2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程高考七大高频考点例析教学案北师大版选修

2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程高考七大高频考点例析教学案北师大版选修2[考题印证][例1] (xx·重庆高考)命题“若p则q”的逆命题是( )A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q[解析] 根据逆命题的概念可知，“若p则q”的逆命题为“若q则p”．[答案] A[跟踪演练]1．设集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，p：1∈A，q：2∈A.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则a的取值范围是( )A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪[2，＋∞)C ．(1,2]D ．[1,2]解析：若p 为真，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真，则－2－a <2<a ，解得a >2. 依题意，得p 假q 真，或p 真q 假．即⎩⎨⎧0<a ≤1，a >2或⎩⎨⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2.答案：C2．(天津高考)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：命题①由球的体积公式可知，一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18，正确；命题②两组数据的平均数相等，若其离散程度不同，则它们的标准差也不相等，故该命题错误；命题③圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，与圆x 2＋y 2＝12的半径相等，故直线与圆相切，该命题正确． 答案：C[考题印证][例2] (浙江高考)已知函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] f (x )是奇函数⇒φ＝π2＋k π，k ∈Z ；φ＝π2⇒f (x )是奇函数，所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件．[答案] B[跟踪演练]3．命题p ∶2x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，命题q ∶x 2≥－x ，则命题p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：命题p ∶A ＝[0，＋∞)，命题q ∶B ＝[0，＋∞)∪(－∞，－1]．故A ⊆B ，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A4．(山东高考)给定两个命题p ，q .若綈 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为綈 p 是q 的必要而不充分条件，所以綈q 是p 的必要而不充分条件，即p 是綈q 的充分而不必要条件．答案：A[考题印证][例3] 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )A．存在x∈R，都有x2<0B．对任意x∈R，都有x2<0C．存在x∈R，都有x2≥0D．不存在x∈R，使得x2<0[解析] 由含有全称量词的命题的否定形式可知，该命题的否定为：存在x∈R，使得x2<0.[答案] A[跟踪演练]5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．答案：B6．(辽宁高考改编)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p 是( )A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0”．答案：C利用空间向量解决平行、垂直问题考查方式空间向量是高考的重要内容之一，尤其是在立体几何的解答题中．建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面位置关系，特别是平行与垂直关系是高考必考内容之一，属中、低档题，难度不大．备考指要利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中的关于平行和垂直的定理，再通过向量的运算来解决．建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标是解题的关键.[考题印证][例4] 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．(1)求证：AC⊥PB；(2)求证：PB∥平面AEC.[证明] (1)建立空间直角坐标系如图．设AC ＝a ，PA ＝b ，则有A (0,0,0)，B (0，b,0)，C (a,0,0)，P (0,0，b )， ∴＝(a,0,0)，＝(0，b ，－b )，从而·＝0. ∴AC ⊥PB .(2)连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO .由已知得D (a ，－b,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，b 2，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b2，－b 2.又＝(0，b ，－b )，∴＝2，∴PB ∥EO ， 又P E ⃘平面AEC ，EO 平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC .[跟踪演练]7．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在DB ，D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长．求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3，2a 3， 故＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3，又＝(0,1,0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量， 而·＝(0,1,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3＝0，∴⊥.又E ∉平面BB 1C 1C ，因此EF ∥平面BB 1C 1C .8.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝2，CD ＝4，M 为EC 的中点．(1)求证：BM ∥平面ADEF ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BEC .证明：由题意易知AD ，CD ，ED 两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,4,0)，E (0,0,2)．(1)∵M 是CE 的中点， ∴M (0,2,1)， ∴＝(－2,0,1)． 由题意知CD ⊥平面ADEF ，∴＝(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量． ∴·＝0.又B M ⃘平面ADEF ，∴BM ∥平面ADEF . (2)＝(2,2,0)，＝(0,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧·n ＝0， ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2z ＝0.令x ＝1，∴n ＝(1，－1,0)是平面BDE 的一个法向量， 同理，求得平面BEC 的一个法向量n 0＝(1,1,2)， ∵n ·n 0＝1×1＋(－1)×1＋0＝0， ∴平面BDE ⊥平面BEC .利用空间向量求空间角、距离考查方式利用空间向量求两条异面直线的夹角，直线与平面的夹角以及两平面的夹角与距离是高考的重点和热点，主要以解答题为主，为中档题，每年必考． 备考指要利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可．1.若两条异面直线的方向向量为a ，b ，夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.2.直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，直线与平面的夹角θ，sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|.3.两平面的法向量为n 1，n 2，两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.4.平面α的法向量为n ，P ∈α，A ∉α，为直线PA 的方向向量，A 到平面α的距离为d ，d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪·n |n|.[考题印证][例5] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，PA ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．[解] (1)在△ABD 中，因为点E 是BD 的中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1， 故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD.又PG ＝GD ，所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又EF ∩GF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . (2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，故＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－32，32，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，0.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·＝0，n 1·＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，23. 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·＝0，n 2·＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＋32y 2＝0，－32 －32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24. [跟踪演练]9．(陕西高考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.(2)由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3,0)，A(0,0，3)，E⎝⎛⎭⎪⎫12，32，0，∴＝⎝⎛⎭⎪⎫12，32，－3，＝(1,0,0)，∴与夹角的余弦值为cos〈，〉＝·||·||＝12224×1＝2222.10．(上海高考)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝1，A′A＝1，证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(1,0,1)，B(1,2,1)，C(0,2,1)，C′(0,2,0)，D′(0,0,0)．则＝(1,0,1)，＝(0,2,1)，设平面D ′AC 的法向量n ＝(u ，v ，w )，由n ⊥，n ⊥， 得n ·＝0，n ·＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧u ＋w ＝0，2v ＋w ＝0，解得u ＝2v ，w ＝－2v ，取v ＝1，得平面D ′AC 的一个法向量n ＝(2,1，－2)． 因为＝(－1,0，－1)，所以n ·＝0， 所以n ⊥.又BC ′平面D ′AC ，所以BC ′∥平面D ′AC .由＝(1,0,0)，得点B 到平面D ′AC 的距离d ＝|n ·||n |＝|2×1＋1×0＋－2×0|22＋12＋－22＝23，所以直线BC ′到平面D ′AC 的距离为23.圆锥曲线的定义与性质考查方式主要考查椭圆、抛物线、双曲线的简单性质、待定系数法求圆锥曲线方程，圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考热点，双曲线的渐近线也是高考重要内容，选择题、填空题、解答题都有可能出现．备考指要 对于圆锥曲线的有关问题．“回归定义”是一种重要解题策略，应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的应用.[考题印证][例6] (辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[解析] 在三角形ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ，又|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，解得|BF |＝8.在三角形ABF 中，|AB |2＝102＝82＋62＝|BF |2＋|AF |2，故三角形ABF 为直角三角形．设椭圆的右焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，根据椭圆的对称性，四边形AFBF ′为矩形，则其对角线|FF ′|＝|AB |＝10，且|BF |＝|AF ′|＝8，即焦距2c ＝10，又根据椭圆的定义，得|AF |＋|AF ′|＝2a ，所以2a ＝|AF |＋|AF ′|＝6＋8＝14.故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝57. [答案] 57[跟踪演练]11．(新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：由题意知：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2， 所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2， 解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 答案：C12．(浙江高考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点)，则|OC |＝a3，∵tan ∠COx ＝2， ∴sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 35，2a 35，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，∴a 2＝11b 2.∵5＝a 2－b 2，∴b 2＝12.答案：C直线与圆锥曲线的位置关系考查方式直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值定点、定值等问题，题型以解答题为主，这类题目综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合． 备考指要处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性.[考题印证][例7] (陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．[解] (1)如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |.当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝ x 2＋42. 又|O 1A |＝ x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝ x 2＋42.化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x . (2)如图，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2.① x 1x 2＝b 2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b .此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．[跟踪演练]13．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B ，D 两点，且BD的中点为M (1,3)，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知l 的方程为y ＝x ＋2，代入C 的方程并化简，得(b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a2b 2－a2.由M (1,3)为BD 的中点知4a 2b 2－a 2＝2，即b 2＝3a 2.故c ＝a 2＋b 2＝2a ，e ＝c a＝2. 答案：214．(陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，＝2，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由＝2，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由＝2，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .15．(江西高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② 将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③ 代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得 (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－34k 2＋3.④ 在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ， 即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24k 2－34k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12x 0－1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝yx 0－1x －1，x 24＋y23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线PA 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52x 0－1，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32x 0－1，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52x 0－1＋2y 0－32x 0－1＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．模块综合检测⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测四 见8开试卷(时间 90分钟，满分 120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”．故应选 D.答案：D2．有下面三个判断，其中正确的个数是( )①命题：“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题；②若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题；③命题“对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2(a－b－1)成立”的否定是“存在a，b∈R，使a2＋b2≤2(a－b－1)成立”．A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，命题为真．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，所以②错误．易知命题③错误．答案：B3．(陕西高考)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a，b为向量，设a与b的夹角为θ.由|a·b|＝||a|·|b|cos θ |＝|a||b|从而得|cos θ|＝1，cos θ＝±1，所以θ＝0或π，能够推得a∥b，反之也能够成立，为充分必要条件．答案：C4.x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )A．±34B.33C.32D.34解析：设F 1为椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点，F 2为右焦点，PF 1与y 轴的交点为M .∵M 是PF 1的中点，∴MO ∥PF 2，∴PF 2⊥x 轴． 又半焦距c ＝12－3＝3， ∴设P (x ，y )，则x ＝3，代入椭圆方程得912＋y 23＝1，解得y ＝±32.∴M 点纵坐标为±34. 答案：A5．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.答案：D6.已知正四面体A －BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 夹角的余弦值为( )A.413B.313C ．－413D ．－313解析：设正四面体的棱长为4.∵正四面体A －BCD 中，相邻两棱夹角为60°，对棱互相垂直．又＝＋＝14＋，＝＋＝＋14，∴·＝14·＋14·＝4，||2＝116＋12·＋＝1－4＋16＝13.||＝13，同理||＝13. ∴cos 〈，〉＝·||||＝413.答案：A7．已知抛物线y 2＝8x ，过点P (3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P 处被平分，则这条弦所在的直线l 的方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x ＋y ＋4＝0解析：设l 交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得：得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， 又P (3,2)是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝4， ∴直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， ∴直线l 的方程为2x －y －4＝0. 答案：A8．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且·＝0，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．7C ．6D ．5解析：设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2， 故4a 2＝(x －y )2＝4c 2－36，又c a ＝54，∴c ＝5，a ＝4，b ＝3. 答案：B9．在正棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，直线AC 与平面A 1BC 的夹角为θ，平面ABC 与平面A 1BC 的夹角为φ，则θ与φ的大小关系是( )A ．θ>φB ．θ<φC ．θ＝φD ．大小不确定解析：建立空间直角坐标系，如图．则B (3，1,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，＝(－3，1,0)，＝(0,2，－2)，＝(0,2,0)． 设平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )则⎩⎨⎧ －3＋y ＝0，2y －2z ＝0，得y ＝z ＝3，n ＝(1，3，3)，∴sin θ＝|cos 〈，n 〉|＝2327＝217. 又＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量，∴cos φ＝|cos 〈，n 〉|＝2327＝217， sin φ＝1－cos 2φ＝277>sin θ.∴φ>θ. 答案：B10．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )A ．5B ．4C ．3D ．1 解析：由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， 由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．命题“存在x ∈R ，使2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0为假命题，∴任意x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题，∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8，∴－22≤a ≤2 2.答案：[－22，2 2 ]12．设点O (0,0,0)，A (1，－2,3)，B (－1,2,3)，C (1,2，－3)，若与的夹角为θ，则cos θ＝________.解析：＝(1，－2,3)，＝(2,0，－6)，∴cos θ＝·| |||＝－43535. 答案：－4353513．斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴b a ＞3，即b ＞3a ，∴b 2＞3a 2，∴c 2－a 2＞3a 2，∴e 2－1＞3，∴e ＞2.答案：(2，＋∞) 14．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：∠MF 1F 2是直线的倾斜角，所以∠MF 1F 2＝60°，∠MF 2F 1＝30°，所以△MF 2F 1是直角三角形，在Rt △MF 2F 1中，|F 2F 1|＝2c ，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以e ＝2c 2a ＝2c |MF 1|＋|MF 2|＝23＋1＝3－1. 答案：3－1三、解答题15．(本小题满分12分)已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：解不等式x 2－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}．依题意，p ⇒q 但q 不能推出p ，说明A B .于是，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1＋a ≤10，1－a ≥－2.解得0＜a ≤3.∴正实数a 的取值范围是(0,3]．16．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2)设|FA |＝2|BF |，求直线l 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，又∵直线l 的斜率为1，∴直线l 的方程为y ＝x －1，代入y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝1，易得AB 的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，∴圆的半径r ＝4，∴所求的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16.(2)∵|FA |＝2|BF |，∴＝2，而＝(x 1－1，y 1)，＝(1－x 2，－y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－1＝21－x 2，y 1＝－2y 2，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)·x ＋k 2＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1·x 2＝1，∵x 1－1＝2(1－x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，x 2＝12，∴k ＝±22，∴直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．17．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求平面A ′FD 与平面FDC 的夹角的余弦值；(2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：(1)取线段EF 的中点H ，连接A ′H ，因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H 平面A ′EF ，所以A ′H ⊥平面BEF .如图建立空间直角坐标系，则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)．故＝(－2,2,22)，＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，所以⎩⎨⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)，故cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33.所以二面角A ′－FD －C 的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，则M (4＋x,0,0)， 因为翻折后，C 与A ′重合，所以CM ＝A ′M ， 故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214， 经检验，此时点N 在线段BC 上．所以FM ＝214. 18．(本小题满分14分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P (－1，22)在椭圆上，且·＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当·＝23，求k 的值． 解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切， 则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2， ·＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23， ∴k ＝±1.。