施密特正交化)

施密特正交化
在线性代数中,如果内积空间上得一组向量能够张成一个子空间,那么这一组向量就称为这个子空间得一个基。

Gram－Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上得一个基得出子空间得一个正交基,并可进一步求出对应得标准正交基。

这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram与Erhard Schmidt命名,然而比她们更早得拉普拉斯(Laplace)与柯西(Cauchy)已经发现了这一方法。

在李群分解中,这种方法被推广为岩泽分解(Iwasawa deposition)。

在数值计算中,Gram－Schmidt正交化就是数值不稳定得,计算中累积得舍入误差会使最终结果得正交性变得很差。

因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

记法
•:维数为n得内积空间
•:中得元素,可以就是向量、函数,等等
•:与得内积
•:、……张成得子空间
•:在上得投影
基本思想
图1 v在V2上投影,构造V3上得正交基β
Gram-Schmidt正交化得基本想法,就是利用投影原理在已有正交基得基础上构造一个新得正交基。

设。

V k就是V n上得k维子空间,其标准正交基为,且v不在V k上。

由投影原理知,v 与其在V k上得投影之差
就是正交于子空间V k得,亦即β正交于V k得正交基ηi。

因此只要将β单位化,即
那么{η
1,、、、,η
k+1
}就就是V k在v上扩展得子空间span{v,η
1
,、、、,η
k
}
得标准正交基。

根据上述分析,对于向量组{v
1,、、、,v
m
}张成得空间V n,只要从其中一个向量(不
妨设为v
1)所张成得一维子空间span{v
1
}开始(注意到{v
1
}就就是span{v
1
}得正交
基),重复上述扩展构造正交基得过程,就能够得到V n得一组正交基。

这就就是Gram-Schmidt正交化。

算法
首先需要确定扩展正交基得顺序,不妨设为。

Gram-Schmidt正交化得过程如下:
这样就得到上得一组正交基,以及相应得标准正交基。

例
考察如下欧几里得空间R n中向量得集合,欧氏空间上内积得定义为<a, b> = b T a: 下面作Gram－Schmidt正交化,以得到一组正交向量:
下面验证向量β1与β2得正交性:
将这些向量单位化:
于就是{η1,η2}就就是span{v1, v2}得一组标准正交基。

不同得形式
随着内积空间上内积得定义以及构成内积空间得元素得不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同得形式。

例如,在实向量空间上,内积定义为:
在复向量空间上,内积定义为:
函数之间得内积则定义为:
与之对应,相应得Gram－Schmidt正交化就具有不同得形式。