高考数学复习专题 含导函数的抽象函数的构造
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1.对于()()'0f x a a >≠,可构造()()h x f x ax =-
例1:函数()f x 的定义域为R ,()12f -=,对任意R x ∈,()2f x '>,则()24f x x >+的解集为( ) A .()1,1- B .()1-+∞,
C .()1-∞-,
D .()-∞+∞,
【答案】B
【解析】构造函数()()24G x f x x =--,所以()()2G x f x ''=-,由于对任意R x ∈,()2f x '>, 所以()()20G x f x ''->=恒成立,所以()()24G x f x x =--是R 上的增函数, 又由于()()()112140G f -=----⨯=,所以()()240G x f x x -->=, 即()24f x x >+的解集为()1-+∞,
.故选B .
2.对于()()'0xf x f x +>,构造()()h x xf x =;对于()()'0xf x f x ->,构造()()f x h x x
=
例2:已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(),0x ∈-∞,()()0f x xf x '+<成立,
()0.20.222a f =,()log 3log 3b f ππ=,()33log 9log 9c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( )
A .a b c >>
B .a c b >>
C .c b a >>
D .b a c >>
【答案】D
【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.
因为()()()xf x f x xf x ''=+⎡⎤⎣⎦,所以当(),0x ∈-∞时,()()()0xf x f x xf x ''=+<⎡⎤⎣⎦,函数
()y xf x =单调递减,当()0,x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减.
因为0.2122<<,0log 31π<<,3log 92=,所以0.230log 32log 9π<<<,所以b a c >>.故选D .
3.对于'()()0f x f x +>,构造()()e x h x f x =;对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->,构造
高考数学复习专题 含导函数的抽象函数的构造
()
()e
x f x h x =
例3:已知()f x 为R 上的可导函数,且R x ∀∈,均有()()f x f x '>,则有( ) A .2016e (2016)(0)f f -<,2016(2016)e (0)f f >
B .2016e (2016)(0)f f -<,2016(2016)e (0)f f <
C .2016e (2016)(0)f f ->,2016(2016)e (0)f f >
D .2016e (2016)(0)f f ->,2016(2016)e (0)f f < 【答案】D
【解析】构造函数()()e x
f x
g x =
,则()()()()
()
()()
2
e e e
e x x x
x f x f x f x f x g x ''-'-'=
=
,
因为R x ∀∈均有()()f x f x '>并且e 0x >,所以()0g x '<,故函数()()e x
f x
g x =在R 上单调
递减,
所以(2016)(0)g g ->,(2016)(0)g g <,即
2016
(2016)
(0)e
f f -->,2016(2016)(0)e f f <, 也就是2016e (2016)(0)f f ->,2016(2016)e (0)f f <.
4.()f x 与sin x ,cos x 构造
例4:已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>,则( )
A .(
)04f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
B .()03f f π⎛⎫
<2- ⎪⎝⎭
C
34f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D
34f ππ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】提示:构造函数()
()cos f x g x x
=.
一、选择题
1.若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立,对任意正数a 、b ,若a b <, 则必有( )
A .()()af b bf a <
B .()()bf a af b <
C .()()af a bf b <
D .()()bf b af a <
【答案】C
【解析】由已知()()0xf x f x '+>∴构造函数()()F x xf x =, 则()()()0F x xf x f x ''=+>,从而()F x 在R 上为增函数。 ∵a b <,∴()()F a F b <,即()()af a bf b <,故选C . 2.已知函数()()R f x x ∈满足()11f =,且()12f x '<,则()1
22
x f x <+的解集为( ) A .}{11x x |-<< B .}{1x x |<- C .}{
11x x x |<->或 D .}{1x x |>
【答案】D
【解析】构造新函数1()()22x F x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则11(1)(1)11022F f ⎛⎫
=-+=-= ⎪⎝⎭
,
1'()'()2F x f x =-
,对任意R x ∈,有1
'()'()02
F x f x =-<,即函数()F x 在R 上单调递减, 所以()0F x <的解集为(1,)+∞,即()1
22
x f x <
+的解集为(1,)+∞,故选D . 3.已知函数()f x 的定义域为R ,()f x '为()f x 的导函数,且()()()10f x x f x '+->,则( ) A .()10f = B .()0f x < C .()0f x > D .()()10x f x -<
【答案】C
【解析】由题得()()'[1]0x f x ->,设()(
)()1g x x f x =-,所以函数()g x 在R 上单调递增,
因为()10g =,所以当1x <时,()0g x <;当1x >时,()0g x >. 当1x <时,()0g x <,()()10x f x -<,所以()0f x >.
对点增分集训