第9章 第3讲计数原理、概率、随机变量及其分布

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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[解析] (1)Tr＋1＝Cr7·(2x)7－r·(ax)r＝27－rCr7ar·x21r－7.令 2r－7＝3，则 r＝5.由 22·C57a5＝
84 得 a＝1，故选 C．
(2)由题意得 C130－aC210＝30，解得 a＝2，选 D．
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5．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x12)(1＋x)6 展开式中 x2 的系数为
A．15
B．20
C．30
D．35
(C )
[解析] (1＋x)6 展开式的通项 Tr＋1＝Cr6xr，所以(1＋x12)(1＋x)6 的展开式中 x2 的系 数为 1×C26＋1×C46＝30，故选 C．
(2)(角度 2)(2019·福州模拟)设 n 为正整数，(x－x23)n 的展开式中仅有第 5 项的二项
式系数最大，则展开式中的常数项为
(B )
A．－112
B．112
C．－60
D．60
(3)(角度 1)(2019·重庆模拟)(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为
(B )
A．－10
B．－5
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角度 2 二项展开式中的含参问题
例 2 (1)(2019·湖北模拟)若二项式(2x＋ax)7 的展开式中x13的系数是 84，则实数
a＝
(C )
A．2
B．5 4
C．1
D．
2 4
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(3)(x＋y)5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·x5－r·yr，令 5－r＝1，得 r＝4，令 5－r ＝2，得 r＝3，
∴(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 C54×1＋(－1)×C35＝－5.故选 B．
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(2)(2019·河北邯郸模拟)在(x＋ 3x)n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比
为 64，则 x3 的系数为
(C )
A．15
B．45
C．135
D．405
(3)(2020·辽宁省朝阳市质量检测)设(1＋x2)(2－x)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x －1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则 a0＋a2＋a4＋a6＝__8___．
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求二项展开式中的特定项或其系数，一般是化为通项公式后，令字母的指数符 合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r，代回通项公 式即可．
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〔变式训练 1〕
(1)(角度 1)(2018·浙江，14)二项式(3 x＋21x)8 的展开式的常数项是__7___．
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题组二 走进教材
2．(P31 例 2(2))若(x＋1x)n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为
A．10
B．20
( B)
C．30
D．120
[解析] 二项式系数之和 2n＝64，所以 n＝6，Tk＋1＝C6k·x6－k·(1x)k＝Ck6x6－2k，当 6－ 2k＝0，即当 k＝3 时为常数项，T4＝C36＝20．
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(2)(2019·山东枣庄二模)若(x2－a)(x＋1x)10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于
(D )
A．13
B．12
CBaidu Nhomakorabea1
D．2
(3)(2019·河北衡水中学模拟)已知二项式(2x－ 1x)n 的展开式中第 2 项与第 3 项的
二项式系数之比是 ，则 x3 的系数为__2_4_0___．
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考点突破 • 互动探究
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考点一 二次展开式的通项公式的应用——多维探究
角度 1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
例 1 (1)(2018·课标卷Ⅲ)(x2＋2x)5 的展开式中 x4 的系数为
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(3)由题意，令x＝2得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0， 令x＝0得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝16， 两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝16， 所以a0＋a2＋a4＋a6＝8.故答案为8．
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[引申]在本例(3)中，(1)a0＝__2___； (2)a1＋a3＋a5＝__－__8___； (3)(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝__0___； (4)a2＝__5___．
C．5
D．10
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[解析] (1)Tr＋1＝Cr8(3 x)8－r·(21x)r＝21rCr8x8-34r ，由 8－4r＝0 得 r＝2，故常数项为 T3＝212C28＝7．
(2)依题意得，n＝8，所以展开式的通项 Tr＋1＝Cr8x8－r(－x23)r＝Cr8x8－4r(－2)r，令 8 －4r＝0，解得 r＝2，所以展开式中的常数项为 T3＝C82(－2)2＝112．
(3)由题意得：Cn1 n2＝
，解得
n＝6.所以
Tr＋1＝Crn(2x)n－r(－
1 x
)r
＝
Cr626
－
r
3
(－1)rx6－2
r,
令 6－32r＝3，解得：r＝2.所以 x3 的系数为 C6226－2(－1)2＝240．
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3．(P41B组T5)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( B )
A．9
B．8
C．7
D．6
[解析] 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝ 16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8．
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1．(多选题)下列结论错误的是( AD ) A．Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项 B．(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关 C．(x－1)n 的展开式二项式系数和为 2n D．在(1－x)9 的展开式中系数最大的项是第 5 项和第 6 项
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[解析] (1)由题意知 2n＝128，解得 n＝7， ∴Tr＋1＝Cr7(2x2)7－r(－1x)r＝(－1)r27－rCr7x14－3r， 由 14－3r＝－1，得 r＝5， ∴含1x项的系数为(－1)522C27＝－84.选 A． (2)由题意42nn＝64，n＝6，Tr＋1＝Cr6x6－r( 3x)r＝3rCr6x6－32r ，令 6－32r＝3，r＝2,32C26＝ 135，选 C．
A．10
B．20
C．40
D．80
(2)(2019·课标Ⅲ，4)(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为
A．12
B．16
C．20
D．24
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(C ) (A )
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(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为
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知识点三 二项式系数的性质 (1)0≤k≤n 时，Cnk与 Cnn－k的关系是__C_nk_＝__C_nn_－_k___． (2)二项式系数先增后减，中间项最大． 当 n 为偶数时，第n2＋1 项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，第n＋2 1项和n＋2 3项 的二项式系数最大． (3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝__2_n__，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋ C5n＋…＝_2_n_－_1_．
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考点二 二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研
例 3 (1)(2019·河北衡水中学五调)已知(2x2－1x)n(n∈N)的展开式中各项的二
项式系数之和为 128，则其展开式中含1x项的系数是
(A )
A．－84
B．84
C．－24
D．24
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(C)
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(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2． 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5． 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C． 另解：由乘法法则知 5 个因式中两个选 y 项，两个选 x2 项，一个选 x 项乘即可， ∴x5y2 的系数为 C25C13＝30．
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其中的系
数
C
k n
(k＝
0,1,2，
…
，n)叫
做
___二__项__式__系__数___，
式
中的
_C__nka_n_－_k_b_k _
叫做
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第三讲 二项式定理
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
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知识梳理 • 双基自测
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知识点一 二项式定理
二项
展
开式
的
__通__项____，用 Tk＋1 表示，即通项为展开式的第__k_＋__1___项：Tk＋1＝_C__nka_n_－_k_b_k _．
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知识点二 二项展开式形式上的特点
(1)项数为__n_＋__1___． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为__n___． (3)字母a按__降__幂____排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按 __升__幂____排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n．
A．10
B．20
C．30
D．60
[解析] (1)Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(2x)r＝Cr52rx10－3r，
当 10－3r＝4 时，解得 r＝2，
则 x4 的系数为 C25×22＝40，选 C． (2)(1＋x)4 的二项展开式的通项为
Tk＋1＝Ck4xk(k＝0,1,2,3,4)， 故(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 C34＋2C14＝12.故选 A．
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1．二项式定理中，通项公式 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项，不是第 k 项． 2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk＋1＝Cknan－kbk 中， Ckn是该项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关． (2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关．当 n 为偶数时，中间一 项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大 值．
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题组三 考题再现 4．(2019·天津)(2x－81x3)8 的展开式中的常数项为___2_8__．
[解析] 二项展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck8(2x)8－k·(－81x3)k＝(－1)kCk828－k2－3kx8－4k ＝(－1)kCk828－4kx8－4k，令 8－4k＝0，得 k＝2，即 T3＝(－1)2×C28×20＝C28＝28，故常数 项为 28．