学案式教学中答案的不唯一性

合集下载

【北师大版】二年级上册册：第6单元《测量》精品教学案(含答案)

通过一年级“比长短”“比高矮”的学习,学生已经对长、短的概念有了初步的认识,并会直观比较一些物体的长短。

本单元在此基础上,教学一些计量长度的知识,帮助学生认识长度单位,初步建立1厘米和1米的长度观念,并初步认识线段。

教材注意呈现知识的形成过程,使学生通过亲身经历学习数学知识。

尤其是教材在引出长度单位时,注意呈现统一长度单位的过程。

通过让学生了解长度单位的不同,导致测量同一物体的结果不相同,进而产生认知冲突,深刻感受到统一长度单位的必要性。

教材的编排注重了活动形式的多种多样,用多种方式帮助学生建立1厘米、1米的观念,使学生对这两个长度单位的实际“大小”形成鲜明的表象,进而可以正确地运用它们进行估测和实测,也容易掌握单位间的进率,为学生运用所学知识解决生活中的实际问题奠定坚实的基础。

此外,本单元安排了测量线段和按要求画线段的教学,不仅让学生巩固本单元知识点,掌握测量的基本技能,培养学生的动手操作能力,同时,学生对线段的初步认识也为今后研究直线打下了基础。

学生之前已经学会了对实际物体的长短比较,掌握了“比长短”的基本方法,对物体长、短的概念有了初步的认识。

本单元的学习旨在使学生认识常用的长度单位厘米和米,了解厘米和米之间的关系,初步学会用厘米或米表示物体的长度。

1.通过多种活动,帮助学生形成厘米和米的正确表象。

认识长度单位,不仅要让学生知道一些单位的名称和单位之间的进率,还要了解每一长度单位的实际长度,并且能够在实际中运用。

2.把握好线段的教学要求。

用刻度尺量物体的长度,实际上就是量线段的长度,所以教材首先让学生初步认识线段。

线段对学生来讲比较抽象和难以理解,要注重学生的体验。

让学生在体验中感悟知识,初步认识线段并用图形表示,再通过画线段活动,让学生直观地认识线段的特征1.注意让学生经历长度单位形成的过程。

教学时,教师根据实际情况,让学生亲身经历测量同一物体时,由于所用的标准不同,量得的数量也不相同这一过程,要让学生通过切身体会来感受统一长度单位的必要性。

数学课堂中小组合作与教学案的有机结合

数学课堂中小组合作与教学案的有机结合汇贤中学李芳交流、合作是人类社会生存至今的重要动力，萧伯纳有句名言：“两个人，每人有一个苹果，交换一下，仍是每人一个苹果；两个人，每人有一种思想，交换一下，每人就有两种思想”。

这句话道出了我国新课程改革积极倡导的有效学习方式之一--------小组合作学习。

我校推行以“321”为课堂教学模式，即“三环节·二载体·一中心”。

三个环节：回顾、展示、测评；二个载体：“教学案”和“小组合作”；一个中心：以学生自主学习为中心。

所以要想课改顺利进行，必需要把教学案与小组合作有机结合在一起。

但是，要想真正的将小组合作学习与学案有机结合又绝非易事。

下面就结合自己这半年的课改实践，谈谈在初中数学教学中如何将小组合作与教学案有机的结合一起。

小组合作学习的方式，打破了过去那种全体学生面向黑板，教师讲学生听的传统模式，几个学生围坐在一起，面对面地进行学习、探讨、交流、合作，完成一节课的学习。

这种学习方式符合学生心理特点，因此学生愿意接受，参与的积极性很高。

但是，由于学生天性好动，自制能力较差，所以组织不好课堂就会出现混乱，老师难以控制的局面，那么教学效果就可想而知了。

因此，做好“组织”工作是有效开展小组合作学习的重要前提。

一、有根据的组建小组在我担任初二（12）班的班主任在组建学习小组时，先根据学生的知识基础、性格爱好、思维能力、心理素质、性别等进行综合分析，尽量使每个小组的成员在学习成绩、性格等方面具有差异性和代表性。

每五个人一组，班上分成9个小组，各小组的组员能力是基本一致的，这样每个小组都相当于是全班的一个缩影。

组内的不同，为互助合作奠定了基础，组间各条件相似又为各小组间展开公平的竞争形成了氛围。

这样分好的小组也不是一成不变的，中段考后，可以根据每个小组内各成员的成绩和平时的表现进行微调，给一些没有合作过的学生之间创造机会，也可以使课堂富有生气和新意。

分好的小组，小组长的选拔和任命至关重要。

届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析

第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。

了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。

掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。

规定：0与任一向量平行。

（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。

2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。

（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。

［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。

中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。

错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。

七年级上：第3章《代数式》全章教学案(含答案解析)

第三章代数式1.让学生经历用字母表示以前学过的运算律和计算公式,并体会用字母表示数的意义,形成初步的符号感.2.理解代数式的意义,能解释一些简单代数式的实际背景,并能体会代数式是反映数量之间关系的数学模型.3.会求代数式的值,能够根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入字母的具体值进行计算.1.用代数式表示实际问题中的数量关系,要求学生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法.2.学会“观察—归纳”的思维方法.3.将文字语言描述的数量或数量关系,用符号语言表示,使学生感悟其中“分析—综合”方法的应用.1.培养学生准确运算的能力,并适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想.2.培养学生养成认真做题的良好习惯,体会数学与现实的联系.3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.本章内容包括用字母表示数、代数式、代数式的值.数的运算伴随着数的扩充与发展不断丰富,用字母表示数后,再用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母形成代数式,从而可以用方程刻画现实问题中的等量关系,用不等式表示数量间的不等关系,用函数研究数量间的变化以及对应关系.所以代数式是学习方程、不等式、函数的基础,它对整个第三学段代数知识的学习具有奠基作用.教材采用“大家谈谈”“一起研究”“做一做”等模块,以生动鲜活的例子引入课题,加强讨论与交流,实验与探究,以及动手操作活动的开展,进一步培养学生运用符号解决问题的能力和进行判断和推理的能力,以及培养学生的探索精神.【重点】1.列代数式,求代数式的值.2.培养学生对知识的抽象和概括能力.【难点】由实际问题列代数式及规律探究题的解法.1.教学中重点渗透具体数字到字母的抽象概括思维方式,并注意归纳、类比、转化等思想方法的应用.2.让学生经历观察、探究、思考交流,分析问题中的数量关系,来发展数学思维.3.用代数式表示实际问题的数量关系,要求学生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法,对有些实际问题,可以借助表格或图形分析数量关系,使得思路更加清晰.4.在代数式求值的教学过程中,让学生体会到从运算的角度看,代数式是一个计算过程.可以借助图框教学来显示计算过程.对含一个字母的代数式,有意识地取字母的不同值,代入并进行计算,来感受代数式的值是随着字母取值的变化而变化的,渗透函数思想.在解决实际问题的过程中,采用“由特殊到一般再到特殊”的教学过程.5.代数式中字母的取值,要根据具体问题确定其范围,必须要保证代数式和其在实际问题中有意义.3.1用字母表示数1.在观察、思考的过程中形成用字母表示数的一般概念.2.体会用字母表示数的特点和意义.3.通过用字母表示一些具体的数学量,初步培养抽象思维的能力和符号逻辑.在实践的过程中,体会到用一个一般的量来表示具体数值的必要性.通过自主式学习和研究式学习,在教师的帮助下形成代数的思维方式.1.通过实践、观察、思考、归纳等环节,总结规律,培养自主学习的能力.2.体会简单的数学思想是如何运用到具体情况中的.3.在与其他同学的交流和讨论中,培养既合作又竞争的意识.【重点】1.通过实践总结规律,并使用字母表示规律.2.能够自觉地使用字母表示简单的数学关系.【难点】1.认识用字母表示数具有不唯一性.2.能根据实际情况列出合理的代数式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P96~97.导入一:出示教材章前图情境问题:【课件】代数式在现实生活中的应用非常广泛.如存款问题:爷爷在银行按1年定期存了a元钱,存款时的1年定期存款年利率是3.50%.到期后,爷爷取出本息共为p元.怎样写出用a表示p的式子?[设计意图]教材中的章前图和内容具有生活情境性,可以帮助学生初步感知用字母表示数的必要.导入二:周末,小明帮妈妈打扫卫生,做完后心里美滋滋的,想着自己喜欢的玩具,忽然他计上心来……妈妈下班后看到桌上有一纸条,内容是拖地3元,叠被1元,抹窗5元,丢垃圾袋1元,共计10元.妈妈看了之后,一言不发,提笔在纸上加上了吃饭x元,穿衣y元,带去看病z元,关心a 元,…,共计b元.写完后就去厨房做饭了,小明看后心里很不是滋味,心生惭愧,赶忙收起纸条.小明懂得了x与y等字母的含义,同学们,你们懂吗?[设计意图]用伟大的母爱,引出本节课的内容,让学生学会感恩.活动1运算律中的字母师:科学家爱因斯坦上小学时,在一次数学课中,发现了下列等式:1+2=2+1,3.5+5.6=5.6+3.5,.大家能用示例再验证下这个规律吗?生随意举例.师:如果仅靠具体的示例,还不能把这个规律完整地表达出来.你能把这个规律用简明的方法表示出来吗?活动方式:师生对话、交流.[设计意图]利用教材情境,让学生明白字母能简明表示一些规律,与此同时培养学生善于观察和勤于积累的能力.[处理方式]展示学生的成果:爱因斯坦发现的这个规律就是加法交换律,用字母表示为a+b=b+a(a,b表示任意数).(过渡语)师:还有没有其他的已学过的运算律?预设生1:加法结合律:a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c.生2:乘法交换律:ab=ba.生3:乘法结合律:abc=a(bc)=(ab)c.(a,b,c分别为任意数)……(过渡语)师:同学们回答得太好了,那么除了用字母表示运算律之外,用字母还可以表示公式.【课件展示】1.长方形的面积计算公式S=ab,S表示面积,a,b分别表示长方形的长与宽.2.圆的面积计算公式S=πr2,S表示面积,r表示圆的半径.3.长方体的体积计算公式V=abc,V表示体积,a,b,c分别表示长方体的长、宽、高.4.圆柱的体积计算公式V=πr2h,V表示体积,r表示底面半径,h表示圆柱的高.[设计意图]过渡到用字母表示以前学过的运算律、公式、法则,不仅复习了旧知识,而且巩固了新知识,把已学知识重新规划,让学生有一个重新认识的过程.运算律的展示使学生进一步体会用字母表示数可以使数量关系简明和一般化,初步体验和确认了用字母可以表示任意数这一点.活动2用字母表示数量关系(1)请你算出他们每人100米短跑的速度,并将计算结果填入表中.(2)写出计算速度时所用的公式.(3)这个公式能用来计算汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度吗?若用s表示路程,t表示所用时间,v表示速度,则这个公式就是v=.思路一[处理方式]独立思考,写出结果,小组内交流.体会用字母表示数的优越性.展示交流结果:(1)100米表示路程,16秒表示时间,小帆的速度=100÷16=(m/s),同理,大林的速度=100÷14.5=(m/s),小明的速度=100÷15.2=(m/s).(算错的同学要订正错误)(2)v=.(其中v表示速度,s表示路程,t表示时间)(3)由于v表示速度,s表示路程,t表示时间,所以v=可以用来求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.[设计意图]此过程可以使学生经历运用数学符号描述数量关系的过程,发展符号感和抽象思维.通过与同伴交流,学生将体验获得解决问题策略的方法,学会合理清晰地阐述自己的观点.学生必将获得良好的数学活动经验.思路二(1)速度、路程和时间三个量的关系是什么?请动手写一写:.并利用这个关系,分别求出小帆、大林和小明的速度.(2)如果用v表示速度,s表示路程,t表示时间,那么它们的关系可以用字母写成什么?表示为:.(3)能否利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度?[处理方式]独立思考,写在练习本上,同桌交流,展示成果.(1)路程=速度×时间,速度=路程÷时间,时间=路程÷速度.(2)s=vt,v=,t=.(其中v表示速度,s表示路程,t表示时间)(3)可以利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.师总结:用字母表示数、数量关系以及数学事实,不仅形式简单,而且具有一般性,还便于交流.活动3按照要求和条件表示数出示教材第97页的内容:观察自然数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,….(1)请用字母表示偶数和奇数.(2)两个偶数之和是什么数?提出猜想,并用字母表示数的方法说明这个猜想是正确的.[处理方式]同桌互相提问,复习已有知识,交流体会方法.提出引导问题:偶数、奇数的概念是什么?它们有什么特征?(1)能被2整除的数是偶数,不能被2整除的数是奇数.偶数用字母表示为2m(m为自然数),奇数用字母表示为2m+1(m为自然数).(2)提出猜想:两个偶数的和是偶数.验证1:2+4=6,102+134=236……验证2:(相邻两个偶数)一个偶数为2m(m为自然数),另一个为2m+2,其和为2m+2m+2=2(2m+1).验证3:一个偶数为2m(m为自然数),另一个为2n(n为自然数),两个偶数的和为2(m+n).活动4做一做——能力提升用字母表示数,说明:(1)任意两个奇数之和是偶数.(2)如果m为自然数,那么与m相邻的两个自然数之和是偶数.问题引导:(1)一个奇数怎么表示?(2)两个相邻的奇数怎么表示?(3)任意两个奇数怎么表示?(4)与m相邻的两个自然数怎么表示?问题提示:(1)2m+1.(2)2m+1和2m - 1.(3)2m+1和2n+1.(4)m+1和m - 1.(m,n为自然数)问题说明:(1)任意两个奇数之和是偶数:2m+1+2n+1=2(m+n+1).(2)如果m为自然数,那么与m相邻的两个自然数之和是偶数:m+1+m - 1=2m.[知识拓展]用字母表示数,同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用不同的字母表示.用字母表示实际问题中的某一数量时,字母的取值需使这个问题有意义,并且符合实际.用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等.用字母表示数、数量关系以及数学事实,不仅形式简单,而且具有一般性,还便于交流.1.填空.(1) - 6 ℃下降2 ℃后是℃;温度由t℃下降2 ℃后是℃;(2)今年李华m岁,去年李华岁,五年后李华岁;(3)三个连续偶数中间一个为2n,则其余两个为,;(4)某商店上月收入a元,本月收入比上月的2倍多10元,本月收入元;(5)城市市区人口a万人,市区绿化面积m万m2,则平均每个人拥有绿地m2;(6)某城市5年前人均年收入为n元,预计今年人均年收入是5年前的2倍多500元,那么今年人均年收入将达元.答案:(1) - 8(t - 2)(2)(m - 1)(m+5)(3)2n - 22n+2(4)(2a+10)(5)(6)(2n+500)2.选择.(1)用字母表示乘法对加法的分配律是()A.a(b+c)B.ab+acC.a(b+c)=ab+acD.ab=ba(2)昨天的最高气温是27 ℃,今天的最高气温比昨天的下降t℃,今天的最高气温是()A.27+tB.27 - tC.(27+t)℃D.(27 - t)℃(3)(2015·吉林中考)购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料,所需钱数为()A.(a+b)元B.3(a+b)元C.(3a+b)元D.(a+3b)元解析:(1)乘法分配律是一个数乘两个数的和,等于这个数分别乘这两个加数,然后把乘得的积相加,据此写成字母表达式为a(b+c)=ab+ac;(2)用昨天的最高气温减去下降的气温即为今天的最高气温.今天的最高气温是(27 - t)℃;(3)购买1个单价为a元的面包所需费用为a元,3瓶单价为b元的饮料所需费用为3b元,则共需费用为(a+3b)元.答案:(1)C(2)D(3)D3.填空.(1)长方形窗户上的装饰物如图所示,它是由半径均为b的两个四分之一圆组成的,则能射进阳光部分的面积是;(2)(2015·安顺中考)如图所示的是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,…,第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为(用含n的式子表示).解析:(1)能射进阳光部分的面积=长方形的面积- 半径为b的半圆的面积.即能射进阳光部分的面积=2ab - πb2;(2)认真观察图形,确定图形变化规律:第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,以后每个图案都比前一个图案多3个基础图形,所以第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为3n+1.答案:(1)2ab - πb2(2)3n+13.1用字母表示数活动1运算律中的字母活动2用字母表示数量关系活动3按照要求和条件表示数活动4做一做——能力提升一、教材作业【必做题】教材第98页习题A组第1,2题.【选做题】教材第98页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如果甲数是x,甲数是乙数的2倍,那么乙数是()A.xB.2xC.x+2D.x+2.n为整数,则2n - 1一定是()A.偶数B.奇数C.2的倍数D.正整数3.一个长方形的周长为28,其中长为x,则此长方形的面积为()A.14xB.x(x - 14)C.x(14+x)D.x(14 - x)4.若一个正方形的边长为a,则这个正方形的周长是.5.若每箱有36个苹果,则n箱共有个苹果.6.为了帮助玉树地区重建家园,某班全体师生积极捐款,捐款金额共3200元,其中5名教师人均捐款a元,则该班学生共捐款元.(用含有a的式子表示)7.某商品的进价为x元,售价为120元,则该商品的利润率可表示为.8.一棵树刚栽时高2 m,以后每年长高0.2 m,n年后的树高为多少米?9.一桶油,连桶重x kg,桶本身重1 kg,用去油的后,桶内还有多少油?【能力提升】10.x是两位数,y是一位数,如果把x置于y的左边,那么所成的三位数应表示为()A.xyB.x+yC.100x+yD.10x+y11.(2015·海南中考)某企业今年1月份产值为x万元,2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%,则3月份的产值是()A.(1 - 10%)(1+15%)x万元B.(1 - 10%+15%)x万元C.(x - 10%)(x+15%)万元D.(1+10% - 15%)x万元12.有一块长为x m,宽为y m的长方形草坪,在草坪中间有一条宽为z m的人行道,形状如图所示,请你计算这块草坪的实际绿化面积.【拓展探究】13.怎样的两个数,它们的和等于它们的积呢?观察下面几个式子:2+2=2×2;3+=3×;4+=4×;5+=5×……(1)你还能发现一些这样的两个数吗?(2)你能从中发现什么规律吗?把这个规律用字母n表示出来.【答案与解析】1.A(解析:甲数是乙数的2倍,那么乙数就是甲数的.)2.B(解析:因为n为整数,所以代数式2n - 1一定是奇数.故选B.)3.D(解析:长方形的宽为×28 - x=14 - x,面积为x(14 - x).)4.4a(解析:正方形的边长为a,正方形的周长为4×正方形的边长,所以正方形的周长为4a.)5.36n(解析:每箱苹果数与箱数的积即为所求.)6.(3200 - 5a)(解析:学生捐款数=捐款总数- 教师捐款总数.所以学生捐款数为(3200 - 5a)元.)7.(解析:利润为(120 - x)元,所以该商品的利润率可表示为.)8.解:原来树高为2 m,n年增长0.2n m,所以n年后的树高为2+0.2n(m).9.解:桶中有油(x - 1)kg,用去油的后,还剩油的1 - ,所以桶内还有油(x - 1)kg.10.D(解析:根据题意可知把x置于y的左边,相当于把x扩大为原来的10倍,y不变.即所得的数是10x+y.故选D.)11.A(解析:1月份的产值是x万元,则2月份的产值是(1 - 10%)x万元,3月份的产值是(1+15%)(1 - 10%)x万元.)12.解:草坪的实际绿化面积应是长方形面积与平行四边形面积之差,长方形的面积为xy m2,平行四边形的面积为yz m2.所以实际绿化面积为(xy - yz)m2.13.解:(1)答案不唯一,如6+=6×等.(2)(n+1)+=(n+1)×.本节课运用贴近学生生活实际的材料,再次引导学生经历由具体的数到“抽象的数”,由具体的算式到含有字母的式子的学习过程,让学生经历从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律的过程,从而体会用字母表示数的意义,形成初步的符号感,初步体会“特殊—一般—特殊”“数形结合”等数学思想方法.对课堂节奏的把握不够紧凑,最后学生完成练习的时间不够充分.在用字母表示数的过程中对学生的探究发现没有进行方法指导.课堂创设要丰富多彩,供学生观察、猜想、讨论和验证,要充分调动学生的积极性,让每个学生都有发言的机会,教学面向全体学生.在猜想和说明问题时,提醒学生采取提出问题、特例验证、一般推理的方式进行思考.练习(教材第97页)(1)15a(2)4a+2a(3)(a+b)习题(教材第98页)A组1.(1)( - 6+t)(2)8a(3)10a+b(4)25 - a(5)(29+a)(26+a)2.解:ab - cd.3.解:ab+ac或a(b+c).B组1.解:设原来四位数的后三位数为a,则原来四位数为7000+a,新四位数为10a+7.2.解:设连续两个奇数为2n+1和2n - 1(n为整数),则(2n+1)+(2n - 1)=4n,所以任意两个连续奇数之和都是4的倍数.清朝末年,文学家俞曲园写了一首咏杭州风景点“九溪十八涧”的诗:重重叠叠山,曲曲环环路,丁丁东东泉,高高下下树.当代数学家淡祥柏把每句诗都表示成算式:以上共有4个算式,每个汉字表示一个数字,在每一个算式中,重叠的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,你能写出这4个算式的数字形式吗?解:3.2代数式1.进一步理解用字母表示数的意义.2.掌握书写代数式的注意事项并会正确书写代数式.1.会把代数式反映的数量关系用文字语言表述出来,会把文字语言表述的数量关系用代数式表示出来.2.能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示出来.通过将实际问题中的数量关系用代数式表示,提高数学应用意识.【重点】列代数式;用代数式表示实际问题中的数量关系;代数式表示的实际意义.【难点】代数式的意义;用代数式表示实际问题中的数量关系;规律探索.第课时1.在具体情境中,进一步理解用字母表示数的意义.2.能解释一些简单代数式的几何意义.3.在具体情境中,能列出代数式,并解释其实际意义.1.经历应用数学符号的过程,进一步提高学生的符号感.2.初步学会从数学的角度提出问题和理解问题,充分体会解决问题的策略的多样性.培养学生热爱数学,会用数学思想解决生活中的问题的能力.【重点】列代数式.【难点】用数学语言表达代数式的意义.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】搜集以前学过的数学公式.导入一:填空.1.m的3倍与5的和可以表示为.2.小华用a元买了b本练习本,每本练习本元.3.边长为x cm的正方形的周长是cm;面积是cm2.教师活动:(1)组织学生交流;(2)引导学生观察所列代数式,给出代数式的概念;(3)交流所列代数式的意义.学生活动:(1)独立思考完成填空;(2)交流结果;(3)说说代数式在此问题中所代表的实际意义.[设计意图]用填空的方式来列简单的代数式,学生能够独立完成.为下面代数式概念的引出作铺垫.师板书:三角形的面积公式S=ah,路程问题中的s=vt,5>b等等.教师活动:(1)板书;(2)讲解.学生活动:(1)回答问题;(2)讨论交流.[设计意图]引导学生找出代数式与等式、不等式的不同.活动1代数式的概念1.代数式的概念.思路一教师活动:(1)组织学生阅读教材第99页;(2)引导学生举出代数式的例子.学生活动:(1)阅读课文;(2)举例交流,畅所欲言.[设计意图]让学生先直观感受什么叫代数式,只要学生知道什么是代数式即可,要求学生能举出一些实际例子.追问:单独的一个字母或一个数是代数式吗?(是.)[设计意图]这个问题的价值在于强调单独的一个数或一个字母也是代数式,强化易错点,使学生知道字母可以表示具体的数,也可以表示具体的数量关系,同一字母或表达式在不同的场合有不同的意义,强化学生的符号感;其次,通过交流,拓宽学生的思维,发展学生的联想、类比等思维能力.思路二请同学们观察并思考:a+b,m - n,25m,,6a2,a3……这些式子有哪些共同点?预设生:都含有数字或字母.师:除了数字和字母外,还有什么?预设生:还有运算符号(+、- 、×、÷、乘方).师:运算符号在数字和字母之间起到了什么样的作用?预设生:把数或字母连接起来了.师:回答得很好!同学们,这就是代数式!现在你能用自己的语言叙述一下什么是代数式吗?学生交流2分钟后,找不同学生语言叙述,互相补充,教师加以引导.然后用多媒体课件展示代数式的定义.概括:用运算符号连接数和字母组成的式子,都叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.2.例题讲解.指出下列各代数式的意义:(1)2a+5;(2)2(a+5);(3)a2+b2;(4)(a+b)2.〔解析〕根据代数式的意义,必须把代数式作为一个整体去看待.运算符号和字母、数字的组合,是代数式的重要特点.解:(1)2a+5表示是a的2倍与5的和.(2)2(a+5)表示a与5的和的2倍.(3)a2+b2表示a的平方与b的平方的和.(4)(a+b)2表示a与b的和的平方.活动2用代数式表示数量关系用代数式表示“a,8两数之和与b,c两数之差的积”.可按下面的步骤列代数式:[处理方式]四人为一小组,把“做一做”试着做下来.做完之后,小组长把自己组做的答案呈现出来.[设计意图]让学生仿照图示的方法列代数式,体会数量之间的和、差、倍、分的关系与加、减、乘、除的运算的对应.用代数式表示:(1)a与b的差与c的平方的和.(2)百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c的三位数.(3)三个连续的整数(用同一个字母表示),以及它们的和.〔解析〕(1)a与b的差也就是a - b,所求即为(a - b)与c的平方的和.列代数式的关键是一定要注意运算顺序;(2)用不同的字母表示一个整数各数位上的数字,记为abc=100a+10b+c;(3)中间的这个数是m,则连续的三个整数就是m - 1,m,m+1.解:(1)(a - b)+c2.(2)100a+10b+c(其中,a,b,c是0到9之间的整数,且a≠0).(3)设m是整数,三个连续整数可表示为m - 1,m,m+1.它们的和为(m - 1)+m+(m+1).强调:在代数式中,字母与数或字母与字母相乘时,通常把乘号写作“·”或省略不写,如2×a 写作2·a或2a,a×b写作a·b或ab.除法运算一般以分数的形式表示.如s÷t写作(t≠0).[设计意图]本部分内容是学生学习了代数式之后紧跟的练习,目的是强化学生对代数式概念的理解与掌握,会根据具体要求列代数式,训练学生思维的严密性.[知识拓展](1)对于一个代数式,它的意义没有统一的规定,以简明而不致引起误解为出发点,同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义.(2)如果式子中含有“=”“<”“>”“≤”“≥”等符号,它们不是运算符号,那么这样的式子不是代数式.(3)数与字母、字母与字母相乘,乘号可以省略,也可写成“·”;数字与数字相乘,乘号不能省略;数字要写在字母前面.(4)在含有字母的除法中,一般不用“÷”号,而写成分数的形式;式子后面有单位时,和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.(5)带分数一定要写成假分数.1.用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.2.单独的一个数或字母也是代数式.1.下列式子是代数式的是.①,②a2b,③x=1,④a2+ab - 1,⑤3>2,⑥o,⑦y=x - 1.解析:等式与不等式都不是代数式,排除③⑤⑦.故填①②④⑥.2.写出代数式a2 - b2表示的意义.解:a的平方与b的平方的差.3.用代数式表示.(1)x的2倍与y的差;(2)m与5的差的3倍;(3)a的11倍再加上2;(4)x,y两个数和的平方;(5)甲数为a,比甲数的平方大3的数.解:(1)2x - y.(2)3(m - 5).(3)11a+2.(4)(x+y)2.(5)a2+3.第1课时活动1代数式的概念用运算符号连接数和字母组成的式子,都叫做代数式.注意:单独的一个数或字母也是代数式.活动2用代数式表示数量关系正确表达代数式的实际意义.一、教材作业【必做题】教材第100页练习第1,2题.【选做题】教材第101页习题A组第1,2,3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列属于代数式的是()A.4+6=10B.2a - 6b>0C.0D.v=2.买一个足球需要a元,买一个篮球需要b元,则买4个足球、7个篮球共需要()A.(4a+7b)元B.4a元C.7b元D.11元3.2(a+b)的几何意义是.4.设乙数为x,甲数比乙数的2倍大1,则甲数为.【能力提升】5.某厂一月份产值为a万元,从二月份起每月增产15%,三月份的产值可以表示为()A.(1+15%)2×a万元B.(1+15%)3×a万元C.(1+a)2×15%万元D.(2+15%)2×a万元6.一个两位数,十位上是a,个位上是b,用代数式表示这个两位数为()A.abB.baC.10a+bD.10b+a7.用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”,正确的是()A.(3m - n)2B.3(m - n)2C.3m - n2D.(m - 3n)28.甲、乙二人按5∶2的比例投资开办了一家公司,约定除去各项支出外,所得利润按投资比例分成,若第一年盈利14000元,那么甲、乙二人分别应分得()A.2000元和5000元B.4000元和10000元C.5000元和2000元D.10000元和4000元【拓展探究】9.通讯市场竞争日益激烈,某通讯公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后,再次下调了20%,现在收费标准是每分钟b元,则原收费标准是每分钟多少元?【答案与解析】1.C(解析:一个字母或一个数字也是代数式.)。

2024年人教版一年级数学上册教案学案及教学反思2.3.3 练一练

第二单元 6～10的认识和加、减法2.3.3 练一练【课题名称】第15课时练一练【课型、课时】复习课 1课时【教学内容】人教版一年级上册57页—58页。

【教学目标】1.通过练习巩固学生对10的认识，掌握10的组成。

2.能正确、迅速地计算10以内的加减法，初步培养学生的逆向思维能力及语言表达能力。

3.通过练习，感受到生活中处处有数学，同时体会到学习的乐趣。

【重点难点】教学重点：正确计算10以内的加减法。

教学难点：进一步理解加、减法的含义与加、减法的联系【课前准备】1.教师：教学课件：《七彩课堂》课件2.学生：课前预习：标注完成《七彩课堂素养提升手册预习卡》【教学过程】一、知识回顾1.数字10的序数含义。

课件出示计数器：教师：数一数计数器上有几颗珠子？再添上一颗呢？2.10的组成。

（1）玩游戏教师：我们一起来玩个游戏吧！我说一个数，同学们对一个数，同学们对的数和我说的数合起来要正好是10。

师生一起玩游戏。

预设：学生根据要求迅速说出另一个数。

（2）比大小教师：请你说出计数器表示的数，再比较大小。

预设：由于式子中未写出“9”“10”比较的对象，学生可能会不清楚题意，教师要引导学生结合图意来填写并比较。

(教师根据学生的回答板书)（3）加减法教师：你能根据10的组成写出加减法算式吗？学生独立完成，教师巡视指导。

3.解决问题。

教师：仔细观察，说说这幅图上有什么？你能提出数学问题并解决吗？预设：一共有10只小兔子，外面有3只，房子里有几只？用减法计算，10-3=7（只），所以房子里有7只小兔子。

二、跟进练习1.教材第57页练一练第1题。

学生独立完成后交流汇报。

预设：学生填写比较轻松。

交流时应注意引导学生说一说理由，例如，为什么要在8和10之间的方框里填9？还可以让学生做猜一猜的游戏，如排在6和8中间的数是几，和5相邻的两个数是几和几等，以此加深学生对数序的理解和记忆。

2. 教材第57页练一练第2题。

教师：我们一起来从0数到10，再从10数到0。

1高里中心学校“135”课堂教学模式

高里中心学校“135”课堂教学模式为推动我校课堂改革，根据《寒亭区构建理想高效学习型课堂的基本框架》、《寒亭区构建理想高效学习型课堂实施方案》，确定学校的总体教学模式框架为“135”课堂教学模式，现将教学模式总结如下。

一、“135”课堂教学模式的提出在教学中多数模式是以教师、课堂、书本为中心的，课堂教学是一种固定不变的模式，即预习新课－讲授新课－练习巩固。

课堂教学中存在一些亟待改进的问题。

如：1、平铺直叙多，创设情境少。

教学导入无悬念，无疑惑，无问题，无情境，简单直接，很少关注学生的兴趣、需要和新旧知识衔接与铺垫，不能很好的激发学生学习的欲望。

2、教师讲得多，学生活动少。

老师以“讲”得好为最大满足，很少关注学生的感受、体验和需求，忽视了学生思考的过程、说的过程和写的过程，多是依靠课后的强化训练和重复操练来加以巩固，加重了学生的学习负担。

3、随意提问多，激发思维少。

教师在课堂教学中共同探究的问题非常简单，没有激发学生思维的问题，影响了学生思维的密度和深度，达不到应有的效度。

4、低效互动多，当堂落实少。

教师在课堂教学的追求上关注形式互动，追求表面上的课堂活跃，气氛热烈，而忽视活动的效益和及时反馈矫正，不关注教学目标的落实，更不能将教学目标“落实”到底。

5、重复作业多，分层布置少。

教师作业设计不科学，缺乏针对性和有效性。

巩固练习和整齐划一的作业多，启发学生思考、发展学生思维、培养学生能力和分层分类选择的作业少。

6、课型研究少，课堂效率低。

教师缺乏课型意识和优化教学流程意识，把新知探索、巩固复习、检测讲评等课型上成一个模式，大大降低了教学效果。

7、题海战术多，有效延伸少。

教学中老师仅仅依靠题海战术，很少关注学生自主时间，关注自主修习的方法和效率，关注学生综合素养的提升。

而上述种种现象表明，新课程的理念并没有落实到日常课堂教学中。

为此学校加强对课堂的研究和探索，努力改变现行课堂存在的问题和不足，着力构建“135”课堂教学模式，使老师在教学流程中有了明确的指导，让教师在课堂教学中做到有的放矢，有所借鉴。

人教版小学五年级数学上册第二单元位置教案与学案附答案

人教版小学五年级数学上册第二单元位置教案新知识点教学要求1.使学生在具体情境中,能用数对表示物体的位置,会看图确定方位。

2.使学生初步建立坐标系的概念,培养学生解决实际问题的能力。

3.进一步培养学生的空间观念。

教学建议1.在现实情境中教学确定物体位置的方法。

学生已具备了从方位角度确定物体位置的能力,且随着年龄的增长,语言能力、动手操作能力和自主探索能力也都有所提高。

因此,根据主题图来确定物体的位置时,学生有可能会产生有争议的描述,从而引出探索正确、简明地表示物体位置方法的必要性,并由此引出列和行的知识。

因为数对是按列和行确定物体位置的,所以教学列、行的知识绝不能含糊,还要通过适当练习,帮助学生巩固列和行的认识。

用数对表示位置,要注意三点:一是数对指两个数,即列数与行数;二是在数对中先表示第几列,再表示第几行,它与直角坐标系中确定点的位置的次序是一致的;三是用数对表示位置时要用规定的书写格式。

2.应用数对在方格图上确定点的位置。

教师在教学中要有意识地渗透在平面图中无论是找图形位置,还是找某一地点,都可以看成是在方格图上确定点的位置的思想。

在呈现形式上有三个特点:一是各景点或建筑都画成一个点,点只反映景点或建筑的位置,不反映其他内容;二是这些点分散在方格纸上,而且每个点都是方格纸上竖线和横线的交点;三是方格纸上的竖线表示列,从左往右依次标注了0,1,2……横线表示行,从下往上依次标注0,1,2……其中的“0”既是列的起点,也是行的起点。

这样就把确定景点位置等实际问题,抽象成用“数对”表示平面上的点的位置的数学问题了。

课时安排位置.....................................................................1课时一课时教学内容位置。

(教材第19~23页)教学目标1.结合具体情境,使学生明确竖为列,横为行,在描述位置时要先说列后说行,会用数对表示位置,并能用语言描述数对表示的位置。

馆陶县XX小学一年级数学下册三认识100以内的数数数、数的基本含义预习学案苏教版

数数、数的基本含义温习旧知10个一是1个十，“个”和“十”都是计数单位。

0～20的顺序是：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。

预习新课（1）10个10个地数，10个十是（）。

（2）三十七添上1是（），九十九添上1是（）。

（3）五十后面的一个数是（），前面的一个数是（）。

数数时，可以一个一个地数，10个一是_________；也可以10个10个地数，10个十是________。

数数前，要明确是怎样数，即是__________地数。

练习反馈1.一个一个地数，从六十七数到七十二。

________、________、________、________、________、________。

2.数一数，填一填。

3.圈一圈，数一数。

4.找规律填数。

（1）四十、五十、六十、________、________、________、________。

参考答案：温习旧知 17预习新课（1）一百（2）三十八一百（3）五十一四十九练习反馈1、六十七、六十八、六十九、七十、七十一、七十二。

2、（1）五十七（2）六十七3、三十一四十三4、（1）七十八十九十一百（2）八十五八十七十五七十练习课学习目标进一步认识上、下、前、后、左、右的含义，会辨认各个方向，并能用“上、下、前、后、左、右”来描述物体的相对位置。

学习重点了解“上、下、前、后、左、右”位置关系的相对性。

学前准备教具准备：PPT课件教学环节导案达标检测知识点1：生活中物体的位置关系。

课件出示教材第12页第4题。

说一说下面的物品放在什么位置合适。

分析：解决此类问题时先观察图，理解图意。

本题要求用学过的位置关系来解决问题。

但是解决问题时，还要考虑生活实际情况。

答案：如：画可以挂在床头的墙上，椅子放在桌子的前面，皮球放在桌子的下面，书和闹钟放在桌子上面，枕头放在床头叠好的被子上面，拖鞋和床头柜放在床的旁边，台灯放在床头柜上面。

教学论文：议题式教学设计与实施中的几个关键问题

议题式教学设计与实施中的几个关键问题活动型学科课程是本次普通高中思想政治课程标准修订的一个亮点，而议题式教学的设计与实施是实现活动型学科课程的重要抓手。

但对于如何理解议题式教学，以及如何进行议题式教学的精致设计和实施，老师们还存在着一些模糊的认识。

因此，本文拟对议题式教学设计与实施中的几个关键问题进行分析说明，以期为老师们明确认识提供参考。

一、如何理解议题与议题式教学要理解议题式教学，必须首先对于议题和议题式教学的基本界定有明确的认识。

什么是议题？议题与话题、主题和问题等的关系是怎样的？这是老师们首先必须面对的关键问题。

而要解答这些问题，还是要回到课程标准本身。

因此，我们就以《普通高中思想政治课程标准（2017 年版）》（以下简称“新课标”）为依据（文中引用，若非特别注明，均出自“新课标”），对此进行分析和说明。

要理解议题的本质界定，我们可以从“新课标”的若干规定中找到根据。

在“新课标”中，首次提到“议题”，是在“基本理念”部分。

在“尊重学生身心发展规律，改进教学方式”部分的说明中，“新课标”明确提出了“要通过议题的引入、引导和讨论，推动教师转变教学方式，使教学在师生互动、开放民主的氛围中进行”的要求。

这里将议题的“引入、引导和讨论”作为“教师转变教学方式”的手段，是针对当前的思想政治课教学实际中存在的一些不理想教学方式而言的。

议题是以活动形式呈现的、承载学科内容的问题。

所以，议题有别于话题、主题和问题，但与它们也有着密切的联系。

话题是引入和表现议题式教学的“时事”内容，主题是由议题式教学承载的“学科”内容，而问题则是议题式教学的主要呈现形式。

也就是说，议题是将主题置于话题讨论中的。

需要说明的是，不是所有的议题都必须用疑问句的方式来表现，而那些“将教材的陈述句变成学案的疑问句”的方式提出的所谓“问题”，也不能称之为“议题”。

关于议题是否要保持价值中立的问题，“新课标”中有明确的说法。

“议题，既包含学科课程的具体内容，又展示价值判断的基本观点；既具有开放性、引领性，又体现教学重点、针对学习难点。

高中地理“学案”的目标分层及运用策略

高中地理“学案”的目标分层及运用策略“学案”是促使同学自主学习的教学辅导材料。

“学案”的编制基于这样的理念:让同学学会学习美国心理学家富尔在《学会生存》一书中指出:将来的文盲不再是不识字的人,而是不会学习的人。

学会了学习,也就学会了生存。

社会的进展对教育提出了新的要求,老师们教学观念也发生了改变,变“老师教,同学学”为“老师教会同学怎样学”教学设计从以教为主转变为如何促使学为主由此,“学案”便孕育而生。

同学课业负担普遍过重,课堂教学效率不高,这是当前中学校教育比较突出的问题。

那么,应当如何“教”“学”才能提高教学质量?什么是优秀的教学?前苏联有名教学过程最优化理论家巴班斯基在他的《论教学过程最优化问题的讨论特点》中对最优的标准提出这样的论述:“教学过程效果最优化的第一个标准,是每个同学根据所提出的任务,于该时间内在教养、教育和进展三个方面,到达最高可能的水平(当然,不能低于及格水平)。

第一个标准是同学和老师遵守学校卫生学和相应指示所规定的课堂教学和家庭作业的时间定额”巴班斯基的这些教学最优化标准,对我们如今的教学仍旧适用即教学有没有效果,并不是指老师有没有教或教得认不仔细,而是指同学有没有学到东西,有没有进步假如老师教得很辛苦,同学学不到学问,没有得到应有的进展,这样的教学是低效的或无效的。

其次,教学效益必需考虑时间因素,从同学的健康考虑时间支配。

效果被时间“除”即教学效率假如每个老师都占用同学的大量时间来获得教学效果,同学会不堪重负要有好的教学效率,需要师生之间的协作,有和谐的“教”“学”关系在老师仔细‘教”的同时,要有同学主动、自主地学“学案”的使用就是为同学自主地学、系统地学建立一个可操作的平台二、“学案”的界定和基本目标“学案”是老师编制的供同学自主学习的教学辅导材料。

“学案”与“教案”虽然都是由老师设计的,但它们之间有所不同:“教案”的实施者是老师,是老师教学活动的根据。

“学案”是同学在老师组织和引导下的学习树料,它的最终使用者是同学。

八年级数学《一次函数》评课稿5篇

八年级数学《一次函数》评课稿5篇八年级数学《一次函数》评课稿5篇八年级数学《一次函数》评课稿1曾老师《一次函数》一课，展示了一个优秀数学老师的风采，使我从中受益匪浅，我认为这是一堂成功的数学课。

这节课创设有利于调动学生学习兴趣和激发求知欲的多种情景，探索有利于培养学生学习态度和对数学自主学习能力的教学策略，探索怎样恰当用新理念进行教学。

曾老师的课思路清晰，重点突出。

既有充分利用学案导学，又有个人的创新、独到之处，把教学过程变成学生对知识的探索过程，取得了良好的教学效果。

本节课特色有三：1.学案设计合理，体现了学案的导学性。

课堂中的每个环节，无论是例题、练习题、习题的处理，钟发老师充分放手让学生自己动手，动口，老师只引导点拨，善于启发学生，使学生主动获取知识，在潜移默化中领悟知识，使学生完全成为课堂主人，达到知识学习与能力培养的统一，使学生学习得轻松、愉快。

教师个人基本功扎实，教态自然，语言语调好，注意了与学生的沟通，有较强的驾驭课堂的能力。

2.重视数学思想方法的教学。

曾老师从一开始上课就提出以“数形结合”的思想方法解决问题，很自然导入新课。

在整节课中也是围绕这个思想展开教学的。

而所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

一次函数的教学不能单纯的研究函数的式子，必须与函数的图像紧密联系，使数与形结合起来。

钟发老师在这方面做的`非常好，引导学生画出图像，从图形上找出解题的思路。

为学生以后的学习打下良好的认知基础。

3.注重培养学生良好的学习习惯。

学生在解决问题时，“正比例函数与反比例函数关系不清”，引导学生养成考虑问题要全面的好习惯。

同时，在整个课堂教学过程中，及时对例题，习题回顾反思，引导学生对整个知识体系及时总结，提炼出一般规律，从而来解决问题。

学生在解决问题时，注重培养学生认真审题，独立思考的习惯。

高效课堂“六环节”教学模式

咼效课堂理论学习材料“六环节”教学模式一、打造“高效课堂”的理论依据1、新课程对教学要求：“以新理念规范教学，以新策略指导教学”；新理念专家总结为：新课程教学，是在教师指导下，学生自主学习、自主发展活动的总和；是学生主动与教材（学习资料）、与教师、与同学、与学习环境等课程“四要素”实行交流、互动、整合建构的“生态系统”。

以上两点都体现了学生主体，强调了学生的参与、体验。

如何理解“生态系统”？本是生物名词术语，指生物群落及其地理环境相互作用的自然系统。

“生态系统’借用到这，说明学生的学习是一个与教师、学习材料、学生、学习环境相互作用的自然系统，自然系统就说明互动是必须的。

所以，新课程认为，交流互动是教学的本质，没有互动交流，就没有发生教学。

所以说交流互动是新课程教学的本质。

新策略：就是以有效教学策略，打造高效课堂。

以先学后教、以学定教，学、做、教互动”为指导，构建高效课堂教学模式。

2、学习效果金字塔理论。

见投影片。

二、高效课堂“六环节”教学模式依据以上指导思想和集各学科意见，我们把新环节”：“目标引入--自主学习一互动精讲（点拨）一达成检测一反思总结一巩固提升” C1、目标引入。

包括两层含义：一层是明确教学目标；另一层是新课的引入或导入。

（1）确定教学目标。

教师要从三个维度设计教学目标：知识与技能--是结果性目标；过程与方法--是程序性目标；情感态度与价值观--是体验性目标。

这是学生要达到的目标，不但仅老师完成的目标。

会学知识与水平：学懂---学会---f反思调控过程与方法：学中做---做中学---情感态度价值观：反应（认同）- —体验（体会）---领悟（内化）（2）新课导入：情境引入。

即用社会生活实践、科学事例等揭示的问题与新课内容有联系的背景材料作为引入材料，激发学生学习兴趣、产生疑问，让学生在存疑状态中进入新课的学习，这样效果比简单的复习提问单纯的概念要好。

2、自主学习。

指学生在教师指导下的“学、做、思”的学习过程。

“学研展教达”五步教学模式操作流程及教学案

“学研展教达”五步教学模式操作流程及教学案林华民“学研展教达”五步教学模式操作流程高效课堂，就是在教育教学中最大程度地发挥课堂教学的功能和作用，在课堂40分钟内达成教学的三维目标，实现教学过程最优化，教学效果最大化。

我校把各地先进的教学模式与实际教情学情进行整合，提出新的课堂教学模式的基本构架，供老师们教学时参考，并在实践中不断修正、补充、完善，从而推动课堂教学改革有序有效开展。

“学研展教达”五步教学模式：学(预习自学)─研(合作探究)─展(交流汇报)─教(精讲提升)─达(当堂达成)对这五步的操作具体分解于下。

第一步，学(预习自学)：教师根据学情，集体研究，编制确定导学案，提前发给学生;学生根据导学案设计的问题、创设的情境或导读提纲，规划自主学习，体验学习过程,感受探究乐趣,归纳总结方法,自我检验应用。

全体学生要通过导学案掌握基础知识和基本内容，对疑点、难点、重点问题作好记录，为提交学习小组合作探究打下基础。

该步骤可根据教学实际灵活安排在课前或课上。

这是“先学后教”的“先学”环节，其目的一是为了充分发挥学生在学习中的自主性、能动性，真正体现学生的主体地位和作用，二是为了让教师发现学生在学习中暴露出的问题，以便增强教的针对性，不致重复学生自己已经学会的内容。

先学具有超前性，变“学跟着教走”为“教为学服务”;先学具有独立性，强调学生摆脱依赖，独立获取基本知识、习得基本技能，自行解决现有发展区的问题;先学具有异步性，要求每个学生按自己的速度和方式进行超前学习，鼓励优秀生跳跃式超标学习，允许学困生进行力所能及的学习。

第二步，研(合作探究)：学生以小组为单位讨论交流，展示自学成果，浏览他人成果，争议分歧问题，提出遇到的困难(疑点、难点、重点等)，寻求解决的途径和方法。

学生相互启发，共同探究，集思广益，力求共识。

对教师导学时分解给小组的任务或问题，做出结论或答案，并确定组内发言代表，为课堂展示做好准备。

互动讨论期间，教师要巡回辅导组织教学，确保人人参与，随时解决个别问题，并调查相近共性问题，为精讲点拨收集反馈信息。

2019-2020学年高中数学人教B版必修4教学案：第二章 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 Word版含答案

2．2.1 平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？[新知初探]1．平面向量基本定理 (1)定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t (1－t )；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等(1－t )叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．当t ＝12时，＝12，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向量表达式．[点睛] 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案：B3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 4e 16e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(＝12((答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，a b ，试用基底a ，b 表示AB ，BC .[解] 法一：由题意知，AO ＝OC ＝12AC ＝12a ，BO ＝OD ＝12BD ＝12b .所以AB ＝AO ＋OB ＝AO －BO ＝12a －12b ，BC ＝BO ＋OC ＝12a ＋12b ，法二：设AB ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝BC ＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB ＋BC ＝AC ， AD －AB ＝BD ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA ＝a ，BC ＝b .试以a ，b 为基底表示EF ，DF ，CD .解：∵AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，∴AD ＝13BC ＝13b .∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝12AD ＝16b .∵BF ＝12BC ，∴BF ＝12b ，∴EF ＝BA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－(DF ＋FC )＝－(DF ＋BF )＝－⎝⎛⎭⎫16b －a ＋12b ＝a －23b .直线的向量参数方程式的应用[典例] 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外的一点)，则点C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R ，结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二：将已知向量等式两边同时减去OA ，得OC －OA ＝(3λ－1) OA ＋(1－3λ) OB＝(1－3λ)( OB －OA ) ＝(1－3λ) AB ，即AC ＝(1－3λ) AB ，λ∈R ，∴A ，B ，C 三点共线，即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ，B ，C 三点共线，则有OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1；(2)若OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1，则有A ，B ，C 三点共线． [活学活用]在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：法一：∵AD ＝2DB ， ∴AD ＝23AB ＝23(CB －CA )．∵在△ACD 中，CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23.法二：A ，B ，D 三点共线，又∵C 在直线AB 外，则13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23[典例] NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] e 1e 2，3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN 2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ＝－λe 1－3λe 2，2μe 1＋μe 2.(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.[一题多变]1．[变设问]a b ，试用a ，b解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2CP ＝CN ＋NP ＝CN ＋25NB ＝b ＋25(―CB －CN )＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解：如图，设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－2e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－2λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AP ＝23AM ，BP ＝23BN ，∴AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC (t －t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD3．若AD 是△ABC 的中线，a b ，则以a ，b ( )A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C.12(b －a ) D.12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从＝12(＝12(a ＋b )．4．在矩形ABCD 中，O e 1e 2( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD e 1e 2，＝12＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC ( )ABCD解析：选A＝－136．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD a b c ，则在以a ，b 为基底______，在以a ，c ______．解析：以a ，c B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABCa b ，试用a ，b＝13a －23b ，＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABCa b .b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．＝12b －a .＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a＝23⎝⎛⎭⎫12b －a∴G 在BE即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC a b 用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b )解析：选C＋23(＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AMλ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，＝12x ＋12y ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4(λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A λ，(1＋λ)又∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：EBλ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O x ，y 的值．解：(1)可知M ，B ，C 三点共线，BM ＝AB ＋λλ＝(1－λ)λ＝14，所以S △ABM S△ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a ，b 的坐标求a ＋b ，a －b ，λa 的坐标？[新知初探]1．两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1，e 2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．(2)坐标分量：在坐标平面xOy 内，任作一向量a (用有向线段)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a＝(a 1，a 2)，其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示xe 1＋ye 2＝(x ，y )(x ，y )⇔点A 的坐标(x ，y )． 4．向量的直角坐标运算(1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝(_λa 1，λa 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；线段AB 中点公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) 答案：C3(1,2)(3,4)( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)______.答案：(－1，－4)平面向量的坐标表示[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知O 是坐标原点，点A |OA |43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2) BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC－2AB＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．[答案](11,13)(－7，－14)(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝12MN，则P点坐标为______．解析：法一：设P(x，y)，MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)，＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：P 为MN 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32t AB ，t 为何值时，点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] (1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )，则⎩⎨⎧1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA ＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－18，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，3 C.⎝⎛⎭⎫18，1D.⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C ＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )(10－x ，－2－y )(－2－x,7－y )，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m－n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，(2,3)(－3,3)．(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A ＝6，∠xOA ＝150°________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝6cos 150°＝－33，y ＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．10(4,3)(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )(λ∈R)，求λ与y 的值．解：(1)设B (x 1，y 1)，(4,3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1.(2)(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，(λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.层级二应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D＝12＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“”为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f 等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.(λ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，(3－7,5－8)＝(－4，－3)，(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，＝12(＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)0(2)(m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，0，(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(2,3)－(1,1)＝(1,2)，(3,2)－(1,1)＝(2,1)，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103～104，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]两向量平行的条件[点睛] 两向量的对应坐标成比例．这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，若a ∥b ，则必有a 1b 2＝a 2b 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12B.13C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)(0,4)－(2,1)＝(－2,3)(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式a 1b 2－a 2b 1＝0直接求解． [活学活用]已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)，∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看AB与BC，或AB与AC，或AC与BC 是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用AC＝λBC，或AB＝λBC，或AB＝λAC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：AB＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，CD＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由AB与CD共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又AB与CD方向相同，所以x＝2.此时，AB＝(2,1)，BC＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB与BC不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|1|DC|＝1|AB| 2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)．(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，DE ∥BC . 题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：(4,3)－(1,0)＝(3,3)，(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0(－1,2)(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0 ∴四边形ABCD 是梯形．(－2,1)(－1,2)，∴＝5BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：t (4,4) ＝(4t,4t )，(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，(x ，y )(4,4)．∴4x －4y ＝0.①(x －2，y －6)(2，－6)，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a λ的值为( ) A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B (3,1)，∵a 2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D (1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.(x ＋1，－6)(4，－1)，(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23. 答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1), (x 2，y 2)，(2,2)(－2,3)(4，－1)．(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0⎝⎛⎭⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝010．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，(－8,8)(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c ∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5(6,1)(x，y)(－2，－3)x＋2y的值为________．解析：(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06(3，－4)(6，－3)(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C(3,1)，(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )(x －1，y )，(5,4)(－3,6)(4,0)．由B ，P ，D (5λ，4λ)．(5λ－4,4λ)，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，⎝⎛⎭⎫207，167，27 7，16 7.∴P的坐标为⎝⎛⎭⎫。

最新【苏教版】三年级上册数学：第5单元《解决问题的策略》精品教学案(含答案)

最新教学资料·苏教版数学1.掌握用列表或列式的方法解决生活中的实际问题。

2.掌握用画图的策略解决简单的实际问题。

1.使学生经历用不同方法探索解决问题策略的过程。

2.通过解决简单的实际问题的过程,培养学生初步理解运用解决问题的策略的价值。

3.使学生能够运用所学的知识解决日常生活中的简单问题。

1.引导学生学会提出、筛选问题。

当需要对信息进行整理和筛选的问题放在每个学生面前时,教师应引导学生对发现的信息进行分析,从中筛选有用的信息。

然后再引导学生根据信息提出有价值的数学问题。

2.引导学生分析数量关系、寻求解决问题的策略。

在这个过程中,提倡并鼓励算法多样化,以培养学生多角度思考问题的能力;注意调动学生已有的学习经验和生活经验,采用独立尝试、动手操作、小组讨论等方式,让学生主动探索解决问题的方法,并在探索过程中锻炼提高学生解决问题的能力;在教学过程中,努力使学生已掌握的知识技能对解决新问题产生积极的影响,体现学生学习的主动性。

解决问题的策略3课时间隔排列1课时用列表的策略解决简单的实际问题教材第71~73页的内容。

1.通过解决简单的实际问题的过程,使学生会用列表的策略找到解决问题的思路,并能根据具体的问题确定合理的解题步骤,从而有效地解决问题。

2.使学生在对解决实际问题的过程中不断反思,感受列表的策略对于解决特定问题的价值,进一步发展分析、归纳和解决问题的能力。

3.使学生进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的策略意识,获得解决问题的成功体验,提高学好数学的信心。

会用列表或列式的方法解决实际问题。

课件。

1.教学教材第71页例1。

(1)出示课件。

学生读题,教师引导学生理解题意。

小猴帮妈妈第一天摘了30个桃,以后每天都比前一天多摘5个。

(2)解决实际问题。

求小猴第三天摘了多少个,第五天呢?可以用怎样的方法来解决?小组讨论。

(3)汇报方法。

指名同学汇报,交流方法。

师:你们会用列表或列式计算求出答案吗?第二天30+5=35(个)第三天35+5=40(个)第四天40+5=45(个)第五天45+5=50(个)(4)小结。

初中数学中考复习二次三项式的最值教学案(答案不全)

初中数学中考复习二次三项式的最值教学案（答案不全）二次三项式ax 2+bx+c 的最值问题此类题型是一元二次方程中的一类重要题型，它在考试题中主要以大题的形式出现。

而且，二次三项式的最值问题和后面要学的二次函数的最值紧密相关。

所以同学们一定要清楚它的重要性。

一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）二次三项式：ax 2+bx+c它们两者一个是等式，一个是代数式，一元二次方程的配方是根据等式的性质，在等式两边同时乘或除以系数，而二次三项式的配方是恒等边形，利用系数分离的技巧。

配方过程：一元二次方程：ax 2+bx+c=0解：①步：等式两边同时除以二次项系数ax2+b a x+ca=0 ②步：凑完全平方，等式左边+一次项系数一半的平方，—一次项系数一半的平方x2+b a x+（b 2a ）2—（b 2a ）2+ ca=0 ③配完全平方：（x —b 2a ）2—b24a2+ca =0（x —b2a ）2+4ac−b24a2=0（x —b 2a ）2=b2−4ac4a2二次三项式：ax2+bx+cS △PBQ =12（6-x ）2x=-x 2+6x 二次三项式的配方=—（x 2—6x ）分离二次项系数-1=—（x 2—6x+32—32）配完全平方 =—[（x —3）2—9] =—（x —3）2+9 去中括号分析：x 0 1 2 3 4 5 6 —（x —3）2+958985所以，当x 取值为3时，式子—（x —3）2值最大，是也就是△PBQ 的最大面积为9cm 2∴无论x 运动多少秒，△PBQ 的面积都不可能达到10cm 2。

例2：小林准备把一根长40cm 的铁丝剪成两段，围成两个正方形。

（1）要使小林围成的两个正方形的面积之和等于58cm 2，该怎么剪？（2）这两个正方形的面积之和能不能等于48cm 2？请什么理由。

解：（1）设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为（10—x）cm，依据题意列方程 x2+（10—x）2=58解得x1=3，x2=73×4=12cm∴小林应该从12cm处剪。

高效课堂总结及反思

高效课堂总结及反思高效课堂总结及反思「篇一」为促进运河区初中化学高效课堂建设，进一步提升化学教师实施课程与教学改革的水平，促进我区初中化学教学工作的良性快速发展，运河区教研室于10月14日在十一中学召开初中化学高效课堂展示会。

作为会议承办方，学校领导高度重视，积极协调各方面因素，为会议顺利进行提供了保障。

另外，学校用“相信学生、解放学生、利用学生、发展学生”这个核心理念去解放教师教学观念，规范教师的课堂教学行为，帮助教师认识了课堂上学生主体地位，帮助老师们转变了观念，杜绝了满堂灌现象。

不断完善“堂堂练”课堂教学模式，用有效的推进机制保证形成常态。

作为参赛教师，课前做了大量准备和精心设计，恰当安排教学情景，让学生的学习能自然融入到具体情景中，使学生既能轻松愉快的学习，又能体会到化学知识在生产、生活实际中作用。

注重联系实际，加强化学与生活生产密切相关内容的结合，培养学生学以致用。

展示活动采取同课异构的形式，同一节课，呈现不同风格的课堂内容，同一教材，教出了不同趣味。

通过这次展示活动，使我认识到在初中化学教学中加强科学探究、培养自主学习能力是课程改革的重大举措，利用化学学科自身的优势，激发学生积极主动的参与自主探究是培养学生创新意识，促进学生自主学习进行思维训练的重要方法，自主探究学习是一个获得化学知识和技能的过程，是一个进行科学探究并联系和运用于实际的过程，从而使学生做到由了解变为理解知识。

高效课堂总结及反思「篇二」优化课堂教学结构，提高课堂效率，促进师生共同发展，是我们实施高效课堂改革的重要内容。

一年来，我们认真学习新课改理念，深刻领会其精神，整章建制，强化措施，大力推进，广大教师锐意改革，不断探索，我校的“高效课堂”实验工作有了一定的进展，局势良好，取得了初步成效。

一、改变观念，加强学习。

观念决定成败。

传统教学模式在老师们的头脑中已根深蒂固，高效课堂的理念，老师们很难接受，一是怕麻烦，不想下功夫备案，二是怕这样的教学模式会影响教学效果，以至于很多老师裹足不前，难于迈步。

“学案导学” 课堂教学模式的实践与反思

“学案导学〞课堂教学模式的实践与反思“学案导学〞课堂教学模式的实践与反思摘要：“学案导学〞教学模式是一种新型教学模式，它以国内外先进教育思想、教育理论和教育原那么为指导，以学案为载体，以导学为方法，以自主学习为核心，以实现高效为目标。

通过学生自主学习，培养学生自学能力和创新精神，促进学生综合素质提高和全面开展，旨在大面积提高教学效率和质量。

同时，给我们带来了一些有益启发和思考。

关键词：学案导学编写原那么教学模式主导主体2021年10月以来，我校开始推广“学案导学，五步教学〞课堂教学模式，经过四年的探索与实践，“学案导学，五步教学法〞课堂教学模式日臻成熟。

实践证明，该课堂教学模式特色鲜明，效果显著，非常适合我校实际。

“学案导学，五步教学法〞课堂教学模式培养学生自学能力和创新精神，促进学生综合素质提高和全面开展，大幅度提高我校教育教学质量，为我校将来的开展奠定坚实根底。

同时，给我们带来一些有益启发和思考。

一、实施“学案导学〞课堂教学模式的背景随着新课程改革的不断深入，传统课堂教学的局限性和弊端日益明显地暴露出来。

反思传统课堂：第一，它是先教后学，无视学生主体地位的课堂。

这种教学模式下的课堂教学往往过于死板，教师搞“一言堂〞，学生地位得不到充分表达和尊重，即使他们在学习过程中有自己的看法，也往往不敢表达，严重束缚学生学习积极性、主动性和创造性的发挥。

第二，它是应对高考，无视素质教育的课堂。

课堂教学的内容选择都是瞄准高考，教师课堂关注的是升学有望的学生，很难顾及全体学生，全面提高教学质量的素质教育很难做到。

特别是像我们这样生源的学校，传统的课堂教学效率低，跟得上教师讲课进度的学生缺乏三分之一，久而久之，大局部学生成为厌学生和弃学生。

第三，它是贯彻一维目标，三维目标很难落实的课堂。

传统的课堂所关注的是学生的知识和能力，以至于学生在知识形成过程中的方法、态度、情感价值观方面得不到重视，新课程改革方案中提到的自主、合作、探究的学习方式，以及课堂上师生互动、生生互动的积极参与的局面很难见到。

有效备课与高效课堂

有效备课与高效课堂宁强县第一初级中学王彦提高课堂教学质量和效率的途径虽然很多，但我认为应该把“有效备课”作为提高课堂教学质量和效益的首要环节。

有效备课是上好课的关键，也是打造高效课堂和进行有效教学的先决条件，有效备课必须以学生为本，强化目标引导，关注学生需要，创造性地设计课堂的动态过程，主动设想学生在学习过程中的主动性和参与性，要预见学生活动，备学习方式的选择，备师生问题的生成。

只有课前进行有效备课才能保证课堂上的有效教学。

然而，现实生活中，备课流于形式的，应付检查的，上课与备课“两张皮”的，照抄备课笔记等无效备课现象仍然存在,备课的实际效果很不尽人意。

一、传统备课的主要问题(一)强调教师的作用，忽视学生能力培养。

教师在教学过程中毫无疑问起着十分重要的作用。

然而，以往的教学强调“以教师为中心”，一定程度上忽视了学生作为学习主体的存在。

忽视了探究过程的展现和探究能力、操作实践能力和合作能力的培养。

(二)强调教学的预设性，忽视教学的生成性。

传统备课中，所有的教学过程都在教师的控制之中，甚至问题答案都是教师设计好的，这种教学看起来学生是“动”起来了，“参与”了，其实质是最终学生完成教师预定的教学任务。

这种只重预设，忽视生成的理念是传统备课的一大弊端，必须引起我们高度重视和关注。

教学过程不可能都是预设的，由于学生存在着差异，因此问题的答案也不应该是唯一的，教学应该是“预设”和“生成”的有机整合，忽视了教学的生成性，就忽视了学生的差异，忽视了学生的发展。

(三)强调知识的传授，忽视激发情感。

备课“备知识传授”固然很重要，但是没有激情的学习是低效的。

“情感”是课堂教学的催化剂。

情感一般体现在两个方面:教师情感和学生情感。

学生的情感总是在教师情感的感染下逐渐萌发，进而迸发对教师的爱以及对真理和科学的追求，所以教师一定要在备课时考虑如何用自己的激情去激发学生学习的热情，让学生充满自信、充满热情地学习。

(四)强调解题技巧，忽视生活运用。

271教学模式

所谓“271”模式，即课堂45分钟分别按照2：7：1的比例，划分为“10+30+5”。

要求教师的讲课时间不大于20%，学生自主学习占到70%，剩余的10%用于每堂课的效果测评。

一、“271“课堂模式的三个含义1.对时间的划分：“2”是课堂上老师讲不超过10分钟，不一定是连起来讲，可以分开讲；“7”是学生学习（自学、讨论、展示）30分钟；“1”是5分钟反刍过关2.是对学生组成的划分：20%是优秀学生，70%是中档学生，10%是后进学生。

一个班50个学生，10个学生是能够自学会的；35个学生是需要通过与同学讨论、老师点拨才能学会的；5个学生是大家帮助的对象，通过小组讨论、老师指导帮助这5个学生完成学习任务。

课堂上既要求教师要充分“利用”好10名优秀学生资源，又要给优秀学生提供“自助餐”保证他们学习的更好；通过小组讨论，促进中间学生的的向上“分化”，把其中的20%转化成优秀生，以此扩大优秀生比重，而把原本10%的后进生向着70%的群体推进。

从理论上讲，昌乐二中的271课堂模式，消灭了“差生”，充分体现了教育对每个学生的尊重。

3.是对学习内容的划分：20%是不用讲学生能自学会的；70%是通过讨论才能学会的；10%是同学之间在课堂上展示、互相回答问题、老师的强调、点拨、反复训练才能会的。

“2”就是自己学会的，“7”是讨论巩固学会的，“1”是同学帮助、老师点拨学会的，这样就都学会了二、271高校课堂模式要求学校依据素质教育要求和先进的教育理论，结合学生课堂学习内容太与学生组成的实际，特拟定此方案：（一）总体要求1. 教室要转变观念，转换教育角色：做学生学习的引领者、组织者、参与者和欣赏者，充分信任学生，放手让学生自己学习、思考、质疑、合作、讨论、提高。

2. 抓好学习小组建设（1）每组六人，分上中下三层，首先分层一对一讨论，然后分层解答疑。

（2）担任小组长的同学不一定是学习最好的，但一定是最热心、最有责任心、组织管理能力最强的。