机床主轴结构优化设计学习资料

机床主轴结构优化设计

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机床主轴结构优化设计

一、机械优化设计的一般过程

①建立优化设计的数学模型

②选择适当的优化方法

③编写计算机程序

④准备必要的初始数据并上机计算

⑤对计算机求得的结果进行必要的分析

其中，建立优化设计的数学模型是首要的和关键的一步，其基本原则有：

1、设计变量的选择

在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度认真分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。另外，还应注意设计变量应当相互独立，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。

2、目标函数的确定

常取其中最主要的指标作为目标函数，而其余的指标列为约束条件。

3、约束条件的确定

在选取约束条件时应当避免出现相互矛盾的约束。因为相互矛盾的约束必然导致可行域为一空集，使问题的解不存在。另外应当尽量减少不必要的约束。

不必要的约束不仅增加优化设计的计算量，而且可能使可行域缩小，影响优化结果。

二、优化实例

机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。下面以两支承主轴为例，说明优化设计的全过程。

右图所示的是一个已经简化的机床主轴。已知主轴内

径d=30mm，外力F=15000N，许用挠度y0=0.05mm。主

轴材料是铸钢。密度ρ=7.8×10−6Kg/ mm3，弹性模

量E=210GPa设计变量数n=3，约束函数个数m=5，设

计变量的初值、上下限列于表8-1中。

设计变量X1 X2 X3

初始值480 100 120

下限值300 60 90

上限值650 140 150

三、 实例分析-数学模型的建立

在设计这根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重；一是主轴伸出端的挠度。对于普通机床，并不追求过高的加工精度，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度是约束条件。 （1） 设计变量的确定

当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。即孔径d 、外径D 、跨距l 及外伸端长度a 。由于机床主轴内孔常用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定，不能作为设计变量。 故设计变量 取为x=[x 1 x 2 x 3]T =[l D a]T

（2） 目标函数的确定

机床主轴优化设计的目标函数则为

f(x)=1

4πρ(x 1+x 3)(x 22−d 2) 式中，ρ-材料的密度。

（3）

约束条件的确定

主轴刚度是一个重要性能指标，其外伸端的挠度y 不得超过规定值y 0，据此建立性能约束 g(x)=y-y 0≤0

在外力F 给定的情况下，y 是设计变量x 的函数，其值按下式计算 y=

Fa 2(l+a)3EI

式中，I=π

64(D 4−d 4) 则 g(x)=

64Fx 32(x 1+x 3)

3πE(x 24−d 4）

−y 0≤0

此外，通常还应考虑主轴内最大应力不得超过许用应力。由于机床主轴对刚度要求比较高，当满足要求时，强度尚有相当富裕，因此应力约束条件可不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围，即

l min ≤l ≤l max

D min ≤D ≤D max

a min ≤a ≤a max

综上所述，将所有约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型可表示为

minf(x)=1

4πρ(x 1+x 3)(x 22−d 2)

g 1(x)=

64Fx 32(x 1+x 3)3πE(x 24−d 4）

/y 0−1≤0

g 2(x)=1-x 1/l min ≤0 g 3(x)=1-x 2/D min ≤0 g 4(x)=x 2/D max −1≤0 g 5(x)=1-x 3/a min ≤0

这里未考虑两个边界约束，x1≤l max和x3≤a max，这是因为无论从减小伸出端挠度上看，都要求主轴跨距x1、伸出端长度x3往小处变化，所以对其上限可以不作限制。这样可以减少一些不必要的约束，有利于优化计算。

四、优化方法的选择

该实例中，设计变量数n=3，约束函数个数m=5，且有一个约束函数是非线性的，故属于非线性多变量约束优化问题。可以选择MATLAB中的fmincon()函数。因为fmincon函数是实现多变量约束优化，解决非线性多变量约束问题的一种优化方法。当然也可以选择遗传算法ga()。

五、程序及编译结果

1.编写一个M文件返回目标函数在点x处的值：

function f=my1(x)

p=7.8*10^(-6);

d=30;

f=0.25*pi*p*(x(1)+x(3))*(x(2)^2-d^2);

2.将非线性约束编进一个M文件内

function [c,ceq]=nonlcon1(x)

F=15000;

d=30;

E=2.1*10^5;

c=(64*F*x(3)^2*(x(1)+x(3)))/(3*E*pi*(x(2)^4-d^4)*0.05)-1;

ceq=[];

3.（1）调用fmincon（）函数：

>> lb=[300 60 90]';

%设计变量的下限

ub=[650 140 150]';

%设计变量的上限

x0=[480 100 120]';

%设计变量的初始值

[x,f,exitflag,output]=fmincon('my1',x0,[],[],[],[],lb,ub,'nonlcon1')

%调用fmincon（），返回exitflag参数，描述函数计算的退出条件；返回output机构数组，其中包含了优化信息

Warning: Trust-region-reflective algorithm does not solve this type of problem, using active-set algorithm.

You could also try the interior-point or sqp algorithms: set the Algorithm option to 'interior-point' or 'sqp' and rerun. For more help, see Choosing the Algorithm in the documentation.

> In fmincon at 472

Local minimum found that satisfies the constraints.