答案：C
2．(天津高考)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的1
8；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2
＝12相切．
其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③
D ．②③
解析：命题①由球的体积公式可知，一个球的半径缩小到原来的1
2，则其体积缩小到原
来的1
8，正确；命题②两组数据的平均数相等，若其离散程度不同，则它们的标准差也不相
等，故该命题错误；命题③圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝
22
，与圆x 2＋y 2＝1
2
的半径相等，故直线与圆相切，该命题正确． 答案：C
[考题印证]
[例2] (浙江高考)已知函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π
2
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] f (x )是奇函数⇒φ＝π2＋k π，k ∈Z ；φ＝π
2⇒f (x )是奇函数，所以“f (x )是
奇函数”是“φ＝π
2
”的必要不充分条件．
[答案] B
[跟踪演练]
3．命题p ∶2x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ，命题q ∶x 2
≥－x ，则命题p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：命题p ∶A ＝[0，＋∞)，命题q ∶B ＝[0，＋∞)∪(－∞，－1]．故A ⊆B ，所以p 是q 的充分不必要条件．
答案：A
4．(山东高考)给定两个命题p ，q .若綈 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为綈 p 是q 的必要而不充分条件，所以綈q 是p 的必要而不充分条件，即p 是綈q 的充分而不必要条件．
答案：A
[考题印证]
[例3] 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．存在x∈R，都有x2<0
B．对任意x∈R，都有x2<0
C．存在x∈R，都有x2≥0
D．不存在x∈R，使得x2<0
[解析] 由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x∈R，使得x2<0.
[答案] A
[跟踪演练]
5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方
不是有理数”．
答案：B
6．(辽宁高考改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p 是( )
A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0”．
答案：C
利用空间向量解决平行、垂直问题
考查方式
空间向量是高考的重要内容之一，尤其是在立体几何的解答题中．建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面位置关系，特别是平行与垂直关系是高考必考内容之一，属中、低档题，难度不大．
备考指要
利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中的关于平行和垂直的定理，再通过向量的运算来解决．建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标是解题的关键.
[考题印证]
[例4] 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．
(1)求证：AC⊥PB；
(2)求证：PB∥平面AEC.
[证明] (1)建立空间直角坐标系如图．
