2014年山东高考理科数学试题及详细解析
2014年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）22．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）），），，＜）∪（4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是．＞=，故32∫（x|=87．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）=8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）），，＜9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a22=0作可行域如图，，解得：化目标函数为直线方程得：由图可知，当直线2a+b=2的最小值为10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）±x±y=0的方程为+的离心率为：，的方程为﹣的离心率为：，的离心率之积为，，±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．，再根据中，∵•A=时，有=AC=××=故答案为：．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．面积的，=．故答案为：．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．+=，15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．的定义可知，，﹣﹣＞d=，或﹣222，三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．（，，﹣），可得•=msin2x+ncos2x，（，=（sin2x+cos2x2x+）+=2k，，）﹣，17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．，，，，，，，，﹣的法向量=的法向量=CD AM，=，）（，（﹣，，﹣的法向量，∴的法向量=，|==所成的角（锐角）的余弦值为18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．+，+=×））×=+．）﹣=×））×=；×=×））×=；×+×=；×=×+1×+2×+3×+4×+6×=．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．=，，化为1==++．﹣++=1=．﹣++=1+=Tn=20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．当且仅当e，21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．，，，的左侧时，=p方程为联立方程，消去得的解为，直线，的方程为，即联立方程=的坐标为，点=，。
2014山东卷(理科数学)精准解析
2014²山东卷(理科数学)1．[2014·山东卷] 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i1．D [解析] 因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D. 2．，[2014·山东卷] 设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4)2．C [解析] 根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.3．，[2014·山东卷] 函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 3．C [解析] 根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. 4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.5．，，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 35．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D.6．[2014·山东卷] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 46．D [解析] 直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限的交点坐标是(2，8)，所以两者围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫2x 2－14x 420＝4，故选D. 7．[2014·山东卷] 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )图11A. 6B. 8C. 12D. 187．C [解析] 因为第一组与第二组一共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的人数比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组有20³35＝12.又因为第一组与第三组的人数比是0.24∶0.36＝2∶3 ，所以第三组一共有12÷23＝18.因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.8．[2014·山东卷] 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 8．B [解析] 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞12，且k ＜1.故选B.9．[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 29．B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(2 5－2a )2＝5a 2－8 5a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－8 5a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4³5³20－（85）24³5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.10．，[2014·山东卷] 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A. x ±2y ＝0 B. 2x ±y ＝0 C. x ±2y ＝0 D. 2x ±y ＝010．A [解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ²a 2＋b 2a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2³1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.11．[2014·山东卷] 执行如图12所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为____．图1211．3 [解析] x ＝1满足不等式，执行循环后，x ＝2，n ＝1；x ＝2满足不等式，执行循环后，x ＝3，n ＝2；x ＝3满足不等式，执行循环后，x ＝4，n ＝3；x ＝4不满足不等式，结束循环，输出的n 的值为3.12．，[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知²＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．12.16 [解析] 因为AB ·AC ＝||²||cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以||²||＝23，所以△ABC 的面积S ＝12||²||sin A ＝12³23³sin π6＝16. 13．[2014·山东卷] 三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．13.14 [解析] 如图所示，由于D ，E 分别是边PB 与PC 的中点，所以S △BDE ＝14S △PBC .又因为三棱锥A BDE 与三棱锥A PBC 的高长度相等，所以V 1V 2＝14.14．，[2014·山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 14．2[解析] T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r²⎝⎛⎭⎫b x r＝C r6a 6－r ²b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.15．[2014·山东卷] 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________． 15．(210，＋∞) [解析] g (x )的图像表示圆的一部分，即x 2＋y 2＝4(y ≥0)．当直线y ＝3x ＋b 与半圆相切时，满足h (x )>g (x )，根据圆心(0，0)到直线y ＝3x ＋b 的距离是圆的半径求得|b |9＋1＝2，解得b ＝210或b ＝－210(舍去)，要使h (x )>g (x )恒成立，则b ＞210，即实数b 的取值范围是(210，＋∞)．16．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .17．，[2014·山东卷] 如图13所示，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图13(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值． 17．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ， 又M 是AB 的中点，所以CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1.因为在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中， CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，所以C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形， 因此，C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1， 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)方法一：连接AC ，MC .由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ， 所以四边形AMCD 为平行四边形， 所以BC ＝AD ＝MC .由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3， 因此CA ⊥CB .设C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，＝＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0. 设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)． 又＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量． 因此cos 〈，n 〉＝＝55， 所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二：由(1)知，平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，点过C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N.由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1 AB C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°， 可得CN ＝32， 所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 18．，[2014·山东卷] 乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图14所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．图1418．解：(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3) ＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12³15＋13³15＋16³35＋16³15 ＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6. (2)由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16³15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13³15＋16³35＝16，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13³35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12³15＋16³15＝215，P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12³35＋13³15＝1130，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12³15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以数学期望Eξ＝0³130＋1³16＋2³15＋3³215＋4³1130＋6³110＝9130.19．，，[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .19．解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2³12³2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4³32³2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知， b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n－14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1 ＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋120．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 20．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减，故f (x )在(0，2)内不存在极值点； 当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当0<k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （ln k ）<0，g （2）>0，0<ln k <2，解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝⎛⎫e ，e 22. 21．，，[2014·山东卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．21．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0. 设D (t ，0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①证明：由(1)知F (1，0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D >0)． 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0)． 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1，0)． 当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)． 所以直线AE 过定点F (1，0)．②由①知，直线AE 过焦点F (1，0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上， 故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由y 0≠0，得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0.代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0， 则△ABE 的面积S ＝12³4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。
2014山东高考数学(理)真题及答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案新东方在线举国瞩目的2014高考数学科目的考试已结束，新东方在线高考名师团队第一时间对2014高考数学真题进行了解析，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。
以下是济南新东方高考名师团队老师提供的2014高考山东卷理科数学真题及参考答案，供广大考生参考。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
2014年高考试题：理科数学(山东卷)_中小学教育网
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为学科网共轭复数，则=+2）（bi a（A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A I (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少学科网有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g xf =有两学科网个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =± 答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，学科网答案须填在题中横线上。
2014年山东高考数学理科试题及答案解析
20XX 普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷理科数学第I 卷〔共60分一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足(3)(2)5z i --=<i 为虚数单位>,则z 的共轭复数z 为 <A> 2i + <B> 2i - <C>5i + <D>5i - 2． 已知集合A ={0,1,2},则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 <A> 1 <B> 3 <C>5 <D>93．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -= <A> 2- <B> 0 <C> 1 <D> 2 4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为<A> 512π <B> 3π <C>4π <D>6π5．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为<A> 34π <B> 4π<C>0 <D> 4π- 6．在平面直角坐标系xoy 中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为〔A2 〔B1 〔C 13-〔D 12- 7．给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的 〔A 充分而不必要条件 〔B 必要而不充分条件 〔C 充要条件 〔D 既不充分也不必要条件 8．函数cos sin y x x x =+的图象大致为9．过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 〔A 230x y +-= 〔B 230x y --=〔C 430x y --= 〔D 430x y +-= 10．用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 〔A243 〔B 252 〔C 261 〔D27911．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。
2014全国高考山东卷数学真题及答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根(C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案：A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f=有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2答案：B9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）02=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014年高考(山东卷)理科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014山东，理1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )．A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 答案：D解析：由a －i 与2＋b i 互为共轭复数，可得a ＝2，b ＝1. 所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i －1＝3＋4i.2．(2014山东，理2)设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )． A ．[0,2] B ．(1,3) C ．[1,3) D ．(1,4) 答案：C解析：由题意，得A ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}， B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}＝{y |1≤y ≤4}， 所以A ∩B ＝[1,3)．3．(2014山东，理3)函数()f x =的定义域为( )．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(2，＋∞)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦∪[2，＋∞)答案：C解析：要使函数有意义，应有(log 2x )2＞1，且x ＞0， 即log 2x ＞1或log 2x ＜－1， 解得x ＞2或102x <<. 所以函数f (x )的定义域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)．4．(2014山东，理4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )．A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案：A解析：因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．(2014山东，理5)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )．A ．221111x y >++ B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin y D ．x 3＞y 3 答案：D解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增， 所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.6．(2014山东，理6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A． B． C ．2 D ．4 答案：D 解析：由34y x y x =⎧⎨=⎩，，解得x ＝－2或x ＝0或x ＝2， 所以直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形面积应为230(4)d S x x x =⎰－2422401122220444x x ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．(2014山东，理7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )．A ．6B ．8C ．12D ．18 答案：C解析：设样本容量为n ，由题意，得(0.24＋0.16)×1×n ＝20，解得n ＝50. 所以第三组频数为0.36×1×50＝18. 因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12.8．(2014山东，理8)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2，＋∞) 答案：B解析：画出f (x )＝|x －2|＋1的图象如图所示．由数形结合知识，可知若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数g (x )与f (x )的图象应有两个不同的交点．所以函数g (x )＝kx 的图象应介于直线12y x =和y ＝x 之间，所以k 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 9．(2014山东，理9)已知x ，y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值a 2＋b 2的最小值为( )．A ．5B ．4CD ．2 答案：B 解析：约束条件10,230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2,1)．所以2a ＋b ＝2b a =，所以()222222252054a b a a a a ⎛+=+=-=+ ⎝⎭，即当a =b =a 2＋b 2有最小值4. 10．(2014山东，理10)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为22221x y a b+=，双曲线C 2的方程为22221x y a b -=，C 1与C 2的离心率之积为2，则C 2的渐近线方程为( )．A ．0x =B 0y ±=C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 答案：A解析：由题意，知椭圆C 1的离心率1e a=，双曲线C 2的离心率为2e =因为12e e ⋅=，=即2222434a b a b a (-)(+)=，整理可得a =.又双曲线C的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以0bx =，即0x =.第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2014山东，理11)执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为__________．答案：3解析：输入x ＝1,12－4＋3≤0， 则x ＝2，n ＝1；返回22－8＋3≤0，则x ＝3，n ＝2； 返回32－12＋3≤0，则x ＝4，n ＝3；返回42－16＋3＞0，则输出n ＝3，结束．12．(2014山东，理12)在△ABC 中，已知tan AB AC A ⋅=，当π6A =时，△ABC 的面积为__________．答案：16解析：由tan AB AC A ⋅=，可得cos tan AB AC A A =.因为π6A =，所以3AB AC ⋅= 即23AB AC =.所以1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅12112326=⨯⨯=. 13．(2014山东，理13)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则12V V ＝__________.答案：14解析：由题意，知V D －ABE ＝V A －BDE ＝V 1， V P －ABC ＝V A －PBC ＝V 2.因为D ，E 分别为P B ，P C 中点， 所以14BDE PBC S S ∆∆=. 设点A 到平面PBC 的距离为d ，则12113143BDE BDE PBC PBCS d V S V S S d ∆∆∆∆⋅===⋅. 14．(2014山东，理14)若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为__________．答案：2解析：62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()626123+166=C C rr r r r r rr b T ax a b xx ---⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 令12－3r ＝3，得r ＝3.由633366C C 20r r r a b a b -==，得ab ＝1.所以a 2＋b 2≥2ab ＝2×1＝2.15．(2014山东，理15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )．y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是()g x =f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是__________．答案：)∞解析：3x b =+，所以，()62h x x b =+h (x )＞g (x )恒成立，即62x b +>整理得3x b +>恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b及半圆y =(如图所示)，当直线与半圆相2=，所以b =故b的取值范围是()+∞．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．(本小题满分12分)(2014山东，理16)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和点2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．分析：在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．解：(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象过点π12⎛⎝和2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππsin cos 664π4π2sin cos 33m n m n =+⎨⎪-=+⎪⎩，，即1,212,2m n =⎨⎪-=-⎪⎩解得m =n ＝1.(2)由(1)知()2cos2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意知()π()2sin 226g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知2011x +=，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得πsin 216ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0＜φ＜π，所以π6ϕ=.因此()π2sin 22cos 22g x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为ππ,π2k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .17．(本小题满分12分)(2014山东，理17)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且1CD =，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．分析：在第(1)问中，可考虑线面平行的判定定理，即从平面A 1ADD 1中找一条线与C 1M 平行，显然可找线AD 1，再通过证明四边形AMC 1D 1为平行四边形来达到求证目的．在第(2)问中，方法一：可以点C 为原点建立空间直角坐标系，求出平面C 1D 1M 和平面ABCD 的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值．方法二：平面C 1D 1M 即为平面ABC 1D 1，则平面C 1D 1M 与平面ABCD 所成角的棱为AB ，又已知CD 1⊥平面ABCD ，故可过C 向棱AB 作垂线，垂足为N ，连接D 1N ，则可证∠D 1NC 为二面角的平面角，进而在Rt △D 1CN 中求∠D 1NC 的余弦值即可．(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形， 且AB ＝2CD ， 所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点， 因此CD ∥MA 且CD ＝MA . 连接AD 1，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中， 因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1， 可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形． 因此C 1M ∥D 1A ，又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1， 所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)解法一：连接AC ，MC ，由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形． 可得BC ＝AD ＝MC ，由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°， 所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA因此CA ⊥CB .以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系C －xyz .所以)A，B (0,1,0)，(1D ．因此1,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1122MD ⎛=-- ⎝，111,022D C MB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由1110,0,D C MD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,y y -=+-= 可得平面C 1D 1M的一个法向量()=n ．又(1CD =为平面ABCD 的一个法向量．因此111cos ,5CD CD CD ⋅==n n n所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为5.解法二：由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过C 向AB 引垂线交AB 于N ，连接D 1N . 由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角． 在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得CN=.所以1ND==在Rt△D1CN中，11cosCND NCD N∠===所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)18．(本小题满分12分)(2014山东，理18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．分析：第(1)问中，恰有一次落在乙上可分为两种情况，第①种，从A击球落在乙上，从B击球没落在乙上；第②种，从B击球落在乙上，从A击球没落在乙上，将①②两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率．第(2)问中，根据事件的独立性与互斥性，可得出，①得0分情形为A，B处都不得分；②得1分情形为A处得1分B处不得分或A处不得分B 处得1分；③得2分情形为A，B两处各得1分；④得3分情形为A处得3分B处得0分或A处得0分B处得3分；⑤得4分情形为A处得3分B处得1分或A处得1分B处得3分；⑥得6分情形为A，B两处都得3分，共6种情形．列出小明得分之和ξ的分布列便可求出期望．解：(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则()312P A=，()113P A=，()01111236P A=--=；记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，则()315P B=，()135P B=，()01311555P B=--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)1111131132535656510=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝1116530⨯=， P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝1113135656⨯+⨯=， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝131355⨯=， P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝11112255615⨯+⨯=， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝131111253530⨯+⨯=，P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝1112510⨯=.可得随机变量ξ所以数学期望()91012346306515301030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．(本小题满分12分)(2014山东，理19)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令-114(1)n n n n nb a a +=-，求数列{b n }的前n 项和T n . 分析：第(1)问中可利用等差数列知识，用首项与公差表示出前n 项和，再根据S 1，S 2，S 4成等比数列求出首项，从而求得a n .求第(2)问时，可结合第(1)问中a n 的结果得出b n 的通项公式，最后对项数n 按奇数和偶数两种情况讨论并求出b n 的前n 项和T n .解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋212⨯×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋432⨯×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)11144(1)(1)2121n n n n n n nb a a n n --+=-=-(-)(+)111(1)2121n n n -⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭.当n 为偶数时，11111111211335232121212121n n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当n 为奇数时，111111112211335232121212121n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以22,,212,.21n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数 1211=21n n n T n -⎛⎫++(-) ⎪+⎝⎭或. 20．(本小题满分13分)(2014山东，理20)设函数()2e 2=ln x f x k x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．分析：第(1)问中可先求出f (x )的导函数f ′(x )，再解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0，即可确定f (x )的单调区间．第(2)问中，根据第(1)问结论可知k ≤0时不适合第(2)问，故k ＞0，再具体讨论k 值，要使f (x )在(0,2)内有两个极值点，则f (x )在(0,2)内必须出现增减增或减增减，即导函数f ′(x )出现正负正或者负正负．据此可列出不等式，最后求得k 的取值范围．解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．()242e 2e 21=x x x x f x k x x x -⎛⎫'--+ ⎪⎝⎭ 323e 2e 22e ==x x x x k x x kx x x x-(-)(-)(-)-. 由k ≤0可得e x －kx ＞0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减，故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0＜k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k ＞0，y ＝g (x )单调递增，故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减，x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点， 当且仅当00,ln 0,200ln 2g g k g k ()>⎧⎪()<⎪⎨()>⎪⎪<<⎩，，解得2e e<2k <. 综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21．(本小题满分14分)(2014山东，理21)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 分析：在第(1)问中，可设D (t,0)，然后根据抛物线定义以及|F A |＝|FD |建立t 与p 的关系，再由△ADF 为正三角形求出p 的值，即得C 的方程．在第(2)问中，利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标，再设出A 点，利用与F 点关系求出点D ，从而确定l 的斜率．根据l 1与抛物线只有一个交点知，联立l 1与抛物线方程便只有一解．求出点E 坐标，从而求得AE 直线方程，结合方程特点，确定l 1过定点．最后利用点到直线的距离公式与基本不等式，可求出△ABE 面积的最小值．解：(1)由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设D (t,0)(t ＞0)，则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭. 因为|F A |＝|FD |， 由抛物线的定义知322p p t +=-， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由234p t +=，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D ＞0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1.由x D ＞0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率02AB y k =-. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设E (x E ，y E )，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E AE E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y =-－－， 由200=4y x ，整理可得0204(1)4y y x y =-－，直线AE 恒过点F (1,0)． 当204y =时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)． 所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝000011(+1)1+2x x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1， 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故001x m y -=. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=-－， 由于y 0≠0， 可得0022x y x y =-++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=. 所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，1004+4x x x =+. 所以点B 到直线AE 的距离为d =4⎫==. 则△ABE的面积001142162S x x ⎫⎛⎫=⨯⋅++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当001x x =，即x 0＝1时等号成立． 所以△ABE 的面积的最小值为16.。
2014年高考真题——理科数学(山东卷)解析版 Word版含
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的。
1．已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a A ．i 45- B ．i 45+ C ．i 43- D ．i 43+2．设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B AA ．[0,2]B ．(1,3)C ． [1,3)D ．(1,4) 3．函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为A ．)210(， B ． )2(∞+，C ．),2()210(+∞ ，D ． )2[]210(∞+，， 4．用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 A ．方程02=++b ax x 没有实根 B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根0舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312 C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根 D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5．已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ，则下列关系式恒成立的是A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y x C ．y x sin sin > D ．33y x >6．直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22 B ．24 C ．2 D ．47．为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分 别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组 与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人， 则第三组中有疗效的人数为A ．6B ．8C ．12D ．188．已知函数12)(+-=x x f ,kx x g =)(.若方程)()(x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．)210(， B ．)121(，C ．)21(， D ．)2(∞+， 9．已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为 A ．5 B ．4 C ．5 D ．210．已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C 的方程为1x 2222=-by a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为 A ．02x =±y B ．02=±y x C ．02y x =± D ．0y 2x =±第Ⅱ卷（共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2014年山东高考理科数学试题及详细解析
2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
2014年高考山东卷理科数学真题及解析
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<<。
4.答案：A 5答案：D解析:,01xya a a x y <<<∴>Q 排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
6.答案：D 解析：34x x =Q ，()()()324422x x x x x x x -=-=+-Q第一象限()23241428404x x xx -=-=-=⎰7.答案：C解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4200.450÷=500.361818612⨯=-=8.答案：B解析：画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致。
9.答案：B 解析：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。
10.答案：A解析：()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a ba b a -==+==-∴==∴=∴=±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
2014年山东高考理科数学试题含答案
山东理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi +=（A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB = （A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4)（3）函数221()(log )1f x x =-的定义域为（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞ （4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根（C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根（5）已知实数,x y 满足x y a a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）42（C ）2（D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）1（B ）8（C ）12（D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞ （9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()bax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x 是2()4g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 .1.。
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A I (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
2014山东高考数学(理)真题及详细答案
2014年高考山东卷理科数学真题及参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+，(C) ),2()210(+∞ ， (D) )2[]210(∞+，， 答案：C解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根 (C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a yx，则下列关系式恒成立的是(A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
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2014年山东高考理科数学试题及详细解析2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2）（bi a （A ）i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+ 答案：D解析：a i -与2bi +互为共轭复数，()()2222,124434a b a bi i i i i∴==∴+=+=++=+2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x则=B A I(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D)(1,4) 答案：C 解析：[][][)12212132,0,21,41,3x x x x y x y A B -<∴-<-<∴-<<=∈∴∈∴⋂=Q Q3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为(A))210(， (B) )2(∞+， (C) ),2()210(+∞Y ， (D) )2[]210(∞+，，Y答案：C 解析：()22log 10x ->2log 1x ∴>或2log1x ∴<-2x ∴> 或102x ∴<>。
4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是 (A)方程02=++b ax x没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根(C)方程02=++b ax x至多有两个实根 (D)方程2=++b ax x 恰好有两个实根5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x，则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B))1ln()1ln(22+>+y x (C)yx sin sin > (D) 33y x>答案：D 解析：,01x y a a a x y<<<∴>Q ，排除A,B ，对于C ，sin x 是周期函数，排除C 。
6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）24（C ）2（D ）4 答案：D解析：34x x =Q ，()()()324422x xx x x x x -=-=+-Q第一象限()232401428404x x xx -=-=-=⎰7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为舒张压/kPa频率 / 组距0.360.240.160.08171615141312（A ）6 （B ）8 （C ） 12（D ）18 答案：C解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 200.450÷=500.361818612⨯=-=8.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）），（210（B ）），（121（C ）），（21（D ）），（∞+2 答案：B解析：画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为12，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致。
9.已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2 答案：B解析：10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫==。
10.已知0b 0,a >>,椭圆1C 的方程为1x 2222=+b y a ，双曲线2C的方程为1x 2222=-b y a ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C的渐近线方程为 （A ）02x =±y （B ）2=±y x （C ）02y x =±（D ）0y 2x =±答案：A解析：()222212222222224424412434422c a b e a a c a b e a a a b e e a b a b a -==+==-∴==∴=∴=±二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
11.执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 。
答案：3解析：根据判断条件0342≤+-x x ，得31≤≤x ，输入1=x第一次判断后循环，11,21=+==+=n n x x 第二次判断后循环，21,31=+==+=n n x x 第三次判断后循环，31,41=+==+=n n x x第四次判断不满足条件，退出循环，输出3=n12.在ABC V 中，已知tan AB AC A⋅=uu u r uuu r，当6A π=时，ABC V 的面积为 。
答案：61 解析：由条件可知A A cb tan cos ==⋅，当6π=A ，,32=bc 61sin 21==∆A bc S ABC13.三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 。
答案：41 解析：分别过C E ,向平面做高21,h h ，由E 为PC 的中点得2121=hh ， 由D为PB的中点得ABP ABD S S ∆∆=21，所以413131:2121=⋅=⋅=∆∆h S h S V V ABP ABD14.若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22ab +的最小值为 。
答案：2解析：将62)(xbax+展开，得到rr r r r x b a C T312661--+=，令3,3312==-r r 得.由203336=ba C ，得1=ab ，所以2222=≥+ab b a.15.已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()24g x x =-()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是。
答案：102>b解析：根据图像分析得，当b x x f +=3)(与24)(x x g -=在第二象限相切时，102=b ，由)()(x g x h >恒成立得102>b .三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分） 已知向量()(),cos2,sin 2,a m x b x n ==v v，函数()f x a b=⋅v v ，且()y f x =的图像过点312π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. （I ）求,m n 的值；（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.解：（Ⅰ）已知x n x m x f 2cos 2sin )(+=⋅=，)(x f Θ过点)2,32(),3,12(-ππ36cos 6sin )12(=+=∴πππn m f234cos 34sin )32(-=+=πππn m f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+∴2212332321n m 解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f)(x f 左移ϕ后得到)622sin(2)(πϕ++=x x g 设)(x g 的对称轴为0x x =，1120=+=x d Θ解得0=x2)0(=∴g ，解得6πϕ= xx x x g 2cos 2)22sin(2)632sin(2)(=+=++=∴πππzk k x k ∈≤≤+-∴,222πππz k k x k ∈≤≤+-,2πππ)(x f ∴的单调增区间为z k k k ∈+-],,2[πππ17.（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠=o22AB CD ==，M 是线段AB 的中点. （I ）求证：111//C M A ADD 平面；B 1C 1D 1A 1DCBMA（II ）若1CD 垂直于平面ABCD 且1=3CD 求平面11C D M和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接1AD1111D C B A ABCD -Θ为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =又M Θ为AB 的中点，1=∴AMAMCD //∴,AM CD = 11//D C AM ∴,11D C AM =11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴又111ADD A M C 平面⊄Θ 111ADD A AD 平面⊂ 111//ADD A AD 平面∴（Ⅱ）方法一：11//B A AB Θ 1111//D C B A 共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1则NC D 1∠即为所求二面角在ABCD 中，ο60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN在CN D Rt 1∆中，31=CD,23=CN 2151=∴N D方法二：作AB CP ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴)3,23,21(),0,0,1(111-==∴D D C设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 212121==<∴n n n n显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为555515321523cos 11====∠∴N D NC CN D18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.BA CD解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A10354615165)(=⨯+⨯=A P （II ）643210，，，，，的可能取值为ξ 1015121)6(,301151315321)4(15251615121)3(,515331)2(6153615131)1(,3015161)0(=⨯===⨯+⨯===⨯+⨯===⨯===⨯+⨯===⨯==ξξξξξξP P P P P P的分布列为ξ∴123 4 6ξP30161511523011 101309110163011415235126113010)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 其数学期望为19.(本小题满分12分）已知等差数列}{na 的公差为2，前n 项和为nS ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。