2020年高考数学复习：集合、复数及常用逻辑用语
2020年高考数学;集合与常用逻辑用语(原卷版)
集合与常用逻辑用语1-11（原卷版）1、集合小题★★★★★十年考情：针对该考点，都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。
2020高考预测：1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,(){|ln 1}B x y x ==+，则AB =（ ） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．已知集合1,2,3A ,220,B x x x x Z ,则A B （ ）A ．{}1B ．{}21，C ．{}3210，，，D ．{}32101-，，，，4．已知集合1{1}A x x =>，则A R =（ ）A ．{1}x x <B ．{|}{|1}x x x x ≤0≥C ．{|0}{|1}x x x x <>D ．{1}x x ≤5．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|}x B y y e y N ，==∈，则AB =（ ） A ．{1,0}- B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}6.已知集合M={-1,0,1,2,3,4}，N={1,3,5}，P M N =，则P 的真子集共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个”的（A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8．已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤10．下列命题正确的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的必要不充分条件B ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈均有210x x +-≥C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 只有一个为真命题D ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”11.下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣4x +3=0，则x =3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2﹣4x +3≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件C ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”，则¬p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题AB AC BC +>。
2020高考数学二轮复习专题一集合、逻辑用语、不等关系、向量、复数1.1集合与常用逻辑用语课件
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突破点一
突破点二
突破点三
集合及其运算 【例1】(1)(2018天津,理1)设全集为R,集合A={x|0<x<2}, B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=( B ) A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} (2)(2019安徽安庆二模)若集合M={x|x2-3x+2≤0},N={-2,-1,0,1,2}, 则M∩N=( C )
C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( D )
A.{2}
B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} (3)(2019安徽宣城八校联考)如图,设全集U=N,集合 A={1,3,5,7,8},B={1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合为( A ) A.{2,4}
B.{7,8}
D.p是假命题,其否定为:∃x∈R,f(x)<0
(2)(2019江西南昌二模)已知函数f(x)=ax2+x+a,命题
p:∃x∈R,f(x)=0.若p为假命题,则实数a的取值范围是( C )
A.
-
1 2
,
1 2
C.
-∞,-
1 2
∪
1 2
,
+
∞
B.
-
1 2
,
1 2
D.
-∞,-
1 2
∪
1 2
,
+
∞
高频考点•探究突破
C.{1,3,5}
D.{1,2,3,4,5}
高频考点•探究突破
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突破点一
2020年高考文科数学专题一 集合与常用逻辑用语 含习题答案
2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。
2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾1 集合、常用逻辑用语、复数
回顾1集合、常用逻辑用语、复数[必记知识]1．集合(1)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．2．含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x) [提醒]由于全称命题经常省略量词，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再改写量词和否定结论.3．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定命题为假假存在一个对象使命题假否定命题为真特称命题真存在一个对象使命题真否定命题为假假所有对象使命题假否定命题为真4.复数的相关概念及运算法则(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的分类①z 是实数⇔b ＝0； ②z 是虚数⇔b ≠0； ③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数复数z ＝a ＋b i 的共轭复数z －＝a －b i. (3)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (4)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R )． (5)复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.(其中a ，b ，c ，d ∈R .)[必会结论]1．集合运算的重要结论(1)A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ；A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ；A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)若A ⊆B ，则A ∩B ＝A ；反之，若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ；反之，若A ∪B ＝B ，则A ⊆B .(3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(4)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．2．一些常见词语的否定3.充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 4．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i＝－i. (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N )． (4)ω＝－12±32i ，且ω0＝1，ω2＝ω－，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.[必练习题]1．设集合M ＝{x ∈Z |－3＜x ＜2}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤3}，则M ∩N 等于( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1，2} C ．{0，1，2} D ．{－1，0，1}答案：D2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．[0，1)∩(3，＋∞) C ．A D ．B答案：C3．设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B4．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B5．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{5，6，7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( )A ．5B ．6C ．12D ．13答案：D6．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ；命题乙：0＜a ＜1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C7．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值为________．答案：08．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋ax 0＋a ＜0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案：[0，4]。
2020年全国高考数学·第01讲 集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语本章知识结构图第一节 集 合考纲解读1.集合的含义与表示．了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2.集合间的基本关系．理解集合之间包含与相等的含义．能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义．3.集合的基本运算．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 命题趋势探究有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．预测2015年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）以选择题或填空题形式出现．北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现．考查学生的综合推理能力．（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用． 知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü或B A Ý．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作I A ð，即{}|I A x x I x A =∈∉且ð．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．()I I A A =痧，I I ∅=ð，I I =∅ð ()I A A ⋂=∅ð，()I A A I ⋃ð． 补充性质：I II A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅痧?．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃．（5）反演律（德摩根定律）．()()()I I I A B A B ⋂=⋃痧? ()()()I I I A B A B ⋃=⋂痧?．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示 题型1：集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-变式1 已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,)|,A B x y x A y A ==∈∈，则B 中所含元素的个数为（ ）． A ．3 B ．6 C ．8 D ．10变式2 已知集合{}{}0,1,2,|,A B x y x A y A ==-∈∈中元素的个数为（ ）． A ．1 B ．3 C ．5 D ．9变式3 若集合{}{},,lg()0,||,x xy xy x y =，则x = ，y = ．题型2：集合间的基本关系 思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析． 一、集合关系中的判断问题例1.2 若{}{}{}|41,,|43,,|81,A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==-∈==+∈，则A ，B ，C 之间的关系为（ ）．变式1 设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则 A ．M N = B ．M N Ü C ．M N Ý D ．M N ⋂=∅例1.3 设{}{}2|8150,|10A x x x B x ax =-+==-=.（1）若15a =，试判断集合A 与集合B 的关系； （2）若B A ⊆，求实数a 组成的集合C .变式1 已知集合{}2|3100A x x x =--≤，集合{}|121B x p x p =+≤≤-，若B A ⊆，求实数p 的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.4 已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3变式1 已知集合{}{}|36,|,A x x B x x a a R =-<<=≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .变式2 已知集合{}{}|1,|A x x B x x a =≤=≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是 .变式3 已知集合{}{}2|1,P x x M a =≤=，若P M P ⋃=，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．[1,)+∞ C ．[1,1]- D ．(,1][1,)-∞-⋃+∞三、集合关系中的子集个数问题例1.5 已知集合{}2|3100,A x x x x Z =--≤∈，则集合A 的子集个数为 .例1.6 已知集合{}{}2|320,,|05,N A x x x x R B x x x =-+=∈=<<∈，满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4变式1 已知集合M 满足{}{}*1,2|10,N M x x x ⊆≤∈Ü，求集合M 的个数.题型3 集合的运算 思路分析凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想. 一、集合元素属性的理解例1.7 已知集合{}{2|1,,|M y y x x R N x y ==+∈==，则M N ⋂=（ ） A ．{}|13x x <≤ B ．{}|13x x ≤< C ．{}|13x x ≤≤ D ．{}|14x x <<变式1 集合{}{}2|03,|9P x Z x M x R x =∈≤<=∈≤，则P M ⋂=（ ）. A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}|03x x ≤< D ．{}|03x x ≤≤变式2 已知集合{}1||3||4|9,|46,0A x R x x B y R y x x x ⎧⎫=∈++-≤=∈=+->⎨⎬⎩⎭，则集合 A B ⋂= .变式3 设全集{}(,)|,I x y x y R =∈，集合{}3(,)|1,(,)|2y M x y N x y y x x -⎧⎫===≠+1⎨⎬-⎩⎭，那么()()I I M N ⋂=痧（ ）A ．∅B ．{}(2,3)C ．(2,3)D ．{}(,)|1x y y x =+变式4 已知集合{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,0B x y x y x =-+=≤≤2，若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用例1.8 设集合{}{}||2|3,|8,S x x T x a x a S T R =->=<<+⋃=，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)-- B ．[3,1]-- C ．([1,)-∞,-3]⋃-+∞ D ．((1,)-∞,-3)⋃-+∞变式1 已知集合{}||2|3A x R x =∈+<，集合{}|()(2)0B x R x m x =∈--<，且(1,)A B n ⋂=-，则m = ，n = .变式2 已知全集U R =，集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤=<->或，那么集合()U A B ⋂=ð（ ）.变式3 已知集合{}3|0,|31x M x N x x x -⎧⎫=<=≤-⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|1x x ≥=（ ）. A ．M N ⋃ B ．M N ⋃ C ．()R M N ⋂ð D ．()R M N ⋃ð三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9 设U 为全集，M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集{}|M P x x M x P -=∈∉且，则()M M P --=（ ）.A ．PB ．M P ⋂C ．M P ⋃D ．M变式1 设全集{}1,2,3,4,5U M N =⋃=，{}2,4U M N ⋂=ð，则N =（ ）. A ．{}1,2,3 B ．{}1,3,5 C ．{}1,4,5 D ．{}2,3,4变式2 某班级共有30人，其中15人喜爱篮球，8人喜爱足球，两项都不喜爱的有8人，则喜爱篮球但不喜爱足球的有 人．例1.10 如图1-3所示，I 是全集，,,A B C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()ABC ⋂⋂ B ．()I A B C ⋂⋂ð C ．()I A B C ⋂⋂ðD ．()I B A C ⋃⋂ð变式1 已知,M N 为集合I 的非空子集，且,M N 不相等，若()I N M ⋂=∅ð，则M N ⋃=（ ） A ．M B ．N C ．I D ．∅四、以集合为载体的创新题例1.11 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个孤立元，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.变式1 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈，,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（ ）A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭B.,T V 中至多有一个关于乘法是封闭C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭D.,T V 中每一个关于乘法是封闭变式 2 已知集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥L ，其中(1,2,3,,)i a Z i k ∈=L ，由A 中的元素构成两个相应的集合{}(,)|,,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,)|,,T a b a A b A a b A =∈∈-∈，其中(,)a b 是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n .若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P .（1）检验集合{}0,1,2,3与{}1,2,3-是否具有性质P ，并对具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （2）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤.变式3 设集合{}*1,2,3,,,N n P n n =∈L ，记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数. ①n A P ⊆； ②若x A ∈，则2x A ∉； ③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð. (1)求(4)f ；(2)求()f n 的解析式(用n 表示).最有效训练题1（限时45分钟）1．设集合{}{}2|60,|13M x x x N x x =+-<=≤≤，则M N ⋂等于（ ） A ．[2,3] B ．[1,2] C ．[2,3) D ．[1,2) 2．若{{}2|,|1A x y B y y x ====+，则A B ⋂=（ ）A ．(1,)+∞B ．[1,2]C ．[0,)+∞D ．(0,)+∞3．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =.集合{}2,4,5,7A =，{}1,4,7,8B =，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（ ）A ．{}3,6B ．{}2,4,6C ．{}2,6D ．{}3,4,64．已知全集I R =，集合{}{}|||2,,|M x x x R P x x a =<∈=>，并且I M P ðÜ，那么a 的取值范围是（ ） A ．{}2 B ．{}|2a a ≤ C ．{}|2a a ≥ D ．{}|2a a <5．设集合{}{}|||1,,|15,A x x a x R B x x x R =-<∈=<<∈.若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|06a a ≤≤ B ．{}|24a a a ≤≥或 C ．{}|06a a a ≤≥或 D ．{}|24a a ≤≤ 6．设全集{}(,)|,U x y x R y R =∈∈,{}{}(,)|20,(,)|0A x y x y m B x y x y n =-+<=+-≥ ，那么(2,3)()U P A B ∈⋂ð的充要条件是（ ）A ．1m >-且5n <B ．1m <-且5n <C ．1m >-且5n >D ．1m <-且5n > 7．设集合{}{}{}21,3,2,2,3A B a a A B =-=++⋂=，则实数a = .8．已知集合A 满足条件：当p A ∈时，总有11A p -∈+（0p ≠且1p ≠-）.已知2A ∈，则集合A 中所有元素的积等于 .9．已知集合,A B 满足{}{}|27,|121A x x B x n x m =-≤≤=+<<-，且B ≠∅.若()U A B ⋂=∅ð，则m 的取值范围是 .{}211．已知集合{}22|,,M m m x y x y Z ==-∈，若对任意的12,m m M ∈，求证：12m m M ∈.12．已知集合{}*1,2,3,,2(N )n n ∈L ，对于A 中的一个子集S ，若存在．．不大于n 的正整数数m ，使得对S 中的任．意．一对元素12,s s ，都有12||s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}|9B x A x =∈>和{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈是否具有性质P ？请说明理由. （2）若集合S 具有性质P ，那么集合{}21|T n x x S =+-∈是否一定具有性质P ？请说明理由.。
2020新课标高考数学讲义：集合、常用逻辑用语、复数含解析
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
4．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i.
(2) ＝i、 ＝－i.
(3)i4n＝1、i4n＋1＝i、i4n＋2＝－1、i4n＋3＝－i、i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
命题
命题的否定
∀x∈M、p(x)
∃x0∈M、綈p(x0)
∃x0∈M、p(x0)
∀x∈M、綈p(x)
[提醒]由于全称命题经常省略量词、因此、在写这类命题的否定时、应先确定其中的全称量词、再改写量词和否定结论.
3．全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
存在一个对象使命题假
否定命题为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定命题为假
假
所有对象使命题假
否定命题为真
4.复数的相关概念及运算法则
(1)复数z＝a＋bi(a、b∈R)的分类
①z是实数⇔b＝0；
②z是虚数⇔b≠0；
③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z＝a＋bi的共轭复数 ＝a－bi.
A．5B．6
C．12D．13
答案：D
6．设命题甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1、则命题甲是命题乙成立的()
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
7．i是虚数单位、若 ＝a＋bi(a、b∈R)、则lg(a＋b)的值为________．
2020高考数学核心突破《专题一 集合与常用逻辑用语、复数与算法》(含往年真题分析)
专题一集合与常用逻辑用语、复数与算法第1讲集合与常用逻辑用语题型一集合的概念及运算高考中常从以下角度命题：1．(1)设集合A＝{}x||x－2|<3，N为自然数集，则集合A∩N中元素的个数为(A)A ．5B ．4C ．3D ．2(2)(2017·南昌市高三质检)已知集合A ＝{x |(ln 2)1－x <1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则集合A ∩(∁R B )为(B )A ．[0,1)B ．(－1,1)C ．[1,3)D ．∅突破点拨(1)先化简集合，再根据交集的定义确定元素的个数． (2)先确定集合A ，B 及∁R B ，再利用数轴求出A ∩∁R B .解析 (1)集合A ＝{x |－1＜x ＜5}，N 为自然数集，所以A ∩N ＝{0,1,2,3,4}，共5个元素，故选A.(2)A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥1}， 所以∁R B ＝{x |－1<x <1}＝(－1,1)， 所以A ∩∁R B ＝(－1,1)．故选B.2．(1)已知集合P ＝{}x |x 2－2x ≥0，Q ＝{}x |1<x ≤2，则(∁R P )∩Q ＝( C ) A ．[0,1) B ．(0,2] C ．(1,2)D ．[1,2](2)已知集合A ＝{}x ∈N |x 2＋2x －3≤0，B ＝{}C |C ⊆A ，则集合B 中元素的个数为( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5突破点拨(1)先化简集合，再根据补集、交集的定义求解．(2)先化简集合A ，求出元素的个数，再根据集合中元素个数与其子集的个数之间的关系求解．解析 (1)∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}， ∴∁R P ＝{x |0<x <2}， ∴(∁R P )∩Q ＝(1,2)．故选C.(2)A ＝{x ∈N |(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N |－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集， 因此集合B 中元素的个数为4，故选C.解决此类问题的关键在于确定集合中元素的性质，分清数集与点集、函数的定义域与函数的值域等集合表示；进行集合的基本运算时要注意区间端点值的取舍，防止出现增解或漏解等现象，尤其是求解集合的补集时，要先求出该集合，然后求其补集，防止因错误地否定条件导致错解．题型二四种命题及充要条件1．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则||z1＝||z2”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B)A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假突破点拨根据两个互为逆否的命题具有相同的真假性，来判断四个命题的真假时，只需判断原命题(或逆否命题)与否命题(或逆命题)的真假即可．解析先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．故选B.2．(1)(2017·广州高中毕业测试)已知命题p：∃x0>0，使得e x0－ax0<1成立，命题q：函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，则p是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(B)A．a≥4B．a>4C．a≥1D．a>1突破点拨(1)先求参数的范围，再判断充分条件、必要条件．(2)先求满足充要条件a 的范围，再确定满足条件的a 的范围．解析 (1)p ：不等式e x －ax <1可化为e x <ax ＋1，令y 1＝e x ，y 2＝ax ＋1，则y ′1＝e x ，y ′1|x＝0＝1，∴曲线y 1＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y ＝x ＋1， 若存在x 0>0，使得e x 0－ax 0<1，由数形结合得a >1. q ：若f (x )＝－(a －1)x 是减函数，则a －1>1，即a >2. 又{a |a >2}{a |a >1}，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.(2)∵“x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真， ∴a ≥x 2在x ∈[1,2)上恒成立，∴a ≥4， 由选项知{a |a ＞4}是{a |a ≥4}的真子集， 即命题的一个充分不必要条件为a ＞4，故选B.四种命题及充要条件的解题技巧(1)一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别．(2)四种命题的真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)利用充要条件求参数的值或范围时，关键是合理转化已知条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要对区间端点值进行检验．题型三 逻辑联结词及全(特)称命题,命题规律高考中常从以下角度命题：(1)含有逻辑联结词的命题真假的判断； (2)由复合命题的真假求参数的取值范围； (3)含有一个量词的命题的判断及其否定.方法点拨(1)全(特)称命题的否定与命题的否定是有区别的，否定全(特)称命题时，一是要改变量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．(2)要判断一个全称命题为真，则需对每一个对象进行判断，而要判断全称命题为假，则只需找到一个对象使命题不成立即可；对于特称命题，若存在一个对象使命题为真，则特称命题为真．若要判断特称命题为假，则需对每一个对象判断为假．(3)形如p ∧q ，p ∨q ，¬p 命题的真假根据真值表判断.1．(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( C )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④(2)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__1__. 突破点拨(1)先判断命题p ，q 的真假，再根据真值表求解．(2)首先求出f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值，然后确定参数m 的取值范围，进而求其最小值．解析 (1)当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而¬p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而¬q 为真命题． 由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题； ③p ∧(¬q )为真命题；④(¬p )∨q 为假命题．故选C.(2)由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1. 【变式考法】 本例(2)变为：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≥m ”是真命题，则实数m 的最大值为__0__.解析 由已知可得m ≤tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最小值为f (0)＝tan 0＝0，由不等式恒成立可得m ≤0，即实数m 的最大值为0.2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则¬p 为( C ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析 根据特称命题的否定为全称命题，知¬p ：∀n ∈N ，n 2≤2n ，故选C. 突破点拨先改变量词，再否定结论．(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．(2)判断命题的真假要先明确命题的构成，由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．集合的运算和命题真假的判断问题【预测】(1)已知集合M ＝⎩⎨⎭⎬x ⎪⎪y ＝lg ⎝⎛⎭⎫1－1x 和集合N ＝{y |y ＝x 2＋2x }，则(∁R M )∩N ＝( )A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1≤x ≤0}D ．{x |x ≥－1}(2)下列选项中说法正确的是( )A ．“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要条件B ．若向量a ，b 满足a·b>0，则a 与b 的夹角为锐角C ．若am 2≤bm 2，则a ≤bD ．“∃x 0∈R ，x 20－x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”思维导航(1)明概念—明确集合的元素特征和意义． ↓定元素—通过解不等式或求函数的值域确定元素． ↓定结果—由数形结合(数轴或韦恩图)求出结果． (2)明概念—明确命题中的语言及信息． ↓明是非—用验证、排除、特殊值方法对命题真假进行判断． ↓定结果—作出选择．规范解答(1)由题意，得M ＝{x |x <0或x >1}，N ＝[－1，＋∞)， ∴∁R M ＝{x |0≤x ≤1}，(∁R M )∩N ＝{x |0≤x ≤1}，故选A.(2)A 项中，若命题p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，若命题p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真，故“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要条件；B 项中，设a 与b 的夹角为θ，由a·b ＝|a|·|b|·cos θ>0，得cos θ>0，故θ为锐角或θ＝0，故B 项不正确；C 项中，若am 2≤bm 2，m ＝0，则不能推出a ≤b ，故C 项不正确；D 项中，“∃x 0∈R ，x 20－x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x >0”，故D 项不正确．故选A.答案 (1)A (2)A【变式考法】 (1)(2017·河南高三测试)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |lg(x －2)≤1}，则(∁R A )∪B ＝( D )A ．(－1,12)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．[－1,12](2)(2017·重庆模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( D )A ．甲、乙两人的数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C ．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分 解析 (1)∵A ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x >3或x <－1}， B ＝{x |lg(x －2)≤1}＝{x |0<x －2≤10}＝{x |2<x ≤12}， ∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}，∴(∁R A )∪B ＝{x |－1≤x ≤12}．故选D.(2)由于命题q ：乙的数学成绩低于100分，因此¬q ：乙的数学成绩不低于100分．所以p ∨(¬q )：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.1．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.故选B.2．(考点聚焦)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( B )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析 ∵A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x <a }，A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∴a ≥3. 3．已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“(a ＋1)2＋b ≥0”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 若b ≥0，又(a ＋1)2≥0，所以(a ＋1)2＋b ≥0；反之则不一定成立，比如(6＋1)2＋(－1)≥0，但b ＝－1<0，所以是充分条件，但不是必要条件．故选A.4．在四边形ABCD 中，“存在λ∈R ，使得AB →＝λDC →，AD →＝λBC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 存在λ＝1∈R ，使得AB →＝DC →，AD →＝BC →，则四边形ABCD 为平行四边形．反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则存在λ＝1满足题意，故选C.5．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件为( B )A ．m >1且n <1B ．mn <0C ．m >0且n <0D ．m <0且n <0解析 由y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、三、四象限，知－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.6．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( D ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0解析 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”，故选D.7．(误中有悟)下列说法错误的是( D )A ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”B ．若命题“¬p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题C ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1<0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0D ．“sin θ≠12”是“θ≠π6”的必要不充分条件解析 命题的否命题应同时否定条件和结论，所以选项A 正确．因为命题“¬p ”是真命题，所以p 是假命题；又因为命题“p ∨q ”是真命题，所以命题q 一定是真命题，否则，“p ∨q ”也是假命题，所以选项B 正确．根据特称命题的否定的规则“改量词，否结论”可知选项C 正确．判断“sin θ≠12”是否是“θ≠π6”的必要不充分条件，即判定“θ＝π6”是否是“sin θ＝12”的必要不充分条件．因为sin π6＝12，但sin θ＝12⇔θ＝2k π＋π6(k ∈Z )或θ＝2k π＋5π6(k ∈Z )，所以“θ＝π6”是“sin θ＝12”的充分不必要条件，选项D 错误．故选D.8．已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A ，则集合A ＝__{a 2，a 3}__(用列举法表示)．解析 因为若a 1∈A ，则a 2∈A ，所以由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．9．已知甲：a ＋b ≠4，乙：a ≠1且b ≠3，则甲是乙的__既不充分也不必要__条件． 解析 因为a ＝1或b ＝3⇒/ a ＋b ＝4，且a ＋b ＝4⇒/ a ＝1或b ＝3，所以“a ＝1或b ＝3”是“a ＋b ＝4”的既不充分也不必要条件．由原命题与逆否命题等价可知，“a ＋b ≠4”是“a ≠1且b ≠3”的既不充分也不必要条件．10．(书中淘金)给出下列命题：①命题：“存在x 0>0，使sin x 0≤x 0”的否定是：“对任意x >0，sin x >x ”； ②函数f (x )＝sin x ＋2sin x(x ∈(0，π))的最小值是22； ③在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 是等腰或直角三角形； ④若直线m ∥直线n ，直线m ∥平面α，那么直线n ∥平面α. 其中正确的命题是__①③__.解析 易知①正确；②中函数f (x )＝sin x ＋2sin x (x ∈(0，π))，令t ＝sin x ，则g (t )＝t ＋2t ，t∈(0,1]为减函数，所以g (t )min ＝g (1)＝3，故②错误；③中由sin 2A ＝sin 2B ，可知2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，故③正确；④中直线n 也可能在平面α内，故④错误．1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，B ＝{x |log 2x <1}，则A ∩B ＝( B ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |0<x <2}D ．{x |－1<x <2}解析 ∵A ＝{x |x 2<1}＝(－1,1)，B ＝{x |log 2x <1}＝(0,2)， ∴A ∩B ＝(0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的子集个数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．16解析 B ＝{1，2，3，2}，∴A ∩B ＝{1,2}，∴A ∩B 的子集个数为22＝4.故选C. 3．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是( D )A ．[－1,1]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)解析 由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1)．故选D.4．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎣⎡⎭⎫34，43 C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0，且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.故选B. 5．若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( C )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝0，则a2＋b2＝a＋b，两边平方解得ab＝0，故a，b至少有一个为0，不妨令a＝0，则可得|b|－b＝0，故b≥0，即a与b互补；而当a与b互补时，易得ab＝0.此时a2＋b2－a－b＝0，即φ(a，b)＝0.故φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．6．若命题p：∀x∈[1,2]，x2≥a；命题q：∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p∧q 是真命题，则实数a的取值范围为(C)A．(－∞，－2]B．(－2,1)C．(－∞，－2]∪{1}D．[1，＋∞)解析若命题p为真，则(x2)min≥a，而当x＝1时，(x2)min＝1，故a≤1；若命题q为真，则Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≤－2或a≥1；若命题p∧q是真命题，则p，q均为真命题，故{a|a≤1}∩{a|a≤－2或a≥1}＝(－∞，－2]∪{1}．7．(2017·河北石家庄模拟)对于非空集合A，B，定义运算A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a，b，c，d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M⊕N＝(D)A．(a，d)∪(b，c)B．(c，a)∪(d，b)C．(c，a]∪[b，d)D．(a，c]∪[d，b)解析由a＋b＝c＋d，ab<cd<0，a<b，c<d，知a<c<0，b>d>0，如图．故由新定义知M⊕N＝(a，c]∪[d，b)．8．已知命题p ：a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件，命题q ：存在x 0∈R ，使x 20＋x 0－2>0.下列命题正确的是( C )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(¬q )是真命题C ．命题(¬p )∧q 是真命题D ．命题(¬p )∧(¬q )是真命题 解析 对于p ，当a ＝1时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，在x >0时恒成立；反之，若x >0，x ＋a x≥2恒成立，则2x ·a x ≥2，即a ≥1，可得a ≥1.因此，a ＝1是x >0，x ＋ax≥2的充分不必要条件，命题p 是假命题．对于q ，因为在x 0<－2或x 0>1时，x 20＋x 0－2>0成立，所以“存在x 0∈R ，使x 20＋x 0－2>0”是真命题，即命题q 是真命题．综上，命题p 为假命题而命题q 为真命题，所以命题(¬p )∧q 是真命题．9．(2017·山东荷泽一模)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B ＝( C )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 ∵A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]， B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)， ∴∁R A ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)， ∴(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)．10．(2017·广东深圳模拟)设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5}，在S 上定义运算“⊕”为A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j 可取0,1,2,3,4,5，则满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 根据定义有A 2⊕A 2＝A 0，则知有x ⊕x ＝A 2成立，可得x ＝A 1或A 3或A 5，有3个． 11．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则¬p 为( B ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0解析 ∵命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，是一个全称命题，∴¬p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0.12．如图所示的程序框图，已知集合A＝{x|x是程序框图中输出的x的值}，集合B＝{y|y 是程序框图中输出的y的值}，全集U＝Z，Z为整数集．当输入的x＝－1时，(∁U A)∩B＝(D)A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}C．{3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}解析根据程序框图所表示的算法，可知框图中输出的x值依次为0,1,2,3,4,5,6；y值依次为－3，－1,1,3,5,7,9.于是A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，因此(∁U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．故选D.第2讲复数与算法①求共轭复数、模[例](2017·全国卷Ⅰ，3)(2016·全国卷Ⅰ，2)题型一 复数的概念与运算1．(1)满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( B )A.12＋12i B ．12－12iC ．－12＋12iD ．－12－12i(2)(2017·江西重点中学联考)若复数z ＝1＋i1－i ，z 为z 的共轭复数，则(z )2 017＝( B )A ．iB ．－iC ．－22 017iD ．22 017i突破点拨(1)直接解方程，求出z ，再化简即可． (2)先化简z ，再利用i 的周期性求解即可．解析 (1)因为z ＋iz＝i ，所以z ＋i ＝z i ，所以i ＝z (i －1)，所以z ＝ii －1＝i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝1－i 2＝12－i 2.(2)∵z ＝1＋i1－i ＝i ，∴z ＝－i ，从而(－i)2 017＝－i 2 017＝－i.故选B.【变式考法】 (1)本例(1)中条件变为z ＋iz －＝1＋i ，则复数z ＝__1__.(2)(2017·安徽“江南十校”联考)设i 是虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i 2 017，则复数z 的虚部为( C )A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析 (1)由z ＋iz ＝1＋i ，得z ＋i ＝z (1＋i)，令z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z ＝a －b i ， 则a ＋b i ＋i ＝a ＋b ＋(a －b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a ＋b ，b ＋1＝a －b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以z ＝1.(2)由题意得，z ＝1＋i i＝1－i ，其虚部为－1.故选C.2．(1)(2017·湖北武汉起点考试)i 为虚数单位，则11＋i ＝( A )A.1－i 2B ．－1＋i 2C ．1＋i 2D ．12(2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2突破点拨(1)直接化简得出结果．(2)先将已知等式左边用复数的乘法法则化简，然后利用复数相等的定义求解． 解析 (1)11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 1－i 2＝1－i 2，故选A.(2)∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ⇒4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0，a 2－4＝－4，解得a ＝0. 题型二 程序框图高考中常从以下角度命题：1．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝(B)A．2B．3C．4D．5突破点拨逐次运行，直到不满足循环条件时，输出S，结束程序．解析当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环．故选B.2．(1)根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(C)A ．25B ．30C ．31D ．61(2)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__7__.突破点拨(1)理解程序语句的功能即求分段函数的值． (2)厘清程序语句的含义即伪代码运行3次．解析 (1)由题意知，该算法语句的功能是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x >50的值，所以当x ＝60时，输出y 的值为25＋0.6×(60－50)＝31，故选C.(2)该伪代码运行3次，故输出的S 为7.程序框图的解题策略(1)注意直到型循环和当型循环的本质区别，直到型循环是先执行再判断，直到条件满足才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．(2)循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等． (3)对于程序语句运行的输出值的求解问题，关键是理解算法语句的功能进而求解．程序框图与统计知识的交汇问题为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是()图1图2A．6B．10C．91D．92思维导航明算法——统计的是数学成绩大于或等于90的人数．↓准计算——根据茎叶图精确计算出满足条件的人数．↓下结论——依据上述计算结果，选择正确答案．规范解答由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图可知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10，故选B.答案B【变式考法】(2017·山东青岛调考)图①是某市参加2016年高考学生的身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)，图②是统计图①中身高在一定范围内的学生人数的程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm不含180 cm)的学生人数，那么空白的判断框内应填写的条件是(C)①②A．i<6？B．i<7？C．i<8？D．i<9?解析执行程序：s＝A4，i＝5；s＝A4＋A5，i＝6；s＝A4＋A5＋A6，i＝7；s＝A4＋A5＋A6＋A7，i＝8，此时，需结束程序，i不满足i＜8.故选C.1．(教材回归)复数i(2－i)＝(A)A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i解析i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，故选A.2．(2017·湖南长沙一模)在复平面xOy内，复数z＝a＋b i(a，b∈R)，且a＋b＝1.①z可能为实数；②z不可能为纯虚数；③若z的共轭复数为z，则z·z＝a2＋b2；④|z|的最小值为 2.则上面命题中，真命题的个数为(C)A．4B．3C．2D．1解析当b＝0时，z为实数；当a＝0时，z为虚数．故①为真命题，②为假命题．因为z＝a＋b i，所以z·z＝(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2，故③为真命题．|z|＝a2＋b2≥2·a＋b2＝22，故④为假命题．故选C.3．若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝(A)A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i 解析z＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i.故选A.4．(教材回归)设复数z满足1＋z1－z＝i，则||z＝(A)A．1B．2 C.3D．2解析 由已知1＋z 1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝－2i－2＝i ，所以|z |＝|i|＝1，故选A.5．已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( D )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析 z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.故选D.6．执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( C )A ．5B ．6C ．7D ．8解析 第一次循环：S ＝1－12＝12，m ＝14，n ＝1，S >t ；第二次循环：S ＝12－14＝14，m ＝18，n ＝2，S >t ；第三次循环：S ＝14－18＝18，m ＝116，n ＝3，S >t ；第四次循环：S ＝18－116＝116，m ＝132，n ＝4，S >t ；第五次循环：S ＝116－132＝132，m ＝164，n ＝5，S >t ；第六次循环：S ＝132－164＝164，m ＝1128，n ＝6，S >t ；第七次循环：S ＝164－1128＝1128，m ＝1256，n ＝7，此时不满足S >t ，结束循环，输出n ＝7，故选C.7．(考点聚焦)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( C )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？解析 k ＝2，s ＝12；k ＝4，s ＝12＋14＝34；k ＝6，s ＝12＋14＋16＝1112；k ＝8，s ＝12＋14＋16＋18＝2524. 此时循环结束，所以判断框中可填入的条件是s ≤1112？，故选C.8．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( B )A ．－10B ．6C ．14D ．18解析 执行程序：S ＝20，i ＝1，i ＝2，S ＝20－2＝18；i ＝4，S ＝18－4＝14；i ＝8，S ＝14－8＝6，满足i >5的条件，结束循环，输出S 的值为6，故选B.9．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( C )A ．s ＞12？B ．s ＞35？C ．s ＞710？D ．s ＞45？解析 第一次执行循环；s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环；s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除D 项；第三次执行循环；s ＝810×78＝710，k ＝6，正是输出的结果，故这时程序不再满足条件，结束循环，而A 项和B 项都满足条件，故排除A 项和B 项，故选C.10．(数学文化)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( B )A ．0B ．2C ．4D ．14解析 开始：a ＝14，b ＝18，第一次循环：a ＝14，b ＝4；第二次循环：a ＝10，b ＝4；第三次循环：a ＝6，b ＝4；第四次循环：a ＝2，b ＝4；第五次循环：a ＝2，b ＝2，此时a ＝b ，退出循环，输出a ＝2.故选B.1．设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( C )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析 i 3－2i＝－i ＋2i ＝i.故选C.2．已知i 为虚数单位，z i ＝2i －z ，则复数z 在复平面内对应的点位于( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 由题可得，z (i ＋1)＝2i ，∴z ＝2ii ＋1＝1＋i ，∴z 在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．故选A.3．(2017·安徽合肥调研)在复平面内，复数z 和2i2＋i 表示的点关于虚轴对称，则复数z＝( A )A ．－25＋45iB.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i解析 由2i 2＋i ＝2i (2－i )4＋1＝2＋4i 5，z 和2i 2＋i 表示的点关于虚轴对称，得z ＝－25＋45i.故选A.4．(2017·湖北鄂南高中检测)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( A ) A.2－12B.2－1 C ．1D.2＋12解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i 得， z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) ＝2－1＋(2＋1)i2＝2－12＋2＋12i ， 其实部为2－12，故选A. 5．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( B )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析 z 2－2z z －1＝(1＋i )2－2(1＋i )i ＝－2i ＝2i ，故选B.6．(2017·江西九江二模)若复数z 满足z ＋2z ＝3－2i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( A ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2z ＝(x ＋y i)＋2(x －y i)＝3x －y i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝3，－y ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴z ＝1＋2i ，故选A.7．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( A ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析 ∵⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i2＝－3－4i ， ∴－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4，∴a ＋b ＝－7，故选A. 8．i 为虚数单位，复数z ＝i 2 018＋i 2 017在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 2 018＝i 504×4＋2＝－1，i 2 017＝i 504×4＋1＝i ，∴复数z ＝－1＋i ，在复平面内对应的点为(－1,1)，在第二象限，故选B.9．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，∴必有a ＝0，b ≠0，而ab ＝0时，有a ＝0或b ＝0， ∴由a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，反之不成立．∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．10．(2017·广东广州一模)已知复数z ＝a ＋i2－i (i 为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是( A )A.⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫－12，2 C ．(－∞，－2)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 ∵z ＝a ＋i 2－i ＝(a ＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2a －1)＋(a ＋2)i5，∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2a －15，－a ＋25. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<0，－(a ＋2)<0，解得－2<a <12.11．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z ＝( D )A.45＋i B ．45－iC ．iD ．－i解析 因为z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )5＝5i5＝i ，所以z ＝－i ，故选D.12．已知z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( D ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析 对于A 项，∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，∴|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，A 项不正确；对于B 项，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故B 项不正确；对于C 项，∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 项不正确；对于D 项，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D 项正确．故选D.1．执行如图所示的程序框图，若输出的值是13，则判断框内应为( A )A ．k ＜6？B ．k ≤6？C ．k ＜7？D ．k ≤7?解析 依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1，c ＝2，a ＝1，b ＝2；进行第二次循环时，k ＝2，c ＝3，a ＝2，b ＝3；进行第三次循环时，k ＝3，c ＝5，a ＝3，b ＝5；进行第四次循环时，k ＝4，c ＝8，a ＝5，b ＝8；进行第五次循环时，k ＝5，c ＝13，a ＝8，b ＝13；进行第六次循环时，k ＝6，循环结束，因此当输出的值是13时，判断框内应为“k <6？”，故选A.2．(2017·山东济南联考)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图所示的是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n ＝( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 根据程序框图执行，a ＝5，b ＝2，n ＝1.第一次执行循环体：a ＝152，b ＝4，“a ≤b ”不成立，n ＝2；第二次执行循环体：a ＝454，b ＝8，“a ≤b ”不成立，n ＝3；第三次执行循环体：a ＝1358，b ＝16，“a ≤b ”不成立，n ＝4；第四次执行循环体：a ＝40516，b ＝32，“a ≤b ”成立．跳出循环体，输出n ＝4.3．(2017·四川成都二模)在如图所示的程序框图中，若输出的值为3，则输入的x 的取值范围为( A )A ．(4,10]B ．(2，＋∞)C ．(2,4]D ．(4，＋∞)解析 设输入x ＝a ，第一次执行循环体后，x ＝3a －2，i ＝1，不满足退出循环体的条件；第二次执行循环体后，x ＝9a －8，i ＝2，不满足退出循环体的条件；第三次执行循环体后，x ＝27a －26，i ＝3，满足退出循环体的条件，故9a －8≤82，且27a －26>82，解得a ∈(4,10]．4．执行如图所示的程序框图，则输出的值为( D )A ．－12B ．12C ．－1D ．0解析 依题意，执行题中的程序框图，最后输出的是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos n π3的前2 016项和．注意到数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos n π3是以2π÷π3＝6为周期的数列，且2 016＝6×336，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos n π3的前六项和等于0，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos n π3的前2 016项和等于336×0＝0.故选D.5．运行如图所示的程序框图，输出的数称为“水仙花数”(算术符号MOD 表示取余数，如11 MOD 2＝1)．下列说法正确的个数是( C )①“水仙花数”是三位数；②152是“水仙花数”；③407是“水仙花数”． A ．0B ．1C ．2D ．3解析 程序框图的含义是：a 表示一个数的个位数，b 表示其十位数，c 表示其百位数．“水仙花数”是指该数中各个数位上数字的立方和等于本身的数．由程序框图可得：100≤m ＝i ≤999，∴①正确；13＋53＋23≠152，∴②不正确；407＝43＋03＋73，∴③正确．因此说法正确的有2个．6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为( D )A ．3B ．－6C ．10D ．－15解析 第一次循环，得到S ＝0－12＝－1，i ＝2；第二次循环，得到S ＝－1＋22＝3，i ＝3；第三次循环，得到S ＝3－32＝－6，i ＝4；第四次循环，得到S ＝－6＋42＝10，i ＝5；第五次循环，得到S ＝10－52＝－15，i ＝6，跳出循环，输出S ＝－15.故选D.7．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( B )A ．2B ．13C ．－3D ．－12解析 由程序框图知：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1＋⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－12＝13，i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5；…，可知S 的周期为4，当i ＝2 016＝4×504时，结束循环，输出S ，即输出的S ＝13，故选B.8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( A )A ．a ＝4B ．a ＝5C ．a ＝6D ．a ＝7解析 由题意知S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1＋1－15＝95，所以a ＝4.故选A.9．执行如图所示的程序框图，任意输入一次x (0≤x ≤1)与y (0≤y ≤1)，则能输出数对(x ，y )的概率为( B )A.14 B ．12C.23D ．34解析 依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1表示的平面区域的面积等于1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，y ≤x表示的平面区域的面积等于12，因此所求的概率等于12，故选B.10．(2017·湖北宜昌质检)机器人AlphaGo(阿尔法狗)在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的．这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响．下面的算法是寻找“a1，a2，…，a10”中“比较大的数t”．现输入正整数“42,61,80,12,79,18,82,57,31,18”，从左到右依次为a1，a2，…，a10，其中最大的数记为T，则T－t＝(D)A．0B．1C．2D．3解析当i＝1时，m＝a1＝42，t＝a2＝61，n＝a3＝80，不满足条件；当i＝2时，m＝a2＝61，t＝a3＝80，n＝a4＝12，不满足条件；当i＝3时，m＝a3＝80，t＝a4＝12，n＝a5＝79，不满足条件；当i＝4时，m＝a4＝12，t＝a5＝79，n＝a6＝18，满足条件，终止循环，输出t ＝79.∵T＝82，∴T－t＝82－79＝3，故选D.11．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的(A)A．c＞x？B．x＞c?C．c＞b？D．b＞c?解析由于要取a，b，c中最大的数，所以输出的x应当是a，b，c中最大的数，结合题意和各项知选A.12．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为__55__.S←0For I From1To10S←S＋IEnd ForPrint S解析S＝1＋2＋3＋…＋10，所以输出的S的值为55.。
高考数学复习：集合与常用逻辑用语
数
二 轮
4．全(特)称命题及其否定
学
复 习
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：____∃_x_0∈__M__，__¬_p_(_x_0)____．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x)．它的否定¬p：___∀__x_∈__M_，__¬_p_(_x_)____．
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专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
A．{0}
B．{1}
二
C．{1,2}
D．{0,1,2}
轮
复 习
[解析] ∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．
(C)
数 学
故选C．
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专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
9．(文)(2017·全国卷Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则
学
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专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
[解析] ∵f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，
∴2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0．
二
故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立．
进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定．
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专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、推理与证明、不等式
1．(文)(2019·全国卷Ⅰ，2)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝
{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝ A．{1,6}
高考数学公式100组一级核心公式
高考数学核心公式100组一级核心公式高考数学·一级核心公式100组一、集合、复数与常用逻辑用语1.复数的四则运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R；加法：a+b i+c+d i=(a+c)+(b+d)i；减法：a+b i−（c+d i）=(a−c)+(b−d)i；乘法：+⋅(+p=(−p+(+p；=；2.复数的模长设复数z＝a＋b i；模长|z|＝|a＋b i|＝a2＋b2(a，b∈R)，其中2=−1。
3.全称命题与存在命题的否定全称命题：∀x∈M，p(x)的否定为：∃x∈M，非p(x)。
存在性命题：∃x∈M，q(x)的否定为：∀x∈M，非q(x)。
二、不等式4.均值不等式公式均值不等式公式为：ab≤a＋b2，均值不等式成立的使用条件为：(1)一正：a>0，b>0.(2)二定：当ab或a+b为定值时，可以使用，即ab为常数时，可求得a+b的最小值；a+b为常数时，可求得ab的最大值。
(3)三相等：当且仅当a＝b时，等号可以取到。
5.均值不等式的重要推导公式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)ba＋ab≥2(a，b同号).(3)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R).(4)将平方和与和的平方联系起来的不等式公式是：(a+b)2≤2（a2＋b2)22ln ln 112222b a ba b a b a ab ba b a ab +≤+≤--≤≤+=+≤≤≤≤平方平均数算数平均数对数平均数几何平均数调和平均数不等式串是指：6.不等式串/链公式7.分式型不等式的解法()()0()()0()()00()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；()()0()()0()()0;0()0()()f xg x f x f x f x g x g x g x g x ≤⎧<⇔<≤⇔⎨≠⎩三、函数与导数8.常见5类函数定义域的要求类型x 满足的条件2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥01f (x )与[f (x )]0f (x )≠0log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x )f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z9.二次函数的三种表达形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n(a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．10.指数函数、对数函数、幂函数指数函数表达式为：y ＝a x (a >0，a ≠1)，当a >1时，单调递增，当0<a <1时，单调递减，横过定点(0,1)。
高考数学专题01-集合、常用逻辑用语与复数(原卷版)
《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》第一章 集合、常用逻辑用语与复数1.集合的运算，五年五考.高考对集合基本运算的考查，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．常见选择题.2. 充要条件，五年五考.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．3.复数的概念运算，五年三考（近三年）.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的模、共轭复数等概念.一．选择题1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．【浙江省台州市2019届高三4月调研】若全集，集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．3．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B ⋂=（ ） A ．[2,3]B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}4．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知集合 A ＝{1，2，－1}，集合 B ＝{y | y ＝x 2，x∈A}，则A∪B＝（ ） A ．{1} B ．{1，2，4}C ．{-1，1，2，4}D ．{1，4}5．【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知集合，则（ ）. A ．B ．C ．D ．6．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】如果全集，，，则A ．B ．C ．D ．8．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】若集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．9．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】设集合11{|}22M x x =-<<，2{|}N x x x =≤，则M N ⋂=（ ）A ．1[0,)2B ．1(,1]2-C ．1[1,)2-D ．1(,0]2-10．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b >-B ．1a b >+C ．a b >D ．22a b > 11．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知条件p ：，条件，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 12．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知平面 ，直线满足，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 14．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知平面，直线，若，，，则“”是“中至少有一条与垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知a ，b 都是实数，那么“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18. 【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 19.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 20．【浙江省七彩联盟2019届高三上期中】设，则“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件21. 【浙江省2019届高考模拟卷（一)】已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22. 【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知平面，直线满足，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件23．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．24．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限25．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】已知i是虚数单位，复数z满足2(1)1iiz-=+，则z=（）A．2B．2 C．1 D．526．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知i是虚数单位，则等于（）A．1 -i B．1 +i C．- 1 - i D．- 1＋i27．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】己知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二.填空题28．【浙江省宁波市2019届高三上期末】设为虚数单位，给定复数，则的虚部为___；模为___29．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知复数z 的共轭复数，则复数z 的虚部是______，______．30．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知复数z 满足(12)34i z i +=-，i 为虚数单位，则z 的虚部是_____，z =_____．。
2020年高考数学(理)总复习：集合与常用逻辑用语(原卷版)
2020年高考数学（理）总复习：集合与常用逻辑用语题型一 集合的概念、基本关系与基本运算 【题型要点】解答集合的概念、关系及运算问题的一般思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合．(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解，此时常用到以下技巧： ①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若已知的集合是点集，用数形结合法求解； ③若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 易错提醒：注意元素的互异性及空集的特殊性．【例1】已知集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-021x x x，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1)C ．(－1,1)D ．[－1,1]【例2】．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【例3】．已知集合A ＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛121x x ，B ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2≤x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |x ≤－2}题组训练一 集合的概念、基本关系与基本运算1．若全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )2．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．2B ．4C ．8D ．163．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．题型二 命题真假的判断与否定 【题型要点】 命题真假的判定方法(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称(存在性)命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．【例4】已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i ，则下列为真命题的是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q【例5】．下列说法错误的是( )A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”【例6】．已知：命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题：q ∶∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④题组训练二 命题真假的判断与否定1．已知命题p ：若a ，b 是实数，则a ＞b 是a 2＞b 2的充分不必要条件；命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2＞3x ” 的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2＜3x ”，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈p )D ．(綈p )∧(綈q ) 2．已知命题P ：对任意的x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题Q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．题型三 充分必要条件的判断 【题型要点】判断充分、必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：綈p 是綈q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件；綈p 是綈q 的充要条件⇔p 是q 的充要条件．【例7】设函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例8】．“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例9】已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x －e －x ＋lg(x ＋x 2＋1)，a ，b 都是实数，若p ：a ＋b ＜0，q ：f (a )＋f (b )＜0，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题组训练三 充分必要条件的判断1．设θ∈R ，则“1212ππθ<-”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给出下列命题：①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”是“ab >1”的充分条件； ②已知平面向量a ，b ，“|a |>1，|b |>1”是“|a ＋b |>1”的必要不充分条件； ③已知a ，b ∈R ，“a 2＋b 2≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件；④命题P ：“∃x 0∈R ，使e x 0≥x 0＋1且ln x 0≤x 0－1”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，都有e x <x ＋1且ln x >x －1”．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．已知a 、b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四 全称特称命题的否定 【题型要点】 全(特)称命题的否定全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定．【例10】已知命题：p ∶∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0， C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0【例11】．命题“存在x 0＞1，x 20＋(m －3)x 0＋3－m ＜0”为假命题．则m 的取值范围是________．题组训练四 全称特称命题的否定1．若命题p ∶∀x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x >sin x ，则命题綈p 为( ) A ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≥sin x 0 C ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-∞-2,π∪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2π，tan x 0>sin x 0 2．命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2019＞0”的否定是________．【专题训练】 一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个C ．4个2．已知集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |2x ＞2}，则A ∩B ＝( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21D.⎪⎭⎫⎝⎛-1,21 3．给出下列四个结论：①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素； ④集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x Qx 6是有限集． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．已知方程(x 2－6x ＋b 1)(x 2－6x ＋b 2)(x 2－6x ＋b 3)＝0的所有解都为自然数，其组成的解集为A ＝{x 1，x 2，x 3，x 4，x 5}，则b 1＋b 2＋b 3的值不可能为( )A ．13B ．14C ．17D ．225．“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x ＞2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 48．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．对于下列说法正确的是( ) A ．若f (x )是奇函数，则f (x )是单调函数B ．命题“若x 2－x －2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－x －2＝0”C ．命题p ：∀x ∈R,2x ＞1024，则綈p ：∃x 0∈R ，2x 0＜1024D ．命题“∃x ∈(－∞，0)，2x ＜x 2”是真命题 10．给出下列五个结论：①回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧一定过样本中心点(x ，y )；②命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，使得x 20－3x 0－2≤0”； ③将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向右平移π6后，所得到的图象关于y 轴对称；④∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋1是幂函数，且在(0，＋∞)上递增；⑤函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ·|log 2x |－1，x ＞0恰好有三个零点．其中正确的结论为( ) A ．①②④ B ．①②⑤ C ．④⑤D ．②③⑤11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 2－1，x ＞0，则“f (f (a ))＝1”是“a ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．关于函数f (x )＝x 2(ln x －a )＋a ，给出以下4个结论：①∃a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0；②∃a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0；③∀a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0；④∀a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．已知命题p ∶m ∈R ，且m ＋1≤0；命题q ∶∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是__________．14．设有两个命题，p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，且a ≠1)的解集是{x |x ＜0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．15．将集合M ＝{1,2,3，...,15}表示为它的5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为________；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集__________(只写出一组)。
高考专题复习—集合与常用逻辑用语 第一讲+第二讲(解析版)
高考专题复习—集合与常用逻辑用语（解析版）➱第一讲集合◎基础巩固1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N ＋Z Q R(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③韦恩图.2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B(或B⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B 或B A集合相等集合A ，B 中的元素相同或集合A ，B 互为子集A ＝B3.集合的基本运算基本运算并集交集补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示数学语言{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }运算性质A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A；A ∪B ＝B ∪A .A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A；A ∩B ＝B ∩A .A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A.1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)∅＝{0}．()(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N＋⊆Z.()(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：D[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：B[由题意可得：A∩B＝{2,4}，故选B.]3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2,5}，则(∁U A)∪B＝()A．{3,4,5}B．{2,3,5}C．{5}D．{3}解析：B[因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，所以∁U A＝{3,5}，又B＝{2,5}，所以(∁U A)∪B＝{2,3,5}．] 4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.解析：∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.答案：(－∞，1]5．(教材改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝___________________.答案：{2,4}◎考点探究考点一集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为()A ．9B ．8C ．5D ．4解析：A[∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1；所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝()A.92B.98C ．0D ．0或98解析：D[若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2019＝________.解析：由M ＝N ＝1，2n ＝m ＝m ，2n ＝1，＝0，＝12，＝2.∴(m －n )2019＝－1或0.答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二集合间的基本关系(师生共研)[典例](1)已知集合A ＝{x |ax ＝1},B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是()A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．[解析](1)由题意，得B ＝{－1,1}，因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1.又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．＋1≥－2m －1≤7＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.[答案](1)D (2){m |m ≤4}[互动探究]本例(1)中若A ＝{x |ax >1(a ≠0)}，B ＝{x |x 2－1>0}，其它条件不变，则a 的取值范围是________.解析：由题意，得B ＝{x |x >1，或x <－1}，对于集合A ，①当a >0时，A |x >1a因为A ⊆B ，所以1a ≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A |x <1a因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0.答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．[跟踪训练](1)若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解析：∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素，即方程ax 2＋ax ＋1＝0只有一个根．当a ＝0时方程无解．当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝4.故a ＝4.答案：4(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )．由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.答案：4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1．(文科)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝()A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A[根据集合交集中元素的特征，可以求得A ∩B ＝{0,2}，故选A.]2．(文科)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则()A ．A ∩B |x B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B |xD ．A ∪B ＝R解析：A[由3－2x ＞0得x ＜32，所以A ∩B ＝{x |x ＜2}|x |x ，故选A.][命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3．(文科)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{x |2＜x ＜5}，则A ∩(∁R B )等于()A ．{2,3,4,5}B ．{1,2,5,6}C ．{3,4}D ．{1,6}解析：B[因为∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥5}，A ＝{1,2,3,4,5,6}；所以A ∩(∁R B )＝{1,2,5,6}．][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝()A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：C[由题意知x ＝1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，代入解得m ＝3，所以x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，从而B ＝{1,3}．]5．已知集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |1≤x ≤2}，且A ∪∁R B ＝R ，则实数a 的取值范围是________.解析：∁R B ＝{x |x ＜1，或x ＞2}，要使A ∪(∁R B )＝R ，则a ≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．考点四集合的新定义问题(师生共研)数学抽象——集合新定义中的核心素养以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．[典例]设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个B．4个C．5个D．6个[解析]C[由36－x2＞0可解得－6＜x＜6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．]解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．[跟踪训练]定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4}D．{x|2≤x≤4}解析：B[A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．]◎课时作业[基础训练组]1．已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，则A ∩B ＝()A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}解析：C[A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，∴A ∩B ＝{3,5}，故选C.]2．集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}，则P ∩M ＝()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x ＜3}D ．{x |0≤x ≤3}解析：C[集合P ＝{x |0≤x ＜3}，M ＝{x ||x |≤3}＝{x |－3≤x ≤3}，则P ∩M ＝{x |0≤x ＜3}．]3．如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩∁I SD ．(M ∩P )∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4．满足{2018}⊆A {2018,2019,2020}的集合A 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C[满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A 可得：A ＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}．因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C[因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝()A.0B ．(－∞，0)∪12，＋∞D ．(－∞，0]∪12，＋∞解析：D[A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}A ∩B所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪12，＋7．已知A ＝[1，＋∞)，B ∈R |12a ≤x ≤2a －A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是()A ．[1，＋∞) B.12，1 C.23，＋∞D ．(1，＋∞)解析：A[因为A ∩B ≠∅a －1≥1，a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]8．函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝()A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D[使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0>0＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．[能力提升组]13．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是()A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B[当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ，12，－3个元素．]15．若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．解析：由题意知，方程(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R，有一个根，∴当a＝1时满足题意，当a≠1时，Δ＝0，即9＋8(a－1)＝0，解得a＝－18.答案：1或－1816．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x人，同时会打乒乓球和排球的学生有y人，同时会打排球和篮球的学生有z人，∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人，会打乒乓球或排球的学生有16人，会打篮球或打排球有22人，∴x＋y＋z＝24＋16＋22－40＝22.∴该班会其中两项运动的学生人数是22.答案：22➱第二讲命题、充分条件与必要条件◎基础巩固1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件.1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性，互逆的或互否的两个命题真假性没有关系．2．若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()(3)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×[小题查验]1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：A[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．] 2．给出命题：“若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：D[原命题显然正确，其逆命题为：若x＝y＝0，则x2＋y2＝0，显然也是真命题，由四种命题之间的关系知，其否命题、逆否命题也都是真命题.故选D.]3．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：B[直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝14．(教材改编)已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为_________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤05．下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中正确命题的序号是________.解析：对于①，∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④◎考点探究考点一命题的四种形式及其关系(自主练透)[题组集训]1．命题p：若a＞b，则a－1＞b－1，则命题p的否命题为()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a≥b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：C[根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q，否命题为：若非p，则非q.∵原命题为：若a＞b，则a－1＞b－1，∴否命题为：若a≤b，则a－1≤b－1，故选C.]2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：C[根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.]3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1]充分、必要条件的判定1．设p∶0＜x＜1，q∶2x≥1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[q∶2x≥1，解得x≥0.又p∶0＜x＜1，则p是q的充分不必要条件．]2．函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p∶f′(x0)＝0，q∶x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：C[函数在x＝x0处有导数且导数为0，x＝x0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x＝x0为函数的极值点，则函数在x＝x0处的导数一定为0，所以p是q的必要不充分条件．]3．已知向量a＝(－2，m)，b m∈R，则“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：B[∵a＝(－2，m)，b m∈R，∴a＋2b＝(4,2m)若a⊥(2a＋2b)，则－8＋2m2＝0，解得m＝±2，故“a⊥(a＋2b)”是“m＝2”的必要不充分条件．]命题的充分、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与非B⇒非A，B⇒A与非A⇒非B，A⇔B与非B⇔非A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[命题角度2]利用充要条件求参数的取值(范围)逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．4．已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.[破题关键点]若p是q成立的充分不必要条件，则{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，即转化为相对应的集合间的基本关系来求实数a的取值范围．解析：由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x<a，由题意，得{x|－2≤x≤10} {x|x>a＋1，或x<a}，所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10.答案：(－∞，－3)∪(10，＋∞)[互动探究]本例中，若p：－2<x<10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是______.解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2<x<10} {x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．◎课时作业[基础训练组]1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是()A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：D[写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．]2．设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数y ＝log a (x －1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1，因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．]3．“m ＝1”是“圆C 1：x 2＋y 2＋3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 2“x 2＋y 2＝4的相交弦长为23”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x ＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3x ＋4y ＋m ＋4＝0的距离d＝|m ＋4|5＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.4．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)解析：D[由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10；又q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.]5．若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是()A ．[1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析：C[由x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2，若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]6．a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]7．“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[因为函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31＋m －33＞0，即m ＋1＞32，解得m ＞12，故“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m －33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.]8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是()A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B[若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.]9．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．答案：①10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B.答案：充要11．若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．解析：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2，若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p |12≤x ≤由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．非p 对应的集合A |x ＞1或x q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是0，12.答案：0，12[能力提升组]13祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A[设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]14．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是()A.－2，－12B.12，2C ．[－1,2]，12∪[2，＋∞)解析：C [由4x －1≤－1，移项得4x －1＋1≤0，通分得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a －3)＝－a 2＋a ＋6≥0，1)＝－a 2＋a ＋2≥0，2＜a ＜31≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]15．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.答案：①④16．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ∶x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1.[a ，a ＋1]．≤12，＋1≥1，解得0≤a ≤12.答案：0，12。
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1-1-2 Word版含答案.doc
限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
2020年高考数学二轮复习易错重难点归纳-专题1 集合与常用逻辑用语
2020年高考数学二轮复习易错重难点归纳-专题1 集合与常用逻辑用语1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集.[回扣问题1]设集合()()(){}22,|3sin 3cos 1,A x y x y R ααα=+++=∈， (){},|34100B x y x y =++=，记P A B =⋂，则点集P 所表示的轨迹长度为（ ） A. 25 B. 27 C. 42 D. 43【答案】D2.遇到A ∩B ＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A ＝∅或B ＝∅；同样在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况.[回扣问题2] 【湖南省张家界市三模】已知集合{}|12M x x =-<<， {}2|0N x x mx =-<，若{}|01M N x x ⋂=<<，则m 的值为（ ）A. 1B. -1C. 1±D. 2 【答案】A【解析】由{}|12M x x =-<<，{}2|0N x x mx =-<，且{}|01M N x x ⋂=<<，得{}|01N x x =<<，又由20x mx -<，则必有0m >，且0x m <<，所以1m =.故选A.3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.[回扣问题3]设全集U 为实数集R ，集合(){|ln 32}A x y x ==-， ()(){|130}B y y y =--≤，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. ()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. [)3,+∞D. [)3,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A4.“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否命题p 的结论.[回扣问题4] 命题“若实数满足，则”的逆否命题是________命题（填“真”或者“假”）；否命题是________命题（填“真”或者“假”）．【答案】 假 真5.要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题5] (2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇔0<θ<π6⇒sin θ<12. 但θ＝0，sin θ<12，不满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，所以是充分而不必要条件.6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词.[回扣问题6] 已知命题:P “存在[)01,x ∈+∞，使得()02log 31x >”，则下列说法正确的是（ ） A. :P ⌝ “任意[)1,x ∈+∞，使得()02log 31x<” B. :P ⌝ “不存在[)01,x ∈+∞，使得()02log 31x<” C. :P ⌝ “任意[)1,x ∈+∞，使得()02log 31x≤” D. :P ⌝ “任意(),1x ∈-∞，使得()02log 31x≤”【答案】C7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.[回扣问题7] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是________.【答案】 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞。
2020高考数学(文科)新思维大二轮(教师课件)：集合、复数、常用逻辑用语
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6．若 p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现，即 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则关于充分条件、必要条件又可叙述为： (1)若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件． 7．若綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，则 p 是 q 的充分不必要条件；若綈 p 是綈 q 的充
则 z∈R 成立，故命题 p1 正确；对于命题 p2，设 z＝a＋bi(a，b∈R)，由 z2＝(a2－b2)
＋2abi∈R，得 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0，复数 z 可能为实数或纯虚数，故命题 p2 错误；
对于命题 p3，设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由 z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋
[自检练习]
1．离散型元素集合的运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则 B∩
∁UA＝( )
A．{1,6}
B．{1,7}
C．{6,7}
D．{1,6,7}
解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁UA＝{1,6,7}．又 B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁UA
答案：B
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考点一 考点二 考点三
4．集合的新定义问题
(1)若 x∈A，则1x∈A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M＝－1，0，12，13，2，3的所 有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
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考点三 栏目索引
考点三 常用逻辑用语
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1.(2019天津,3,5分)设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的( B ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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考点二 栏目索引
2.(2017山东,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+ 3 i,z· z =4,则a= ( A )
A.1或-1 B. 7 或- 7 C.- 3 D. 3
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答案 A ∵z· z =4,∴|z|2=4,即|z|=2. ∵z=a+ 3 i,∴|z|= a2 3,∴ a2 3=2,∴a=±1. 故选A.
答案 D 由题意得P={x|0<x<2},Q={y|1≤y≤3},∴P-Q={x|0<x<1}.故选D.
考点一 栏目索引
总结提升
集合运算的常用方法 (1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;
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(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;
(3)若已知的集合是抽象集合,则用Venn图求解.
考点二 栏目索引
总结提升 复数的乘法
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复数的乘法类似于多项式的乘法,做完乘法运算后,可将含有虚数单位i的数 看作一类同类项,不含i的数看作另一类同类项,分别合并即可. 复数的除法 解决复数除法问题的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数.解题时要注意 把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理 化”,其实质就是“分母实数化”.
C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3}
答案 C ∵N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3}, M={x|-4<x<2}, ∴M∩N={x|-2<x<2},故选C.
考点一 栏目索引
3.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B= ( C )
考点一 栏目索引
6.(2019河北保定一模,3)设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q}, 如果P={x|1<2x<4},Q={y|y=2+sin x,x∈R},那么P-Q= ( D )
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A.{x|0<x≤1} B.{x|0≤x<2} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<1}
考点二 栏目索引
3.(2019课标全国Ⅰ,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则
( C ) A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
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C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案 C 由已知条件,可得z=x+yi.∵|z-i|=1, ∴|x+yi-i|=1,∴x2+(y-1)2=1.
易错提醒
在写集合的子集时,易忽略空集;在应用A∪B=B⇔A∩B=A⇔A⊆B时,易忽略A
=⌀的情况.
考点二 栏目索引
考点二 复数
1.(2019课标全国Ⅲ,2,5分)若z(1+i)=2i,则z= ( D ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
答案 D 由题意得z= 2i = 2i(1-i) =1+i,故选D. 1 i (1 i)(1-i)
答案 C 由题意知∁UA={1,6,7},又B={2,3,6,7}, ∴B∩∁UA={6,7},故选C.
考点一 栏目索引
2.(2019课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=
(C ) A.{x|-4<x<3}
B.{x|-4<x<-2}
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选C.
考点二 栏目索引
5.(2019安徽安庆模拟)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,i为虚数
单位,则a= ( A ) A.-3 B.-2 C.2 D.3
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答案 A ∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a =-3,故选A.
A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
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答案 C 解法一:集合A表示函数y=2x的值域,故A=(0,+∞).由x2-1<0,得-1<x<
1,故B=(-1,1).所以A∪B=(-1,+∞).故选C.
解法二:由函数y=2x的值域可知,选项A,B不正确;由02-1<0可知,0∈B,故0∈A∪
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集合、复数及常用逻辑用语
总纲目录 栏目索引
总纲目录
考点一 集合的概念及运算 考点二 复数 考点三 常用逻辑用语 素养引领·情境命题
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考点一 栏目索引
考点一 集合的概念及运算
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1.(2019课标全国Ⅰ,2,5分)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6, 7},则B∩∁UA= ( C ) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}
考点二 栏目索引
4. z是z= 1 2i 的共轭复数,i为虚数单位,则 z 的虚部为( C )
1-i
A.- 1 B. 1 C.- 3 D. 3
2
22Leabharlann 2高考导航答案
C
z=1 2i
1-i
= (1 2i)(1 i) (1-i)(1 i)
= -1
2
3i
=- 12 + 32 i,则 z =- 12 - 32 i,所以 z 的虚部为- 32 ,故
B,故排除选项D,选C.
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4.(2018课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素
的个数为 ( A ) A.9 B.8 C.5 D.4
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答案 A 由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1, 1)},故集合A中共有9个元素,故选A.
考点一 栏目索引
5.(2019广东湛江测试(二),2)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,x∈A},则集合
A∩B的子集个数为 ( C ) A.1 B.2 C.4 D.8
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答案 C ∵A={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,x∈A}, ∴B={-1,1,3,5},∴A∩B={1,3},∴集合A∩B的子集个数为22=4.故选C.