施密特正交化)

施密特正交化

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

记法

•：维数为n的内积空间

•：中的元素，可以是向量、函数，等等

•：与的内积

•：、……张成的子空间

•：在上的投影

基本思想

图1 v在V2上投影，构造V3上的正交基β

Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差

是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即

那么{η

1,...,η

k+1

}就是V k在v上扩展的子空间span{v,η

1

,...,η

k

}的标准正交

基。

根据上述分析，对于向量组{v

1,...,v

m

}张成的空间V n，只要从其中一个向量（不

妨设为v

1）所张成的一维子空间span{v

1

}开始（注意到{v

1

}就是span{v

1

}的正交

基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

算法

首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

这样就得到上的一组正交基，以及相应的标

准正交基。

例

考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为 = b T a：

下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：

下面验证向量β1与β2的正交性：

将这些向量单位化：

于是{η1,η2}就是span{v1, v2}的一组标准正交基。

不同的形式

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如，在实向量空间上，内积定义为：

在复向量空间上，内积定义为：

函数之间的内积则定义为：

与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。