施密特正交化)

施密特正交化

在线性代数中,如果内积空间上得一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间得一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上得一个基得出子空间得一个正交基,并可进一步求出对应得标准正交基。

这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram与Erhard Schmidt命名,然而比她们更早得拉普拉斯(Laplace)与柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa deposition)。

在数值计算中,Gram－Schmidt正交化就是数值不稳定得,计算中累积得舍入误差会使最终结果得正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

记法

•:维数为n得内积空间

•:中得元素,可以就是向量、函数,等等

•:与得内积

•:、……张成得子空间

•:在上得投影

基本思想

图1 v在V2上投影,构造V3上得正交基β

Gram-Schmidt正交化得基本想法,就是利用投影原理在已有正交基得基础上构造一个新得正交基。

设。V k就是V n上得k维子空间,其标准正交基为,且v不在V k上。由投影原理知,v 与其在V k上得投影之差

就是正交于子空间V k得,亦即β正交于V k得正交基ηi。因此只要将β单位化,即

那么{η

1,、、、,η

k+1

}就就是V k在v上扩展得子空间span{v,η

1

,、、、,η

k

}

得标准正交基。

根据上述分析,对于向量组{v

1,、、、,v

m

}张成得空间V n,只要从其中一个向量(不

妨设为v

1)所张成得一维子空间span{v

1

}开始(注意到{v

1

}就就是span{v

1

}得正交

基),重复上述扩展构造正交基得过程,就能够得到V n得一组正交基。这就就是Gram-Schmidt正交化。

算法

首先需要确定扩展正交基得顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化得过程如下:

这样就得到上得一组正交基,以及相应得标准正交基。

例

考察如下欧几里得空间R n中向量得集合,欧氏空间上内积得定义为 = b T a: 下面作Gram－Schmidt正交化,以得到一组正交向量:

下面验证向量β1与β2得正交性:

将这些向量单位化:

于就是{η1,η2}就就是span{v1, v2}得一组标准正交基。

不同得形式

随着内积空间上内积得定义以及构成内积空间得元素得不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同得形式。

例如,在实向量空间上,内积定义为:

在复向量空间上,内积定义为:

函数之间得内积则定义为:

与之对应,相应得Gram－Schmidt正交化就具有不同得形式。