新人教A版版高考数学一轮复习第八章立体几何空间几何体的表面积和体积教案理解析版

基础知识整合

１．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是错误!侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．

２．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

３．柱、锥、台和球的表面积和体积

１．与体积有关的几个结论

（１）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

（２）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

２．几个与球有关的切、接常用结论

（１）正方体的棱长为a，球的半径为R，

１若球为正方体的外接球，则２R＝错误!a；

２若球为正方体的内切球，则２R＝a；

３若球与正方体的各棱相切，则２R＝错误!Ａ．

（２）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则２R＝错误!.

（３）正四面体的外接球与内切球的半径之比为３∶１．

１．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

Ａ．6 Ｂ．9

Ｃ．１２Ｄ．１8

答案B

解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB＝6，CD＝３，PC＝３，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为错误!×错误!×３＝9．故选Ｂ．

２．（２0１8·浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm３）是（）

Ａ．２Ｂ．４

Ｃ．6 Ｄ．8

答案C

解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A１B１C１D１—ABC Ｄ．由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为１和２，高为２，所以S底面＝错误!×（１＋２）×２＝３．直四棱柱的高为２，所以体积V＝３×２＝6．故选Ｃ．

３．（２0１9·北京模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

Ａ．２＋错误!Ｂ．４＋错误!

Ｃ．２＋２错误!Ｄ．５

答案C

解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝２，EC＝１，AD

＝１，ED＝２，

S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝错误!×２×２＋错误!×错误!×１＋错误!×错误!×１＋错误!×２×错误!＝２＋２错误!.故选Ｃ．

４．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为错误!，则球的表面积和体积分别为________，________.

答案３6π３6π

解析底面中心与C′连线即为半径，设球的半径为R，则R２＝（错误!）２＋（错误!）２＝9．所以R＝３，所以S球＝４πR２＝３6π，V球＝错误!πR３＝３6π.

５．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝错误!，则球O的体积等于________．

答案错误!

解析由题意知，DC边的中点就是球心O，因为它到D，A，C，B四点的距离相等，

∴球的半径R＝错误!CD，又AB＝BC＝错误!，

∴AC＝错误!，∴CD＝错误!＝３，

∴R＝错误!，∴V球O＝错误!错误!３＝错误!.

核心考向突破

考向一几何体的表面积

例１（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O１，O２，过直线O１O２的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

Ａ．１２错误!πＢ．１２π

Ｃ．8错误!π Ｄ．１0π

答案B

解析根据题意，可得截面是边长为２错误!的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是错误!的圆，且高为２错误!，所以其表面积为S＝２π（错误!）２＋２π×错误!×２错误!＝１２π.故选Ｂ．（２）（２0１9·河北承德模拟）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为１，则该几何体的表面积为（）

Ａ．8＋４错误!＋２错误!Ｂ．6＋４错误!＋４错误!

Ｃ．6＋２错误!＋２错误!Ｄ．8＋２错误!＋２错误!

答案C

解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E—ABCD，如图，正方体的棱长为２，该四棱锥底面为正方形，面积为４，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为２错误!，２，左右两个侧面为直角三角形，面积都为错误!，可得这个几何体的表面积为6＋２错误!＋２错误!，故选Ｃ．

触类旁通

空间几何体表面积的求法

（１）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

错误!

错误!

即时训练１．（２0１9·山东潍坊模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

Ａ．２0π Ｂ．２４π

Ｃ．２8π Ｄ．３２π

答案C

解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为１，高为２，圆锥的底面半径为３，高为４，则该几何体的表面积S＝π×３２＋π×３×５＋２π×１×２＝２8π.故选Ｃ．

２．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

Ａ．１＋错误!Ｂ．１＋２错误!

Ｃ．２＋错误!Ｄ．２错误!

答案C

解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝错误!.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝１．由勾股定理得AC＝错误!，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD ＝错误!，S△ABD＝S△BCD＝１，所以四面体的表面积为２＋错误!.故选Ｃ．

考向二几何体的体积

角度错误!补形法求体积

例２（１）（２0１7·全国卷Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）

Ａ．90π

Ｂ．6３π

Ｃ．４２π

Ｄ．３6π