变轨、双星-专题练习题

一、卫星的变轨问题

例1、2019年4月20日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第44颗北斗导航卫星，拉开了今年北斗全球高密度组网的序幕。北斗系统主要由离地面高度约为6R 的同步轨道卫星和离地面高度约为3R 的中圆轨道卫星组成(R 为地球半径)，设表面重力加速度为g ，忽略地球自转。则（ ）

A B ．中圆轨道卫星的运行周期大于24小时 C ．中圆轨道卫星的向心加速度约为

16

g

D ．卫星从中轨道变到同步轨道需向前喷气 【答案】C

【解析】A ．M 表示地球的质量，m 表示卫星的质量，根据万有引力提供向心力

22Mm v G m r r

= 得

{

v =

又地球表面的物体

02

Mm G

m g R

= 解得

v =

故A 错误；

B ．M 表示地球的质量，m 表示卫星的质量，根据万有引力提供向心力

2

22π()Mm G

m r r T

= 得

2T =

可知轨道半径越大则周期越大，所以中圆轨道卫星的运行周期小于同步卫星的周期24小时，故B 错误；

C ．在地球表面为m 0的物体，有

02

Mm G

m g R = 中圆轨道卫星

22

316()GMm GMm

ma R R R =

=+

则其向心加速度约为

16

g

，故C 正确； D ．卫星的轨道越高，所以若卫星从中圆轨道变轨到同步轨道，需向后方喷气加速，故D 错误。 故选C 。

例2、（多选）发射地球同步卫星要经过三个阶段:先将卫星发射至近地圆轨道1,然后使其沿椭圆轨道2运行，最后将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图所示．当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( )

A ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度等于它在轨道2上经过Q 点时的加速度

"

B ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速度等于它在轨道2上经过Q 点时的速度大小

C ．卫星在轨道3上受到的引力小于它在轨道1上受到的引力

D ．卫星由2轨道变轨到3轨道在P 点要加速 【答案】ACD

【解析】A.根据万有引力提供向心力

2Mm

G

ma r =, 得

2

GM

a r =

, 所以卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度等于它在轨道2上经过Q 点时的加速度.故 A 正确

B.卫星从轨道1上经过Q 点时加速做离心运动才能进入轨道2,故卫星在轨道1上经过Q 点时的速度小于它在轨道2上经过Q 点时的速度,故B 错误; C 、根据引力定律

【

2GMm

F r

=

,

可以知道,距离越大的,同一卫星受到的引力越小,因此在轨道3上受到的引力小于它在轨道1上受到的引力,故C 正确

D 、由2轨道变轨到3轨道,必须加速,才能做匀速圆周运动,否则仍做近心运动,，故D 正确； 二、与卫星有关的几组概念的比较

例3、(多选)如图所示，A 是地球的同步卫星，B 是位于赤道平面内的近地卫星，C 为地面赤道上的物体，已知地球半径为R ，同步卫星离地面的高度为h ，则( )

A ．A 、

B 加速度的大小之比为⎝⎛⎭

⎫R ＋h R 2 B ．A 、C 加速度的大小之比为1＋h

R

C ．A 、B 、C 速度的大小关系为v A ＞v B ＞v C

D ．要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上运行至少需要对B 卫星进行两次加速

解析：根据万有引力提供向心力可知G Mm r 2＝ma ，得a A ＝G

M R ＋h

2，

a B ＝G M R 2，故a A a B

＝⎝⎛⎭

⎫

R R ＋h 2，选项A 错误；A 、C 角速度相同，根据a ＝ω2r 得a A ＝ω2(R ＋h )，

a C ＝ω2R ，故a A a C ＝1＋h

R ，选项

B 正确；根据G Mm r 2＝m v 2

r 得v ＝GM

r ，可知轨道半径越大线

速度越小，所以v B ＞v A ，A 、C 角速度相同，根据v ＝ωr 可知v A ＞v C ，故v B ＞v A ＞v C ，选项C 错误；要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上，先要加速到椭圆轨道上，再由椭圆轨道加速到A 卫星的轨道上，选项D 正确．

答案： BD *

例4：(多选)同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )

＝r R ＝r 2R 2 ＝r

R ＝

R r

解析： 设地球质量为M ，同步卫星质量为m 1，地球赤道上的物体质量为m 2，在地球表面运行的物体质量为m 3，由于地球同步卫星周期与地球自转周期相同，则a 1＝rω21，a 2＝Rω22，ω1＝ω2，所以a 1a 2

＝r R

，故A 项正确．

依据万有引力定律和向心力表达式可得：对m 1：G Mm 1r 2＝m 1v 21

r ， 所以v 1＝

GM r ，

对m 3：G Mm 3R 2＝m 3v 22

R ， 所以v 2＝GM R .

得：v 1

v 2

＝

R

r ，故D 项正确．

答案： AD 三：双星模型

￥

例5、经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星m 1、m 2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2.则可知( ) A ．m 1与m 2做圆周运动的角速度之比为2∶3 B ．m 1与m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2 C ．m 1做圆周运动的半径为25L D ．m 2做圆周运动的半径为25L

双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动，角速度相同，选项A 错误；由G m 1m 2

L 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2得r 1∶r 2＝m 2∶m 1＝2∶3，由v ＝ωr 得m 1与m 2做圆周运动的线速度之比为v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3，选项B 错误；m 1做圆周运动的半径为25L ，m 2做圆周运动的半径为3

5L ，选项C 正确，D 错误．

答案： C

例6、双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动. 研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化. 若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为多少

【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有

对m 1有：2

1211224m m G m r L T π=

对m 2有：2

1222224m m G m r L T

π=