空间平面的概念
八、平面空间
余旭主讲
一、理解概念 平面——多个形象并置于画面，各形象无远近、厚度之分， 这些称为平面空间也称为二维空间。 在平面上，空间是一个幻觉幻像，是指通过制造视觉空间 幻觉的手段来表现平面中的形象。
二平面空间的表达方法
1、大小变化——相同的形象通过大小的改变呈 现出远近的空间变化
2、复叠——一个形象叠在另一个形象上，产生前后的 空间变化
7、疏密——数目多的形象按疏密不同放置在画面中，产生前后变化 的空间感
三、平面空间的特性 1、幻觉性——幻觉性是平面空间的重要特性
2、暧昧性或矛盾性 形象的局部结构是合理的，但整理却是矛盾的。
平面空间幻觉性、矛盾性作品
3、色彩变化——通过对相同和不同形象色彩的冷暖、明度、纯度的 改变产生空间变化
4、弯曲变化——通过对形象的局部弯曲产生空间变化
5、改变方向——将不同形象按正侧或不同方向放置在画面中，或将 形象某部分改变方向与其他部分产生一定角度或垂直而产生空间变化
6、添加投影——通过对形象添加投影表达平面空间
平面的概念知识点总结
平面的概念知识点总结一、平面的概念平面是数学中的基本几何概念之一，是一个没有厚度的二维几何空间。
平面可以用来描述点、直线和其他几何图形的位置关系，是几何学中的基本工具之一。
二、平面的特征1. 平面是无限大的平面没有边界，没有限制，可以延伸到无限远的位置。
任何两点都可以在平面上找到直线连接，这也是平面的特征之一。
2. 平面是无厚度的平面是一个没有厚度的二维几何空间，没有高度和深度的概念，只有长度和宽度的概念。
3. 平面是无旋绕的平面上的任意两条直线不会相交于一个以上的点，也不会平行于一个以上的点，这是平面的另一重要特征。
4. 平面是无法弯曲的平面上的任意两点之间都可以画出唯一一条直线，这条直线不会弯曲或者有转折，也不会在平面之外。
以上几点是平面的主要特征，理解这些特征对于理解平面的性质和应用是非常重要的。
三、平面的表示方法平面可以用三种方法来表示：1. 平面的点集表示法这种方法是最基本的表示方法，平面可以用一组点的集合来表示。
例如，我们可以用A(1,2), B(3,4), C(5,6)来表示一个平面上的三个点。
2. 二维坐标系表示法这种方法是比较常用的表示方法，平面上的点可以用二维坐标系来表示，例如，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,4)。
3. 方程表示法这种方法是用代数方程来表示平面上的点，例如，平面上的点满足方程x+y=5，这就表示了一个平面。
以上三种表示方法可以根据具体情况和需要来选择使用，它们都可以很好地表示平面。
四、平面的性质1. 平面上的直线在平面上的两点可以确定一条直线，平面上的直线可以是任意方向的，可以与平面相交，也可以不相交。
平面上的直线有无限多条。
2. 平面上的角角是由两条不同的直线所围成的空间，平面上的角有不同的类型，例如，锐角、直角和钝角。
3. 平面上的图形平面上的图形有很多种，例如，三角形、正方形、矩形等等，它们都是在平面上的一些特殊的形状。
4. 平面的投影平面上的点和图形可以投影到另一个平面上，投影的形状和大小是与原来的形状和大小有关的。
平面相关知识点总结高中
平面相关知识点总结高中一、平面的概念和特点1.1 平面的概念平面是指没有厚度、只有长度和宽度的二维几何图形。
在空间中，平面是一种没有厚度和边界的几何图形，它只有长度和宽度，可以用一个无限多边形的点集体来表示。
平面是一种基本的几何概念，也是几何学的一个重要分支。
1.2 平面的特点（1）平面上的点是没有厚度的，只有长度和宽度；（2）平面上的直线是没有宽度的，只有长度；（3）平面上的图形是由点和直线组成的，每个点和直线在平面上都有唯一的位置。
二、平面图形的基本性质2.1 平面图形的分类平面图形是指在平面上的几何图形，包括点、线段、直线、角、多边形等。
根据图形的特点，平面图形可以分为以下几类：（1）点：没有长度和宽度，只有位置；（2）线段：有两个端点，有长度，但没有宽度；（3）直线：无限延伸，没有宽度，只有长度；（4）角：由两条射线共同起点组成，可以分为锐角、直角、钝角等；（5）多边形：由多条线段组成，包括三角形、四边形、五边形等。
2.2 平面图形的性质（1）平行线的性质：平行线在同一平面上，不相交，且距离相等；（2）垂直线的性质：两条垂直线相交成直角；（3）角的性质：角的种类包括锐角、直角、钝角等，可根据角的度数进行分类；（4）多边形的性质：包括三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°等。
三、平面几何问题的解决方法3.1 轴测投影法轴测投影法是描述和分析物体形状和结构的一种有效方法，包括平行轴测投影、透视轴测投影和等轴测投影等。
在解决平面几何问题时，可以利用轴测投影法来进行图形的绘制和分析，以便更好地理解和解决问题。
3.2 图形的相似性图形的相似性是指两个或多个图形在形状上相似，但尺寸不同的一种关系。
在解决平面几何问题时，可以利用图形的相似性来推导和证明结论，从而解决问题。
3.3 平面几何的应用平面几何在生活中有着广泛的应用，包括地图制作、建筑设计、工程测量等领域。
在解决实际问题时，可以利用平面几何的知识和方法进行分析和计算，以满足实际需求。
空间平面知识点总结
空间平面知识点总结一、空间平面的概念1. 空间平面是指一个具有长度和宽度的二维平面，没有厚度，是三维空间中的一个特殊对象。
2. 在几何学中，空间平面通常用于描述两个或多个平行直线的位置关系。
3. 空间平面是许多几何形状的基础，如矩形、圆形等。
4. 空间平面在日常生活中有广泛的应用，比如建筑的设计、画面的构图等。
二、空间平面的性质1. 平面的方程：在空间中，平面的方程一般为Ax+By+Cz+D=0。
2. 平面的法向量：平面的法向量是垂直于平面的向量，可以用来描述平面的方向。
3. 平面与直线的关系：平面可以与直线相交、平行或重合。
4. 空间平面的三角形：在空间平面中，三点确定一个三角形，有着与二维平面不同的性质。
5. 平面的偏移：空间平面可以偏移，形成不同的位置和角度。
6. 平面的投影：平面在空间中的投影可以用来描述平面的位置和形状。
三、空间平面的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，空间平面用来描述建筑的平面布局和结构。
2. 地图制作：地图是平面投影的地球表面，空间平面的知识在地图制作中有着重要的应用。
3. 画面构图：在绘画和摄影中，空间平面的构图是画面布局的基础，对画面的美感和视觉效果有重要影响。
4. 工程测量：在工程测量中，空间平面的知识用来描述地形、建筑物的平面布局和位置关系。
5. 三维建模：在计算机图形学和工业设计中，空间平面的知识用来描述三维物体的表面和结构。
四、空间平面的相关定理及公式1. 平面的点斜式方程：平面的点斜式方程是描述平面的一种常用形式，可以通过一个点和一个法向量来表示一个平面。
2. 平面的一般式方程：平面的一般式方程是平面的另一种表示方式，可以通过平面的法向量和一个过点的直线表示平面。
3. 平面的截距式方程：平面的截距式方程是平面的另一种表示方式，可以通过平面与坐标轴的相交点的坐标表示平面。
4. 空间平面的距离：两个平面之间的距离可以通过点到平面的距离公式来计算。
5. 平面的夹角：两个平面之间的夹角可以通过两个平面的法向量的夹角来计算。
2014年职高数学第一轮复习 平面的概念及基本性质
三.异面直线所成的角
复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. 问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
D A
B
C
解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
已知： c， a，
b， a b O
求证：O c
c
O
证明：
a
b
O b，b ， O O a，a ， O
O在与的交线上，
O c 又 c，
练.判断下列命题是否正确： （1）经过三点确定一个平面。 （×） （2）经过同一点的三条直线确定一个平面。 （×） （3）若点A 直线a，点A 平面α，则a α. （×） （4）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。（×）
o
o
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
练习3
下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EБайду номын сангаас ② BD ③BH
H E D A B F
G
和BH是 和FH是 和DC是
相交 平行 异面
直线 直线 直线
C
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考:
这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
巩固： 1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： ⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.
空间解析几何的基本概念
空间解析几何的基本概念空间解析几何作为数学中的一个重要分支，是研究空间内点、直线、平面和其他几何体之间的关系和性质的学科。
它在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将介绍空间解析几何的基本概念，包括点、直线、平面、坐标、距离和角度等内容，以帮助读者更好地理解和应用空间解析几何。
一、点的表示与性质在空间解析几何中，点是空间中最基本的概念之一。
点可以用坐标来表示，常用的表示方法是笛卡尔坐标系。
在三维笛卡尔坐标系中，点的坐标可以用三个实数x、y、z来表示，分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影值。
点在空间中没有大小，只有位置，所以点之间的距离为0。
二、直线的表示与性质直线是由无数个点组成的集合，它是空间中最基本的几何对象之一。
直线可以用向量、参数方程和一般方程等形式来表示。
其中，向量表示方法常用于表示直线的方向，参数方程则可以表示直线上的任意一点。
直线还有许多性质，如直线的斜率、倾斜角和与坐标轴的交点等，这些性质在解决问题中有重要应用。
三、平面的表示与性质平面是由无数个点组成的集合，它比直线更复杂一些。
平面可以用点法式方程、一般方程和参数方程等形式来表示。
在点法式方程中，平面可以由一个点和一个法向量确定。
而在一般方程和参数方程中，平面可以分别用一般式和参数式表示。
平面与直线相交、平行或重合等情况，也是空间解析几何中需要掌握的内容。
四、坐标与距离在空间解析几何中，坐标是表示点在空间中位置的一种方法。
常用的坐标系有笛卡尔坐标系和极坐标系。
在笛卡尔坐标系中，点的位置可以用三个坐标值来表示。
而在极坐标系中，点的位置可以用径向距离和极角来表示。
距离是两个点之间的直线距离，可以通过两点坐标的差值和勾股定理来计算。
五、角度与方向角度是空间解析几何中非常重要的概念之一，它涉及到直线、平面和曲线等几何对象之间的夹角关系。
角度可以用弧度制表示，也可以用度数制表示。
在求解夹角时，常用的方法有向量夹角公式和点之间的夹角公式。
方向则是指直线或矢量的朝向，可以用方向角来表示。
空间平面的位置关系与角度计算
空间平面的位置关系与角度计算一、空间平面的位置关系在空间几何中，平面是一个重要的概念，而平面的位置关系以及角度计算是该领域中的基础知识。
本文将介绍空间平面的位置关系以及如何计算平面之间的角度。
1. 平行平面：当两个平面上的每一对相交直线的夹角都为垂直时，这两个平面称为平行平面。
可以用符号“∥”表示平行关系。
当两个平面平行时，它们的法线向量是相互平行的。
2. 相交平面：当两个平面上存在公共直线时，这两个平面称为相交平面。
相交平面的交线是两个平面的公共部分，可以用直线上两点的坐标表示。
3. 垂直平面：当两个平面的法线向量互相垂直时，这两个平面称为垂直平面。
可以用符号“⊥”表示垂直关系。
4. 平面与直线的关系: 平面与直线之间有三种可能的位置关系，即平面与直线相交、平面包含直线和平面平行于直线。
当平面与直线相交时，它们的交点可以通过求解平面和直线的方程得到。
二、角度计算在空间几何中，我们常常需要计算平面之间的角度。
下面介绍两种常用的计算方法：1. 垂直平面的夹角计算：当两个平面互相垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量之间的夹角来计算。
假设两个平面的法线向量分别为n1和n2，它们的夹角可以通过计算n1和n2的点乘结果的余弦值得到。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
2. 平面之间的夹角计算：当两个平面不垂直时，它们的夹角可以通过它们的法线向量所成的夹角来计算。
首先，我们需要计算两个平面的法线向量的点乘结果的余弦值，然后使用反余弦函数得到夹角的值。
公式如下所示：cos n = n1•n2 / (|n1|•|n2|)其中，n1•n2表示n1和n2的点乘结果，|n1|和|n2|表示n1和n2的模长。
综上所述，空间平面的位置关系与角度计算是空间几何的重要内容。
通过了解平行平面、相交平面、垂直平面以及平面与直线的关系，我们可以更好地理解空间中的几何形状。
空间平面的法向量
空间平面的法向量空间平面是一个由三个点或者一个点和一组方向向量确定的平面，在三维空间中，任何一个空间点都可以唯一地被投影到空间平面上。
而法向量则是一个满足垂直于平面上每个向量的向量。
在本文中，我们将会对空间平面的法向量进行详细的解释。
一、空间平面的概念在三维空间中，一个点或一组向量可以确定一个平面。
这就是我们所说的空间平面。
如果我们已知一个空间平面上的三个不共线的点，就可以通过这三个点建立起一个平面，这个平面上的所有点都可以用这三个点表示出来。
还有一种方法，就是通过一个点和两个不平行的向量，可以同样确定一个空间平面。
在三维坐标系中，平面可以用一个一次方程或者二次方程表示。
（一次方程一般形式Ax+By+Cz+D=0，二次方程一般形式Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0），其中对于一个非零的向量（a，b，c），它是在平面内的，且过该向量的平面可以用一次方程表示为ax+by+cz+d=0，同时，还可以将其转化为向量的形式表示为n=[a，b，c]，n称为法向量，并且通过该向量的平面要垂直于法向量n。
在三维空间中，一个平面有许多个不同的方向向量，但是，它有且只有一个法向量。
法向量是垂直于平面上每一个向量的向量。
也就是说，对于一个平面来说，无论我们取其上的哪一个向量，法向量都与该向量垂直。
平面的法向量可以通过平面上的任意两个非平行向量进行叉乘得到。
具体的，如图所示，设向量a和向量b都在平面内：则向量a与向量b叉乘的结果是一个垂直于平面的向量c，这个向量的方向可以根据右手法则来确定，就是前三个手指指向向量a，中指指向向量b，另一只手指的指向就是c的方向。
这样，我们就找到了一个平面的法向量。
需要注意的是，由于向量的长度可以随意调整，所以平面的法向量不是唯一的。
但是，由于法向量是与平面垂直的向量，所以所有法向量的方向都是相同的。
空间平面的方程
空间平面的方程空间平面是三维几何中的一个重要概念，它是由三个非共线的点所决定的，也可以用方程的形式描述。
本文将介绍空间平面的方程及其应用。
一、空间平面的方程可以用不同的形式表示，常见的有点法向式方程和一般式方程。
1. 点法向式方程对于一个平面，我们可以通过给定平面上的一点和平面的法向量来确定该平面。
设平面上的一点为P(x1, y1, z1)，平面的法向量为n(A, B, C)。
则平面的点法向式方程可以表示为：A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0其中，平面上的任意一点Q(x, y, z)满足该方程。
2. 一般式方程一般式方程是空间平面的另一种常见表示形式。
设平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为常数，并且A^2 + B^2 + C^2 ≠ 0。
如果给定一个平面上的点P(x1, y1, z1)和平面的法向量n(A, B, C)，我们可以通过点法向式方程求得平面的一般式方程，化简后的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A = AB = BC = CD = -A*x1 - B*y1 - C*z1二、空间平面方程的应用1. 平面的位置关系通过空间平面的方程，我们可以判断两个平面之间的位置关系。
设平面P1的法向量为n1(A1, B1, C1)，平面P2的法向量为n2(A2, B2,C2)。
两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行，即n1与n2成比例。
而两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直，即n1·n2=0。
2. 直线与平面的交点给定一个平面和一条直线，我们可以通过求解平面方程和直线方程的联立方程组来求得它们的交点。
设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线的方程为l: (x - x1)/m = (y - y1)/n = (z - z1)/p。
将直线方程中的x、y、z代入平面方程，得到联立方程组：A(x1 + mt) + B(y1 + nt) + C(z1 + pt) + D = 0其中，t为参数。
空间平面的一般式方程
空间平面的一般式方程1. 什么是空间平面？空间平面，听起来很高大上的样子，其实就是我们在三维空间中能找到的一种平面。
想象一下，你在一个大房间里，地板、墙壁，还有天花板，都是这个空间的一部分。
空间平面就像是这个房间里的某一块区域。
说白了，它就是用来描述那些在三维空间里，横亘着的、可以平躺着的“区域”。
不过，别担心，搞清楚这个概念并不难。
我们可以把它想象成一块无边无际的薄饼，在哪里都能伸展开去。
2. 平面的方程2.1 一般式方程那么，既然说到平面，那就得聊聊它的方程了。
空间平面的方程其实有很多种写法，但最常见的就是一般式方程。
它的样子是这样的：Ax + By + Cz + D = 0。
这里的A、B、C、D都是一些常数，x、y、z则是我们想要描述的坐标。
这就像是给这个平面定了个规矩，告诉我们在哪儿能找到它。
2.2 方程的意义这方程的意思呢，简单来说就是，任何满足这个方程的x、y、z坐标，都是在这个平面上的。
就像你找朋友，只要他在你家的地址上，肯定能找到他。
其实，这个方程就像是个门票，只有符合条件的坐标才能顺利入场。
3. 如何找到平面的方程？3.1 已知点与法向量好啦，听到这里，大家可能会问：那我怎么找到平面的方程呢？这时候，我们就得用到一些数学工具。
首先，我们需要一个点和一个法向量。
点就像你家门口的基石，法向量则是向外“挺”出来的那根杆子。
法向量告诉我们平面朝哪个方向“看”，而点则是平面上的一个位置。
只要有了这两样东西，我们就能轻松构建出这个平面的方程。
3.2 应用实例比如说，假设我们有一个点P(1, 2, 3)和一个法向量N(4, 5, 6)。
这时候，我们就可以用公式带上这些数值，算出平面的方程。
你会发现，搞数学其实就像做饭，只要材料齐全，调料放对了，味道自然好。
这就是如何在数学的厨房里，做出一道“平面方程”的美味大餐！4. 平面的几何意义4.1 视觉化平面有时候，我们需要把这些抽象的数学概念变得更具体。
空间平面知识点
空间平面知识点空间平面是几何学中的一个重要概念，它在我们的日常生活中无处不在。
从建筑、设计到地图和地理信息系统，空间平面都扮演着重要的角色。
在本文中，我们将介绍一些基本的空间平面知识点，帮助我们更好地理解和应用这一概念。
一、什么是空间平面？空间平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个平行的线构成。
我们可以将其想象为一个没有厚度的纸张或者一个无限大的平面。
在数学中，我们可以用坐标系来描述和表示空间平面，通过x轴和y轴的交叉点确定一个点在平面上的位置。
二、坐标系和点的表示在空间平面中，我们可以使用笛卡尔坐标系来表示点的位置。
笛卡尔坐标系由两条相互垂直的轴组成，x轴和y轴。
x轴水平方向，y轴垂直方向。
通过给定一个点的x坐标和y坐标，我们可以唯一确定这个点在平面上的位置。
三、直线和曲线空间平面中的直线和曲线是非常重要的概念。
直线是由无数个相互平行的点组成的，它们在平面上延伸无限远。
曲线则是由一系列相互连接的点组成的，它们可能是直线段、弧线或者其他形状。
直线和曲线可以用来表示物体的轮廓、路径或者其他几何形状。
四、角度和距离在空间平面中，角度和距离是描述点和几何形状之间关系的重要概念。
角度表示两个直线或者曲线之间的旋转程度，可以用度数来度量。
距离表示两个点之间的长度，可以用单位长度来度量，如米或者厘米。
通过测量角度和距离，我们可以计算出点和几何形状之间的相对位置和相对大小。
五、平移、旋转和缩放在空间平面中，我们可以通过平移、旋转和缩放来改变点和几何形状的位置和大小。
平移是指将点或者几何形状沿着某个方向移动一定距离，而不改变其形状和大小。
旋转是指将点或者几何形状绕着某个中心点旋转一定角度，而不改变其形状和大小。
缩放是指将点或者几何形状按照一定比例进行放大或者缩小。
六、应用领域空间平面的概念在许多领域中都得到了广泛应用。
在建筑和设计中，空间平面可以用来描述建筑物的平面布局和外观。
在地图和地理信息系统中，空间平面可以用来表示地理空间的分布和关系。
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
空间平面的点法式与一般式表示
空间平面的点法式与一般式表示空间平面是三维几何中常见的概念，它由点和直线组成，具有较为复杂的表示方法。
本文将介绍空间平面的点法式与一般式表示，以帮助读者更好地理解和应用这两种表示方法。
一、空间平面的点法式表示空间平面的点法式表示是通过平面上的一点以及与平面垂直的法向量来确定平面的方法。
点法式表示的一般形式为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(x, y, z)为平面上的一点坐标，(A, B, C)为法向量的分量，D为常数。
点法式表示的意义在于通过确定平面上的一个点和与平面垂直的方向，来具体确定一个平面。
法向量的分量(A, B, C)表示了平面在x、y、z三个方向上的倾斜程度，常数D则决定了平面的位置。
以平面P为例，其点法式表示为：2x - 3y + 4z - 5 = 0这个表达式表示了平面上的一个点(5,0,0)和法向量(2,-3,4)，通过点和法向量可确定平面P。
二、空间平面的一般式表示空间平面的一般式表示是通过平面上的三个非共线点来确定平面的方法。
一般式表示的形式为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(x, y, z)为平面上的任意一点坐标，(A, B, C)为平面的法向量分量，D为常数。
一般式表示与点法式表示相似，都是通过法向量来确定平面。
不同之处在于一般式表示中，点的选择不局限于平面上的一个点，而是可以是平面上任意一点。
以平面Q为例，其一般式表示为：3x - y + 2z + 1 = 0这个表达式中的点可以是平面上任意一点，(3,0,0)是其中之一。
通过这个表达式可以确定平面Q。
三、点法式与一般式的关系点法式与一般式可以互相转换，通过点法式可以求得一般式，反之亦然。
1. 点法式转一般式对于点法式Ax + By + Cz + D = 0，可以通过法向量的分量(A, B, C)得到平面的法向量。
以点法式2x - 3y + 4z - 5 = 0为例，其法向量为(2,-3,4)。
必修2第2章：点,线,面平行的判定及其性质
空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；. 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。
符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈ 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。
平面立体名词解释
平面立体名词解释平面和立体是数学中的两个术语，它们在三维空间的讨论中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将介绍平面和立体的定义，并举例说明它们之间的区别。
首先，我们来看看平面是什么。
平面可以定义为一个空间，它有两个平行的特征维度。
也就是说，它没有皮深度，只有宽和长，但不存在第三个维度，即深度。
例如，一张纸就是一个平面，因为它只有宽和长，没有厚度。
另一种例子是地图，地图只有宽和长，没有深度，所以它也是一个平面。
相反，立体是一个有三个维度空间。
立体有宽、长、深三个维度，它们可以用物理建模来表示，如立方体、圆柱体等。
立体可以用来描述不接触的物体，也可以用来描述有形体。
例如，一个电视机就是一个立体，它有宽、高、深三个维度，可以由多个三维物体组成，例如镜片、机壳、电视屏等。
而网络中的立体是一个三维的空间，它由某种虚拟的实体组成，例如角色、场景、物体等。
总结一下，平面是一个二维空间，它只有宽和长两个维度。
而立体则是一个三维空间，它有宽、高、深三个维度。
它们在数学上有着不同的应用，平面可以用来描述平行的物体，而立体可以用来描述不接触的物体或有形体。
平面和立体的解释介绍到这里。
在许多情况下，它们都有独特的功能，并且可以用来构建复杂的几何形状。
比如，平面可以用来构建平面图形，如平行四边形、圆等，而立体可以用来构建三维几何形状，如立方体、圆柱体、椎体等。
因此，平面和立体都可以用来构建更多的几何形状。
最后，平面和立体也被应用在电脑科学、计算机建模和3D图形学中。
电脑科学中的平面图形可以用来绘制多边形，生成简单的图像，而立体图形可以用来构建复杂的三维图形，如3D场景、模型等。
在计算机建模方面，平面和立体都可以用来模拟、建模和分析不同的场景，以便实现更复杂的功能。
最后，在3D图形学中，平面和立体都可以用来构建三维场景和模型，以及渲染不同的复杂结构。
综上所述，平面和立体是数学中的重要概念，它们分别拥有不同的维度和特征。
它们可以用来构建几何形状，也被用于电脑科学、计算机建模和3D图形学中。
几何中平面的定义
几何中平面的定义平面是几何中的一个基本概念，它是一个无限大的二维空间。
平面没有任何厚度，可以看作是一个无限大的薄片。
在平面中，任意两点之间都能找到一条直线，平面上的点和直线之间有着密切的关系。
平面的定义可以从不同角度来理解。
从直观的角度来看，平面可以用一个平面镜来形象地表示。
当我们将平面镜放在任何位置时，我们都能看到平面上的所有点，这是因为光线可以在镜面上反射，从而将平面上的信息传递给我们。
这个概念可以帮助我们理解平面的特性。
在几何中，平面还可以通过一些特殊的性质来定义。
首先，平面上的任意三个点不共线，这意味着它们不能在同一条直线上。
其次，平面上的任意两条直线要么相交于一点，要么平行。
这些性质可以用来确定平面的位置和形状。
平面可以通过一些基本图形的组合来构造。
例如，通过连接平面上的三个非共线点，我们可以得到一个三角形。
通过连接平面上的四个非共线点，我们可以得到一个四边形。
这些基本图形可以进一步组合形成更复杂的图形，如多边形、圆等。
平面还有一些重要的性质和定理。
首先，平面上的点可以通过坐标系来表示。
我们可以用两个数来表示平面上的任意一个点，这两个数分别代表该点在水平和垂直方向上的位置。
其次，平面上的点可以通过向量来表示。
向量可以表示平面上的平移和旋转等运动。
平面上的点还可以通过极坐标来表示，其中一个数表示点到原点的距离，另一个数表示点与正向x轴的夹角。
平面几何是数学中一个重要的分支，它与其他数学学科有着密切的联系。
平面几何可以应用于建筑设计、艺术创作、地图制作等多个领域。
在建筑设计中，平面几何可以帮助设计师确定建筑物的外观和内部空间的布局。
在艺术创作中，平面几何可以用来构图和表达艺术家的创意。
在地图制作中，平面几何可以用来描绘地理信息和测量距离。
总结起来，平面是一个无限大的二维空间，其中任意两点之间都能找到一条直线。
平面可以通过特殊性质和基本图形来定义和构造。
平面几何是数学中一个重要的分支，它与其他学科有着广泛的应用。
平面的基本性质和作用
几何里的平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无 限延伸的.
二.平面的画法：
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用 平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于 其邻边长的2倍．
（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
∩ l, AB, CD, AB//l, CD//l.
解: 画图如下:
C
D
l
A
B
P53 B 组 2. 如图, △ABC 在平面 外, AB∩ P, BC∩ Q, AC∩ R, 求证: P, Q, R 三点共线.
证明: ∵AB∩ P, AC∩ R,
则 P、R 就是平面ABC
A
与平面 的公共点, 即
A∉l
A∈α
A∉α
文字语言 l在α内
符号语言
l⊂α
l在α外
l⊄α
l，m 相交于 A l∩m＝A
l，α 相交于 A l∩α＝A
α，β 相交于 l α∩β＝l
图形语言
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
a B
A
A∈a
B∈a
B
α
A
A∈α B∈α
b
a
aA
α
α
a α
b∩α＝A
a∩α＝φ 或 a∥α
典型例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面 之间的位置关系．
a
B A
l
（1）
al
P
b
（2）
解：在（1）中， l,a A,a B.
在（2）中， l,a ,b ,a l P,b l P.
平面的基本性质
平面的表示：希腊字母 、、 用平行四边形的两个对 顶点的字母
D
C
可写为：
A B
、、
平面ABCD或平面AC或平面BD
四、点、直线、平面的关系
把点作为基本元素，于是直线、平面都作为 “点的集合”，所以:
点与直线的关系： l , B l A 点与平面的关系： , B A 直线与平面的关系： , l l
B A三点，有且只有一个平面.
B α 。A C
表示为 : A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:经过一条直线和这条直线外一点, 有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有 一个平面 .
推论3:经过两条平行直线,有且只 有一个平面.
作用：作辅助平面；证明平面的唯一性
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面. 通常用平行四边形来画平面
1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当平面水平放置的时候 ，通常把 平行四边形的锐角画成45
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
三、平面的表示
点的表示：大写的英文 A、B、C 字母 直线的表示：小写的英 文字母l、m、n
问题1 (1)两个平面可将空间分成 ： 几部分？ (2)三个平面可将空间分成 几部分？
问题1 (1)不共面的四个点可确定 ： 几个平面？ (2)四个点可确定几个平面 ？ (3)三条直线两两平行可确 定几个平面？
(4)三条共点的直线可确定 几个平面？
(5)三条两两相交的直线可 确定几个平面？
问题2 : 如图，l1 // l2 , l l1 A, l l2 B, 求证：直线l、l1、l2共面。
八、平面空间
余旭主讲
一、理解概念 平面——多个形象并置于画面，各形象无远近、厚度之分， 这些称为平面空间也称为二维空间。 在平面上，空间是一个幻觉幻像，是指通过制造视觉空间 幻觉的手段来表现平面中的形象。
二、平面空间的表达方法
1、大小变化——相同的形象通过大小的改变呈 现出远近的空间变化
2、复叠——一个形象叠在另一个形象上，产生前后的 空间变化
3、色彩变化——通过对相同和不同形象色彩的冷暖、明度、纯度的 改变产生空间变化
4、弯曲变化——通过对形象的局部弯曲产生空间变化
5、改变方向——将不同形象按正侧或不同方向放置在画面中，或将 形象某部分改变方向与其他部分产生一定角度或垂直而产生空间变化
6、添加投影——通过对形象添加投影表达平面空间
7、疏密——数目多的形象按疏密不同放置在画面中，产生前后变化 的空间感
三、平面空间的特性 1、幻觉性——幻觉性是平面空间的重要特性
2、暧昧性或矛盾性 形象的局部结构是合理的，但整理却是矛盾的。
平面空间幻觉性、矛盾性作品
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
◎思考题 2
用两张全等的矩形纸，按下列各图所示的两个
平面的位置进行摆放．
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题型三 三种语言的相互转换 例 3 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA，平面 α 与平面 γ 交于 PB，平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD， 平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC； (3)直线 a 和 b 相交于平面 α 内一点 M.
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2 ．一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几部 分？
答：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分，而 两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
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3． “线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内”这一 说法是否正确？为什么？
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全国名校高考数学优质复习学案、专题汇编（附详解）
2 ．1
空间点、直线、平面之间的位置 关系 2 ．1. 1 空间平面的概念
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要点 1 平面的特征 “平面”是平的，它无厚度，可以无限延展． 要点 2 平面的表示 平面通常用希腊字母 α，β ，γ 等表示，如平面 α、平面 β、 平面 γ 等，也可以用代表平行四边形的四个顶点，或者相对的两 个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面 ABCD、平 面 AC、平面 BD，还可以用平面内不共线的三点的字母表示，如 平面 ABC.
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其中正确的结论共有( A．1 个 C．3 个
) B．2 个 D．4 个
【解析】 平面有两个特征： 一是“平”， 二是“无限延展”． 而 作为平面的一部分，只需“平”即可，故②、④正确；由平面的“无 限延展性”知：平面没有面积、大小、厚薄之分，故①、③错误． 【答案】 B
符号表示：A，B，C 三点不共线⇒有且只有一个平面 α，使 A∈α，B∈α ， C∈α .
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(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线． 符号表示：P∈α∩β⇒α ∩β ＝l，且 P∈l.
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要点 3 平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 直线在此平面内．
符号表示：A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α ⇒l⊂ α .
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(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
答：不正确．∵线段 AB 在平面 α 内，∴线段 AB 上的所有点 都在平面 α 内，∴线段 AB 上的 A、B 两点一定在平面 α 内，∴直 线 AB 在平面 α 内(公理 1)．
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4．三个公理各有什么作用？
答：(1)公理 1 是判断直线在平面内的依据，证明点在平面内的 依据． (2)公理 2 是确定一个平面的依据． (3)公理 3 的作用是： ①判定两个平面相交；②作两个平面的交线； ③ 证必修二）
题型二 平面的画法 例 2 下列图形中不正确的是( )
【答案】 D
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探究 2 (1)平面的画法：① 水平平面：通常把锐角画成 45 °，横边等于邻边的两倍． ②非水平平面：只要画成平行四边 形．③直立的平面：一组对边为铅垂线． (2)画空间的几何体的直观图时， 被遮住的部分画成虚线或不 画．
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探究 1 平面与平面图形是有本质差异的两个几何概念，一 般地，前者是抽象的，是一个虽看不见、摸不着但可以想到的概 念；而后者是一个与现实生活非常接近的数学概念，平面是最基 本的几何概念，对它只加以描述而不定义．
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◎思考题 1
判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)平行四边形是一个平面； (2)任何一个平面图形都是一个平面； (3)在空间图形中，原图中的线都要画成实线，后补画的线都 画成虚线； (4)用平行四边形表示的平面，以四边为边界．
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【答案】 (1)不正确．平面是无限延展的，而平行四边形是 有限的，它只是平面的一部分． (2)不正确．平面图形和平面是完全不同的概念．平面图形有 的(如角)也可以无限延展，但不可能向四周无限延展． (3)不正确．空间图形中把被平面遮住的线段画成虚线(无论 原先有的还是后来画的辅助线)． (4)不正确．平面是没有边界的．
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课 时 学 案
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
题型一 平面的概念 例1 给出下列结论：
①长为 a，宽为 b 的矩形是面积为 ab 的一个平面； ②黑板面可以认为是平面的一部分； ③因为平展在桌面上的纸面是平面的一部分，且由于 300 页 的书比 100 页的书厚，所以 300 个平面重叠起来，比 100 个平面 重叠起来厚； ④平面是平滑的，无厚度的，可以无限延展的，只描述不定 义的数学概念．
要点 4 三个公理的推论 推论 1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
1．如何画两个相交平面？
答： (1)画表示两平面的两个平行四边形相交的两条边， 如图①； (2)画两平面的交线，如图②； (3)过两条边的端点分别作交线的平行线，如图③； (4)连线，遮住的线用虚线表示，如图④.