第1章多自由度系统的固有振动特性
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(4)解耦：利用模态矩阵作变换阵，以模态坐标作为新坐标系，对方程作线 性变换
{u(t)}=［：•：」］{q(t)}(1—15)
则有
Mrqr(t)-Kq(t)=0(r=1,2,…N)(1—16)
2.展开定理
(1)位移展开定理
N维空间中任一位移向量{u(t)}可以按该空间中的模态坐标展开
N
{u(t)}=[「]{q}二為qi(t){'i}
(4)与正交性有关的一些概念
模态矩阵
［"］=【｛i｝｛-2r｛\｝］
广义质量阵(模态质量阵)
diag ［Mr］=［「］T［M ］［门］
广义刚度阵(模态刚度阵)
diag［「］=［：•：『［"［：•：」］
2
Kr二M「r
若模态已经按模态质量为1归一化，则
2diag ［Mr］二［I ］ diag ［K「］二diag ［」］
一般对于N个自由度的系统，增加了m个约束和增加了(m+1),则有(m)(m1)”■、 ：■(m)■、:(m1)(m)■-:«(m1)■、、(m)
0-‘1i22N』(1—24)
特征值隔离定理的物理意义
(1)增加约束使特征值变大或保持不变，但不会减小。
(2)增加约束不会使任何一阶频率大过原系统的下一阶频率
{】}T[C]{;}=°(「*)(1—35)
4.有阻尼系统的自由振动
N
利用固有模态正交性，利用模态坐标变换{X}=[①]{q} -7；qr可将系统自由
r三
振动方程解耦，得到模态坐标下的方程：
M「q；C「q；Kq=0(r=1,2,3N)(1—36)
或将方程系数无量纲化为：
q；-2 :•.q!：；Y『qr= 0(r= 1,2,3…N)(1—37)
图2特征值隔离定理示意图
§
阻尼在振动系统中的作用：消耗能量
阻尼的数学描述：对实际结构，阻尼的精确数学描述不可能，常用简化
阻尼模型
1.粘性阻尼模型
粘性阻尼模型是最常用的阻尼模型，对自由振动，运动方程为：
[M ]{u}[C]{u}[K]{u} ={0}(1—25)
一般粘性阻尼矩阵[C]不能被固有模态对角化，为了分析简便，常采用一种 比例阻尼假设，由称为瑞利阻尼：
2.与粘性阻尼有关的几个基本概念
(1)刚度型阻尼和质量型阻尼
若:-0，1 =0，则［Cm］「［M ］称为质量型阻尼
若U0，：•=0，则［Ck］二■:［K］称为刚度型阻尼 对质量型阻尼，模态阻尼比 ：与’成反比；对刚度型阻尼, 与.r成正比。
定义振动位移响应的相邻两振幅之比
匕=_A^=e§Tdr
AsHr
【问题】:
(1)重频或密频时，正交性是否成立。
一般不正交，但线性无关，可以用正交化方法找到两个对应的正交向量。
(2)对于刚体模态是否有正交性？
对｛ 'o｝由于有［K］｛ 'o｝=｛0｝故有［K］正交性。
(3)对于纯静态模态是否有正交性？
对｛:｝由于有［M］｛：：｝=｛0｝故有［M］正交性。
但｛-0｝不一定［M］正交，｛ J不一定［K］正交。同样需要做变换，找到一组 新的向量，以满足对质量阵和刚度阵的正交性。
(3)原系统任意两个相邻特征值之间必有一个新系统的特征值
(4)新系统任意两个相邻特征值之间必有一个原系统的特征值
(5)由有限元法给出的解是精确解的上界， 有限元的基本思想就是把一个 无穷维的问题“约束”为有限维。从而使频率提高。
(6)由瑞利假设模态法给出的解是精确解的上界，因为假设模态相当于对 结构增加约束得到的变形模态，从而使特征值增加。
[C]=：[M ]订K](1—26)
显然有：
{；}T[C]{ ;}=(一:」M：)M,rs(1—27)
定义模态阻尼：
Cr={；}T[C]{ '；} =2M J「r(1—28)
模态阻尼比：
尸1a住
r二―(r)(1—29)
2'r
原理上，可以通过测得的某两阶模态阻尼比，根据上式求出比例系数:和
'或测得多个模态阻尼比，用最小二乘法求解。
系统统特征方程
■:•2r；Tr'r亠心：=0(1—38)
方程的特征根：
\- -'/■'r2-1(1—39)
对过阻尼情况，r1，特征根都是负实根，系统运动不发生振动；
Cry2Mr，r=2KrMr(1—40)
此时系统也不发生振动；
对欠阻尼情况，；：：：1，特征根为一对共轭复根：
'r1,'r2一-J'2-厂「一1一T(1—41)
1百度文库
qr(t)—{r}T[M ]{u(t)}
Mr
(2)能量展开定理
系统总动(势)能为各阶主振型的动(势)能之和。
NN
T -7TrU -7 Ur(1—18)
11
11t1T T
Tmauj{u} [ M ]{ u} {q} [：G] [M][G]{q}
2 i j22
(2)高阶模态对应高阶的能量
(3)考虑模态截断时，一般是截断高阶模态，保留低阶模态，而不是随意 取舍。
为减缩系数
1
其倒数称为减幅率。
n
r
1
意义：每隔一个周期Tdr，振幅减缩为原来的
In%=&Tdr =竺二(1—35)
.J -'r2
上述参数从不同角度来衡量一个结构系统的阻尼特性。
3.阻尼阵的对角化处理
对瑞利阻尼，可以直接用模态矩阵使阻尼阵对角化， 对一般粘性阻尼阵[C],其一，在稀疏模态情况下，模态阻尼间耦合较小；其二，非共振区阻尼力的作 用较小，可以令非对角线元素为零。即令：
模态坐标下，方程的解：
qr(t) =e~^*(6cosCOdrt+C2sinCOdrt)，时dr=K)rj1—[r2(1—42)
5.结构阻尼系统
运动方程：
[M ]{ x}•j[H ]{ x} [K]{ x}={0}(1—43)
比例阻尼[H]=：•[M ]「[K]的假设下，方程仍然可以解耦：
Mrq；[( Krj(：MrK)]qr二0(1—44)
则新系统特征值与原系统特征值之间的关系为：
o兰扎兰(11<爲兰 厂 乞…< 九N」gJNI兰九N(1—22)
当约束表现为增加系统刚度， 而不是减少自由度时，则新系统特征值与 原系统特征值之间的关系为：
o兰扎兰人"兰打兰宥兰…<打丄兰或兰九N兰阳N)(1—23)
即新系统特征值均大于原系统对应阶的特征值。
©i=蛍j称国
i©j为重频，但相应有两个模态。
(8)
密频或近频：
i式j,«i
d通常当Oi-Oj<10-时，可以称为密频
§
1.正交性
指模态对刚度矩阵［K］及质量阵［M］的加权正交性:
{s}T[M ]{；}=0
{s}T[K]{；}=0
证明：由
分别前乘｛ -s｝T｛：｝T，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。
1 121
s；二■；(1jg；(jg；):--■■；(1jg；)(1—50)
2 8 2
模态坐标下，方程解：
1
■―g；t
q；(t)二A；e2sin(；t匕)(1—51)
显然结构阻尼不改变系统自由振动频率。
6.结构阻尼系统与粘性阻尼系统的一些比较
(1)*'dr=•；：1-：，*'gr八；
(2)g；=2；(数值上的等效关系)
(4)
(5)刚体模态：对应于
-^-0{'o}t[K]{ 'o^o
纯刚体模态：仅含有一种刚体运动
(5)纯静态模态：使[M]｛u：：｝=｛0｝的模态，在非一致质量阵中，某些对角
元素可以为零，可以找到一组位移使
[M ]{u：：} ={0}(1—10)
(6)
单频：i式j,
«i羊灼j称⑷
iQj为单频。
(7)
重频：i式j.
{u：》[M]{u：}=0
2
项，此时质量阵不能保证正定。即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。
3.刚度矩阵的物理意义 势能
1t〜
au
u二{u} [ K ]{ u}_ 0
kijkji
(1-4)
2
ouicuj
(1)刚度矩阵反映了系统的势能
(2)刚度矩阵是半正定的(刚体位移对应的势能为零)
(3)刚度矩阵是对称的
第一章多自由度系统的固有振动特性
§
实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。多自由 度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。因此研究多 自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。
§
1•振动方程
[M ]{u}[K]{u}={0}
例外：纯静态位移｛u：：｝使
1\_T“_
(4)特征值的序数对应着振动模态的阶次。
(5)特征值的有序性与特征值隔离定理有关系
4.特征值隔离定理(瑞利约束定理)
对一个N自由度系统，其固有频率(特征值)具有有序性，如果在这个 系统上增加一个约束，使其成为一个(N-1)自由度系统，则在新系统的特 征值仍然具有有序性即：
o兰打)兰以兰…<亿九(1)=仙⑴)2(1—21)
记矩阵
[Kj]二K；jC Mr「K；)二K；-jh；(1—45)
称为复刚度矩阵。
定义
h2
grI =L ■厂(1—46)
K；
为结构阻尼率，则运动方程：
-■2
q；…(1•jg；)q；=o(1—47)
特征方程：
s；2f：：；2(i•jg；) =o(1—48)
解得：
s；=•；：；J■jg；(1—49)
泰勒展开：
(3)对刚度型阻尼：粘性阻尼随模态阶次增大而增大，结构阻尼为常数
质量型阻尼：；=〉/ 2「；g； =〉/ •■:
§
结构的第一阶固有频率，工程称为基频。基频对一个结构的动力特性起 着至关重要的作用。对基频的估计(快速估计)是结构振动分析的一个重要 内容。
常用的估计基频的方法有瑞利法和邓克列方法， 分别给出基频精确解的 上界和下界。
1.瑞利法
(1)瑞利原理：
结构振动分析中，为了估计基频所使用的瑞利原理， 通常是对无阻尼系
(2)瑞利商R
11
Tmax2{X}T[M]{X}，Umax{ X }?[ K ]{ X }(1一52)
22
{u(t)}=［：•：」］{q(t)}(1—15)
则有
Mrqr(t)-Kq(t)=0(r=1,2,…N)(1—16)
2.展开定理
(1)位移展开定理
N维空间中任一位移向量{u(t)}可以按该空间中的模态坐标展开
N
{u(t)}=[「]{q}二為qi(t){'i}
(4)与正交性有关的一些概念
模态矩阵
［"］=【｛i｝｛-2r｛\｝］
广义质量阵(模态质量阵)
diag ［Mr］=［「］T［M ］［门］
广义刚度阵(模态刚度阵)
diag［「］=［：•：『［"［：•：」］
2
Kr二M「r
若模态已经按模态质量为1归一化，则
2diag ［Mr］二［I ］ diag ［K「］二diag ［」］
一般对于N个自由度的系统，增加了m个约束和增加了(m+1),则有(m)(m1)”■、 ：■(m)■、:(m1)(m)■-:«(m1)■、、(m)
0-‘1i22N』(1—24)
特征值隔离定理的物理意义
(1)增加约束使特征值变大或保持不变，但不会减小。
(2)增加约束不会使任何一阶频率大过原系统的下一阶频率
{】}T[C]{;}=°(「*)(1—35)
4.有阻尼系统的自由振动
N
利用固有模态正交性，利用模态坐标变换{X}=[①]{q} -7；qr可将系统自由
r三
振动方程解耦，得到模态坐标下的方程：
M「q；C「q；Kq=0(r=1,2,3N)(1—36)
或将方程系数无量纲化为：
q；-2 :•.q!：；Y『qr= 0(r= 1,2,3…N)(1—37)
图2特征值隔离定理示意图
§
阻尼在振动系统中的作用：消耗能量
阻尼的数学描述：对实际结构，阻尼的精确数学描述不可能，常用简化
阻尼模型
1.粘性阻尼模型
粘性阻尼模型是最常用的阻尼模型，对自由振动，运动方程为：
[M ]{u}[C]{u}[K]{u} ={0}(1—25)
一般粘性阻尼矩阵[C]不能被固有模态对角化，为了分析简便，常采用一种 比例阻尼假设，由称为瑞利阻尼：
2.与粘性阻尼有关的几个基本概念
(1)刚度型阻尼和质量型阻尼
若:-0，1 =0，则［Cm］「［M ］称为质量型阻尼
若U0，：•=0，则［Ck］二■:［K］称为刚度型阻尼 对质量型阻尼，模态阻尼比 ：与’成反比；对刚度型阻尼, 与.r成正比。
定义振动位移响应的相邻两振幅之比
匕=_A^=e§Tdr
AsHr
【问题】:
(1)重频或密频时，正交性是否成立。
一般不正交，但线性无关，可以用正交化方法找到两个对应的正交向量。
(2)对于刚体模态是否有正交性？
对｛ 'o｝由于有［K］｛ 'o｝=｛0｝故有［K］正交性。
(3)对于纯静态模态是否有正交性？
对｛:｝由于有［M］｛：：｝=｛0｝故有［M］正交性。
但｛-0｝不一定［M］正交，｛ J不一定［K］正交。同样需要做变换，找到一组 新的向量，以满足对质量阵和刚度阵的正交性。
(3)原系统任意两个相邻特征值之间必有一个新系统的特征值
(4)新系统任意两个相邻特征值之间必有一个原系统的特征值
(5)由有限元法给出的解是精确解的上界， 有限元的基本思想就是把一个 无穷维的问题“约束”为有限维。从而使频率提高。
(6)由瑞利假设模态法给出的解是精确解的上界，因为假设模态相当于对 结构增加约束得到的变形模态，从而使特征值增加。
[C]=：[M ]订K](1—26)
显然有：
{；}T[C]{ ;}=(一:」M：)M,rs(1—27)
定义模态阻尼：
Cr={；}T[C]{ '；} =2M J「r(1—28)
模态阻尼比：
尸1a住
r二―(r)(1—29)
2'r
原理上，可以通过测得的某两阶模态阻尼比，根据上式求出比例系数:和
'或测得多个模态阻尼比，用最小二乘法求解。
系统统特征方程
■:•2r；Tr'r亠心：=0(1—38)
方程的特征根：
\- -'/■'r2-1(1—39)
对过阻尼情况，r1，特征根都是负实根，系统运动不发生振动；
Cry2Mr，r=2KrMr(1—40)
此时系统也不发生振动；
对欠阻尼情况，；：：：1，特征根为一对共轭复根：
'r1,'r2一-J'2-厂「一1一T(1—41)
1百度文库
qr(t)—{r}T[M ]{u(t)}
Mr
(2)能量展开定理
系统总动(势)能为各阶主振型的动(势)能之和。
NN
T -7TrU -7 Ur(1—18)
11
11t1T T
Tmauj{u} [ M ]{ u} {q} [：G] [M][G]{q}
2 i j22
(2)高阶模态对应高阶的能量
(3)考虑模态截断时，一般是截断高阶模态，保留低阶模态，而不是随意 取舍。
为减缩系数
1
其倒数称为减幅率。
n
r
1
意义：每隔一个周期Tdr，振幅减缩为原来的
In%=&Tdr =竺二(1—35)
.J -'r2
上述参数从不同角度来衡量一个结构系统的阻尼特性。
3.阻尼阵的对角化处理
对瑞利阻尼，可以直接用模态矩阵使阻尼阵对角化， 对一般粘性阻尼阵[C],其一，在稀疏模态情况下，模态阻尼间耦合较小；其二，非共振区阻尼力的作 用较小，可以令非对角线元素为零。即令：
模态坐标下，方程的解：
qr(t) =e~^*(6cosCOdrt+C2sinCOdrt)，时dr=K)rj1—[r2(1—42)
5.结构阻尼系统
运动方程：
[M ]{ x}•j[H ]{ x} [K]{ x}={0}(1—43)
比例阻尼[H]=：•[M ]「[K]的假设下，方程仍然可以解耦：
Mrq；[( Krj(：MrK)]qr二0(1—44)
则新系统特征值与原系统特征值之间的关系为：
o兰扎兰(11<爲兰 厂 乞…< 九N」gJNI兰九N(1—22)
当约束表现为增加系统刚度， 而不是减少自由度时，则新系统特征值与 原系统特征值之间的关系为：
o兰扎兰人"兰打兰宥兰…<打丄兰或兰九N兰阳N)(1—23)
即新系统特征值均大于原系统对应阶的特征值。
©i=蛍j称国
i©j为重频，但相应有两个模态。
(8)
密频或近频：
i式j,«i
d通常当Oi-Oj<10-时，可以称为密频
§
1.正交性
指模态对刚度矩阵［K］及质量阵［M］的加权正交性:
{s}T[M ]{；}=0
{s}T[K]{；}=0
证明：由
分别前乘｛ -s｝T｛：｝T，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。
1 121
s；二■；(1jg；(jg；):--■■；(1jg；)(1—50)
2 8 2
模态坐标下，方程解：
1
■―g；t
q；(t)二A；e2sin(；t匕)(1—51)
显然结构阻尼不改变系统自由振动频率。
6.结构阻尼系统与粘性阻尼系统的一些比较
(1)*'dr=•；：1-：，*'gr八；
(2)g；=2；(数值上的等效关系)
(4)
(5)刚体模态：对应于
-^-0{'o}t[K]{ 'o^o
纯刚体模态：仅含有一种刚体运动
(5)纯静态模态：使[M]｛u：：｝=｛0｝的模态，在非一致质量阵中，某些对角
元素可以为零，可以找到一组位移使
[M ]{u：：} ={0}(1—10)
(6)
单频：i式j,
«i羊灼j称⑷
iQj为单频。
(7)
重频：i式j.
{u：》[M]{u：}=0
2
项，此时质量阵不能保证正定。即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。
3.刚度矩阵的物理意义 势能
1t〜
au
u二{u} [ K ]{ u}_ 0
kijkji
(1-4)
2
ouicuj
(1)刚度矩阵反映了系统的势能
(2)刚度矩阵是半正定的(刚体位移对应的势能为零)
(3)刚度矩阵是对称的
第一章多自由度系统的固有振动特性
§
实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。多自由 度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。因此研究多 自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。
§
1•振动方程
[M ]{u}[K]{u}={0}
例外：纯静态位移｛u：：｝使
1\_T“_
(4)特征值的序数对应着振动模态的阶次。
(5)特征值的有序性与特征值隔离定理有关系
4.特征值隔离定理(瑞利约束定理)
对一个N自由度系统，其固有频率(特征值)具有有序性，如果在这个 系统上增加一个约束，使其成为一个(N-1)自由度系统，则在新系统的特 征值仍然具有有序性即：
o兰打)兰以兰…<亿九(1)=仙⑴)2(1—21)
记矩阵
[Kj]二K；jC Mr「K；)二K；-jh；(1—45)
称为复刚度矩阵。
定义
h2
grI =L ■厂(1—46)
K；
为结构阻尼率，则运动方程：
-■2
q；…(1•jg；)q；=o(1—47)
特征方程：
s；2f：：；2(i•jg；) =o(1—48)
解得：
s；=•；：；J■jg；(1—49)
泰勒展开：
(3)对刚度型阻尼：粘性阻尼随模态阶次增大而增大，结构阻尼为常数
质量型阻尼：；=〉/ 2「；g； =〉/ •■:
§
结构的第一阶固有频率，工程称为基频。基频对一个结构的动力特性起 着至关重要的作用。对基频的估计(快速估计)是结构振动分析的一个重要 内容。
常用的估计基频的方法有瑞利法和邓克列方法， 分别给出基频精确解的 上界和下界。
1.瑞利法
(1)瑞利原理：
结构振动分析中，为了估计基频所使用的瑞利原理， 通常是对无阻尼系
(2)瑞利商R
11
Tmax2{X}T[M]{X}，Umax{ X }?[ K ]{ X }(1一52)
22