2019年中考专题《命题、定理、证明》复习课件(共30张PPT)
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命题、定理、证明-ppt课件
添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变；改写的句子要 完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨；改写过 程中，可以适当增加词语，切不可生搬硬套．
知识点3 命题的真假 例3 下列命题是真命题的是( A ) A.同位角相等，两直线平行 B.同角的余角互补 C.方程2x＋4＝0的解为x＝2 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
1．下列语句中，是命题的是( A ) A．有公共顶点的两个角是对顶角 B．作∠A的平分线 C．用量角器量角的度数 D．直角都相等吗
2．命题“互为相反数的两个数的和为零”是___真_____命题(填 “真”或“假”)，将其改写成“如果……那么……”的形式：如果 ___两__个__数__互__为__相__反__数_______，那么___这__两__个__数__的__和__为__零_____．
课前预习
1.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由___题__设___和___结__论___ 两部分组成． 2．命题的真假：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做____真____命 题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做___假_____命题． 3．定理：经过推理证实的___真_____命题叫做定理．定理也可以作为继续推理 的依据． 4．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这 个推理过程叫做证明．
训练 4.判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举 出一个反例．
(1)对顶角相等； (2)三条直线两两相交，总有三个交点； (3)如果ac＝bc，那么a＝b. 解：(1)真命题． (2)假命题．反例：三条直线交于一点． (3)假命题．反例：当c＝0时，1×0＝2×0，但是1≠2.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可．
知识点3 命题的真假 例3 下列命题是真命题的是( A ) A.同位角相等，两直线平行 B.同角的余角互补 C.方程2x＋4＝0的解为x＝2 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
1．下列语句中，是命题的是( A ) A．有公共顶点的两个角是对顶角 B．作∠A的平分线 C．用量角器量角的度数 D．直角都相等吗
2．命题“互为相反数的两个数的和为零”是___真_____命题(填 “真”或“假”)，将其改写成“如果……那么……”的形式：如果 ___两__个__数__互__为__相__反__数_______，那么___这__两__个__数__的__和__为__零_____．
课前预习
1.命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由___题__设___和___结__论___ 两部分组成． 2．命题的真假：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做____真____命 题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做___假_____命题． 3．定理：经过推理证实的___真_____命题叫做定理．定理也可以作为继续推理 的依据． 4．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这 个推理过程叫做证明．
训练 4.判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举 出一个反例．
(1)对顶角相等； (2)三条直线两两相交，总有三个交点； (3)如果ac＝bc，那么a＝b. 解：(1)真命题． (2)假命题．反例：三条直线交于一点． (3)假命题．反例：当c＝0时，1×0＝2×0，但是1≠2.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可．
2019年人教版七年级下数学5.3.2命题、定理、证明课件
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特
征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角 形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3. 都是“如果……那么……”的形式
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设, 2.“那么”后接的部分是结论.
练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示. 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( ×) 2）两条直线相交，有且只有一个交点（ √） 3）不相等的两个角不是对顶角（ √） 4）相等的两个角是对顶角（ √ ） 5）取线段AB的中点C；（ × ）
6）画两条相等的线段（ × ）
二、命题的结构
这个黑客终于 被逮住了. 是的,现在的因特网 广泛运用于我们的生 活中,给我们带来了 方便,但…….
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也 在悄悄地议论着.
这个黑客是个 小偷. 是个喜欢穿黑 衣服的贼.
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
好！ 继续努力,争取 超过10秒.
小明的 百米成绩有进步， 已达到9秒9.
来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做公理.
直线公理： 线段公理： 两点确定一条直线. 两点间线段最短. 经过直线外的一点有且仅有一条直线 与已知直线平行.
平行线公理：
四、定理的概念 2.有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经 过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也 可以作为继续推理的依据.
由已知事项 推出的事项
同位角相等 结论
练一练 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并 指出它的题设和结论. 1.对顶角相等；
征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角 形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3. 都是“如果……那么……”的形式
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 1.“如果”后接的部分是题设, 2.“那么”后接的部分是结论.
练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示. 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( ×) 2）两条直线相交，有且只有一个交点（ √） 3）不相等的两个角不是对顶角（ √） 4）相等的两个角是对顶角（ √ ） 5）取线段AB的中点C；（ × ）
6）画两条相等的线段（ × ）
二、命题的结构
这个黑客终于 被逮住了. 是的,现在的因特网 广泛运用于我们的生 活中,给我们带来了 方便,但…….
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也 在悄悄地议论着.
这个黑客是个 小偷. 是个喜欢穿黑 衣服的贼.
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
好！ 继续努力,争取 超过10秒.
小明的 百米成绩有进步， 已达到9秒9.
来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做公理.
直线公理： 线段公理： 两点确定一条直线. 两点间线段最短. 经过直线外的一点有且仅有一条直线 与已知直线平行.
平行线公理：
四、定理的概念 2.有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经 过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也 可以作为继续推理的依据.
由已知事项 推出的事项
同位角相等 结论
练一练 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并 指出它的题设和结论. 1.对顶角相等；
人教版《命题、定理、证明》上课课件PPT初中数学ppt
B.在直线AB上取一点C D.直角都相等吗?
2.下列命题中,假命题是 ( C ) A.所有的有理数都可用数轴上的点表示 C.若|a|=4,则a=4
B.等角的补角相等 D.两点之间,线段最短
3. 能说明命题“对于任何实数a，|a|>－a”是假命题的
一个反例可以是( A )
A．a＝－2 C．a＝1
B．a＝ 1
第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题、定理、证明
知识回顾
前面, 我们学过一些对某一件事情作出判断的语句, 例如: （1）如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线 也互相平行; （2）两条平行线被第三条直线所截, 同旁内角互补; （3）对顶角相等; （4）等式两边加同一个数, 结果仍是等式. 你能说明其中的条件
平行线的判定-基本事实：同位角相等，两直线平行.
平行线的基本事实：经过直线外的一点有且仅有 一条直线与已知直线平行.
定理：有些真命题它们的正确性是经过推理证实的， 也可以作为继续推理的依据.
作用 学过的定理： （1）补角的性质：同角或等角的补角相等.
（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.
（3）对顶角的性质：对顶角相等.
知识点一：命题的概念、形式和分类
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；
那么这两个角相等．
获取新知 知识点二：基本事实、定理和证明
基本事实：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结 出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据
直线的基本事实：两点确定一条直线.
作用
线段的基本事实：两点间线段最短.
表示动作，或疑问句，或类似感叹句，或表示选择
如“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
2.命题的组成:题设和结论 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做
中考专题《命题、定理、证明》复习课件(共30张PPT)
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2” 是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和 ∠2是对顶角”就是假命题. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那 么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆 定理. 我们前面学过的定理中就有互逆的定理.
2. 举反例说明下列命题是假命题： （1）两个锐角的和是钝角； 答：直角三角形的两个锐角和不是钝角 （2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数； 答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数. （3）两条直线被第三条直线所截同位角相等. 答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截， 它们的同位角不相等 3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题， 而且都是真命题. 答：两直线平行，内错角相等。 内错角相等，两直线平行。
议一议 下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说
一说你的理由. （1）每一个月都有31天； 错误 （2）如果a是有理数，那么a是整数错误 . （3）同位角相等； 错误 （4）同角的补角相等正确 .
上面四个命题中，命题（4）是正确的， 命题（1），（2），（3）都是错误的.
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命 题称为假命题.
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理 （推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证 例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题. 明.
由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1. 因此∠2=∠3（等量代换）. 于是，我们得出： 同角（或等角）的补角相等.
本书中，我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等. 人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点， 去判断其他命题的真假. 例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明 了一些有关平行线的结论.
命题定理与证明课件
详细描述
在命题的证明练习中，学生需要学习如何根据已知条件 和定义，通过逻辑推理和演绎法，推导出结论。这种练 习有助于学生理解命题证明的基本步骤和技巧，培养他 们的逻辑推理能力。
定理的证明练习
总结词
通过定理的证明练习，学生可以深入理解定理的证明过程，掌握定理的应用方法和技巧。
详细描述
在定理的证明练习中，学生需要学习如何根据定理的证明过程，理解和应用定理。这种练习有助于学生深入理解 定理的本质和应用，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
相对论
在相对论中，光速不变原理、质能方程等都是重要的命题 和定理，它们为理解宇宙的基本规律提供了基础。
在计算机科学中的应用
数据结构
在数据结构中，各种排序和查找 算法的效率定理、图的遍历定理 等都是关键的命题和定理，它们 为设计和分析算法提供了依据。
算法分析
在算法分析中，时间复杂度、空 间复杂度等概念都是重要的命题 和定理，它们为评估算法的效率 和可行性提供了标准。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
命题与定理的应用
在数学中的应用
代数
概率统计
命题和定理在代数中有着广泛的应用 ，例如在解决方程、不等式和函数问 题时，需要运用各种基本定理和推论 。
在概率和统计中，命题和定理的应用 也十分重要，例如大数定律、中心极 限定理等，都是解决概率统计问题的 基石。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
命题定理与证明课件
目录
CONTENTS
• 命题与定理的基本概念 • 命题的证明方法 • 定理的证明技巧 • 命题与定理的应用 • 命题与定理的实践练习
命题、定理、证明 课件
观察下列命题，你能发现它们有哪些共同的特点 和结构特征？ ① 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
② 如果a=b，b=c，那么a=c .
③ 如果等式两边都加上同一个数，那么结果仍是 等式.
④ 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁 内角互补.
① 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
② 如果a=b，b=c，那么a=c .
下列命题中的题设是什么？结论是什么？
① 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 题设是：两个角相等 结论是：这两个角是对顶角
② 如果a=b，b=c，那么a=c . 题设是： a=b，b=c
结论是： a=c
③ 同位角相等.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等. 条件是：两个角是同位角 结论是：这两个角相等
④ 同角的补角相等. 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相 等. 条件是：两个角是同一个角的补角 结论是：这两个角相等
思考：请问如何判断①是假命题？如何判断②是 真命题？ . .
注意：要判断一个命题是真命题要经过严格 的推理；是假命题只要举一个反例。
1.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真
小结
（一）证明一个真命题的步骤：
• 1、找出命题的题设和结论 • 2、结合命题画出草图 • 3、对照命题和图形写出已知和求证 • 4、利用学过的知识给出证明 （二）证明一个假命题只需举一个满足
题设但不符合结论的例子即可
什么是命题？
你你能能举举出出一一
些些是不命是题命的题例的 子例吗子？吗？
一般地，我们把能判断真假的陈述句 叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题，判 断为假的语句叫做假命题。
经过推理证实的真命题叫做定理。
Ⅰ、命题的判断
人教版《命题、定理、证明》PPT精美课件
依据，这样的真命题叫做定理。（它们是需要证明其正确性后才能用）
公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。
3、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个 推理过程叫做证明。（步骤：1、审题，分清命题的题设和结论；2、画 图，结合图形写出已知和求证；3、分析因果关系；4、有条理地写出证 明过程）
来证明这个结论呢？
1）一个角的补角大于这个角
2、邻补角是互补的角。
已知：b∥c，a⊥b ． 三、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。
已知：b∥c， a⊥b ．
D、同角的补角相等
8、同垂直于一直线的两直线平行；
求证：a⊥c． C、两个锐角的和是钝角
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
证明 ∵ a⊥b（已知）， 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( )
“如果”引出的部分是题设，
“那么”引出的部分是结论.
指下面的命题的题设和结论:
1.如果同位角相等，那么两直线平行. 2.如果两直线平行，那么内错角相等. 3.如果a∥b，b ∥c，那么a ∥c 4.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
注意：1、对于一个命题，如果题设与结论不明显时，
我们应该先将命题改写为
例2、哪些是真命题，哪些是假命题？
1）一个角的补角大于这个角 （假命题） 2）相等的两个角是对顶角 （假命题）
3）两点可以确定一条直线 （真命题）
4）若A=B，则2A=2B
（真命题）
5）锐角和钝角互为补角 （假命题）
6）两点之间，线段最短 （真命题） 7）同角的余角相等 （真命题）
8）同位角相等 （假命题） （9）如果两个角互补，那么它们是邻补角（. 假命题）
(1)两直线平行，同位角相等； (2)等角的余角相等 (3)相等的角是对顶角 (4)三个内角都等于60°的三角形是等边三角形 (5)垂直于同一条直线的两条直线平行
公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。
3、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个 推理过程叫做证明。（步骤：1、审题，分清命题的题设和结论；2、画 图，结合图形写出已知和求证；3、分析因果关系；4、有条理地写出证 明过程）
来证明这个结论呢？
1）一个角的补角大于这个角
2、邻补角是互补的角。
已知：b∥c，a⊥b ． 三、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。
已知：b∥c， a⊥b ．
D、同角的补角相等
8、同垂直于一直线的两直线平行；
求证：a⊥c． C、两个锐角的和是钝角
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
证明 ∵ a⊥b（已知）， 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( )
“如果”引出的部分是题设，
“那么”引出的部分是结论.
指下面的命题的题设和结论:
1.如果同位角相等，那么两直线平行. 2.如果两直线平行，那么内错角相等. 3.如果a∥b，b ∥c，那么a ∥c 4.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
注意：1、对于一个命题，如果题设与结论不明显时，
我们应该先将命题改写为
例2、哪些是真命题，哪些是假命题？
1）一个角的补角大于这个角 （假命题） 2）相等的两个角是对顶角 （假命题）
3）两点可以确定一条直线 （真命题）
4）若A=B，则2A=2B
（真命题）
5）锐角和钝角互为补角 （假命题）
6）两点之间，线段最短 （真命题） 7）同角的余角相等 （真命题）
8）同位角相等 （假命题） （9）如果两个角互补，那么它们是邻补角（. 假命题）
(1)两直线平行，同位角相等； (2)等角的余角相等 (3)相等的角是对顶角 (4)三个内角都等于60°的三角形是等边三角形 (5)垂直于同一条直线的两条直线平行
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分线的定2义)，
2
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
课堂小结
1.命题的定义: 判断一件事情的句子
2.命题的组成: 题设和结论
公理 （不需证明）
真命题 3.命题的分类：
定理 （由推理证实）
假命题 （只需举一个反例）
在此输入您的封面副标题
否
4)四边形是正方形； 是 假命题
5)你的作业做完了吗？ 否
6)内错角相等，两直线平行；是 真命题
7)垂直于同一直线的两直线平行；是
8)过点P画线段MN的垂线； 否
9)x＞2.
否
假命题
4.举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不 是对顶角，但是它们相等；
片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边 的县丞道：“师爷，你怎么看？” 县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄 清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，还要 看看地里的脚印是不是张三的才行。 如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三 的，那就一定是他偷的。”
从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过 程，叫分析.
这个黑客终于 被逮住了.
是的,现在的因特网 广泛运用于我们的生 活中,给我们带来了
方便,但…….
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也 在悄悄地议论着.
这个黑客是个 小偷.
是个喜欢穿黑 衣服的贼.
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
小明的
好！ 继续努力,争取
超过10秒.
百米成绩有进步，
已达到9秒9.
练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示. 1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( ×) 2）两条直线相交，有且只有一个交点（ √） 3）不相等的两个角不是对顶角（ √） 4）相等的两个角是对顶角（ √ ） 5）取线段AB的中点C；（ × ） 6）画两条相等的线段（ × ）
人教版初中数学命题、定理、证明ppt精品课件1
在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已 具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.
例2 如图，∠1=∠2，试说明直线AB、CD平行？
分析：要证明AB、CD平行，就需要
同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是 同位角. 我们只要找到：能说明它俩相等的条件 就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与 ∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们 就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例3 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
b
c
证明： ∵ a ⊥b（已知），
1
2
a
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
∵ b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
六、举反例
思考：如何判定一个命题是假命题呢？ 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
假命题
4.举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不 是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
5.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
（5）取线段AB的中点C；（ × ）
（6）画两条相等的线段（ × ）
二、命题的结构 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特 征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角
形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
5.3.2 命题、定理、证明
例2 如图，∠1=∠2，试说明直线AB、CD平行？
分析：要证明AB、CD平行，就需要
同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是 同位角. 我们只要找到：能说明它俩相等的条件 就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与 ∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们 就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例3 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
b
c
证明： ∵ a ⊥b（已知），
1
2
a
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
∵ b ∥ c（已知），
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
六、举反例
思考：如何判定一个命题是假命题呢？ 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
假命题
4.举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不 是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
5.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
（5）取线段AB的中点C；（ × ）
（6）画两条相等的线段（ × ）
二、命题的结构 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特 征？与同伴交流. （1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角
形的周长相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； （3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
5.3.2 命题、定理、证明
《命题、定理、证明》PPT教学课文课件
巩固练习
下列命题中的题设是什么？结论是什么？ ①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补. 题设是： 两个角是邻补角. 结论是： 这两个角互补. ② 如果a＞b，b＞c，那么a=c . 题设是：a＞b，b＞c 结论是： a=c
新知讲解
观察下列命题，你能发现这些命题有什么不同的特点吗？ 命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除.” 命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角.” 命题1是一个正确的命题；命题2是一个错误的命题.
C
B
只要举出一个例子(反例)：它符合命题的题设，但不满足结论即可.
链接中考
(中考·宜昌) 能说明 “锐角α，锐角β的和是锐角” 是假命题的例证图是(C )
随堂检测
1.下列语句中，不是命题的是( D ) A.两点之间线段最短 B.对顶角相等 C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
随堂检测
6. 如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，
PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知) ， ∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等) ． 又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知) ， ∴∠GPQ＝12∠BPQ，∠HQP＝12∠CQP(角平分线的定义)， ∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换) ， ∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行) ．
定理. 定理也可以作为继续推理的依据.
学过的定理 1.补角的性质：同角或等角的补角相等. 2.余角的性质：同角或等角的余角相等. 3.对顶角的性质： 对顶角相等. 4.垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②垂线段最短.
新知讲解
《命题、定理、证明》课件PPT人教版4
题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行 线中的一条；
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
∴∠B=∠CDF(两直线平行，同位角相等) 命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条 ∴ a⊥c（垂直的定义）．
∴CE// BF(内错角相等，两直线平行) 分析:(1)分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出三个命题;
定理
问题1中的（1）（4）（5）它们的正确性 是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定 理（theorem）．
定理也可以作为继续推理的依据．
问题 你能写出几个学过的定理吗？
证明
一个命题的正确性需要经过推理才能做出判 断，这个推理过程叫做证明。
小提示： 证明中的每一步推理都要有根据，不能
“想当然”。这些根据可以是已知条件，也可 以是学过的定义、基本事实、定理等。
命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
求证：a⊥c． 已知：b∥c，a⊥b ．
∴∠B=∠CDF(两直线平行，同位角相等) （1）判断这个命题的真假． 命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. 已知：b∥c， a⊥b ． 问题1中的（1）（4）（5）它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）． 两直线平行，内错角相等
问题 请同学们判断下列命题的真假，并思考 如何判断命题的真假．
命题： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
（1）命题是真命题还是假命题？ （2）你能将命题所叙述的内容
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
∴∠B=∠CDF(两直线平行，同位角相等) 命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条 ∴ a⊥c（垂直的定义）．
∴CE// BF(内错角相等，两直线平行) 分析:(1)分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出三个命题;
定理
问题1中的（1）（4）（5）它们的正确性 是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定 理（theorem）．
定理也可以作为继续推理的依据．
问题 你能写出几个学过的定理吗？
证明
一个命题的正确性需要经过推理才能做出判 断，这个推理过程叫做证明。
小提示： 证明中的每一步推理都要有根据，不能
“想当然”。这些根据可以是已知条件，也可 以是学过的定义、基本事实、定理等。
命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
求证：a⊥c． 已知：b∥c，a⊥b ．
∴∠B=∠CDF(两直线平行，同位角相等) （1）判断这个命题的真假． 命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. 已知：b∥c， a⊥b ． 问题1中的（1）（4）（5）它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理（theorem）． 两直线平行，内错角相等
问题 请同学们判断下列命题的真假，并思考 如何判断命题的真假．
命题： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
（1）命题是真命题还是假命题？ （2）你能将命题所叙述的内容
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人教版数学《命题、定理、证明》优 质实用 课件（P PT优秀 课件）
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知识点 3 定理与证明(举反例)
知3－讲
1．定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理． 2．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经
过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
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知3－练
2 下列命题可以作为定理的个数是( ) ①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对 顶角；③等角的余角相等；④对顶角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
总结
知1－讲
命题是表示判断的语句，它包含有因果关系， 一般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感 叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题．
知1－讲
例2 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等．
导引：设法把命题的题设和结论部分省略的文字找出来， 要从文字的内在顺序、内在意义进行全面考虑，分 清命题的题设部分和结论部分；再将它写成“如 果…那么…”的形式．
知1－讲
例1 下列语句中：(1)时间都去哪儿了？(2)画一条直
线的平行线；(3)长方形的四个角都是直角；
(4)4不是偶数．命题共有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－讲
导引：紧扣命题的定义进行判断： (1)是一个疑问句，没有作出判断，所以不是命题； (2)没有包含判断的意思，所以不是命题； (3)对一件事情作出了肯定的判断，所以是命题； (4)对事情作出了否定的判断，所以是命题．
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知识点 3 定理与证明(举反例)
知3－讲
1．定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理． 2．证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经
过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
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知3－练
2 下列命题可以作为定理的个数是( ) ①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对 顶角；③等角的余角相等；④对顶角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
总结
知1－讲
命题是表示判断的语句，它包含有因果关系， 一般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感 叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题．
知1－讲
例2 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等．
导引：设法把命题的题设和结论部分省略的文字找出来， 要从文字的内在顺序、内在意义进行全面考虑，分 清命题的题设部分和结论部分；再将它写成“如 果…那么…”的形式．
知1－讲
例1 下列语句中：(1)时间都去哪儿了？(2)画一条直
线的平行线；(3)长方形的四个角都是直角；
(4)4不是偶数．命题共有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－讲
导引：紧扣命题的定义进行判断： (1)是一个疑问句，没有作出判断，所以不是命题； (2)没有包含判断的意思，所以不是命题； (3)对一件事情作出了肯定的判断，所以是命题； (4)对事情作出了否定的判断，所以是命题．
人教版《命题、定理、证明》优秀课件_初中数学2
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句 子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改 写过程中，要适当增加词语。
下列命题中的题设是什么？结论是什么？ ①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
题设是： 两个角是邻补角 结论是： 这两个角互补 ② 如果a＞b，b＞c，那么a=c . 题设是： a＞b，b＞c 结论是： a=c
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
已知直线平行。 4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、平行线Biblioteka 定公理： 同位角相等，两直线平行。
5、平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等。
证明： ∵a⊥b （已知）
b
∴∠1=90°. （垂直的定义）
又a⊥c .（已知）
1
∴∠2=90° .（垂直的定义）
∴∠1=∠2. （等量代换）
∴ b∥c （同位角相等，两直线平行）
c
2
a
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH.
证明：∵∠1=∠2（已知） ∠AEF=∠1 （ 对顶角相等 ）；
证明： ∵a⊥b
（已知）
∴∠1=90°. （垂直的定义）
1
又b∥c （已知）
c
2
a
∴∠1=∠2. （两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠1=90°（等量代换）. ∴a⊥c. （垂直的定义）.
公理：图形的基本性质 真命题（判断正确的命题）
定理：经过证明
假命题（判断错误的命题）
已知：如图，直线a⊥b, a⊥c. 求证： b∥c
下列命题中的题设是什么？结论是什么？ ①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
题设是： 两个角是邻补角 结论是： 这两个角互补 ② 如果a＞b，b＞c，那么a=c . 题设是： a＞b，b＞c 结论是： a=c
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
已知直线平行。 4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4、平行线Biblioteka 定公理： 同位角相等，两直线平行。
5、平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等。
证明： ∵a⊥b （已知）
b
∴∠1=90°. （垂直的定义）
又a⊥c .（已知）
1
∴∠2=90° .（垂直的定义）
∴∠1=∠2. （等量代换）
∴ b∥c （同位角相等，两直线平行）
c
2
a
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH.
证明：∵∠1=∠2（已知） ∠AEF=∠1 （ 对顶角相等 ）；
证明： ∵a⊥b
（已知）
∴∠1=90°. （垂直的定义）
1
又b∥c （已知）
c
2
a
∴∠1=∠2. （两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠1=90°（等量代换）. ∴a⊥c. （垂直的定义）.
公理：图形的基本性质 真命题（判断正确的命题）
定理：经过证明
假命题（判断错误的命题）
已知：如图，直线a⊥b, a⊥c. 求证： b∥c
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2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截， ∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠来自=180°.证明： ∵ ∠1=∠2， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）
∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.
3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
内错角相等，两直线平行。
观察、操作、实验是人们认识事物的重 要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些 结论.
做一做 采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的
外角和”等于多少度.
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和 等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果 可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.
一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这 一例子即可判断该命题是假命题.
说一说 判断下列命题为真命题的依据是什么？
（1）如果a是整数，那么a是有理数； （2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是
等腰三角形.
分别是根据有理数、等腰 （等边）三角形的定义作出的 判断.
从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利 用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题 是否为真.
事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远 远不够的.
古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年） 对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们 在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据， 称这些真命题为公理.
本书中，我们把少数真命题作为基本事实. 例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)
(等式的性质).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
根据题意
画出图形
第二步 根据命题的条件和结论，结合图形 写出已知、求证
答：直角三角形的两个锐角和不是钝角 （2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数. （3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.
答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截， 它们的同位角不相等
3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题， 而且都是真命题. 答：两直线平行，内错角相等。
命题、定理、证明
下列语句，哪些是命题，哪些不是？
哪些命题正确？哪些不正确？
1、对顶角相等；
是√
2、画一个角等于已知角；
否
3、两直线平行，同位角相等； 是
√
4、a、b两条直线平行吗？
否
5、温柔的小明；
否
6、玫瑰花是动物；
是×
指出下列各命题的题设和结论，并改写 成“如果……那么……”的形式。
1、对顶角相等； 2、等角的补角相等； 3、两平行线被第三直线所截，同位角相等； 4、正数与负数的和为0 ； 5、同平行于一直线的两直线平行； 6、直角三角形的两个锐角互余。
（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 （2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成 “如果…，那么…”的形式。
2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他 命题真假的根据的命题，叫做公理。
3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推 理的依据。
4、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理， 才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）. ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析 这个命题的结论是“至少有一个”，也就是 说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三 种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从 另外一个角度来证明.
一说你的理由.
（1）每一个月都有31天；错误
（2）如果a是有理数，那么a是整数错. 误 （3）同位角相等错；误 （4）同角的补角相等正. 确
上面四个命题中，命题（4）是正确的，命题（1），（2），（3）都是错误的.
我们把正确的命题称为真命题，把错误的命 题称为假命题.
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理 （推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证 明. 例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 ∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180° （三角形内角和等于180°）， ∴ ∠A+∠C=∠B+∠D.
例
下列四个命题中是真命题的有（C ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形
两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.
下列句子哪些是命题？是命题的，指出
是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚； 2、内错角相等； 3、画一条直线；
是 真命题 是 假命题 否
4、四边形是正方形；
是 假命题
5、你的作业做完了吗？
否
6、同位角相等，两直线平行； 是
7、对顶角相等；
是
8、同垂直于一直线的两直线平行；是
真命题 真命题 假命题
议一议 下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说
证明的每一步都必须要有根据.
动脑筋 证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
在分析出这一命题的条件和结论后，我们 就可以按如下步骤进行：
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分 别是△ABC的三个外角.
证明:∵
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°. ∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
第三步 通过分析，找出证明的途径 写出证明的过程
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线 段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理）， ∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）. 又∵AE平分∠DAC（已知），
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路 可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
练习
1. 在括号内填上理由. 已知：如图，∠A+∠B= 180°. 求证：∠C+∠D= 180°. 证明：∵∠A+∠B= 180°（已知）， ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行 ）. ∴ ∠C+∠D= 180° （两直线平行，同旁内角互补 ）.
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
命题1 在同一平面内，如果一条直线垂直于两 条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
（2）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和 结论吗？
已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c．
证明中的每一步推理都要有根据，不能想“当然”
（3）请同学们思考如何利用已经学过的定义定理 来证明这个结论呢？
定理举例： 1、补角的性质： 同角或等角的补角相等。
2、余角的性质： 同角或等角的余角相等。
3、对顶角的性质： 对顶角相等。
4、垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直；
②垂线段最短。 5、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条
直线平行，那么这两条直 线也互相平行。
定理举例： 6、平行线的判定定理：
证明: 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等60°， 即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确. 因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
像这样，当直接证明一个命题为真有困难时， 我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件 或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设 不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为 反证法.
由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1. 因此∠2=∠3（等量代换）. 于是，我们得出： 同角（或等角）的补角相等.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的 条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.
我们通常把这种方法称为“举反例”. 例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是
定理也可以作为判断其他命题真假的依据， 由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和” 称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”
（2）判断这个命题的真假． 我们知道假命题是在条件成立的前提下，结论
不一定成立，你能否利用图形举出一个反例说明当 两个角相等时它们不一定是对顶角的关系.
判断一个命题是假命题，只 要举出一个例子（反例），它符 合命题的题设，但不满足结论就 可以了。这种方法称为举反例。
3、
课堂小结