医生不会安闲）解：令 N (t) 表示 (0, t) 时间内的体检人数，则N (t ) 为参数为 30 的poisson 过程。
以小时为单位。
则 E(N(1)) 30。
40 (30) k e 30。
P(N (1) 40)k!k 0在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强度分别为 1，2，当 1 路公共汽车有N1人乘坐后出发； 2 路公共汽车在有N2人乘坐后出发。
随机过程2012B'卷及答案
河北科技大学2012——2013 学年第一学期《应用随机过程》试卷（B′）学院理学院班级姓名学号一．概念简答题（每题5分，共40分）1. 写出ARMA（p,q）模型的定义2. 写出卡尔曼滤波的算法公式3. 一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为111,,236，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一年，店主即获利5元，设()Y t是[0,)t时段内，店主从订阅中所获得总收入。
试求：（1）[()]E Y t（即[0,)t时段内总收入的平均收入）；（2）[()]D Y t 。
4. 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为2424()109X w S w w w +=++，试求其自相关函数()X R τ。
5. 设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。
6. 设()X t 为二阶矩过程，212()12(,)t tX R t t e --=，若()()()d Y t X t X t dt=+，试求12(,)Y R t t 。
7. 随机过程2{()(),,(,)}X t A t t T A N ϕμσ=∈ 是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。
8. 什么是随机过程，随机序列？ 二．综合题（每题10分，共60分）1. 设{(),0}X n n ≥是具有3个状态1,2,3的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵为1/41/21/41/21/41/401/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，初始分布为 123(0){(0)1}1/2,(0)1/3,(0)1/6p P X p p =====（1） 试求{(0)1,(2)3};P X X == （2） 试求{(2)2};P X = （3） 此链是否具有遍历性？ （4） 试求其平稳分布。
2. 设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为P=0.50.40.10.30.40.30.20.30.5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其相应的极限分布。
《随机过程》第六章习题
Y (s)ds, t 0 ，在均方可积意义下是否存在？存在的话，试求其相
0
t
(t ) e at B(e 2at 1), t 0, a 0 的常数，试求随机过程 (t ) 和 (t ) 的均值函数和相
关函数，并说明 (t ) 和 (t ) 是否是正态过程。 3、 设 {B(t ) , t 0} 是 标 准 的 布 朗 运 动 ， 试 求 B(t ) 与
P{B(t 0 t ) x0 B(t 0 ) x0 } P{B(t 0 t ) x0 B(t 0 ) x0 } 1 / 2 ；
Ta inf{t :t 0, B(t ) a} ， （3） 令： 当 a 0 时， Ta 表示布朗运动首次到达 a 的时刻，
试求 Ta 的分布函数。 7、 设 B(t ) , t 0 是初值为零的标准布朗运动，令：
中国科学院大学 2014～201
第六章 高斯过程（维纳过程） 习题
1、 设有随机过程 Y (t ) t X 1, 0 t ， X 是正态随机变量，期望为 0，方差为 X 。
2 2
（1） 过程 Y (t ) 是否正态过程？是否平稳过程？均需说明理由； （2） 过程 Z (t ) 关函数。 2、 设 B(t ) , t 0 是 初值 为零 的标 准布朗 运 动， 令 (t ) (1 t ) B[t /(1 t )], 0 t 1 ，
X (t ) B(t ) tB(1) , 0 t 1
称 { X (t ), 0 t 1} 为布朗桥过程。 （1） 试问布朗桥过程是否为正态过程，为什么？ （2） 试求布朗桥过程的均值函数和相关函数； （3） 试求布朗桥过程的一维分布密度函数。
(完整版)上海大学随机过程第六章习题及答案
第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
上海大学随机过程第六章习题及答案
第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
上海大学随机过程第六章习题与答案
第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值.（1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P t n i i ===++=⎩⎨⎧≤>i j ij a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j ij iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题六答案
P X t h X t 1 X t 为偶数 h h
取初始条件 X 0 0 ，求下列概率
p1 t P X t 奇数, p2 t P X t 偶数
答：
记 p1 t P X t 奇数 X 0 0, p2 t P X t 偶数 X 0 0
k 1
k 1
m0
z m t Pim
m0
t
zm
z2 t
z
m0
Pim
t zm
z2
t
G t, z
z
④
1
t
Pi1
t
k1
k 1
t
Pik 1
t
zk1 z Nhomakorabea
k 1
P X t h 偶数 X t 奇数 p1 t P X t h 偶数 X t 偶数 p2 t
h 1 p2 t 1 h p2 t h
p2 t p2 t
于状态 0 的概率 P00 t 。
答：
设 x t 为 t 时刻所处状态，记
P00 t P xt 0 x0 0, P01 t Px t 1 x 0 0
易知： P00 t P01 t 1 ，采用无穷小分析法
P00 t t P x t t 0 x 0 0 P x t t 0, x t 0 x 0 0 P x t t 0, x t 1 x 0 0 P00 t P x t t 0 x t 0 P01 t P x t t 0 x t 1
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
随机过程-习题-第6章
随机过程-习题-第6章(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2222222000000σσσσσσσa a a B试求其特征函数。
解：n 元正态分布的特征函数为}21exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξn i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则∑=='ni ijat t j 1μ()()),,,(2122322222121'++='n n t tt t t a t t a t t Bt t σσσσσσ=22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑-=+=+1121122n i i i ni i a t t t σσ∴]21exp[)]21(exp[),,,(112112221][∑∑-=+=--=n i i i ni i i n a t t t jat t t t σσφξ. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ，n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--=设有随机变量∑==ni i 1ξη，求?的特征函数。
解：易得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n ξξξη 21]111[2)1(][][11+===∑∑==n n i E E ni ni i ξη 协方差矩阵为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=n nn n n n n n n n321312211121B所以 ]111[]111['⋅⋅= B ηD =223n n +由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ)3,2,1(=i ，其协方差矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211b b b b b b b b b B其中，2332211σ===b b b ，试求：（1）[]321ξξξE（2）[]232221ξξξE （3）)])()([(223222221σξσξσξ---E 解：（1） 由教材467P 页可看出()()3,2,1,,,,321321=Φ-=∂Φ∂i t t t u t t t t i i()()()j i j i t t t u u t t t b t t t t t j i ij ji ≠=Φ+Φ-=∂∂Φ∂且3,2,1,,,,,,,3213213212，()()()()()()()3213211232133123213213211233212133213123213213,,,,,,,,,,,,t t t u u u u b u b u b t t t u u u t t t u b t t t u b t t t u b t t t t t t Φ-++=Φ-Φ+Φ+Φ=∂∂∂Φ∂ 其中：()321,,t t t Φ为零均值的三元正态分布随机变量321,,ξξξ的特征函数()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=Φ∑=3132121exp ,,k k k u t t t t∑==31i i ki k t b u令0321===t t t ，则()3,2,1,0,10,0,0===Φk u k ，所以[]()()0,,032132133213213=∂∂∂Φ∂====-t t t t t t t t t jE ξξξ（2）设()321123213312u u u u b u b u b N -++=，则()()3213213213,,,,t t t N t t t t t t Φ=∂∂∂Φ∂21333123321333123312321233122321222132312221133112321111231312123131222213332122231133221132132222u u b u u b u u b b b b b t Nu u b u u b u u b b b b b t Nu u b u u b u u b b b b b t Nb b b b b b b b b b b b t t t N---+=∂∂---+=∂∂---+=∂∂++++=∂∂∂∂()()()()()()()2313123322110132321223132123213212321321303213213023222132164,,,,,,,,,,,,321321321b b b b b b t N t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t t t t t -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂Φ∂+∂∂∂∂Φ∂+∂∂∂∂Φ∂+Φ∂∂∂∂=∂∂∂Φ∂=∂∂∂Φ∂========= []()()()()231312332211023222132162322214,,63216b b b b b b jt t t t t t jE t t t -=∂∂∂Φ∂=--===ξξξ(3)()()()[]()()()()[]()2121122221222121122122112221121222112121122122221214,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂()()()[]()()()()[]()3131132321332131132133113231121333113131133122321314,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂()()()[]()()()()[]()3232232322332232232233223232222333223232233222322324,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂[]()21222110222121422212,21b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ []()21333110232131423212,31b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ []()22333220232232423222,32b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ()()()[][][][][]()()()22321321222313126232221423222321222122322212232222212224b b b b b b E E E E E E E E ++--=-+++++-=---σσξξξσξξξξξξσξξξσξσξσξ另一种方法是利用设有三维正态分布的随机矢量T ξ=[1ξ,2ξ,3ξ]的概率密度为f []ξ(x 1,x 2,x 3)=C )}422(21exp{2321222121x x x x x x x +-+--(1)证明经过线性变换η=A ξ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---100721021411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321ξξξ 得矢量T η=[321,,ηηη]，则321,,ηηη是相互统计独立的随机变量。
随机过程2012A'卷及答案
河北科技大学2012——2013 学年第一学期《应用随机过程》试卷（A ′）学院 理学院 班级 姓名 学号一．概念简答题（每题5分，共40分）1. 什么是随机过程，随机序列？2. 随机过程2{()(),,(,)}X t A t t T A N ϕμσ=∈ 是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。
3. 设()X t 为二阶矩过程，212()12(,)t t X R t t e --=，若()()()dY t X t X t dt=+，试求12(,)Y R t t 。
4.设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。
5. 已知平稳过程()X t的功率谱密度为2424()109XwS ww w+=++，试求其自相关函数()XRτ。
6．一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为111,,236，彼此如何订阅是相互独立的，每订阅一年，店主即获利5元，设()Y t是[0,)t时段内，店主从订阅中所获得总收入。
试求：（1）[()]E Y t（即[0,)t时段内总收入的平均收入）；（2）[()]D Y t。
7. 写出卡尔曼滤波的算法公式8．写出ARMA（p,q）模型的定义二．综合题（每题10分，共60分）1.设二维随机变量(,)X Y的概率密度为(,)f x y=2,01,01 0,x y x y--<<<<⎧⎨⎩其他试求p{x<3y}2. 设到达某图书馆的读者组成一泊松流，平均每30min 到达10位。
假定每位读者借书的概率为13，且与其它读者是否借书相互独立，若令{(),0}Y t t ≥是借书读者流，试求：（1）在[0,)t (0)t ≥内到达图书馆的读者数()N t 的概率分布； （2）平均到达图书馆的读者人数； （3）借书读者数()Y t 的概率分布。
随机过程课后习题
习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。
5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11n i i XX n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
2012年随机过程试卷答案
故 3,1, 是非常返且非周期， 因此， I 可分解为
I = K + J = {1, 3} ∪ {0, 2, 4}.
……………15 分
……………18 分
转移状态图如下：
北方工业大学试卷
第5页
共 10 页
五、 （20 分）
设随机过程X (t ) = A cos(ωt + Θ), 其中A是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为
为常返态.
……………10 分
北方工业大学试卷
第3页
共 10 页
又因为
(1) (2) μ0 = f 00 + 2 f 00 =
3 1 < ∞, 并且 p00 = > 0, 易得 d1 = d 0 = 1, 所以状态 1，0 均为非周期、 2 2
正常返.
3
……………13 分 ……………15 分
由π = π P 和 ∑π i = 1，
n=0,1,2,3,…}是两个状态的马氏链， 这说明 n 个中继站具有无记忆性， 所以 { X(n)，
状态空间为 I ={0，1}， ……………5 分
而其一步转移概率矩阵为
北方工业大学试卷
第8页
共 10 页
⎛ p 1− p ⎞ ⎛ p P=⎜ ⎟=⎜ p ⎠ ⎝q ⎝1 − p
q⎞ ⎟. p⎠
……………8 分
(2) P( X (0) = 1) p11 (2) (2) + P( X (0) = 1) p11 P( X (0) = 0) p01
=
1 {β [1 − ( p − q ) 2 ] + α [1 + ( p − q) 2 ]} 2 α + α ( p − q)2 = , 1 + (α − β )( p − q ) 2 进一步，由
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。
1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。
1.3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。
1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。
1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中λ≥0为常数，求常数A 、B 的值。
1.6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。
1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立？1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。
求Y 的概率密度分布函数。
1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere-⎧<=⎨⎩ 求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
1.10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为σY 的正态分布，求X 的概率密度分布。
《随机过程》习题_施雨(西交大)
X 1 , Y2 X 1 X 2 ,
Y3 X 1 X 2 X 3 , 求
(1) Y1 ,Y2 ,Y3 的联合概率密度； (2) Y1 ,Y2 的联合概率密度。 1.24 已知随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布．假若 λ 本身是另一个随机变量，试就以下 两种情形，求 X 的概率函数（分布律） 。 (1) λ 服从均值 μ=1/c (c > 0)的指数分布； (2) λ 服从参数为 α，c(α>0, c>0)的 Γ 分布
2
试证： (1)
D X Y E X 2 Y E X Y ；
2
(2) （全方差公式） D( X ) E D X Y D E X Y 。 1.19 设 X 与 Y 是相互独立的连续型随机变量，且 Y~U(0,1)，令 Z=X+Y，证明 Z 的概率密度 为 f Z ( z) FX ( z ) FX ( z 1) 。 1.20 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量，其中 X~U(0,1)，Y 服从 0-1 分布，即 P{Y 1} p ， P{Y 0} 1 p (0 p 1) ，求 X+Y 以及 XY 的概率分布。 1.21 设 X1 与 X2 是独立同指数分布 Exp(λ)的随机变量， (1) 证明 X 1 X 2与
P B A P Ak A P B AAk 。
k 1
1.14 设 A, B, C 为三个事件，证明 A 与 B 关于 C 条件独立当且仅当 P A BC P A C 。 1.15 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f X ( x) xe x , x 0 ，求 E X | X 1 。 1.16 设 X 与 Y 为随机变量，并且 0 < D(X) < ∞，0 < D(Y) < ∞，证明：
随机过程课后习题答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
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中科院研究生院2012～2013第一学期 随机过程讲稿 孙应飞
第六章 高斯过程（维纳过程） 习题
1、 设有随机过程Y ，∞<<−=t X t t 0,1)(2X 是正态随机变量，期望为0，方差为。
2X σ（1） 过程Y 是否正态过程？是否平稳过程？均需说明理由；
)(t （2） 过程，在均方可积意义下是否存在？存在的话，试求其相关函数。
0,)()(0>=
∫t ds s Y t Z t
2、 设是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B 10)],1/([)1()(<≤−−=t t t B t t ξ，的常数，试求随机过程0,0),12>≥−a t at η()(=−e B e t at )(t ξ和)(t η的均值函数和相关函数，并说明)(t ξ和)(t η是否是正态过程。
3、 设是标准的布朗运动，试求与的相关系数，其中：。
}0,)({≥t t B 1≤≤t )(t B ∫1
0)(du u B 04、 已知是初值为0的标准布朗运动，
求在0),(>t t B 0)1(=B 时的条件概率分布密度函数。
)10()(<<t t B 5、 已知是初值为零的标准布朗运动，令0,)(≥t t B b t B a t +=)()(ξ，b at B t +=)()(η，
其中常数a ，t 。
试分析此两随机过程的前二阶矩是否相同？此两过程是否同分布？说明理由。
0>b ,0>0≥6、 设{为零初值的标准布朗运动，试求：
}0),(≥t t B （1） 在的条件下，的条件概率密度函数，其中t ；
01)(x t B =)(2t B 12t >（2） 布朗运动的对称性，即证明：当 t 时，有
0,00>>t 2/1})()({})()({00000000==≤+==>+x t B x t t B P x t B x t t B P ；
（3） 令：
T })(,0:inf{a t B t t a =>=a ，T 表示布朗运动首次到达a 的时刻，当时，试求T 的分布函数。
a 0>a 7、 设是初值为零的标准布朗运动，令：
0,)(≥t t B 10,)1()()(≤≤−=t tB t B t X
称{}10),(≤≤t t X 为布朗桥过程。
（1） 试问布朗桥过程是否为正态过程，为什么？
（2） 试求布朗桥过程的均值函数和相关函数；
（3） 试求布朗桥过程的一维分布密度函数。