新人教A版版高考数学一轮复习第八章立体几何空间几何体的表面积和体积教案理解析版

基础知识整合１．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是错误!侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．２．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式３．柱、锥、台和球的表面积和体积１．与体积有关的几个结论（１）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．（２）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．２．几个与球有关的切、接常用结论（１）正方体的棱长为a，球的半径为R，１若球为正方体的外接球，则２R＝错误!a；２若球为正方体的内切球，则２R＝a；３若球与正方体的各棱相切，则２R＝错误!Ａ．（２）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则２R＝错误!.（３）正四面体的外接球与内切球的半径之比为３∶１．１．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）Ａ．6 Ｂ．9Ｃ．１２Ｄ．１8答案B解析由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB＝6，CD＝３，PC＝３，CD垂直平分AB，且PC⊥平面ACB，故所求几何体的体积为错误!×错误!×３＝9．故选Ｂ．２．（２0１8·浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm３）是（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8答案C解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A１B１C１D１—ABC Ｄ．由三视图中数据可知底面梯形的两底分别为１和２，高为２，所以S底面＝错误!×（１＋２）×２＝３．直四棱柱的高为２，所以体积V＝３×２＝6．故选Ｃ．３．（２0１9·北京模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）Ａ．２＋错误!Ｂ．４＋错误!Ｃ．２＋２错误!Ｄ．５答案C解析该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝２，EC＝１，AD＝１，ED＝２，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝错误!×２×２＋错误!×错误!×１＋错误!×错误!×１＋错误!×２×错误!＝２＋２错误!.故选Ｃ．４．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为错误!，则球的表面积和体积分别为________，________.答案３6π３6π解析底面中心与C′连线即为半径，设球的半径为R，则R２＝（错误!）２＋（错误!）２＝9．所以R＝３，所以S球＝４πR２＝３6π，V球＝错误!πR３＝３6π.５．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝错误!，则球O的体积等于________．答案错误!解析由题意知，DC边的中点就是球心O，因为它到D，A，C，B四点的距离相等，∴球的半径R＝错误!CD，又AB＝BC＝错误!，∴AC＝错误!，∴CD＝错误!＝３，∴R＝错误!，∴V球O＝错误!错误!３＝错误!.核心考向突破考向一几何体的表面积例１（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O１，O２，过直线O１O２的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）Ａ．１２错误!πＢ．１２πＣ．8错误!π Ｄ．１0π答案B解析根据题意，可得截面是边长为２错误!的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是错误!的圆，且高为２错误!，所以其表面积为S＝２π（错误!）２＋２π×错误!×２错误!＝１２π.故选Ｂ．（２）（２0１9·河北承德模拟）某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为１，则该几何体的表面积为（）Ａ．8＋４错误!＋２错误!Ｂ．6＋４错误!＋４错误!Ｃ．6＋２错误!＋２错误!Ｄ．8＋２错误!＋２错误!答案C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E—ABCD，如图，正方体的棱长为２，该四棱锥底面为正方形，面积为４，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为２错误!，２，左右两个侧面为直角三角形，面积都为错误!，可得这个几何体的表面积为6＋２错误!＋２错误!，故选Ｃ．触类旁通空间几何体表面积的求法（１）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．错误!错误!即时训练１．（２0１9·山东潍坊模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）Ａ．２0π Ｂ．２４πＣ．２8π Ｄ．３２π答案C解析由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为１，高为２，圆锥的底面半径为３，高为４，则该几何体的表面积S＝π×３２＋π×３×５＋２π×１×２＝２8π.故选Ｃ．２．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）Ａ．１＋错误!Ｂ．１＋２错误!Ｃ．２＋错误!Ｄ．２错误!答案C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面ABD⊥平面BCD，△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形，AB＝AD＝BC＝CD＝错误!.取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥CO，AO＝CO＝１．由勾股定理得AC＝错误!，因此△ABC与△ACD为全等的正三角形，由三角形面积公式得S△ABC＝S△ACD ＝错误!，S△ABD＝S△BCD＝１，所以四面体的表面积为２＋错误!.故选Ｃ．考向二几何体的体积角度错误!补形法求体积例２（１）（２0１7·全国卷Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）Ａ．90πＢ．6３πＣ．４２πＤ．３6π答案B解析（割补法）由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的错误!，所以该几何体的体积V＝π×３２×４＋π×３２×6×错误!＝6３π.故选Ｂ．（２）（２0１9·河北质检）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）Ａ．５0 Ｂ．7５Ｃ．２５．５Ｄ．３7．５答案D解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C１—MNB １A１所得的，且直三棱柱的底面是腰长为５的等腰直角三角形，高为５．图中几何体ABCC１MN为剩余部分，因为AM＝２，B１C１⊥平面MNB１A１，所以剩余部分的体积V＝V三棱柱—V四棱锥＝错误!×５×５×５—错误!×３×５×５＝３7．５，故选Ｄ．角度错误!分割法求体积例３（１）（２0１9·山西五校联考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽３丈，长４丈；上棱长２丈，高１丈，问它的体积是多少？”已知１丈为１0尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为１丈，则该楔体的体积为（）Ａ．５000立方尺Ｂ．５５00立方尺Ｃ．6000立方尺Ｄ．6５00立方尺答案A解析该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F—GBCH与三棱柱ADE—GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE—GHF割补成高为EF，底面积为S＝错误!×３×１＝错误!平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝错误!×２＋错误!×２×３×１＝５立方丈＝５000立方尺．故选Ａ．（２）（２0１8·江苏高考）如图所示，正方体的棱长为２，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案错误!解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为错误!，高为１，∴其体积为错误!×（错误!）２×１＝错误!，∴多面体的体积为错误!.角度错误!转化法求体积例４（１）如图所示，在正三棱柱ABC—A１B１C１中，AB＝４，AA１＝6．若E，F分别是棱BB１，CC１上的点，则三棱锥A—A１EF的体积是________．答案8错误!解析由正三棱柱的底面边长为４，得点F到平面A１AE的距离（等于点C到平面A１ABB１的距离）为错误!×４＝２错误!，则V三棱锥A—A１EF＝V三棱锥F—A１AE＝错误!S三角形A１AE×２错误!＝错误!×错误!×6×４×２错误!＝8错误!.（２）三棱锥P—ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D—ABE的体积为V１，P—ABC的体积为V２，则错误!＝________.答案错误!解析如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝错误!S△PBＣ．又因为三棱锥A—BDE 与三棱锥A—PBC的高相等，所以错误!＝错误!.触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略（１）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．２若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.３若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.即时训练３．（２0１9·安徽蚌埠质检）如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积可能为（）Ａ．π＋错误!Ｂ．π＋２Ｃ．２π＋错误!Ｄ．２π＋２答案A解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故体积为错误!×π×１２×２＋错误!×错误!×２×２×２＝π＋错误!.４．如图所示，正方体ABCD—A１B１C１D１的棱长为１，E，F分别为线段AA１，B１C上的点，则三棱锥D１—EDF的体积为________．答案错误!解析三棱锥D１—EDF的体积即为三棱锥F—DD１E的体积．因为E，F分别为AA１，B１C上的点，所以正方体ABCD—A１B１C１D１中△EDD１的面积为定值错误!，F到平面AA１D１D的距离为定值１，所以VF—DD１E＝错误!×错误!×１＝错误!.５．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝１0，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝３，FC＝４，AE＝５．求此几何体的体积．解解法一：如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC—NDM的体积为V１＝错误!×8×6×３＝7２．四棱锥D—MNEF的体积为：V２＝错误!×S梯形MNEF×DN＝错误!×错误!×（１＋２）×6×8＝２４，则几何体的体积为：V＝V１＋V２＝7２＋２４＝96．解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V几何体＝错误!V三棱柱＝错误!×S△ABC×AA′＝错误!×２４×8＝96．考向三与球有关的切、接问题例５（１）（２0１8·全国卷Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为４的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9错误!，则三棱锥D—ABC体积的最大值为（）Ａ．１２错误!Ｂ．１8错误!Ｃ．２４错误!Ｄ．５４错误!答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D—ABC 体积最大，此时，OD＝OB＝R＝４．∵S△ABC＝错误!AB２＝9错误!，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝错误!BE＝２错误!，∴在Rt△OMB中，有OM＝错误!＝２．∴DM＝OD＋OM＝４＋２＝6，∴（V三棱锥D—ABC）max＝错误!×9错误!×6＝１8错误!.故选Ｂ．（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S—ABC的体积为9，则球O的表面积为________．答案３6π解析如图，连接OA，OＢ．由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SＣ．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCＢ．设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝２r，∴三棱锥S—ABC的体积V＝错误!×错误!·OA＝错误!，即错误!＝9，∴r＝３，∴S球表＝４πr２＝３6π.触类旁通空间几何体与球切、接问题的求解方法（１）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．２若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.即时训练6．已知直三棱柱ABC—A１B１C１的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝错误!，AA１＝BC＝２，则球O的体积为（）Ａ．４错误!π Ｂ．8πＣ．１２π Ｄ．２0π答案A解析在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝错误!＝错误!＝错误!，则直三棱柱ABC—A１B１C１的外接球的半径为R＝错误!＝错误!＝错误!，则直三棱柱ABC—A１B１C１的外接球的体积为错误!πR３＝４错误!π.故选Ａ．7．（２0１8·漳州模拟）在直三棱柱A１B１C１—ABC中，A１B１＝３，B１C１＝４，A１C１＝５，AA １＝２，则其外接球与内切球的表面积之比为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２9答案A解析由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球半径r＝错误!＝１，取AC，A１C １的中点D，E，则外接球球心在DE的中点O，由A１C１＝５，AA１＝２，得AC１＝错误!，∴R＝OA ＝错误!，错误!＝错误!＝错误!，故选Ａ．。