导数单元进阶训练
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【解析】
【分析】
由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.
【详解】
由题意知 .
故选：A
【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
利用导数求得切线的斜率，再根据点斜式即可求得切线方程.
【详解】
，切线斜率为 ，
∴切线方程为 ，即 .
故选：D.
【点睛】
本题考查过函数上一点处切线方程的求解，注意导数的求解以及点斜式的应用即可.
13．0
【解析】
【分析】
由题意结合导数的运算、导数的几何意义可得 、 ，即可得解.
【详解】
∵ ，∴ ，
∵曲线 在 处的切线方程为 ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了导数的运算及导数几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
本题首先可根据直线 是曲线 在 处的切线得出 ，然后将 代入 解得 ，最后根据 即可得出结果.
7．C
【解析】
【分析】
利用导数与函数单调性的关系即可求解.
【详解】
由导函数 的图象知在区间 上， ，
所以函数 在 上单调递增．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由导数的图像研究函数的单调性，需掌握导数与函数单调性的关系，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
先对函数求导，再求函数的单调区间，即得函数的最大值.
【详解】
f′(x)＝ ，
当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
∴f(x)的最大值为f(1)＝ .
故答案为:B
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
9．AB
3．C
【解析】
【分析】
对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可.
【详解】
,故切线的斜率为 .又 .所以曲线 在点 处的切线方程为 .即 .
故选:C
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.
4．A
A．函数 的图像在点 处的切线方程为
B． 是函数 的一个极值点
C．当 时，
D．当 时，不等式 的解集为
三、填空题
11．曲线 在 处的切线方程为______.
12．已知函数 在 处的切线与直线 平行，则 __________.
13．已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，则a＋b＝_______.
14．如图， 是可导函数，直线 是曲线 在 处的切线，令 ，其中 是 的导数，则 ________．
6．D
【解析】
【分析】
计算 ，根据 符号判断原函数的单调性，然后代入所给区间端点值计算，简单判断即可.
【详解】
由题可知：
则
若 ， ，函数 单调递减
若 ， ，函数 单调递增
所以函数 在 ， 单调递减，
又 ， ，
所以函数 在 无零点，在 有零点
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数判断在所给区间零点问题，掌握导数与原函数的关系，属基础题.
（Ⅱ）将 和 的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性．
试题解析：
（1）
由题意可知：
（2）
16．(1)f（x）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）．
【解析】
【分析】
（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x＝﹣2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f（x）的表达式，求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
【详解】
因为直线 是曲线 在 处的切线，
所以 ，
因为直线 过点 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，由图像可知 ，
所以 ， ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查导数的乘法法则，若函数 ，则 ，考查推理能力，是简单题.
15．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先对函数 进行求导，根据 可求出 和 的值．
导数单元进阶训练（渐入佳境）
一、单选题
1．函数 的导数为（）
A． B．
C． D．
2．已知函数 在区间 上可导，则“函数 在区间 上有最小值”是“存在 ，满足 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 在点 处的切线的倾斜角是 ，则 的值为（）
【解析】
【分析】
求导，令 ，故 或 ，经检验可得 点的坐标.
【详解】
因 ，令 ，故 或 ，所以 或 ，
经检验，点 ， 均不在直线 上，
故选：AB
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．
10．ACD
【详解】
为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为
充分性成立
当 ， 时， ，结合幂函数图象知 无最小值，必要性不成立
“函数 在区间 上有最小值”是“存在 ，满足 ”的充分不必要条件
故选：
【点睛】ห้องสมุดไป่ตู้
本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为 ，但导数值为 的点未必是极值点.
【解析】
【分析】
先对函数求导，得到 ，求出函数 的图像在点 处的切线方程，即判断A；根据 时， 恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出 时， 的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断 时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
因此函数 的图像在点 处的切线方程为 ，
即 ，故A正确；
当 时， 在 上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当 时， ，由 得 ；由 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
因此 ，即 ；故C正确；
当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减；
由 可得 ，解得： ，故D正确；
（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
②在x 2时，即b≤﹣12，g（x）最小值＝g（﹣2）＝12+2b+b≥0，则b∈∅，
③在﹣2 1时，即﹣12＜b＜6，g（x）最小值 0，
综合上述讨论可知，b取值范围是：[0，+∞）．
解法二：（1）y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.
11．
【解析】
【分析】
根据函数的导函数以及曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果.
【详解】
解：对 求导得： ，
故在 处切线斜率为 ，所以切线方程为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查曲线在某点处的切线方程，重点在于曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.
12．2
【解析】
【分析】
求出导函数，由 时的导数值等于3可得 ．
【详解】
由 求导可得： ，故在 处切线斜率为 ，由题意， ，所以 .
故答案为：2．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，掌握导数的运算是解题基础．
f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．
f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）
x
﹣3
（﹣3，﹣2）
﹣2
（﹣2， ）
（ ，1）
1
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
8
增函数
极大值13
减函数
极小值
增函数
4
f（x）极大＝f（﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13f（1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4
【点评】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
A．在区间 上 是增函数B．在区间 上 是减函数
C．在区间 上 是增函数D．在区间 上 是增函数
8．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0B． C. +1D．
二、多选题
9．曲线 在点P处的切线平行于 ，则点P的坐标为（）
A． B． C． D．
10．关于函数 ，下列判断正确的是（）
四、解答题
15．设 与 是函数 的两个极值点.
（1）试确定常数 和 的值；
（2）求函数 的单调区间；
16．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+1
（1）若y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，求函数y＝f（x）在[﹣3，1]上的最大值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．
∴f（x）在[﹣3，1]上最大值为13．
（2）方法一：y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，
即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立．
①在x 1时，即b≥6，g（x）最小值＝g（1）＝3﹣b+b＞0，∴b≥6，
A． B． C． D．1
5．曲线 在点 处的切线方程为（）.
A． B．
C． D．
6．设函数 ，则下列说法中正确的是（）．
A． 在区间 ， 内均有零点B． 在区间 ， 内均无零点
C． 在区间 内有零点，在区间 内无零点
D． 在区间 内无零点，在区间 内有零点
7．如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（）
导数单元进阶训练（渐入佳境）
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用导数的运算公式和法则直接计算即可.
【详解】
解：由 得，
，
故选：C
【点睛】
此题考查导数的运算公式和法则，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为 ，充分性成立；利用 可验证出必要性不成立，由此得到结论.
【详解】
解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，
过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）
即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）
故 ，即 ，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，
故f′（﹣2）＝0，
∴﹣4a+b＝﹣12，则 ，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b 3（x﹣1） 6（x≤1），
令m（x）＝3（x﹣1） 3[﹣（x﹣1）+（ ）]≤﹣3（2 ）＝﹣6，（x≤1），
∴3（x﹣1） 6最大值为0，∴（ ）max＝0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0，+∞）．
【分析】
由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.
【详解】
由题意知 .
故选：A
【点睛】
本题考查导数的几何意义，属于基础题.
5．D
【解析】
【分析】
利用导数求得切线的斜率，再根据点斜式即可求得切线方程.
【详解】
，切线斜率为 ，
∴切线方程为 ，即 .
故选：D.
【点睛】
本题考查过函数上一点处切线方程的求解，注意导数的求解以及点斜式的应用即可.
13．0
【解析】
【分析】
由题意结合导数的运算、导数的几何意义可得 、 ，即可得解.
【详解】
∵ ，∴ ，
∵曲线 在 处的切线方程为 ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了导数的运算及导数几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
14．
【解析】
【分析】
本题首先可根据直线 是曲线 在 处的切线得出 ，然后将 代入 解得 ，最后根据 即可得出结果.
7．C
【解析】
【分析】
利用导数与函数单调性的关系即可求解.
【详解】
由导函数 的图象知在区间 上， ，
所以函数 在 上单调递增．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由导数的图像研究函数的单调性，需掌握导数与函数单调性的关系，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
先对函数求导，再求函数的单调区间，即得函数的最大值.
【详解】
f′(x)＝ ，
当x∈[0,1)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈(1,4]时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
∴f(x)的最大值为f(1)＝ .
故答案为:B
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
9．AB
3．C
【解析】
【分析】
对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可.
【详解】
,故切线的斜率为 .又 .所以曲线 在点 处的切线方程为 .即 .
故选:C
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.
4．A
A．函数 的图像在点 处的切线方程为
B． 是函数 的一个极值点
C．当 时，
D．当 时，不等式 的解集为
三、填空题
11．曲线 在 处的切线方程为______.
12．已知函数 在 处的切线与直线 平行，则 __________.
13．已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，则a＋b＝_______.
14．如图， 是可导函数，直线 是曲线 在 处的切线，令 ，其中 是 的导数，则 ________．
6．D
【解析】
【分析】
计算 ，根据 符号判断原函数的单调性，然后代入所给区间端点值计算，简单判断即可.
【详解】
由题可知：
则
若 ， ，函数 单调递减
若 ， ，函数 单调递增
所以函数 在 ， 单调递减，
又 ， ，
所以函数 在 无零点，在 有零点
故选：D
【点睛】
本题考查利用导数判断在所给区间零点问题，掌握导数与原函数的关系，属基础题.
（Ⅱ）将 和 的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性．
试题解析：
（1）
由题意可知：
（2）
16．(1)f（x）在[﹣3，1]上最大值为13 (2) [0，+∞）．
【解析】
【分析】
（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x＝﹣2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f（x）的表达式，求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．
【详解】
因为直线 是曲线 在 处的切线，
所以 ，
因为直线 过点 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，由图像可知 ，
所以 ， ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查导数的乘法法则，若函数 ，则 ，考查推理能力，是简单题.
15．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先对函数 进行求导，根据 可求出 和 的值．
导数单元进阶训练（渐入佳境）
一、单选题
1．函数 的导数为（）
A． B．
C． D．
2．已知函数 在区间 上可导，则“函数 在区间 上有最小值”是“存在 ，满足 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数 在点 处的切线的倾斜角是 ，则 的值为（）
【解析】
【分析】
求导，令 ，故 或 ，经检验可得 点的坐标.
【详解】
因 ，令 ，故 或 ，所以 或 ，
经检验，点 ， 均不在直线 上，
故选：AB
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．
10．ACD
【详解】
为开区间 最小值点一定是极小值点 极小值点处的导数值为
充分性成立
当 ， 时， ，结合幂函数图象知 无最小值，必要性不成立
“函数 在区间 上有最小值”是“存在 ，满足 ”的充分不必要条件
故选：
【点睛】ห้องสมุดไป่ตู้
本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为 ，但导数值为 的点未必是极值点.
【解析】
【分析】
先对函数求导，得到 ，求出函数 的图像在点 处的切线方程，即判断A；根据 时， 恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出 时， 的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断 时函数的单调性，根据单调性列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
因此函数 的图像在点 处的切线方程为 ，
即 ，故A正确；
当 时， 在 上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当 时， ，由 得 ；由 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
因此 ，即 ；故C正确；
当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减；
由 可得 ，解得： ，故D正确；
（2）方法一：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出f′（x）的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
方法二：求出导函数，令导函数大于大于0在区间[﹣2，1]上恒成立，分离出参数b，构造新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．
②在x 2时，即b≤﹣12，g（x）最小值＝g（﹣2）＝12+2b+b≥0，则b∈∅，
③在﹣2 1时，即﹣12＜b＜6，g（x）最小值 0，
综合上述讨论可知，b取值范围是：[0，+∞）．
解法二：（1）y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，属于常考题型.
11．
【解析】
【分析】
根据函数的导函数以及曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果.
【详解】
解：对 求导得： ，
故在 处切线斜率为 ，所以切线方程为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查曲线在某点处的切线方程，重点在于曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.
12．2
【解析】
【分析】
求出导函数，由 时的导数值等于3可得 ．
【详解】
由 求导可得： ，故在 处切线斜率为 ，由题意， ，所以 .
故答案为：2．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，掌握导数的运算是解题基础．
f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．
f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）
x
﹣3
（﹣3，﹣2）
﹣2
（﹣2， ）
（ ，1）
1
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
8
增函数
极大值13
减函数
极小值
增函数
4
f（x）极大＝f（﹣2）＝（﹣2）3+2（﹣2）2﹣4（﹣2）+5＝13f（1）＝13+2×1﹣4×1+5＝4
【点评】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
A．在区间 上 是增函数B．在区间 上 是减函数
C．在区间 上 是增函数D．在区间 上 是增函数
8．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0B． C. +1D．
二、多选题
9．曲线 在点P处的切线平行于 ，则点P的坐标为（）
A． B． C． D．
10．关于函数 ，下列判断正确的是（）
四、解答题
15．设 与 是函数 的两个极值点.
（1）试确定常数 和 的值；
（2）求函数 的单调区间；
16．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）上点P（1，f（1））处的切线方程为y＝3x+1
（1）若y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，求函数y＝f（x）在[﹣3，1]上的最大值；
（2）若函数y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．
∴f（x）在[﹣3，1]上最大值为13．
（2）方法一：y＝f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，
又f'（x）＝3x2+2ax+b，由（1）知2a+b＝0，∴f'（x）＝3x2﹣bx+b，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，
即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立．
①在x 1时，即b≥6，g（x）最小值＝g（1）＝3﹣b+b＞0，∴b≥6，
A． B． C． D．1
5．曲线 在点 处的切线方程为（）.
A． B．
C． D．
6．设函数 ，则下列说法中正确的是（）．
A． 在区间 ， 内均有零点B． 在区间 ， 内均无零点
C． 在区间 内有零点，在区间 内无零点
D． 在区间 内无零点，在区间 内有零点
7．如图是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是（）
导数单元进阶训练（渐入佳境）
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用导数的运算公式和法则直接计算即可.
【详解】
解：由 得，
，
故选：C
【点睛】
此题考查导数的运算公式和法则，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为 ，充分性成立；利用 可验证出必要性不成立，由此得到结论.
【详解】
解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，
过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）
即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）
故 ，即 ，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，
故f′（﹣2）＝0，
∴﹣4a+b＝﹣12，则 ，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，
依题意f'（x）在[﹣2，1]上恒有f'（x）≥0，即g（x）＝3x2﹣bx+b≥0在[﹣2，1]上恒成立∴b 3（x﹣1） 6（x≤1），
令m（x）＝3（x﹣1） 3[﹣（x﹣1）+（ ）]≤﹣3（2 ）＝﹣6，（x≤1），
∴3（x﹣1） 6最大值为0，∴（ ）max＝0，∴b≥0，
∴b取值范围是：[0，+∞）．