单位力法与超静定
高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
9-1超静定结构的概念及超静定次数的确定
缺点
要求熟练掌握静定结构的构 造特点，否则易错。 基本结构与超静定次数判别 完全脱离，需另外选择。
最适用范围
构造相对简单 的结构 构造相对复杂 的结构
具体应用中建议先采用物理方法判别超静定次数，然后采用数学方法校 核。
注意的问题
超静定结构解除多余约束的方法有多种，对应的静定结构有多种形式，
但作为力法基本结构的静定结构必须几何不变。
§9-1 超静定次数和力法基本结构
超静定次数的判别
切断一个单刚结点（相当于去掉两个线位移约束和一个角位移约束）
X1 切断一个单刚 X2
X3
原结构
基本结构
数学方法：计算结构体系的自由度，如果自由度小于零，说明体系是
超静定结构，超静定次数为自由度的绝对值。 按平面链杆体系计算自由度： 结点数量8；链杆数量16；支杆数量3。 自由度W=2× (结点数)－(链杆数+支杆数) =2×8－(16+3)=－3 三次超静定。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§9-1 超静定次数和力法基本结构
超静定次数
力法基本未知量和基本结构是相互对应的。
若选择静定结构作为基本结构，那么基本未知量就是多余约束力，故， 基本未知量的数量就是多余约束的数量。 多余约束的个数称为超静定次数。若一个结构有n个多余约束，则称其 为n次超静定结构。 几次超静定?
§9-1超静定结构的概念、超静定次数的确定
§9-1 超静定结构的概念
• 超静定结构的几何特征和静力特征
几何特征：有多余约束的几何不变体系。 静力特征：仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力。 与静定结构相比的优点：内力分布均匀；能够内力重分布，抵抗破坏的能
力法——非荷载因素作用时超静定结构计算
B 2a
L
L
x1
基本结构,基本未知量
基本体系?
? 基本方程: 1 11x1 1c
x1
C a
基本结构,基本未知量
基本体系?
? 基本方程: 1 11x1 1c
例3：求图示连续梁由于支座沉降产 A 生的内力。各杆EI等于常数。
B 2a
C a
L
L
支座移动引起的内力与各杆 的绝对刚度 EI 有关
基本结构 基本未知量
1
1c
2 2c
h
b
L
x2
例5：建立图示结构的力法方程，并求系数。 （支座位移等于未知力情况。）
基本方程:
1 11x1 12x2 1c
h
2 21x1 22x2 2c
b
(2)基本结构中全部保留支座位移
L
基本结构 基本未知量
x2
1
2
x1
1c
2c
例5：建立图示结构的力法方程，并求系数。 （支座位移等于未知力情况。）
ΔiC——基本结构上,由于其它支座位移引起的未知力 Xi方向上的位移；
Δi——实际结构上,未知力Xi方向上的位移。
例5（思考题）建立图示结构的力法方程，并求系数。 （支座位移等于未知力情况。）
基本方程:
1 11x1 12x2 1c 2 21x1 22x2 2c
(1)基本结构中不保留支座位移
①温度改变时,超静定结构中引起内力,且内力与刚 度绝对值成正比；
②增加截面刚度不能提高结构抵抗温度变化的能力； ③抗应力出现在(超静定结构中)温度较低一侧； ④计算自由项Δt时,不能忽略轴向变形影响；
⑤内力全部由多余未知力产生： M M i Xi
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
力法
力法例题：
1、用力法求解，画 M 图。其中 I1 kI 2 k 10
解：一、分析：该体系几何不变，有一次超静定。
二、选取基本结构
三、列力法方程： 11 X 1 1P 0
M P 图，求 11、1P 四、画 M 1、
11
y
i
i
EI
1 1 2 2 1 1 l l l l l l EI 1 2 3 3 EI 2 2
步骤中的难点，重点。） 第五步：求解未知力 X n 。 第六步：求杆端弯矩： M M 1 X 1 M P （一次超静定）
M M1 X1 M 2 X 2 M i X i M n X n M P （ n 次 超 静
定） 第七步：求跨中弯矩（针对于集中力作用在跨中处以及均布荷载 作用情况），作 M 图， Q 图（注意：弯矩，剪力的正负号规定）
y
i
i
EI
2 1 1 l l l l l l 3 2 EI l3 l3 6 EI EI 7l 3 6 EI 1 2 EI
1P
EI
i
yi
1 3 ql 2 l l 2 2 1 3 ql 4 ql 4 EI 4 12 1 EI
M中 AB 0 ql 2 2 2 88 ql 21ql 2 8 176
2、用力法求解，画 M 图。
解：一、分析：该体系几何不变，有一次超静定。 二、选取基本结构
三、列力法方程： 11 X 1 1P 0
M P 图，求 11、1P 四、画 M 1、
11
y
讨论：针对图乘法中需要注意的问题。 （1）必须是等截面直杆段
第8章超静定结构的计算方法
三次超静定拱
X1
X2
X3
e）
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3）撤除一 个固定铰支 座或撤除一 个内部单铰， 相当于解除 两个多余约 束。
二次超静定刚架
X1 X2X2来自X1X1X2二次超静定刚架
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4）撤除一 个固定端支 座或切断一 个刚性连接， 相当于解除 三个多余约 束。
三次超静定刚架
F
超静定梁，画出内力图。已知梁的抗弯
刚度EI为常数。 解2 (1) 属于一次超静定梁，得 到基本结构如图所示。 (2)建立力法典型方程。 A
A
l/2
C l/2 F
B
C
X1 M1图
B
11 X1+1F=0
（3）求系数和自由项
1 l l 2 l3 11 l EI 2 3 3EI
l Fl/2 M F图
处沿Xi方向的位移。
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c)
C
X1
f) B
C
X1=1
21
11
A d) B
11
X1倍
d) B
A
C
C
22
12
A
X2
X2=1 X2倍
12
A
ij=ij Xj
22
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21
B
1=11+12+1F= 0 2=21+22+2F= 0
ij 为多余约束力Xj=1时，基本结构在Xj 单独作用
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1）撤除 一根支 承链杆 二次超静定梁
一次超静定桁架
X1
X1
a）
或切断
一根结 构内部
静定超静定判断及计算
目的和意义
目的
理解静定与超静定的概念，掌握判断方法，能够进行相应的计算。
意义
在实际工程中，正确判断结构和系统的静定或超静定状态对于确保结构安全、节约材料和降低成本具有重要意义。
02
静定与超静定的基本概念
静定结构的定义
静定结构
在任何外界影响下，其平衡位置都是稳定的 ，且在受到微小扰动后能自动恢复到原来的 平衡状态。
内力计算的方法
静定结构的内力计算通常采用截面法或节点法进行。截面法是通过 截取结构的一部分进行分析，节点法则是对结构的节点进行受力分 析。
内力的表示方法
内力可以用实线和虚线表示，实线表示实际受力方向，虚线表示实际 受力反方向。
静定结构的位移计算
1
位移计算的意义
在结构分析中，位移是一个重要的参数 。通过计算位移，可以了解结构的变形 情况，从而评估结构的稳定性和安全性 。
本文的研究成果已被广泛应用于建筑、机械、航空航天等工程领 域，解决了众多实际工程问题，取得了显著的经济和社会效益。
对未来研究的展望
深入研究复杂结构体系
随着科技的发展，复杂结构体系在工程中越来越常见，未 来研究可进一步探讨复杂结构体系的静定与超静定问题， 提高工程结构的稳定性和安全性。
引入先进计算技术
计算公式
自由度数 = 刚片数 - 约束数。
判断标准
若自由度数等于0，则结构为静定；若自由度数不等于0，则结 构为超静定。
几何法判断
定义
几何法判断是指通过分析结构的几何形状来判断结构是否为静定或超静定的一种方法。
判断标准
若结构的几何形状满足静定结构的条件（即所有刚片都是相互平行的），则结构为静定；否则为超静 定。
01
超静定系统1
试题内容：图示带有中间铰的多跨梁为超静定系统。
（）试题答案：答：非试题内容：图示梁是一次超静定梁。
（）试题答案：答：是试题内容：图示梁带有中间铰，是2次超静定系统。
（）试题答案：答：非试题内容：当系统的温度升高时，图示结构不会产生温度应力。
（）试题答案：答：非试题内容：当系统的温度升高时，图示结构会产生温度应力。
（）试题答案：答：是试题内容：图示梁，当温度升高时，不会产生温度应力。
（）试题答案：答：非试题内容：图示结构是内力超静定结构。
（）试题答案：答：是试题内容：图示外伸梁BC段的内力，可以仅用静力平衡方程求得。
（）试题答案：答：是试题内容：图示结构为2次超静定桁架。
（）试题答案：答：非试题内容：求解图示超静定结构中各杆的内力时，除静力平衡方程外，还需建立3个补充方程。
（）试题答案：答：是试题内容：求解超静定结构时，若取不同的静定基，则补充方程不同，但解答结果相同。
（）试题答案：答：是试题内容：求解超静定结构时，若取不同的静定基，则补充方程和解答结果都不同。
（）试题答案：答：非试题内容：在图示叠梁中，若梁1、2的材料和横截面均相同，则在力F作用下二梁的最大应力和挠度均相同。
（）试题答案：答：是试题内容：图示梁在支座B偏左或偏右的情况下，不会产生装配应力。
（）试题答案：答：是试题内容：图示直梁在截面C 承受e M 作用。
则截面C 转角不为零，挠度为零。
（ ）试题答案： 答：是试题内容：图示等截面直梁承受均匀载荷q 作用，在截面C 上有剪力，无弯矩。
（ ）试题答案： 答：非试题内容：等截面直梁及其受力状态如图所示。
若利用其反对称性从截面C 截开选取静定基，则该问题可简化为一次超静定问题，其中多余约束力为C F S ，变形协调条件为0 c w 。
（ ）试题答案： 答：是试题内容：图示4次超静定对称梁承受反对称均布载荷q 作用，可将其简化为一次超静定问题。
（ ）AM e Cl /2Bl/2答：是试题内容：设图示刚架在水平对称轴上A 点、右下角B 点上的弯矩分别为A M 和B M ，则由对称原理可知0=A M ，0≠B M 。
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
力法、位移法求解超静定结构讲解
力法、位移法求解超静定结构讲解
超静定结构是指在结构中存在多余的支座或者杆件，使得结构的自由度小于零，即结构无法通过静力学方法求解。
在这种情况下，我们需要采用力法或者位移法来求解结构的内力和位移。
力法是指通过假设结构内力的大小和方向，来求解结构的内力和位移的方法。
在力法中，我们需要假设结构内力的大小和方向，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
力法的优点是计算简单，适用于简单的结构，但是对于复杂的结构，力法的假设可能会导致误差较大。
位移法是指通过假设结构的位移，来求解结构的内力和位移的方法。
在位移法中，我们需要假设结构的位移，然后通过平衡方程和变形方程来求解结构的内力和位移。
位移法的优点是适用于复杂的结构，可以准确地求解结构的内力和位移，但是计算较为繁琐。
在实际工程中，我们通常采用力法和位移法相结合的方法来求解超静定结构。
首先，我们可以通过力法来确定结构的内力大小和方向，然后再通过位移法来求解结构的位移。
这种方法可以充分利用力法和位移法的优点，减小误差，提高计算精度。
超静定结构的求解需要采用力法和位移法相结合的方法，通过假设结构的内力和位移，来求解结构的内力和位移。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的方法，以保证计算精度和效率。
结构力学 力法计算超静定结构
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
力法求解超静定结构的步骤：
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
第九章-超静定
对于一个平衡物体，若独立平衡方程数目与未知数的数目恰 好相等，则全部未知数可由平衡方程求出，这样的问题称为静 定问题。（图a） 但工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性，常设置多余的 约束， 未知数的数目多于独立方程的数目，未知数不能由平 衡方程全部求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。 （图b）
（3）本构方程
LT 2aT ;
FN 1a FN 2 a LN EA1 EA2
由变形和本构方程消除位移未知量
FN 1 FN 2 2T EA1 EA2
（4）联立求解得
FN 1 FN 2 33.3kN
（5）温度应力
FN 1 1 66.7MPa A1
FN 2 2 33.3MPa A2
A
2
1
A P
2
1、问题的提出
两杆桁架变成 三杆桁架，缺一个 方程，无法求解
P
F
x
FN 1 sin FN 2 sin 0
F
y
FN 1 cos FN 2 cos FN 3 P 0
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 静不定（ Static indeterminate ）——静力不能确定 超静定问题（Hyperstatic ）——超出了静力范围 其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题 拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程 不能求解 —— 超静定问题： 补充变形协调方程 建立本构（或物理）方程予以沟通 结合平衡方程联立求解
q
1
2
3
如何求解？
1. 静力不定 2. 变形方程补充--------几何相容条件（不允许 一部分脱离另一部分，也不允许一部分嵌入 另一部分） 3. 物理方程在静力平衡与变形协调之间架桥
结构力学-第五章-力法4
§5-7 最后内力图的校核
例： 试校核图示刚架的弯矩图其是否有误。
M C B
2M /5 C 3M /5 M /5
A
l
B
M
1
3M /5
B X1 = 1
EI= 常数
A l/ 2
M
2M /5
A
M1 图
解:(1)平衡条件校核。 取刚结点C 为隔离体,满足平衡条件。 (2)校核位移条件。 检验C 结点两个端面间的相对转角位移 Δ C 是否为零, 任取一基本结构作图M 1 ，令 M 1 与M 相图乘得： 2m m 1 1 l 3m 2 1 ml ml 5 5 Δ C [ 1 l 1] [ ]0 EI 2 2 5 3 2 EI 10 10
小 结
小
结
力法是求解超静定结构最基本的方法。力法的基本原 理是将原超静定结构中的多余约束解除，代之以相应的未 知约束反力。原结构就变成了在荷载及多余未知力作用下 的静定结构。这个静定结构称为原结构的基本体系 , 多余 未知力称为原结构的基本未知数。根据基本体系中多余未 知力作用点的位移应与原结构一致的条件，即多余约束处 的位移谐调条件，建立位移协调方程。这就是力法典型方 程。方程中的基本未知数是体系的多余未知力。这种以未 知力为基本未知数的求解超静定结构的方法就称为力法。 由于基本体系满足位移谐调条件 , 因此基本体系的内力 与变形便与原超静定结构完全一致。利用位移约束条件解 出多余未知力是力法的关键 , 求出多余未知力后便将超静 定问题转化为静定问题了。以后的计算便与静定结构的求 解完全一样。
§5-7 最后内力图的校核
结论：亦满足给定位移条件，原弯矩图是正确的。
X1 = 1
C B
A
也可取图悬臂刚架作基本结构，计算B点水平位 移△xB 是否为零。
超静定
等截面圆环，半径为 ， 等截面圆环，半径为r，沿其水平和铅垂直径各作用一对 力P，如图所示。试作此刚架的弯矩图。 ，如图所示。试作此刚架的弯矩图。 P A B
Fs = 2P
P C
2
P D
O
P
习题： 习题： 12—5 、 6、 7 (b) (c)、 、 、 8
1
力 法
求解超静定问题的步骤： 求解超静定问题的步骤：
1.判断结构是否超静定， 1.判断结构是否超静定，如为超静定结构确定超 判断结构是否超静定 静定次数； 静定次数； 2.选择适当的静定基和相当系统； 2.选择适当的静定基和相当系统； 选择适当的静定基和相当系统 3.比较相当系统和原超静定结构， 3.比较相当系统和原超静定结构，根据变形协调 比较相当系统和原超静定结构 条件建立正则方程: 条件建立正则方程:
P
P
对 对称结构、 对称结构、反对称载荷 称 与 反 对 称 的 利 用
P P
反 、
反对称
对称结构、正对称载荷： 3.1 对称结构、正对称载荷：p84 在对称面上： 在对称面上： 对称性内力FN、M不为零 反对称内力Fs＝0； 轴向位移和转角为零， 轴向位移和转角为零， 横向位移不为零。 横向位移不为零。
力
例题：图示杆系各杆材料相同， 相同 相同。 例题：图示杆系各杆材料相同，A相同。用 力法求各杆内力。 力法求各杆内力。 解：δ 11 X 1 + ∆1P
法 解 超 静 定
=0
∆1 P
FNi FNi li =∑ =0 EA
X1 = − ∆1 p
FNi FNi li 1 1 δ 11 = ∑ = + 1 3 EA EA 2 cos α
外静不定结构： 外静不定结构：
超静定结构-力法位移计算
M
3. 支座位移：
MMC EI
ds
FRCR
综合:
MM EI
ds
t0 SFN
t h
S M
FRCR
其中M为超静定结构在各种因素作用下产生的弯矩
详见教学视频“6.16荷载作用下超静定结构位移计算”
例1：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数
q
ql2 12
第 六 章 力法
§6-8* 超静定结构位移计算
可取任意静定结构做为基本结构来计算超静定结构位移
施加单位荷载，计算单位荷载作用下的内力图 (M , FQ , FN )
1. 荷载作用：
MM EI
F
ds
2. 温度改变：
MMt EI
ds
t0SFN
t h
S
A
C
B
A
l/2
l/2
原结构
ql2 12
B
ql2 24
M图
CV
ql 4 384EI
()
例2：求图示刚架D结点水平位移ΔDH，各杆EI如图示。
C
D
/m
2EI
2EI 6m
31.5
A
B
6m
57.6
30.6
M图(kN m)
基本结构1
基本结构2
基本结构3
基本结构4
单位荷载施加在哪个基本结构更加简单？
EI l
线刚度
A
i
qA
B
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数（表7-1）
A
B
A
BA
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[ M ( x ) M ( x )]2 U0 U 1 f A dx l 2 EI M 2 ( x) M 2 ( x) M ( x)M ( x) dx dx dx l 2 EI l 2 EI l EI
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材料力学
第十二章 能量法与超静定
材料力学
第十二章 能量法与超静定
第十二章 能量法与超静定问题
§12-1 概述
§12-2 杆件变形能的计算 §12-3 单位荷载法 §12-4 能量法解超静定问题
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材料力学
第十二章 能量法与超静定
§12-1 概述
一、能量方法
能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意 方向的位移。
F
C
1
C A x
A x
a B b
x
x
a
B
b
解：在 C点加竖向单位力 BC:
M ( x ) Fx T ( x) 0 M ( x ) Fx T ( x ) Fb
M ( x) x T ( x) 0 M ( x) x T ( x ) b
AB:
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材料力学 2、三个力同时作用时
第十二章 能量法与超静定
任意截面的弯矩： M ( x ) M ( x )
变形能：
[ M ( x ) M ( x )]2 V 2 dx L 2 EI
V 1 V 2
[ M ( x ) M ( x )]2 U0 U 1 f A dx l 2 EI
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第十二章 能量法与超静定
例题1 图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求 C 点 的挠度和转角.
q
A B
F=qa
C
2a
a
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第十二章 能量法与超静定
q
A x B
F=qa
C A x 2a a B
1
C
RA 解：
2a
a
1/2
qa RA 2
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第十二章 能量法与超静定
例题2 图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点, ABC=90° 在 C 处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和 GIp ，求 C 点竖向的位移. F
C A B a b
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第十二章 能量法与超静定
纯弯曲
Me
Me
Mel Me l 1 1 V W M e θ M e 2 2 EI 2 EI
横力弯曲
2
Me ( x) V dx l 2 EI ( x )
2
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第十二章 能量法与超静定
4、组合变形的变形能
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) V dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
M ( x)M ( x) fA dx l EI
(Mohr积分)
二、普遍形式的莫尔定理
FN ( x )FN ( x ) T ( x )T ( x ) M ( x)M ( x) Δ dx dx dx l l l EA GIp EI
注意：上式中Δ应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相 对应的广义力.
C A
x 2a a B x C
RA
1/2a
(2) 求 C 截面的转角 ( 在 c 处加一单位力偶） AB: BC:
qa qx 2 M ( x) x 2 2 M ( x ) qa x
x M ( x) 2a M ( x) 1
a 1 2a qa qx 2 x 5qa 3 c [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 6 EI（ ）
二、变形能的普遍表达式
F--广义力 包括力和力偶 δ--广义位移
1 V ( F1δ1 F2 δ2 F3 δ3 ) 2
包括线位移和角位移
—— 克拉贝隆原理（只限于线性结构） 河南理工大学土木工程学院
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第十二章 能量法与超静定
§12-3 单位荷载法 莫尔定理
一、莫尔定理的推导
求任意点A的位移 f A F1 F2
M ( x) x
( )
a 1 2a qa qx 2 x 2qa 4 fc [ ( x )( )dx ( qax )( x )dx ] 0 EI 0 2 2 2 3 EI河南理Βιβλιοθήκη 大学土木工程学院材料力学 q
A x B x 2a a
第十二章 能量法与超静定
F=qa 1
材料力学 F
C
A x a B b x A
第十二章 能量法与超静定
1
C x x a B b
1 1 VC M ( x ) M ( x )dx M n ( x ) M n ( x )dx EI l GI n l 1 a 1 b ( Fx )( x )dx ( Fx )( x )dx 0 0 EI EI 2 1 a F Fab 3 3 ( Fb )( b ) d x ( a b ) ( ) GI p 0 3 EI GI p
2
1 RA 2
x M ( x) 2
（1）求截面的挠度（在 c 处加一单位力“1”）
qa qx AB: M ( x ) x 2 2
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第十二章 能量法与超静定
q
A B
F=qa
C x A B x
1
C
RA
2a
a
1/2
2a
a
BC:
M ( x ) qa x
A
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材料力学 1、先在A点作用单位 F1
第十二章 能量法与超静定
F2
A
力F0 ，再作用F1, F2力，
变形能为
M 2 ( x) V dx L 2 EI
F0=1
A
M 2 ( x) V dx L 2 EI
F1
F2
F0=1
A fA
V 1 V V 1 f A
二、基本原理
V W
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第十二章 能量法与超静定
§12-2 杆件变形能的计算
1、轴向拉压的变形能
2 FN l V 2 EA
2、扭转杆内的变形能
T 2l V 2GIp
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第十二章 能量法与超静定
Me
θ Me
3、 弯曲变形的变形能