树状数组

树状数组
武钢三中 吴豪【引言】
在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。

因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。

【理论】
为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。

如图所示，红色矩形表示的数组C[]就是树状数组。

这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，或者说是i用
2的幂方和表示时的最小指数。

( 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。

所以,当我们修
改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。

另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开
成2的幂方和时的项数,因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

接着，我们考察这两种操作下标变化的规律：
首先看修改操作：
已知下标i，求其父节点的下标。

我们可以考虑对树从逻辑上转化：
如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。

有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。

因而父节点下标 p=i+2^k (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)即 p = i + i&(i^(i-1)) 。

接着对于求和操作：
因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。

即 p = i - i&(i^(i-1)) 。

至此，我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。

在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】
求最小幂2^k:
in t L o wb i t(in t t)
{
retur n t & ( t ^ ( t - 1 ) );
}
求前n项和：
in t S um(in t e n d)
{
in t sum = 0;
wh il e(e n d> 0)
{
sum += in[e n d];
e n d -= L o wb i t(e n d);
}
retur n sum;
}
对某个元素进行加法操作：
v oi d pl us(in t po s , in t n um) {
wh il e(po s<= n)
{
in[po s] += n um;
po s += L o wb i t(po s);
}
}
以下内容转自O IBH
htt p://oi bh.o r g/bbs/v i ewthread.p h p?t i d=23806&h ig h lig ht=%CA%F7%D7%B4%CA%FD
%D7%E9
作者sa i901013
话说我学了这个树状数组N个日子了,还没有用过,今天一用,果然不凡...-_-只是PKU O J的E文让我比较抓狂...看了半天才知道它讲什么.这个题目乃入门题目,不赘述了...下面说一下我用树状数组的体会(语言比较难理解，字体比较难忍受= =，请原谅)..
什么叫艺术
做了这个题目之后，我对算法的艺术性又有了进一步的认识。

跟线段树的又长又臭相比，树状数组可谓娇小玲珑。

那简洁的代码，与Trea p、并查集等数据结构一样的美丽，清秀。

不仅如此，它有着简单易用的特点，容易记忆。

最大的艺术就在于k+=(-k)k这个变化量的设计，我们可以看到，(-k)&k完全等价于k&(k^(k-1))，两个可以随便记一 个，不过显然第一个更容易记忆。

虽然到现在我还不知道这两句是如何计算到“将k化为二进制数时末尾0的个数”(补充:可以参考本贴#17)=。

＝！ ，但我很享受这一种奇特的美妙。

什么叫速度
除了in sert()和g et()时间复杂度都是O(log n)之外，其实这个很正常，树状数组特别的是它编程复杂度离奇的小-_-//... .據说它的时间复杂度常数还比线段树小很多。

除此之外，它的空间复杂度也比线段树明显小约2/3。

下面分析一下我写的Co de。

1.
2.//先定义c[x]为树状数组,a[x]为原数组。

3.//其实这里叫rem o d i fy()函数比较合理,因为这里是修改某个元素而不是插入
4.//deta l是将a[k]变化deta l，而不是“变为deta l”
5.//m i x是要十分注意的，因为常常有人会被输入个数N所迷惑了
6.//因为修改c[k]的话对c[k+1]....c[m i x]有影响，所以不难想到k的变化为增变化
7.
8.v oi d in sert(in t*c,in t k,in t deta l){
9.f o r(; k<=m i x;k+=(-k)＆k ) c[k] +=deta l;
10.}
11.
12.//顾名思义，g etsum()就自然是某一段的和
13.//不过比较奇怪，返回的是a[1]...a[k]
14.//其实并不难为，如果你想要a[j]...a[k]，你可以g etsum(k)-g etsum(j)
15.
16.in t g etsum(in t*c,in t k){
17.in t t;
18.f o r(t=0; k>0 ;k-=(-k)k ) t +=c[k];
19.retur n t;
20.}
复制代码
可能你看某幅图会容易搞清楚啥是树状数组，但是我不打算贴这一幅图片，因为百度一下就可以找到。

－-－//这个这个....绝对不是我懒!
算了，还是贴一下
：
什么要注意
世界上没有免费的午餐，你喜欢上树状数组，你就一定要承受它的缺点,-_-//貌似喜欢MM也一样。

不过有一点我还没有绝对地搞清楚，有人说树状数组可以解“最长不下降子序列”问题，但这个应该会涉及到求某一个区间范围内最值。

但是貌似树状数组要符合减法原则，也就是说不能求某一个区间范围内最值。

初步来讲，我认为“树状数组解最长不下降子序列”和“减法原则”可能并不矛盾，可能有一种符合“减法原则”解法，我不做深入讨论探究了。

下面引用一段话：
在很多的情况下,线段树都可以用树状数组实现.凡是能用树状数组的一定能用线段树.当题目不满足减法原则的时候,就只能用线段树,不能用树状数组.例如数列操作如果让我们求出一段数
字中最大或者最小的数字,就不能用树状数组了。

除了上面的“减法原则”之外，还需要说明的是：树状数组由1开始。

习惯用C/C++的同志们申请地址的时候必须从0开始，自然而然地，我们习惯了第一个元素是0，但是
树状数组必须由1开始。

具体细节想一下就会知道，那是因为跟那个“将k化为二进制数时末尾0的个数”有关。

最后要说的是，干看是不行的，练习才是正道。

PKU O J 2352 S tars是一道不错的入门题目。

可以参考以下代码。

不过最好还是自己做啦...-_-///..
本文个人原创,如有雷同,肯定抄我sa i90.!
此外本人语言是比较难理解的，若各位高手们看得不顺眼，请见谅...
1.
2.#in c l ude<std io.h>
3.in t c[32003];
4.in t a[32003];
5.in t n,m i x=32003;
6.v oi d in sert(in t k,in t deta l)
7.{
8.f o r(; k<=m i x;k+=(-k)k ) c[k] +=deta l;
9.}
10.in t g etsum(in t k)
11.{
12.in t t;
13.f o r(t=0; k>0 ;k-=(-k)k ) t +=c[k];
14.retur n t;
15.}
16.in t ma in()
17.{
18.memset(c,0,s i ze o f(c));
19.memset(a,0,s i ze o f(a));
20.in t i,x,y;
21.sca n f("%d",n);
22.f o r(i=0; i<n ;i++)
23.{
24.sca n f("%d%d",x,&y);
25.x++;
26.a[g etsum(x)]++;
27.in sert(x,1);
28.}
29.f o r(i=0; i<n ;i++) p r in tf("%d\n",a);
30.retur n 0;
31.}。