最新人教版七年级数学下册二元一次方程组知识点及应用题

第八章二元一次方程组

第一节、知识梳理

二元一次方程组

一、学习目标

1.了解并认识二元一次方程的概念.

2.了解与认识二元一次方程的解.

3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解.

4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别.

5.掌握代入消元法和加减消元法.

二、知识概要

1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

三、重点难点

代入消元法和加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点.

四、知识链接

本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来，为以后解决实际问题提供了一种有力的工具.

五、中考视点

本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、选择中出现，还有的出现在解答题的计算当中.

二元一次方程组的实际应用

一、学习目标

将实际问题转化为纯数学问题，建立数学模型（即二元一次方程组），解决问题.

二、知识概要

列方程组解应用题的常见类型主要有：

１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；

２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题. 基本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间；

3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；

4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：

顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速

逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速

5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.

三、重点难点

建立数学模型（二元一次方程组）是本周的重点，也是本周的难点.

四、知识链接

本周知识是上周学的二元一次方程组的实际应用，为解决一些实际问题提供了一个模型，一种方法.

五、中考视点

二元一次方程组是中考重点考查的内容之一，主要有以下几个方面：

（1）从实际数学问题中构造一次方程组，解决有关问题；

（2）能从图表中获得有关信息，列方程组解决问题.

第二节、教材解读

1．二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．从定义中可以看出：二元一次方程具备以下四个特征：

（1）是方程；

（2）有且只有两个未知数；

（3）方程是整式方程，即各项都是整式；

（4）各项的最高次数为1.

例如：像+y＝3中，不是整式，所以+y＝3就不是二元一次方程；像x+1=6，x+y-3z=8，不是含有两个未知数，也就不是二元一次方程；像xy+6=1中，虽然含有两个未知数x、y且次数都是1，但未知项xy的次数为2，所以也不是二元一次方程，所以二元一次方程必须同时具备以上四点．

2．二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，它有两个特点：一是方程组中每一个方程都是一次方程；二是整个方程组中含有两个且只含有两个

未知数，如

一次方程组．

3．二元一次方程的一个解

符合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．

一般地二元一次方程的解有无数个，例如x+y=2中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解．4．二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解．

定义中的公共解是指同时使二元一次方程组中的每一个方程左右两边的值都相等，而不是使其中一个或部分左右两边的值相等，由于未知数的值必须同时满足每一个方程，

所以，二元一次方程组一般情况下只有惟一的一组解，即构成方程组的两个二元一次方程的公共解．

第三节、错题剖析

【误解】A或D．

【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相等的

两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．

验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．

【正解】C．

把式③代入式②得 8-3y+3y=8，0×y=0.

所以y可以为任何值.

所以原方程组有无数组解．

【思考与分析】代入法是求二元一次方程组的解的一种基本方法．它的一般步骤是：（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，如本题中方程②中的x，用含y的代数式表示为x=8-3y；（2）将这个变形所得的代数式代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；这里要求代入“另一个”方程，“误解”把它代入到变形的同一个方程中，得到了一个关于y的恒等式，出现了错误．（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入前面变形所得的式子中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．

【正解】由式②得x=8-3y ③