单位力法与超静定

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材料力学
第十二章 能量法与超静定
例题2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点, ABC=90° 在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移. F
C A B a b
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第十二章 能量法与超静定
材料力学
第十二章 能量法与超静定
第十二章 能量法与超静定问题
§12-1 概述
§12-2 杆件变形能的计算 §12-3 单位荷载法 §12-4 能量法解超静定问题
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第十二章 能量法与超静定
§12-1 概述
一、能量方法
能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意 方向的位移。
2
1 RA 2
x M ( x) 2
（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”）
qa qx AB: M ( x ) x 2 2
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第十二章 能量法与超静定
q
A B
F=qa
C x A B x
1
C
RA
2a
a
1/2
2a
a
BC:
M ( x ) qa x
材料力学 F
C
A x a B b x A
第十二章 能量法与超静定
1
C x x a B b
1 1 VC M ( x ) M ( x )dx M n ( x ) M n ( x )dx EI l GI n l 1 a 1 b ( Fx )( x )dx ( Fx )( x )dx 0 0 EI EI 2 1 a F Fab 3 3 ( Fb )( b ) d x ( a b ) ( ) GI p 0 3 EI GI p
二、基本原理
V W
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第十二章 能量法与超静定
§12-2 杆件变形能的计算
1、轴向拉压的变形能
2 FN l V 2 EA
2、扭转杆内的变形能
T 2l V 2GIp
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第十二章 能量法与超静定
Me
θ Me
3、 弯曲变形的变形能
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材料力学 2、三个力同时作用时
第十二章 能量法与超静定
任意截面的弯矩： M ( x ) M ( x )
变形能：
[ M ( x ) M ( x )]2 V 2 dx L 2 EI
V 1 V 2
[ M ( x ) M ( x )]2 U0 U 1 f A dx l 2 EI
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第十二章 能量法与超静定
例题1 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求 C 点 的挠度和转角.
q
A B
F=qa
C
2a
a
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第十二章 能量法与超静定
q
A x B
F=qa
C A x 2a a B
1
C
RA 解：
2a
a
1/2
qa RA 2
F
C
1
C A x
A x
a B b
x
x
a
B
b
解：在 C点加竖向单位力 BC:
M ( x ) Fx T ( x) 0 M ( x ) Fx T ( x ) Fb
M ( x) x T ( x) 0 M ( x) x T ( x ) b
AB:
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纯弯曲
Me
Me


Mel Me l 1 1 V W M e θ M e 2 2 EI 2 EI
横力弯曲
2
Me ( x) V dx l 2 EI ( x )
2
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第十二章 能量法与超静定
4、组合变形的变形能
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) V dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
A
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材料力学 1、先在A点作用单位 F1
第十二章 能量法与超静定
F2
A
力F0 ，再作用F1, F2力，
变形能为
M 2 ( x) V dx L 2 EI
F0=1
A
M 2 ( x) V dx L 2 EI
F1
F2
F0=1
A fA
V 1 V V 1 f A
M ( x)M ( x) fA dx l EI
(Mohr积分)
二、普遍形式的莫尔定理
FN ( x )FN ( x ) T ( x )T ( x ) M ( x)M ( x) Δ dx dx dx l l l EA GIp EI
注意：上式中Δ应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相 对应的广义力.
C A
x 2a a B x C
RA
1/2a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 c 处加一单位力偶） AB: BC:
qa qx 2 M ( x) x 2 2 M ( x ) qa x
x M ( x) 2a M ( x) 1
ห้องสมุดไป่ตู้
a 1 2a qa qx 2 x 5qa 3 c [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI（ ）
二、变形能的普遍表达式
F--广义力 包括力和力偶 δ--广义位移
1 V ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
包括线位移和角位移
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构） 河南理工大学土木工程学院
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第十二章 能量法与超静定
§12-3 单位荷载法 莫尔定理
一、莫尔定理的推导
求任意点A的位移 f A F1 F2
[ M ( x ) M ( x )]2 U0 U 1 f A dx l 2 EI M 2 ( x) M 2 ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx l 2 EI l 2 EI l EI
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第十二章 能量法与超静定
M ( x) x
( )
a 1 2a qa qx 2 x 2qa 4 fc [ ( x )( )dx ( qax )( x )dx ] 0 EI 0 2 2 2 3 EI
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材料力学 q
A x B x 2a a
第十二章 能量法与超静定
F=qa 1