2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案(3)
2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解
2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t =-，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ） .A 12.B 32 .C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （ ）.A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 3.B 5.C 2 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、（本题满分25分） (A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则112b a-= （ ）.A 12.B 2 .C 1 .D 【答案】A .【解析】122,2t ==<<-324,∴<< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩，解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由22(121)2016k +≤得，9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴=，即得所有不超过2019的“和谐数”，它们的和为 333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦故选B .3(B ）.已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =（ ） .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =，故选B . 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）.A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中，222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）OC 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径，90,B ∴∠=114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图，在四边形ABCD 中，090BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ).A 32 .B 53.C 22 .D 12（第5题答案图）【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =,AMAH CM ∴=设,AM x = 则5,5CM x AH x=∴=-在Rt ABM ∆中，2225,BM AB AM x =+=+ 则255AB AMx AH BMx ⋅==+2555x xx =-+显然0x ≠，化简整理得2255100x x -+= 解得5x =（5x =，故 5CM =在Rt CDM ∆中，2212DM CM CD =-=,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 34M =，故选C . 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=（0x >）的图象上，090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，33sin 2CD BC B =⋅=（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=，于是 3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，3AD =则AM = .【答案】2.【解析】（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠.(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中，即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠== 1.DM =在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=2,2180,βααβ∴=+=解得36,72αβ==，72DBC BCD ∴∠=∠=,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠== 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x 是三位数，10001003tx t+∴=≥，解得 1000,299t ≤t 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.【解析】由340q p --=得，34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.又111p q +<，34111,q q ∴-+<3284q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则5M =；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、（本题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.二、（本题满分25分）(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图)【证明】：连接BC 、.BN AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上，DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即AE 是F 的切线，直线AMP 是F 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅ AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F 上，FN FE DE ∴==.(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知：5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注：恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、（本题满分25分）(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值.(4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y z xyz ++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.（第3（B ）题答案图）【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =ABD ACB ∴∠=∠点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=22 5.AD AF AB ∴⋅===（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。
2019年福建省中考数学试卷(含答案解析)
效数学试卷第1页(共14 M)数学试卷第2页(共14 M)绝密★启用刖福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学本试卷满分150分,考试时间120分钟................. .一名姓、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中 一项是符合题目要求的) 1. 22 (―1 0计算的结果是 A. 5 B.4 D. 2 C.3 2.北京故宫的占地面积约为 720 000m 2 ,将720 000用科学记数法表示为A. 72 104B. 7.2 105C. 7.2 1063. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形4. 右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是,只有D. 0.72 106D.正方形7. 下列运算正确的是 ( )A. aa 3 = a 3B. (2a )3 = 6a 3亠 632/ 2、3/3、2 CC.a-'a aD. (a ) — (— a )= 08. 《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问 若每日读多少？ ”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》 ，每天阅读 的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有 34 685个字，设他第一天读 X 个字，则下面所列方程正确的是( )A. X 2x 4x= 34 685B. X 2x 3x = 34 6851 1C. X 2x 2x = 34 685D. x+ x+ x = 346852 49. 如图，PA PB 是L O 切线，A B 为切点，点C 在L O 上，且∙ ACB=55 ,则.APB 等于 ()A. 55B. 70C. 110D. 125校学业毕(D(C则该正多边形的边数为A5.已知正多边形的一个外角为 36 , B.1010.若二次函数 y = a X 2 ■ bx ■ c 的图象经过A( m,n)、B(0,yJ 、C(3— m, n)、D(∙.2, y 2) >A. 12C.8D. 6E(2,y 3),贝U y p y 2、y 3的大小关系是()A. y 1<y 2< y 3B. y 1<y 3V y 2C. y 3V y 2<y 1D. y 2< y 3V y 1、填空题(本大题共6小题，每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上)6.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近 计图，则下列判断错误的是5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统彳数学成绩/分)100，A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 90 80B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好70C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 60D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳■甲・乙▲ 丙■■■■■班级平均分次数. - 211. 因式分解：X —9= _________ .ACB -4212. 如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是 一4和2,(第12题)点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是 ____________ .13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案 .为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有 2 000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有人.数学试卷第3页（共14页） 数学试卷第4页（共14页）14.中在平面直角坐标系 Xoy 中，L OABC 的三个顶点0（0,0）、（3,0）、（4,2）,则其第四个顶点是是 _________ . 15.如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的L O 的圆心重合，E 、F 分别是AD 、BA 的延长与L O 的交点,则图中阴影部分的面积是 ___________ .（结果保留二）（2x _1\ j -先化简，再求值：（x -1 ÷ X- ------------- 丨，其中x = J 2 + 1I X 丿（第15题） 3 16.如图,菱形ABCD 顶点A 在函数y （ x >0）的图象上，函数X k y （ k >3, x >0）的图象关于直线 AC 对称，且经过点B 、D 两 X 点，若AB =2 , DAB=30 ,则k 的值为 _____________ 三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17.（本小题满分8分） k _y =5 解方程组：丿 2x + y = 4 CAX（第16题）20.（本小题满分8分）如图，已知 △ ABC 为和点A'.（1） 以点 A'为顶点求作 A A'B'C',使△ A'B'C'S ^ABC , S “矶=4S“BC ； （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2） 设D 、E 、F 分别是△ ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的 A A'B'C'三边 A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：A DEF — △ D'E'F'.A'18.（本小题满分8分） 如图，点E 、F 分别是矩形 ABCD 的边AB 、CD 上的一点，且 DF = BE . 求证：AF =CE .CEA21.（本小题满分8分）在Rt △ABC 中，∙ ABC = 90 , BAC = 30 ,将厶ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角 度:•得到△ AED ,点B 、C 的对应点分别是 E 、D. （1） 如图1 ,当点E 恰好在AC 上时，求.CDE 的度数；（2） 如图2,若-=60时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形（图I ）（图2）19.（本小题满分8分）数学试卷第5页（共14 M ）数学试卷第6页（共14 M ）22. （本小题满分10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间， 对该厂工业废水进行无害化处理•但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理 量的废水交给第三方企业处理 •已知该车间处理废水，每天需固定成本 30元，并且-----每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理， 每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水 35吨，共花费废水处理费 370元• （1） 求该车间的日废水处理量 m ;（2） 为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过 10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围 .23. （本小题满分10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外 购买若干次维修服务，每次维修服务费为2 000元.每台机器在使用期间，如果维修_____次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5 000元，但无需支付工时费某公司计划购买 1台该种机器，为决策 在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器1 以这100台机器为样本，估计“ 1台机器在三年使用期内维修次数不大于 10” 的概率；2 试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时 应一次性额外购 10次还是11次维修服务？_____在三年使用期内的维修次数，整理得下表； 24. （本小题满分12分）如图，四边形 ABCD 内接于L O ，AB = AC , BD_ AC ,垂足为E ,点F 在BD 的延长线上，且 DF =DC ,连接AF 、CF. (1) 求证：.BAC = 2 DAC ；(2) 若 AF =10 , BC = 4 5 ,求 tan BAD 的值.25. 已知抛物y = a χ1 2 ■ bx ■ c （b v 0）与轴只有一个公共点.（1） 若公共点坐标为（2,0）,求A 、C 满足的关系式；（2） 设A 为抛物线上的一定点，直线 丨：y = kx • 1— k 与抛物线交于点 B 、C 两点, 直线BD 垂直于直线y = —1 ,垂足为点D .当k =0时，直线I 与抛物线的一个交点在在一 一此 一卷 一上 一答一题-- -维修次数8 9 10 11 12 频率（台数） 1020303010y 轴上，且 A ABC 为等腰直角三角形.① 求点A 的坐标和抛物线的解析式； ② 证明：对于每个给定的实数 k ,都有A 、F .CDA数学试卷第7页（共14页） 数学试卷第8页（共14页）福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学答案解析1.【答案】 A 2.【答案】 B 3. 【答案】 D4. 【答案】C 5. 【答案】 B 6. 【答案】D 7. 【答案】 D 8. 【答案】 A 9. 【答案】 B 10. .【答案】 D11. ■【答案】 (x +3)(x-3)12 ■【答案】 —113.【答案】 1 20014. .【答案】 (1,2)15 .【答案】 二一 116 .【答案】 6 2.317. .【答案】 X _y =5,①解：解: .2χ∙y=4,②①+②，得 (X - y)+(2x + y)=5+4即 3x = 9, 解得x =3 , 把X = 3代入②，得2 3+ y = 4 ,解得y = — 2 .x = 3所以原方程组的解为.y = -2 【考点】二元一次方程组的解法【考查能力】运算能力18.［答案】证明：•••四边形 ABCD 是矩形,••• ./ D=N B=90 , AD= CB ,在厶ADF 和△ CBE 中，AD =CB , D= B , DF =BE ,• △ ADF 空 CBE , • AF = CE .【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质 【考查能力】推理能力2X 2 —（2x — 1） 19.【答案】解：原式=√x -1） -X2X 2x1二(X —1) - X(x - 1》=(X T)-X X=(X -1) 2(Xi)2 2aEAFDA即-DE【考点】分式的混合运算，因式分解，二次根式的运算【考查能力】运算能力∙∙∙ . BAC=60 •由旋转性质得， DC = AC , . DCE =. ACB=30 •1.DAC=. ADC = (180 -. DCE)=752 ,20.【答案】解：(1)又 E EDC = E BAC= 60 ,∙ × ADE = E ADC EEDC =15 •△ A BC •即为所求作的三角形.∙∙∙ F 是AC 的中点,BF = FCj AC2 ,∙ . FBC=. ACB=30 .由旋转性质得,AB=DE N DEC=ZABC=90 ,【考点】图形的旋转，直角三角形，等腰三角形，等边三角形，三角形的内角和，平行四边形的判定【考查能力】运算能力，推理能力22.【答案】解：(1)因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元, 依题意得，30÷8m ^12(35 - m =370 ,当^ 21时，原式(2)在厶ABC 中，.ABC =90 , . ACB=30 , 1 AB^- AC2 ,F'D'= 1B'C'2D'E'= 1A'C , E'F =丄A'B ；同理，2 21 ••• △ ABCsAABC ； D'E'EF E'F' F'D'AC = AB _ BC AC ' A'B' B'C'1 1 1 AC AB BC _2 _ = ____ = ____ 1 = 1 _ 1 AC- A'B' B'C' 2 2 2∙ A DEF SA D EF.BCE=. ACD=60 ；∙∙四边形BEDF 是平行四边形.又，所以m v 35【考点】尺规作图； 相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理 【考查能力】推理能力21.【答案】解：(1)在厶ABC 中；.ABC=90 ； ■ ACB=30 ；数学试卷第9页(共14 M)故该车间的日废水处理量为 20吨. (2)设该厂一天产生的工业废水量为X 吨.数学试卷第10页(共14 M)B ~~(2)证明∙∙∙ D ； E ； F 分别是 △ ABC 三边AB ； BC ； CA 的中点; 1 1 1 DE =- AC EF = — AB FD =— BC2 2 2延长 BF 交 EC 于点 G ；则.BGE = GBC +. GCB=90 ； ∙ BGE = DEC ；∙ DELBF ；解得n =20卫口羊8357①当0v x≤20时，依题意得，8x+30≤10x ,解得x≥15,所以15≤x≤20.②当x>20 时，依题意得，12（x-20）+20 8+30≤10x ,解得x≤25 ,所以20v x≤25 .综上所述，15≤x≤25,故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.【考点】一元一次方程，一元一次不等式，反比例函数的性质，平均数的概念【考查能力】运算能力，推理能力23. 【答案】解：（1）因为100台机器在三年使用期内维修的次数不大于100的台数为10+ 20 + 30= 60,所以“ 100台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的频率为60=0.6 ,100故可估计“ 1台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的概率为0.6.（2）若每台都购买10次维修服务，则有下表:此时这100台机器维修费用的平均数24000 10+ 24500 20+ 25000 30+30000 30+35000 10100=27300 ,26000 10+26500 20+ 27000 30+27500 30+32500 10y ==27500 ,因为y1< y2,所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务.【考点】概率，加权平均数，统计表【考查能力】运算能力，推理能力24. 【答案】证明：（1）∙∙∙AC _ BD ,••• £AED=90 ,在Rt∆AED 中，/ ADE = 90 -Z CAD .∙∙∙ AB=AC ,.∙. AB= AC•. ACB=. ABC=. ADE = 90 -. CAD .在厶ABC 中，.BAC+. ABC+. ACB=180 ,•. BAC=180 — C ABC + . ACB）= 180 -2（90 -. CAD）,即.BAC = 2 CAD .（2） V DF = DC ,•/FCD=/CF ,•BDC= FCD+ CFD ,•BDC=2 CFDV N BDC=NBAC ,且由（1）知N BAC=^CAD ,•CFD= CAD ,V CAD= CBD ,•匕CFD= /CBD ,•CF = CB ,V AC _ BF ,•BE= EF ,故CA垂直平分BF ,•AC= AB= AF = 10 ,设AE= X ,贝^CE= IO-X，在Rt△A BE和Rt∆BCE 中，AB2- AE2= BE2= BC2-CE2,又V BC = 4 一5 ,•102-χ2=（4√引2 _（10 —X）2,解得χ = 6 ,•AE = 6, CE = 4,数学试卷第11页（共14 M）数学试卷第12页（共14 M）•BE= AB2- AE2=8 ,数学试卷第11页（共14 M）数学试卷第12页（共14 M）数学试卷第13页(共14页)数学试卷第14页(共14 M)因为a=0,所以C = 4a ，即a ，C 满足的关系式为C = 4a . (2)①当k =0时，直线I 为y =1,它与y 轴的交点为(0,1).•••直线y =1与X 轴平行， ∙等腰直角 △ ABC 的直角顶点只能是 A ,且A 是抛物线的顶点.过 A 作AM _ BC ,垂足为M ,则AM =1 ,∙ BM = MC = AM =1 ,故点 A 坐标为(1,0), ∙抛物线的解析式可改写为【考点】一次函数和二次函数的图形与性质，等腰直角三角形的性质与判定，图形的对称 【考查能力】运算能力，推理能力 ∙抛物线的解析式可改写为 y =a(x -1)2,•••抛物线过点 0,1 ,所以1 =a(0 -1)2 ,解得a =1.∙∙∙ DAE = CBE , ADE = BCE , 所以抛物线的解析式为 y = a( X -1)2 ,即 y = X 2 一 2x 1. ∙∙∙ A ADE sABCE ∙ .AE DE AD BE ^CE ^ BC ∙ DE =3, AD =3j 5 ②设 B X 1,y 1 , C X 2,y 2 ,则 D X 1,_1 • 石 y =kx 1 -k /曰 2由 2 得 X 2 — (k 2)x k = 0 ,y = x 2_2x 1因为△工(k 2)2 — 4k = k 24>0过点D 作DH _AB ,垂足为H . 1 1 T S A ABD AB DH BD AE,BD =BE DE =11 , 2 2 ∙ 10DH =11 6,故 DH =335 由抛物线的对称性，不妨设 X I V X 2 ,则X 1 = k •2一k 4k 2 k 2 4X2 ≡所以 x 1v 1V x 2 ,在 Rt AADH 中,AH = AD2-DH 2=- 5 f 0 = m …n设直线AD 的解析式为y = mx ∙ n ,则有一1 = mx 1 十 n,解得∙ tan BAD=D HAH 112 1m = _X 1-1 1 n =- x 1 —1【考点】圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三 角形，相似三角形的判定与性质，三角形面积等基础知识 【考查能力】运算能力，推理能力 2 b 25.【答案】解：(1)依题意，△= b 2-4ac =0， 2， 2a所以(―4a)2—4ac =0， 1 1所以直线 AD 的解析式为 y =-—— X •—— .x ∣ — 1 X 1 — 12X ? — 1W 1J1丄1——X 2 +------- I x L 1x1_1」卷一1 箍 X I- 1 X 2—1 1 因为y 2 -X 2 X j _ 1A i k- Jk 2 + 4 k 十 J k 2十 4 ’X 2 -112 2=01 1 即y 2x 2 ,所以点C x 2,y 2在直线AD 上. X 1 —1 X 1 _1故对于每个给定的实数 k ,都有AC, D 三点共线.H。
全国初中数学竞赛试题(福建)及参考答案
全国初中数学竞赛试题（福建）及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x -=，423y y +=，则444y x+的值为（ ）。
A 、7B 、12 C 、72 D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得21x ==，2y ==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+= 2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。
A 、512 B 、49 C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。
A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。
4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。
2019-2020年初中数学竞赛试题及答案
2019-2020年初中数学竞赛试题及答案一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。
2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案(3)
被 9 除的余数只有 0 ，1， 2 ， 7 ， 8 这 5 种情形。 而 2019 3 ( mod 9 ) ，即 2019 被 9 除的余数为 3。
AC x ，则 AB x 6 。
∵ BC 10 ， △ABC 的面积为 20 3 ，
∴ 1 BC AH 1 10 AH 20 3 ， AH 4 3 。
2
2
∵ BH CH 10 ，
∴ (x 6)2 (4 3)2 x2 (4 3)2 10 。
又 x y z xyz ，
所以， z
xy xy 1
x x
x
x x
1 1
x 1
x
2
x
2
x
1
1
1 1 x
1 x22
3 4
。
由 x 1 ，知 0 1 1 x
所以， 1 1 ，即 x 2 时， z 取最大值 4 。（此时 y 2 ）
2
这一结果为“陈氏定理”。陈景润勇攀科学高峰的精神和对“哥德巴赫猜想”研究的贡献，
激励了无数青年学子。
请你完成下列问题：
将 2019 分解为两个正立方数的和的分解方式有（ ）（即方程 2019 x3 y3 的正整数
解的组数）
A． 0 种
B．1种
C． 2 种 D． 3 种
【答案】 A
【解答】对任意正整数 m ，考察 m3 关于模 9 的余数。 由于对任意正整数 m ， m 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ( mod 9 ) 。
2019年福建省中考数学试卷-答案(可编辑修改word版)
福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学答案解析1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】()(33)x x ①①12.【答案】1①13.【答案】1 20014.【答案】(1)2①15.【答案】1π①16.【答案】6+17.【答案】解：5,24,x y x y -=⎧⎨+=⎩①①①＋②，得，()24)5(x y x y ①①①①①即，39x ①解得，3x ①把代入②，得，3x ①234y ⨯①①解得．2y ①①所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=-⎩【考点】二元一次方程组的解法【考查能力】运算能力18.【答案】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴，90D B ∠∠︒＝＝，AD CB ＝在和中，ADF △CBE △AD CB D B DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①①∴，ADF CBE △≌△∴．AF CE＝【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质【考查能力】推理能力19.【答案】解：原式2(21)(1)x x x x--=-- 221(1)x x x x-+=-- 2(1)(1)x x x-=-- 2(1)(1)xx x =-⋅- (1)xx =-当时，原式.1x =1===+【考点】分式的混合运算，因式分解，二次根式的运算【考查能力】运算能力20.【答案】解：（1）即为所求作的三角形．A B C '''△（2）证明∵D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 的中点，ABC △∴，111222DE AC EF AB FD BC ＝，＝，＝同理，．111''''''''''''222D E A C E F A B F D B C ＝，＝，＝∵，ABC A B C '''△∽△=''''AC AB BC A C A B B C =‘’，即111222=111''''222AC AB BC A C A B B C =‘’''''''DE EF FD D E E F F D ==∴DEF D E F '''△∽△【考点】尺规作图，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理【考查能力】推理能力21.【答案】解：（1）在中，，，ABC △90ABC ∠︒＝30ACB ∠︒＝∴．60BAC ∠︒＝由旋转性质得，，．DC AC ＝30DCE ACB ∠∠︒＝＝∴，1180752()DAC ADC DCE ∠∠︒-∠︒＝＝＝又，60EDC BAC ∠∠︒＝＝∴．15ADE ADC EDC ∠∠-∠︒＝＝（2）在中，，，ABC △90ABC ∠︒＝30ACB ∠︒＝∴，12AB AC ＝∵F 是AC 的中点，∴，12BF FC AC ＝＝∴．由旋转性质得，30FBC ACB ∠∠︒＝＝，90AB DE DEC ABC ∠∠︒＝，＝＝，60BCE ACD ∠∠︒＝＝∴，DE BF ＝延长BF 交EC 于点G ，则，90BGE GBC GCB ∠∠∠︒＝＋＝∴，BGE DEC ∠∠＝∴，DE BF A ∴四边形 BEDF 是平行四边形．【考点】图形的旋转，直角三角形，等腰三角形，等边三角形，三角形的内角和，平行四边形的判定【考查能力】运算能力，推理能力22.【答案】解：（1）因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，又，所以37030688357-=＞35m ＜依题意得，，308123)3(570m m -＋＋＝解得20m ＝故该车间的日废水处理量为20吨．（2）设该厂一天产生的工业废水量为吨．x ①当时，依题意得，，解得，所以．020x ＜≤83010x x ＋≤15x ≥1520x ≤≤②当时，依题意得，，解得，所以．20x ＞12202083010()x x ⨯－＋＋≤25x ≤2025x ＜≤综上所述，，1525x ≤≤故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间．【考点】一元一次方程，一元一次不等式，反比例函数的性质，平均数的概念【考查能力】运算能力，推理能力23.【答案】解：（1）因为100台机器在三年使用期内维修的次数不大于100的台数为10＋20＋30＝60，所以“100台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的频率为，60=0.6100故可估计“1台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的概率为0.6．（2）若每台都购买10次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数124000102450020250003030000303500010100100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝，=27300若每台都购买 11 次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2600026500270002750032500此时这100台机器维修费用的平均数226000102650020270003027500303250010=100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋，=27500因为，所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务．12y y ＜【考点】概率，加权平均数，统计表【考查能力】运算能力，推理能力24.【答案】证明：（1）∵，AC BD ⊥∴，90AED ∠︒＝在中，．Rt AED △90ADE CAD ∠︒∠＝－∵，AB AC ＝∴A A AB AC=∴．90ACB ABC ADE CAD ∠∠∠︒∠＝＝＝－在中，，ABC △180BAC ABC ACB ∠∠∠︒＋＋＝∴，即．()(180180290)BAC ABC ACB CAD ∠︒∠∠︒︒∠＝－＋＝－－2BAC CAD ∠=∠（2）∵，DF DC ＝∴，FCD CF ∠∠＝∴，BDC FCD CFD ∠∠∠＝＋∴2BDC CFD∠∠＝∵，且由（1）知，BDC BAC ∠∠＝2BAC CAD ∠∠＝∴，CFD CAD ∠∠＝∵，CAD CBD ∠∠＝∴，CFD CBD ∠∠＝∴，CF CB ＝∵，AC BF ⊥∴，故垂直平分，BE EF ＝CA BF ∴，10AC AB AF ＝＝＝设，则，在和中，，AE x ＝10CE x ＝－Rt ABE △Rt BCE △²²²²²AB AE BE BC CE －＝＝－又∵，BC ＝∴，解得，(()22221010x x -=--6x =∴64AE CE ＝，＝，∴，8BE ∵，，DAE CBE ∠∠＝ADE BCE ∠∠＝∴．ADE BCE △∽△∴AE DE AD BE CE BC==∴3,DE AD ==过点D 作，垂足为H .DH AB ⊥∵，11,1122ABD S AB DH BD AE BD BE DE =⋅=⋅=+=△∴故10116,DH =⨯335DH =在中，Rt ADH △6²²5AH AD DH -＝＝∴112DH tan BAD AH ∠==【考点】圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形面积等基础知识【考查能力】运算能力，推理能力25.【答案】解：（1）依题意，，，240b ac △＝－＝22b a-=所以，2440()a ac －－＝因为，所以，即满足的关系式为．0a ≠4c a ＝a c ，4c a ＝（2）①当时，直线为，它与轴的交点为．0k ＝l 1y ＝y (0)1，∵直线与轴平行，1y ＝x ∴等腰直角的直角顶点只能是，且是抛物线的顶点．过作，垂足为，则ABC △A A A AM BC ⊥M ，1AM ＝∴，故点坐标为，1BM MC AM ＝＝＝A (1)0，∴抛物线的解析式可改写为【考点】一次函数和二次函数的图形与性质，等腰直角三角形的性质与判定，图形的对称【考查能力】运算能力，推理能力∴抛物线的解析式可改写为，2(1)y a x =-∵抛物线过点，所以，解得.()0,121(01)a =-1a =所以抛物线的解析式为，即.2(1)y a x =-221y x x =-+②设，则.()()1122,,,B x y C x y ()1,1D x -由得，2121y kx k y x x =+-⎧⎨=-+⎩2(2)0x k x k -++=因为22(2)440k k k =+-=+△＞由抛物线的对称性，不妨设，则，12x x ＜1x =2x =所以，121x x ＜＜设直线的解析式为，则有，解得AD y mx n =+101m n mx n =+⎧⎨-=+⎩111111m x n x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩所以直线的解析式为.AD 111111y x x x =-+--因为()222221111111111x y x x x x x ⎛⎫---+=-+ ⎪---⎝⎭()()()212111111x x x x -⎡--+⎤⎣⎦=-()21111x x ⎫-+⎪⎪⎝⎭=-0=即，所以点在直线上.22111111y x x x =-+--()22,C x y AD 故对于每个给定的实数，都有三点共线.k ,,A C D。
2019年福建省名校联合模拟中考试卷数学(三)及参考答案
2019年福建省名校联合模拟中考试卷数学(三)一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分项 1.下列实数中，无理数是( ).A . 3.14B .1.01001C .39D .722 2.一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主(正)视图为( ).3.下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是( ). A . ⎩⎨⎧->≥32x x B .⎩⎨⎧-<≤32x x C . ⎩⎨⎧-<≥32x x D . ⎩⎨⎧->≤32x x 4.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ). A .线段 B . 等边三角形 C .正方形 D .平行四边形 5.下列计算正确的是( ).A . 9＝±3B .－32＝9C .(－3)－2=91D .－3+|－3|＝－66.老师随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则条形图中被遮盖的数是( ).A .5B . 9C .15D .227.如图，在△ABC 中，∠B =30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E垂足为D ，如果CE =8，则ED 的长为( ). A .2 B . 3 C .4 D .68.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成 的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2:1，若随机在大正 方形及其内部区域投针，则针尖扎到小正方形(阴影部分)的概率是( ). A .0.2 B .0.25 C .0.4 D .0.5D C ． A B ． (第2题)4册5册7册6册25%(第8题)(第7题)(第3题)9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限， 点A 的坐标是(－2,3)，先把△ABC 向右平移3个单位 长度得到△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转 90°得到△A 2B 2C 1，则点A 的对应点A 2的坐标是( ). A .(4,2) B .(－6,0) C .(0,0) D .(－2,2) 10.已知二次函数y =(x －h )2(h 为常数)，当自变量x 的值满足－1≤x ≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为4，则h 的值为( ). A .1或5 B .－5成3 C .－3或1 D .－3或5 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11.对于一元二次方程x 2－5x +2=0，根的判别式b 2－4ac 中的b 表示的数是_______. 12.如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20° 则∠2的度数是_______.13.小丽计算5个数据的方差时，得S 2＝91 [(5－x )2+(8－x )2+ (7－x )2+(4－x )2+(6－x )2]，则等式中x 的值为_______.14.数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为6cm 的圆形纸片剪出 一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子(接缝处忽略不计) .若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等 于_______. 15.观察下列等式:4121-=21； 9131-=32；16141-=43；… 则第n 个等式为_______.(用含n 的式子表示)16.如图，直线y=kx (k >0)交⊙O 于点A 、B ，⊙O 与xy 轴正半轴分别交于点D 、E ，AD 、BE 的延长线相交于点C ，则CB ：CD 的值是_______.三、解答题：本题共9小题，共86分 17.(本题满分8分) 先化简，再求值：(23-m +1)÷4332-+m m ，其中m =－518.(本题满分8分)如图，矩形ABCD 中，AB >AD ，把矩形沿对角线AC 所在直 线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE . 求证:△ADE ≌△CED .(第12题)19.(本题满分8分)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“官兵分布”问题：“一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数.”其大意为：今有1000官兵分1000匹布，1官分4匹，4兵分1匹.问官和兵各几人？20.(本题满分8分)定点D，使得△ABD与△BCD都是等腰三角形，并求BC的长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)B21.(本题满分8分)4月23日是世界读书日.某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生平均每周用于课外阅读的时间(单位：mi n)，过程如下：(1)填空:a＝______，b=_______，m=________，n=________；(2)如果每周用于课外阅读的时间不少于80 min为达标，该校现有学生500人，估计达标的学生有多少人?(3)假设平均阅读一本课外书的时间为260 min，请你估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书？22.(本题满分10分)如图，直线l ：y =－x +3与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，且与双曲线y ＝xk一个交点为B (－1，m )，将直线l 在x 轴下方的部 分沿x 轴翻折，得到一个“V ”形折线AMN 的 新函数.若点P 是线段BM 上一动点(不包括端点)，过点P 作x 轴的平行线，与新函数交于另一点C ，与双曲线交于点D . (1)若点P 的横坐标为a ，求△MPD 的面积； (用含a 的式子表示)(2)探索：在点P 的运动过程中，四边形BDMC 能否为平行四边形?若能，求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由.23. (本题满分10分)如图，已知⊙O 的直径AB =10，AC 是⊙O 的弦.过点C 作⊙O 的切线DE 交AB 的延长线于点E ，过点A 作AD ⊥DE ，垂足为D ，与⊙O 交于点F ，设∠DAC 、∠CEA 的度数分别是α、β，且0°<α<45° (1)用含α的代数式表示β；(2)连结OF 交AC 于点G ，若AG=CG ，求AC 的长.24. (本题满分12分)如图，在□ABCD 中，60°<∠B <90°，且AB ＝2，BC =4， F 为AD 的中点，CE ⊥AB 于点E ，连结EF 、CF . (1)求证:∠EFD =3∠AEF ;(2)当BE 为何值时，CE 2－CF 2的值最大?并求此时sinB 的值.25.(本题满分14分)已知抛物线y=ax 2+(3b +1)x+b －3(a >0)，若存在实数m ，使得点P (m ，m )在该抛物线上，我们称点P (m ，m )是这个抛物线上的一个“和谐点”. (1)当a =2，b =1时，求该抛物线的“和谐点”；(2)若对于任意实数b ，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A 、B . ①求实数a 的取值范围； ②若点A ，B 关于直线y=x －(21a+1)对称，求实数b 的最小值.参考答案一、CADBC BCBAD二、11. -5 12. 50° 13. 6 14.5103 15. 1)1(1112+=+-+n nn n 16. 2解：∠1=∠2= 45°，△OAD 与△OBE 均为等腰△， ∠C= 45°又AB 是⊙O 的直径，△BDE 均为等腰Rt △，CB ：CD =2 三、 17.32+m ，－1 18.略19.官200人，兵800人20. △ABD 、△BCD 、△ABC 均为等腰三角形 且△ABC ∽△CBD设AD=BD=BC =x ，则CD =4－x ，则有 BD 2=AB ·CD ，x 2=4(4－x ) x =－2±5（负舍） 21.(1)填空:a ＝5，b =4，m =81，n =81；(2)500×2048+=300(人) (3) 2605280⨯=16(本)答：(略) 22.解：(1)∵直线l ：y =－x +3过点 B (－1，m )∴B (－1，4)， y ＝－x4∴P (a ,－a +3)∵D (34+--a ,－a +3)、M (3，0)∴－1< a <3S △MPD =21(a －34+--a ) (－a +3) =－21a 2+23a +2BA(2)当P 为BM 的中点时，P (1，2) 当y =2时，x =－2， ∴D (－2，2)由折叠可知直线MC ：y =x －3(x ≥3) ∴C (5，2)∴PD =3, PC =4, PD ≠PC∴四边形BDMC 不能成为平行四边形. 23.(1) β=90°－2α(2)连接OC 、FC ，易证四边形AOCF 为菱形. △AOF 为正△∽ ∴∠AOC = 120°,r =5∴AC =310π24.(1)如图构辅助线，则 △AFG ≌△DFC ∴FG=FC 又CE ⊥AB∴FE=FG ，∠4=∠G ,又AF =21AD=AD=AG ,∴∠2=∠1=∠G =∠4 而∠3=∠4+∠G =2∠4 ∴∠EFC =3∠4.(2)设BE =x ,则 AE =2－x ，EG =4－x ， EC 2=16－x 2，CG 2=(4－x )2+16－x 2=－8x +32 ∴FC 2=(21CG ) 2=41(－8x 2+32)=－2x +8 ∴CE 2－CF 2=16－x 2－(－2x +8)= －x 2+2x +8=－(x －1)2+9当x =1，即BE =1时，CE 2－CF 2有最大值。
初中数学竞赛试题及答案doc
初中数学竞赛试题及答案doc一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 4 或 -4D. 2答案：C3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数的立方等于-27，这个数是多少？A. -3B. 3C. -27D. 27答案：A5. 一个数的倒数等于它自身，这个数是？A. 1B. -1C. 0D. 都不是答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是5，这个数可能是_________。
答案：±57. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是_________。
答案：48. 一个数的立方根是3，那么这个数是_________。
答案：279. 一个分数的分子是7，分母是14，化简后是_________。
答案：1/210. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_________。
答案：5三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。
证明：根据三角形不等式定理，对于任意三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
如果已知AB + BC > AC，则满足三角形的构造条件，因此这样的三角形是存在的。
12. 计算：(2x - 3)(x + 4)。
解：根据多项式乘法法则，我们有(2x - 3)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12。
13. 解方程：2x + 5 = 11。
解：首先将5移到等式右边，得到2x = 11 - 5，即2x = 6。
然后将2除到等式右边，得到x = 6 / 2，即x = 3。
14. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长增加2米，宽增加1米，面积增加了15平方米，求原长方形的长和宽。
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c ==，，则a b b c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）． （A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23BC =422-CD ＝2AD 边的长为（ ）．（A ）26 （B ）64（C ）64+ （D ）622+解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6，CF ＝2DF ＝6，于是 EF ＝46．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD 222(46)(6)(224)=++=+226+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （第3题）（第3题）（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-） （D ）（0，2）解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿（第5题）车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，， （千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．解：11133y x =-+ 如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，， 解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AE AD= ． （第8题） （第8题解： 215- 见题图，设,FC m AF n ==． 因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m+-=， 解得51n m -=，或51n m --=（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====51-， 即AE AD=51-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： ．tan EF PAD BC ∠=（第9题） （第11题）证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得 EF AH BC AP=， 从而 EF PD BC AP=， 所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=， 解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）． 因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上， 所以 4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩， …（10分） （第11题）（第12题）（2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-1A 的坐标为（4，1-）.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>， 2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，， 这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件.（5分）另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61. 综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。
2019年全国初中数学联赛试题及详解
2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或 110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b =，9||6a b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.解：由已知，6492(23)15121512c a b a b b b ==-=-≤，∴2c ≤.3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 解：当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。
观察4个选项，只能选C. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.解：由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。
∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100a b a b c a c ++=⎧⇒+-=-⎨++=⎩5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.解：如图，由已知，ADE 是正三角形。
初三数学竞赛试题及答案
初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2.5B. πC. 0.33333...D. -12. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是4. 某工厂生产的产品数量y与时间x（小时）成正比，已知2小时生产了40个产品，那么4小时生产的产品数量是：A. 80B. 100B. 120D. 1605. 一个圆的半径是5，那么这个圆的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 下列哪个是二次根式的化简结果？A. \(\sqrt{48}\)B. \(\sqrt{64}\)C. \(\sqrt{81}\)D. \(\sqrt{144}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方根是2，这个数是________。
2. 若一个等差数列的第3项是10，第5项是14，那么这个等差数列的公差是________。
3. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么这个长方体的体积是________cm³。
4. 一个多项式\(ax^2 + bx + c\)的系数a、b、c满足\(a + b + c = 6\)，且\(a - b + c = 0\)，那么\(2a - 2b + 2c\)的值是________。
5. 若一个二次方程\(x^2 - 4x + 4 = 0\)，那么这个方程的判别式Δ是________。
三、解答题（每题15分，共50分）1. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求这个直角三角形的斜边长。
2. 一个水池的底部有一个排水口，水池的容积是100立方米。
如果打开排水口，水池的水在2小时内可以排完。
现在同时打开排水口和进水口，进水口每小时可以注入20立方米的水。
福建省初中数学竞赛试卷
福建省初中数学竞赛试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √2D. √12. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 13. 下列等式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. (a b)² = a² 2ab + b²D. a² b² = (a + b)(a b)4. 一个等差数列的前三项分别是1、3、5，那么第10项是（）A. 19B. 21C. 23D. 255. 下列图形中，面积和周长都不变的是（）A. 正方形B. 长方形C. 圆D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘，结果是正数。
（）2. 平行线的性质是同位角相等。
（）3. 任何两个奇数相加都是偶数。
（）4. 一次函数的图像是一条直线。
（）5. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a：b=3：4，则（a+b）：b=______。
2. 已知x² + x = 12，则x² + 2x + 1 = ______。
3. 一次函数y = 2x + 3的图像与y轴的交点坐标是______。
4. 若等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则其面积为______。
5. 一个正方体的体积是64立方厘米，则其表面积是______平方厘米。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请解释有理数的概念。
2. 简述平行线的性质。
3. 什么是二次方程？请举例说明。
4. 如何求解一元一次不等式？5. 简述三角形相似的判定条件。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有3个苹果，小红的苹果数量是小明的2倍，他们一共有多少个苹果？2. 一辆汽车行驶100千米，速度为60千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间。
初中数学竞赛试题及答案pdf
初中数学竞赛试题及答案pdf一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方等于9，这个数是？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不是答案：C3. 计算下列算式的结果：(2x + 3)(2x - 3) = ?A. 4x^2 - 6x + 6B. 4x^2 - 9C. 4x^2 + 6x - 9D. 4x^2 + 9答案：B4. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边之间的夹角为90度，那么这个三角形的周长是多少？A. 7B. 8C. 9D. 10答案：D5. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A6. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C7. 以下哪个是完全平方数？A. 36B. 49C. 64D. 81答案：C8. 一个数的立方等于-8，这个数是？A. -2B. 2C. -2或2D. 以上都不是答案：A9. 计算下列算式的结果：(a + b)^2 = ?A. a^2 + 2ab + b^2B. a^2 - 2ab + b^2C. a^2 + b^2D. a^2 - b^2答案：A10. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：412. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么这个数列的第5项是______。
答案：1713. 一个等腰三角形的底边长是6厘米，两腰长分别是8厘米，那么这个三角形的周长是______厘米。
答案：2214. 如果一个数除以3余2，除以5余1，那么这个数可能是______（写出一个符合条件的数即可）。
答案：1115. 一个直角三角形的两直角边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的斜边长是______厘米。
大梦杯福建初中数学竞赛试题参考答案及评分标
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
初中数字竞赛试题及答案
初中数字竞赛试题及答案1. 计算下列表达式的值：(a) 3x + 2y = 7(b) 5x - y = 11解：将方程 (a) 乘以 5，方程 (b) 乘以 3，得到：15x + 10y = 3515x - 3y = 33相减得：13y = 2，所以 y = 2/13。
将 y 的值代入方程 (a) 得：3x + 2(2/13) = 7，解得 x = 3。
答案：x = 3，y = 2/13。
2. 一个数的三倍加上另一个数的两倍等于 60，如果第一个数是第二个数的两倍，求这两个数。
解：设第一个数为 x，第二个数为 y，则有：3x + 2y = 60x = 2y将 x = 2y 代入第一个方程得：3(2y) + 2y = 60，解得 y = 6。
则 x = 2y = 12。
答案：第一个数是 12，第二个数是 6。
3. 一个两位数，十位数字是 x，个位数字是 y，如果这个数加上 9 后，个位数字和十位数字互换，求 x 和 y 的值。
解：设这个两位数为 10x + y，根据题意有：10x + y + 9 = 10y + x9x - 9y = -9x - y = -1因为 x 和 y 都是 0 到 9 之间的整数，所以 x = 4，y = 5。
答案：x = 4，y = 5。
4. 一个班级有 45 名学生，其中男生人数是女生人数的两倍，求男生和女生各有多少人。
解：设女生人数为 x，则男生人数为 2x。
根据题意有：x + 2x = 453x = 45x = 15则男生人数为 2x = 30。
答案：男生有 30 人，女生有 15 人。
5. 一个三位数，它的百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c，如果这个数加上 198 后，百位数字、十位数字和个位数字都增加了 1，求这个三位数。
解：设这个三位数为 100a + 10b + c，根据题意有：100a + 10b + c + 198 = 100(a+1) + 10(b+1) + (c+1)100a + 10b + c + 198 = 100a + 100 + 10b + 10 + c + 189 = 10 + cc = 89 - 10 = 79因为 c 是个位数，所以 c = 9。
2022年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间 3月18日 9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 旳四个选项，其中有且只有一种选项是对旳旳。
请将对旳选项旳代号填入题后旳括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若有关x 旳方程4x 2+4mx -3m -1=0有两个相等旳实数根，则m 3+4m 2+4m -2旳值为（）A ．-3B ．-2C ．-1D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m <n ）。
坐标原点O 为AD旳中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数y =ax 2旳图像过C 、F 两点，则A ．3+1B ．2+1C ．23-1D ．22-1（第2题图）（第3题图）（第4题图）B n=（）mAAGEHOCD B C3．如图，G 为△ABC 旳重心，点D 在CB 延长线上，且BD =1BC ，过D 、G 旳直线交2AC 于点E ，则AE=（）AC3B ．53C ．7D ．2A ．5474．如图，H、O分别为△ABC旳垂心、外心，∠BAC=45︒，若△ABC外接圆旳半径为2，则AH=（）A．23B．22C．45．满足方程x2-4xy+19y2=151旳整数对(x，y)有（）A．0对B．2对C．4对D．6对D．3+1二、填空题（共5小题，每题7分，共35分）6．已知a，b，c为正整数，且a>b>c。
若b+c，a+c，a+b是三个持续正整数旳平方，则a2+b2+c2旳最小值为。
4 7．如图，ABCD为矩形，E为对角线AC旳中点，A、B在x轴上。
若函数y=（x>0）x旳图像过D、E两点，则矩形ABCD旳面积为。
（第7题图）AO1CBDO2（第8题图）8．如图，△ABC是边长为8旳正三角形，D为AB边上一点，⊙O1为△ACD旳内切圆，⊙O2为△CDB旳边DB上旳旁切圆。
2019届福建省福州市九年级上学期质检数学试卷【含答案及解析】
2019届福建省福州市九年级上学期质检数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 抛物线y=x2的顶点坐标是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（0，1）2. 全国首届青运会在福州举行，下列体育图标中，可以看是中心对称图形的是（）A．皮筏艇 B．花样游泳 C．自行车 D．柔道3. 方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=04. 将抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A．y=3x2﹣2 B．y=3x2 C．y=3（x+2）2 D．y=3x2+25. 方程x2﹣4x﹣4=0进行配方后，得到的方程是（）A．（x﹣2）2=8 B．（x+2）2=8 C．（x﹣2）2=0 D．（x+2）2=166. 如图，将含45°的直角三角板ABC绕着点A顺时针旋转到△ADE处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（）A．45° B．90° C．135° D．180°7. 一元二次方程（x﹣2）（x+3）=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根8. 若a+b+c=2015，则抛物线y=ax2+bx+c必定经过的点是（）A．（﹣1，﹣2015） B．（1，2015） C．（﹣1，2015） D．（1，﹣2015）9. 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E 点的坐标是（）A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．a＜0 B．b＞0C．c＜0 D．当x＞0时，y随x增大而增大二、填空题11. 抛物线y=（x+5）2﹣3的对称轴是．12. 将方程（x﹣1）（x+1）=3x化简成一般式，为．13. 点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为．14. 在关于x的方程=m中，对m任取一个数值，使得该方程没有实数根，那么m的值可以是．（只需写出一个即可）15. 如图（1）是一个横截面为抛物线形拱桥，当拱顶高水面2m时，水面宽4m．如图（2）所示建立在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式是．16. 如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是．三、解答题17. 解方程：x2﹣2x﹣2=0．18. 将二次函数y=﹣x2+6x﹣1化成y=a（x﹣h）2+k的形式．19. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，O都是格点，请分别作出△ABC绕点O顺时针旋转90°和180°后得到的图形．20. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.5%降至1.6%，平均每次降息的百分率是多少？21. 若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是﹣3，1，与y轴交点的纵坐标是﹣3，求这个抛物线的解析式．22. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣mx+1=0有两个相等的实数根，求m的值．23. 如图，正方形ABCD的中心与原点O重合，点C的坐标为（﹣1，﹣1）．（1）将正方形绕原点O顺时针旋转45°，画出旋转得到的正方形A1B1C1D1；（2）分别求点A及其对应点A1的坐标．24. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．25. 若用40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长a m，垂直于墙的边长为xm，围成的矩形场地的面积为y m2．（1）求y与x的函数关系式．（2）矩形场地的面积能否达到210m2？请说明理由．（3）当a=15m或30m时，请分别求出这个矩形场地面积的最大值．四、计算题26. 如图①，抛物线y=ax2上有一点C，CA⊥y轴于点A，直线l：y=﹣1垂直于y轴，CB⊥l于点B，且CA=CB=2，点A的坐标是（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，若点P是抛物线上的任意一点，PD⊥l，垂足为D，则总有PA=PD吗？请经过计算验证你的结论；（3）在（2）的条件下，连接AD，当△PAD是等边三角形时，求点P的坐标．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
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被 9 除的余数只有 0 ，1， 2 ， 7 ， 8 这 5 种情形。 而 2019 3 ( mod 9 ) ，即 2019 被 9 除的余数为 3。
又 E 为 OA 中点，
∴ OE 1 OA OD 。 2
结合 ABC 40 ，知 EOD AOC COD 2 40 60 140 ，
（第 2 题答题图）
1
OED 1 (180 EOD) 1 (180 140) 20 。
（第 4 题答题图）
5．2018 年 12 月 18 日，党中央、国务院授予陈景润同志改革先锋称号，颁授改革先锋
奖章，并获评激励青年勇攀科学高峰的典范。
哥德巴赫 1742 年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于 2 的偶数都可写成两个质数
之和（简称“1 1 ”）。”，并请欧拉帮助证明。两位数学大师费尽了脑筋，也没能给出证 明。200 多年来，“哥德巴赫猜想”吸引了众多数学家的关注，都试图去证明它，但至今还
1．若一次函数
y
x
2
与反比例函数
y
4 x
的图像交于
A( x1
，y1)
，
B( x2
，y2 )
两点，则
x1x2 y1 y2 的值为（ ）
A． 8
B． 6
C． 6
D． 8
【答案】 D
yx2
【解答】由
y
4 x
，得 x2 2x 4 0 …………… ①。
依题意， x1 ， x2 是方程 ① 的两根，于是 x1 x2 2 ， x1x2 4 。
1 2
( AB
BC
CA) r
1 2
(13 10
7) r
20
3。
∴ r4 3。 3
10．已知 x 0 ，y 0 ，z 0 ，且 x y xy ，x y z xyz ，则 z 的最大值为
。
【答案】 4 3
【解答】由 x y xy ，得 y x 。结合 x 0 ， y 0 ，得 x 1 。 x 1
则线段 BC 的长度为
。
【答案】 113 【解答】如图，作 AD x 轴 于点 D ，设 B(x1 ，0) ， C(x2 ，0) （ x1 x2 ）。 ∵ A(1，4) ， AB AC ，
（第 6 题图）
∴ 由 射 影 定 理 得 ， DB DC DA2 16 ， 即 (1 x1)(x2 1) 16 。
2019 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2019 年 3 月 17 日 9∶00－11∶00 满分 150 分
一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里， 不填、多填或错填都得 0 分）
2
2
3．已知二次函数 f (x) 2x2 ax b ，若 f (a) f (b 1) ，其中 a b 1 ，则 f (1) f (2) 的 值为（ ）
A． 8
B．10
【答案】 A
C．12
D．14
【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知 a b 1 a 。于是， 3a 2b 2 。
未能彻底解决。
陈景润在福州英华中学读书期间，有幸聆听了来自清华大学的沈元老师对“哥德巴赫猜
想”的介绍。从此，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润，开启了陈景润摘取数学皇
冠上的明珠的艰辛历程。经过 10 多年坚忍不拔的辛勤研究，1966 年 6 月陈景润在《科学通
报》上发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1 2 ”） 的研究论文，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，受到国际数学界的高度重视和称赞，并称
∴ AB BP tan 30 4 3 。
∴ AC 2 AB2 BC 2 (4 3)2 62 84 。
∴ AC 2 21 。
结合 AB BC ，CD DA ，知 A 、 B 、C 、 D 四点
共圆， AC 为四边形 ABCD 外接圆的直径。 ∴ 四边形 ABCD 外接圆面积为 ( 21)2 21 。
又 x y z xyz ，
所以， z
xy xy 1
x x
x
x x
1 1
x 1
x
2
x
2
x
1
1
1 1 x
1 x2
(1 x
1 1) 2 2
3 4
。
由 x 1 ，知 0 1 1 x
所以， 1 1 ，即 x 2 时， z 取最大值 4 。（此时 y 2 ）
(y x
x y
)
(
y x
)
2
y x
x y
(
x y
)
2
2
(
y x
x )2 y
3
y x
x y
2(2
2
3) 14
。
8 ． 若 多 项 式 x12 x6 ax b （ a ， b 为 常 数 ） 能 被 多 项 式 x2 1 整 除 ， 则 a b 的 值
【答案】（1）由
1
8 m 1 4
1，知1
1
8m1 2 。 4
…………… 5 分
∴ 3 8 m 1 7 ， 9 8m 1 49 ，1 m 6 。
∴ 所求正整数 m 的值为1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 。
………………………… 10 分
3
∴ 5 2a ( a 1) 1 16 ，解得 a 1 。
a
a
4
于是， x1 x2 5 ， x1x2 22 ， x1 x2 (x1 x2 )2 4x1x2 (5)2 4 (22) 113 。
∴ 线段 BC 的长为 113 。
∴
x1x2
y1 y2
x1x2
4 x1
4 x2
x1x2
16 x1x2
4
16 4
8。
2．如图，△ABC 为圆 O 的内接三角形，D 为 BC 中点，E
为 OA 中点， ABC 40 ， BCA 80 ，则 OED 的大小为
（）
A．15
B．18
C． 20 D． 22
【答案】 C
【解答】如图，连结 OC 。 由 ABC 40 ， BCA 80 ，得 BAC 60 。
（第 2 题图）
∵ D 为 BC 中点，
∴ OD BC ， DOC 1 BOC BAC 60 。 2
∴ OCD 30 ， OD 1 OC 。 2
2
4
所以， f (1) f (2) (2 a b) (8 2a b) 3a 2b 10 2 10 8 。
4．如图，在四边形 ABCD 中，AB BC ，BCD 120 ，CD DA ，且 BC 6 ，CD 3 ，
则四边形 ABCD 外接圆的面积为（ ）
∵ B 、 C 为函数 y ax2 (a 1)x 5 2a 的图像与 x 轴
的交点，
∴ x1 ， x2 是方程 ax2 (a 1)x 5 2a 0 的两根，
x1
x2
a 1， a
x1x2
5 2a a
。
（第 6 题答题图）
又 (1 x1)(x2 1) 16 ， (x1 1)(x2 1) 16 ， x1x2 (x1 x2 ) 1 16 ，
x2
3
5
三、解答题（共
1
8 4
m 1
1，求正整数 m
的值；
（2）求和式：
1
811 4
1
8 2 1 4
L
1
8 50 1 4
的值。
（其中，符号 x 表示不超过 x 的最大整数）
AC x ，则 AB x 6 。
∵ BC 10 ， △ABC 的面积为 20 3 ，
∴ 1 BC AH 1 10 AH 20 3 ， AH 4 3 。
2
2
∵ BH CH 10 ，
∴ (x 6)2 (4 3)2 x2 (4 3)2 10 。
2
这一结果为“陈氏定理”。陈景润勇攀科学高峰的精神和对“哥德巴赫猜想”研究的贡献，
激励了无数青年学子。
请你完成下列问题：
将 2019 分解为两个正立方数的和的分解方式有（ ）（即方程 2019 x3 y3 的正整数
解的组数）
A． 0 种
B．1种
C． 2 种 D． 3 种
【答案】 A
【解答】对任意正整数 m ，考察 m3 关于模 9 的余数。 由于对任意正整数 m ， m 0 ，1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ( mod 9 ) 。