时 三角函数倍角 辅助角公式
高中三角函数公式大全 绝对好
A 1 cos A )=± 2 2 A 1 cos A )=± 2 2 A 1 cos A )=± 2 1 cosA
cos(
tan(
（在该组公式中， 根号前的正负， 公式 asinα+bcosα=
(a 2 b 2 ) sin(α+φ)，
三角函数公式
1、同名三角函数关系式： sin sin 2 cos 2 1， tan cos 2、诱导公式 π 注：在 k 中，口诀记忆：奇变偶 2 不变，符号看象限。 公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一 三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα 公式二： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα 公式三： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα 公式四： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα 公式五、六： sin（ +α）= cosα 2 cos（ +α）= -sinα 2 1 *tan( +α)=2 tan sin（ -α）= cosα 2 cos（ -α）= sinα 2 1 *tan( -α)= 2 tan 3、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA tanB tan(A+B) = 1 - tanAtanB tanA tanB tan(A-B) = 1 tanAtanB 4、倍角公式
新高考数学A版讲义：三角函数第6节 倍角与辅助角的恒等变换公式
第6节 倍角与辅助角的恒等变换公式知识点一 二倍角公式思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？答案 倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况． 知识点二 半角公式 sin α2＝±1－cos α2，cos α2＝±1＋cos α2，tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点三 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba题型一、给角求值例1 求下列各式的值：(1)2cos 225π12－1；(2)1－tan 2π8tan π8；(3)cos 20°cos 40°cos 80°.解 (1)原式＝cos25π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＝cos π6＝32. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎫1－tan 2π82tan π8＝2×12tan π81－tan 2π8＝2×1tanπ4＝2.(3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝2sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝sin 20°8sin 20°＝18.反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 求下列各式的值：(1)sin π6cos π6；(2)cos 2π8－sin 2π8；(3)2tan 15°1－tan 215°.解 (1)原式＝12×2sin π6cos π6＝12sin π3＝34.(2)原式＝cos π4＝22.(3)原式＝tan 30°＝33.题型二、给值求值例2 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 解 ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 延伸探究1．若本例条件不变，求cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解 原式＝cos 2α－sin 2αsin π4cos α＋cos π4sin α＝2(cos α－sin α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝65. 2．若本例条件变为：若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的值． 解 由sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35，得sin x cos π6－cos x sin π6＝35，两边平方，得12sin 2x ＋14－34sin 2x ＝925， ∴12·1－cos 2x 2＋14－34sin 2x ＝925，即sin 2x ·32＋cos 2x ·12＝725，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝725. 反思感悟 解决给值求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(3)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 跟踪训练2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4，∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413. 题型三、化简与证明例3 (1)化简：sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2.(2)求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A . (1)解 sin 2x 2cos x ⎝⎛⎭⎫1＋tan x tan x 2＝sin 2x2cos x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin x sinx2cos x cosx 2＝2sin x cos x2cos x ·cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2＝sin x ·cosx2cos x cosx2＝tan x .(2)证明 因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .反思感悟 证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 跟踪训练3 (1)化简：1cos 2θ－tan θtan 2θ.(2)求证：sin 3αsin 3α＋cos 3αcos 3α＝cos 32α. (1)解 1cos 2θ－tan θtan 2θ＝1cos 2θ－sin θsin 2θcos θcos 2θ＝cos θ－2sin 2θcos θcos θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝cos 2θcos 2θ＝1.(2)证明左边＝sin 2αsin αsin 3α＋cos 2αcos αcos 3α＝1－cos 2α2sin αsin 3α＋1＋cos 2α2cos αcos 3α＝12(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋12cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α) ＝12cos(α－3α)＋12cos 2αcos(3α＋α)＝12cos 2α＋12cos 2αcos 4α＝12cos 2α(1＋cos 4α) ＝12cos 2α·2cos 22α＝cos 32α＝右边． 题型四 三角恒等变换的综合问题例1 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，f (x )单调递增；当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.倍角与辅助角的恒等变换1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2. 5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4.∴a ＝－4. 6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析 因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.7．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.解析 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角，所以cos θ2＝±35. 8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________.解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2.9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．解 因为θ∈(π，2π)，所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ2＝1－cos θ2＝45，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35，所以sin θ2＋cos θ2＝15.10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.32D ．3解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C. 12．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________.解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 13．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1， 所以－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π.14．函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递增区间是________． 解析 y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32. 最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．15．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________.解析 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1.因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2，所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13，所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12.16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解 如图所示，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC 的中点，在Rt △ONC 中，CN ＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DMtan π6＝3DM ＝3CN ＝3sin α，所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2CN ＝2sin α， 故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3. 因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3.故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值，此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
初中三角函数公式表,30°,45°,60°角的三角函数值
初中三角函数公式表，30°,45°,60°角的三角函数值初中三角函数入门知识三角函数在初中数学中占有非常重要的地位。
你必须精通并准备掌握初中常用的三角函数的公式，才能更好的解决数学问题。
接下来给大家分享一下初中常用的三角函数公式，希望同学们能牢记在心。
三角函数基本公式三角函数半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√做粗数((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数倍角公式Sin2A=2SinA*CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)三角函数三倍角公式sin3A=4sinA*sin(π/3+A)sin(π/3-A) cos3A=4cosA*cos(π/3+A)cos(π/3-A) tan3A=tanA*tan(π/3+A)*tan(π/3-A)三角函数两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)三角函数积化和差sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数和差化凳拆积sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数关系公式三角函数的倒数关系公式tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1三角函数的商数关系公式tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα三角函数的平方关系纯首公式(sina)^2+(cosa)^2=11+(tana)^2=(seca)^21+(cota)^2=(csca)^2初中的三角函数的口诀三角函数是初中数学的重要组成部分。
三角函数的倍角公式与应用解析
三角函数的倍角公式与应用解析三角函数是数学中重要的概念之一，在解析几何和三角学中有着重要的应用。
其中，倍角公式是三角函数中的一个重要内容，它能够帮助我们简化复杂的三角函数表达式，以及解决一些与角度相关的问题。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式及其应用。
一、正弦的倍角公式正弦函数是三角函数中的不可或缺的一部分，其倍角公式可以通过角度加倍的方式简化计算。
对于任意角度θ，其正弦的倍角公式可以表示为：sin(2θ) =2sinθ*cosθ这个公式可以通过将角度θ加倍并应用著名的“和差化积”公式来推导得到。
在实际应用中，正弦的倍角公式可以帮助我们解决一些与周期性运动有关的问题，比如弦波的振幅、频率等。
二、余弦的倍角公式与正弦类似，余弦函数的倍角公式可以通过角度加倍的方式简化计算。
对于任意角度θ，其余弦的倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式也是通过将角度θ加倍并应用“和差化积”公式推导而来。
在实际应用中，余弦的倍角公式常常用来解决三角函数表达式的求值问题，以及求解与角度相关的几何问题。
三、正切的倍角公式正切函数是三角函数中的另一个重要概念，其倍角公式可以帮助我们简化计算。
对于任意角度θ，其正切的倍角公式可以表示为：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)这个公式是通过将角度θ加倍并应用正切的“和差化积”公式推导而来。
在实际应用中，正切的倍角公式常常用来解决与三角函数有关的导数和极限计算问题。
四、在几何和物理中的应用解析三角函数的倍角公式在几何和物理等领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用解析：1. 几何中的角平分线问题：倍角公式可以帮助我们解决角平分线的问题，即如何将一个角度平分为两个相等的部分。
2. 物理中的振动问题：在物理中，周期性运动往往可以用三角函数来描述，倍角公式可以帮助我们简化振动问题的分析和求解。
3. 几何中的角度和边长关系：通过倍角公式，我们可以探索角度和边长之间的关系，从而解决与几何形状相关的问题，比如三角形的面积计算等。
倍角及半角公式
倍角及半角公式在三角函数中，倍角及半角公式是求解特定角的重要工具。
它们可以将一个角的角度加倍或减半，从而简化计算，提高效率。
本文将介绍倍角公式和半角公式的定义、推导以及应用。
一、倍角公式倍角公式是将一个角的角度加倍得到另一个角的角度的公式。
常用的倍角公式包括正弦倍角公式、余弦倍角公式和正切倍角公式。
1. 正弦倍角公式正弦倍角公式可以表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为原角的角度。
这个公式可以通过将正弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
2. 余弦倍角公式余弦倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ该公式也可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用三角恒等式和倍角公式进行推导得到。
3. 正切倍角公式tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这个公式可以通过将正切函数展开为正弦和余弦的比值形式，然后利用倍角公式进行推导得到。
二、半角公式半角公式是将一个角的角度减半得到另一个角的角度的公式。
常用的半角公式包括正弦半角公式、余弦半角公式和正切半角公式。
1. 正弦半角公式正弦半角公式可以表达为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中，θ为原角的角度。
根据正弦半角公式，我们可以通过已知一个角的正弦值来求解该角对应的半角。
2. 余弦半角公式余弦半角公式可以表达为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]该公式可以通过将余弦函数展开为欧拉公式的形式，然后利用半角公式进行推导得到。
3. 正切半角公式tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]根据正切半角公式，我们可以通过已知一个角的正切值来求解该角对应的半角。
三、应用举例倍角及半角公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在三角函数的求值中，通过利用倍角公式可以将一个角的角度加倍，从而可以快速计算出正弦、余弦和正切值。
高三数学三角函数公式
高三数学三角函数公式高三数学三角函数公式大全进入高三，我们必须对自己所学的各科知识的有个全面的把握。
高三数学复习从基础复习到慢慢深入，高三学生学习高中数学，要掌握好高三数学公式。
以下是关于高三数学三角函数公式的相关内容，供大家参考!高三数学三角函数公式大全sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA?-SinA?=1-2SinA?=2CosA?-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA?)(注：SinA?是sinA的平方sin2(A))三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina三角函数辅助角公式Asinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A?+B?)’(1/2)cost=A/(A?+B?)’(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A?+B?)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin?(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos?(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan?(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos?α1-cos2α=2sin?α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)?=2sina(1-sin?a)+(1-2sin?a)sina=3sina-4sin?acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos?a-1)cosa-2(1-sin?a)cosa=4cos?a-3cosasin3a=3sina-4sin?a=4sina(3/4-sin?a)=4sina[(√3/2)?-sin?a]=4sina(sin?60°-sin?a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina__2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]__2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos?a-3cosa=4cosa(cos?a-3/4)=4cosa[cos?a-(√3/2)?]=4cosa(cos?a-cos?30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa__2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]__{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)三角函数半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin?(a/2)=(1-cos(a))/2cos?(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角函数三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)三角函数两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2三角函数诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]其它公式(1)(sinα)?+(cosα)?=1(2)1+(tanα)?=(secα)?(3)1+(cotα)?=(cscα)?证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)?,第二个除(cosα)?即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)?+(cosB)?+(cosC)?=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)?+(sinB)?+(sinC)?=2+2cosAcosBcosC(9)si nα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π__2/n)+sin(α+2π__3/n)+……+sin[α+2π__(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π__2/n)+cos(α+2π__3/n)+……+cos[α+2π__(n-1)/n]=0以及sin?(α)+sin?(α-2π/3)+sin?(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0高三数学学习技巧一、用好课本：侧重以下几个方面1.对数学概念重新认识，深刻理解其内涵与外延，区分容易混淆的概念。
大学常用三角函数公式
大学常用三角函数公式锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA/(1-tanA^2(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A三倍角公式sin3α=4sinα²sin(π/3+αsin(π/3-αcos3α=4cosα²cos(π/3+αcos(π/3-αtan3a = tan a ² tan(π/3+a² tan(π/3-a三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t,其中sint=B/(A^2+B^2^(1/2cost=A/(A^2+B^2^(1/2tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t,tant=A/B 降幂公式sin^2(α=(1-cos(2α/2=versin(2α/2cos^2(α=(1+cos(2α/2=covers(2α/2tan^2(α=(1-cos(2α/(1+cos(2α推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2^2=2sina(1-sin²a+(1-2sin²asina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1cosa-2(1-sin²acosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a=4sina[(√3/2²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a=4sina(sin60°+sina(sin60°-sina=4sina*2sin[(60+a/2]cos[(60°-a/2]*2sin[(60°-a/2]cos[(60°-a/2]=4sinasin(60°+asin(60°-acos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4=4cosa[cos²a-(√3/2²]=4cosa(cos²a-cos²30°=4cosa(cosa+cos30°(cosa-cos30°=4cosa*2cos[(a+30°/2]cos[(a-30°/2]*{-2sin[(a+30°/2]sin[(a-30°/2]} =-4cosasin(a+30°sin(a-30°=-4cosasin[90°-(60°-a]sin[-90°+(60°+a]=-4cosacos(60°-a[-cos(60°+a]=4co sacos(60°-acos(60°+a上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-atan(60°+a半角公式tan(A/2=(1-cosA/sinA=sinA/(1+cosA;cot(A/2=sinA/(1-cosA=(1+cosA/sinA.sin^2(a/2=(1-cos(a/2cos^2(a/2=(1+cos(a/2tan(a/2=(1-cos(a/sin(a=sin(a/(1+cos(a三角和sin(α+β+γ=sinα²cosβ²cosγ+cosα²sinβ²cosγ+cosα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²sin γcos(α+β+γ=cosα²cosβ²cosγ-cosα²sinβ²sinγ-sinα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²cos γtan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα²tanβ²tanγ/(1-tanα²tanβ-tanβ²tanγ-tanγ²ta nα两角和差cos(α+β=cosα²cosβ-sinα²sinβcos(α-β=cosα²cosβ+sinα²sinβsin(α±β=sinα²cosβ±cosα²sinβtan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα²tanβtan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα²tanβ和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ/2] cos[(θ-φ/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ/2] sin[(θ-φ/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ/2] cos[(θ-φ/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ/2] sin[(θ-φ/2]tanA+tanB=sin(A+B/cosAcosB=tan(A+B(1-tanAtanB tanA-tanB=sin(A-B/cosAcosB=tan(A-B(1+tanAtanB 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β-cos(α+β] /2cosαcosβ = [cos(α+β+cos(α-β]/2sinαcosβ = [sin(α+β+sin(α-β]/2cosαsinβ = [sin(α+β-sin(α-β]/2诱导公式sin(-α = -sinαcos(-α = cosαtan (—a=-tanαsin(π/2-α = cosαcos(π/2-α = sinαsin(π/2+α = cosαcos(π/2+α = -sinαsin(π-α = sinαcos(π-α = -cosαsin(π+α = -sinαcos(π+α = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α=-cotαtan(π/2-α=cotαtan(π-α=-tanαtan(π+α=tanα诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2/[1+tan^(α/2]cosα=[1-tan^(α/2]/1+tan^(α/2]tanα=2tan(α/2/[1-tan^(α/2]其它公式(1(sinα^2+(cosα^2=1(21+(tanα^2=(secα^2(31+(cotα^2=(cscα^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα^2,第二个除(cosα^2即可(4对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C tan(A+B=tan(π-C (tanA+tanB/(1-tanAtanB=(tanπ-tanC/(1+tanπtanC 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6cot(A/2+cot(B/2+cot(C/2=cot(A/2cot(B/2cot(C/2 (7(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC (8（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC (9sinα+sin(α+2π/n+sin(α+2π*2/n+sin(α+2π*3/n+……+sin[α+2π*(n-1/n]=0cosα+cos(α+2π/n+cos(α+2π*2/n+cos(α+2π*3/n+……+cos[α+2π*(n-1/n]=0 以及sin^2(α+sin^2(α-2π/3+sin^2(α+2π/3=3/2 tanAtanBtan(A+B+tanA+tanB-tan(A+B=0。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数在数学中是一类重要的函数，它们在各种数学问题和实际应用中都发挥着重要的作用。
在三角函数的研究中，倍角公式和半角公式是两个常用的公式。
本文将重点论述三角函数的倍角公式与半角公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个公式。
一、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式正弦函数的倍角公式表达为：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中θ表示任意角度。
这个公式可以直接从正弦函数的和角公式推导得出，也可以通过三角函数的平方公式得到。
具体的推导过程在此不做赘述。
倍角公式的应用十分广泛，在解决各类三角函数问题时特别有用。
例如，在计算三角函数值时，如果给定的角度是一个已知角度的两倍，可以直接利用倍角公式来计算。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数的倍角公式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式同样可以通过和角公式或平方公式推导得到。
倍角公式是解决三角函数问题的重要工具。
它们能够将多个三角函数的值联系起来，简化计算过程，提高解题效率。
二、半角公式半角公式是倍角公式的逆运算，它将一个角的值通过三角函数的值反推回去。
1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式为：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]其中±表示正负号的取值。
这个公式可以通过倍角公式进行推导。
具体的推导过程涉及到平方根的性质和三角函数之间的关系，需要进行一定的代数运算。
2. 余弦函数的半角公式余弦函数的半角公式为：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]同样地，±表示正负号的取值。
半角公式在解决三角函数问题时也有着广泛的应用。
如在一些特定条件下，给定一个角度的正弦或余弦函数值，可以通过半角公式求解出这个角度的值。
总结：通过本文的论述，我们了解到了三角函数的倍角公式与半角公式的定义与应用。
倍角公式可以将一个角度的三角函数值通过公式转化为其他角度的三角函数值，提供了一种快速计算的工具。
三角函数公式大全
1、任意角的三角函数注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。
在角α的终边上任取一点P（x，y）,记：r=√x2+y2，正弦：sinα=yr 余弦：cosα=xr正切：tanα=yx 余切：cotα=xy正割：secα=rx 余割：cscα=ry2、角三角函数的基本关系式倒数关系：sinα∙cscα=1，cosα∙secα=1，tanα∙cotα=1商数关系：tanθ=sinθcosθ，cotθ=cosθsinθ平方关系：sin2α+cos2α=1，1+ tan2α=sec2α，1+ cot2α=csc2α3、诱导公式kπ2+α的三角函数值，把α看成锐角时，当K为偶数时，函数名称不变，当K为奇数时，函数名变为异名函数。
正负要看原函数值的符号。
（口诀：奇变偶不变，符号看象限）4、和差公式sin(α±β)=sinα∙cosβ±cosα∙sinβsin(α±β)=sinα∙cosβ∓cosα∙sinβtan（α±β）=tanα±tanβ1∓tanα∙tanβ5、二倍角公式sin2α=2sinα∙cosαcos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α(*)tan2α=2tanα1−tan2α二倍角的余弦公式（*）有以下常用变形（口诀：降幂扩角，升幂缩角）1+cos2α=2cos2α1−cos2α=2sin2α1+sin2α=(sinα+cosα)21−sin2α=(sinα−cosα)2cos 2α=1+cos2α2 sin 2α=1+sin2α2=1−cos2α2tan α=1−cos2αsin2α=sin2α1+cos2α6、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）sin2α=2tan α1+tan 2α，cos2α=1−tan 2α1+tan 2α，tan2α=2tan α1−tan 2α7、和差化积公式sinα±sinβ=2sinα±β2cos α∓β2 cosα+cosβ=2cosα+β2cos α−β2 cosα−cosβ=−2sinα+β2sin α−β2了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式sinα=sin (α+β2+α−β2)=sin α+β2cos α−β2+cos α+β2sin α−β2sinβ=sin (α+β2−α−β2)=sin α+β2cos α−β2−cos α+β2sin α−β2两式相加、相减可行sin 和差化积公式。
辅助角公式
辅助角公式
辅助角公式是三角函数中的一个重要概念，它用于求解具有特殊关系的角的正弦、余弦和正切值。
辅助角公式是数学的基础知识之一，它在解决三角函数相关问题时非常有用。
辅助角公式的基本形式为：
对于任意角x，有以下关系成立：
1. 正弦公式：sin(x + 2πk) = sin(x)
2. 余弦公式：cos(x + 2πk) = cos(x)
3. 正切公式：tan(x + πk) = tan(x)
在这些公式中，k为任意整数。
辅助角公式的作用是将求解角的问题转化为求解其辅助角的问题，从而简化计算步骤。
除了基本的辅助角公式，还有一些相关的扩展公式可以用于更复杂的三角函数计算。
例如，可以通过辅助角公式推导出双角公式、半角公式等，进一步扩展了辅助角公式的应用范围。
辅助角公式在数学和物理等学科中有广泛的应用。
通过利用这些公式，可以简化复杂的三角函数计算，解决各种与角度相关的问题。
例如，在几何学中，可以利用辅助角公式计算平面图形中的角度关系；在物理学中，可以利用辅助角公式计算物体在斜面上的运动。
总结起来，辅助角公式是解决三角函数相关问题的重要工具。
它能够简化计算步骤，提高解题效率，并有广泛的应用领域。
掌握辅助角公式对于学习和理解三角函数的性质和应用非常重要。
辅助角公式讲解
辅助角公式讲解辅助角公式是在解决三角函数运算的过程中常用的一种方法，可以帮助我们简化一些复杂的三角函数式子，使其更易于计算。
本文将对辅助角公式进行详细的讲解，包括其定义、性质、应用等方面的内容。
一、辅助角公式的定义辅助角公式是指在三角函数运算过程中，通过引入一个新的角度来简化三角函数式子的方法。
这个角度通常是由原来的角度加上或减去一个固定的值，使得三角函数式子变得更容易计算。
具体来说，辅助角公式有以下几种形式：① sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)② cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)③ tan(a+b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))④ cot(a+b) = (cot(a)cot(b) - 1) / (cot(a) + cot(b))其中，a和b均为任意角度。
二、辅助角公式的性质1. 余角公式：若a+b=90°，则sin(a+b)=cos(a)，cos(a+b)=sin(a)，tan(a+b)=cot(a)，cot(a+b)=tan(a)。
2. 差角公式：sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)，cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)，tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))，cot(a-b)=(cot(a)cot(b)+1)/(cot(b)-cot(a))。
3. 和差角公式：sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)，cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)，tan(a+b)-(tan(a-b))=2tan(a)tan(b)，cot(a+b)+cot(a-b)=2cot(a)cot(b)。
4. 二倍角公式：sin2a=2sinacos(a)，cos2a=cosa-sina，tan2a=(2tana)/(1-tana)，cot2a=(cota-1)/(2cot(a))。
考研数学必备公式之倍角公式与半角公式
考研数学必备公式之倍角公式与半角公式在高等数学中，倍角公式和半角公式是非常常用的一类公式，它们可以用于简化复杂的数学运算，解决各种问题。
首先，我们来看倍角公式。
倍角公式是将角度的两倍表示为原来角度的函数形式。
下面是常见的倍角公式：1.正弦倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)2.余弦倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 2cos^2(θ) - 1 = 1 -2sin^2(θ)3.正切倍角公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan^2(θ))倍角公式可以在解题中应用广泛，比如用来简化三角函数的运算、求解等式、证明等等。
接下来，我们来看半角公式。
半角公式是将角度的一半表示为原来角度的函数形式。
下面是常见的半角公式：1.正弦半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)2.余弦半角公式：cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)3.正切半角公式：tan(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/(1 + cos(θ)))半角公式可以在解题中应用广泛，特别是在三角函数的复合函数、积分、微分等问题中常常用到。
举个例子来说明倍角公式和半角公式的应用。
例题：已知cos(θ) = 1/3，求sin(2θ)的值。
解析：根据倍角公式cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 1 -2sin^2(θ)，我们可以先求出sin^2(θ)，再代入公式求解。
cos(θ) = 1/3，那么sin^2(θ) = 1 - cos^2(θ) = 1 - (1/3)^2 = 8/9代入cos(2θ) = 1 - 2sin^2(θ)，我们可以求得c os(2θ) = 1 - 2 * 8/9 = -5/9根据sin^2(2θ) + cos^2(2θ) = 1，我们可以解得sin^2(2θ) = 1 - (cos(2θ))^2 = 1 - (-5/9)^2 = 24/81所以sin(2θ) = ±√(24/81)通过倍角公式的运用，我们可以简化原来的题目，求解sin(2θ)的值。
三角函数的倍角公式与半角公式
三角函数的倍角公式与半角公式三角函数是高中数学中不可避免的一个部分，而三角函数的倍角公式与半角公式在解决一些复杂的三角函数问题时非常有用。
本文将着重介绍这些公式及其应用，在此之前我们先来回顾一下三角函数的定义。
三角函数的定义三角函数是一组用以求解三角形各边与角度之间的数学函数，常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数是通过几何定义而来的。
以正弦函数为例，它被定义为直角三角形中对边与斜边之比，记作sinθ，其中θ为对应的角度。
同理，余弦函数为临边与斜边之比，记作cosθ，正切函数为对边与临边之比，记作tanθ。
三角函数的值在不同的角度下有不同的取值，我们可以通过三角函数表来查询它们的值。
三角函数的倍角公式在使用三角函数解决问题时，经常会遇到需要计算某一角度的若干倍角的情况。
这时，就需要用到三角函数的倍角公式。
正弦函数的倍角公式为：sin2θ = 2sinθcosθ余弦函数的倍角公式为：cos2θ = cos^2θ - si n^2θtan函数的倍角公式为：tan2θ = (2tanθ)/(1-tan^2θ)这些公式的最大特点是将一个角度的正弦、余弦、正切函数的平方或乘积，转化为两个角度相加或减少的三角函数相乘或相加的形式。
这种变化使得计算可以更为简化，同时也提高了计算的精度。
倍角公式的应用在三角函数的求导、解三角方程等问题中非常常见。
三角函数的半角公式与倍角公式相似，半角公式也是一类用于简化三角函数计算的公式，它将一个角度一份为二后的三角函数表达式，转化为角度本身的三角函数表达。
正弦函数的半角公式为：sinθ/2 = ±√[(1-cosθ)/2]余弦函数的半角公式为：cosθ/2 = ±√[(1+cosθ)/2]tan函数的半角公式为：tanθ/2 = ±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]需要注意的是，半角公式的正负号与原角度的象限有关，需要根据实际问题选择合适的正负号。
辅助角公式总结
辅助角公式总结辅助角公式在三角函数的学习中可是个相当重要的家伙！它能帮我们把形如 $a\sin x + b\cos x$ 的式子化简成一个单一的三角函数形式，让解题变得轻松不少。
先来说说辅助角公式的表达式：$\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$ ，其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$ 。
咱们拿个具体的例子来瞅瞅。
比如说，$3\sin x + 4\cos x$ ，这时候咱们就可以用辅助角公式啦。
先算出 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，然后$\tan\varphi = \frac{4}{3}$ ，所以 $\varphi$ 约等于 $53^{\circ}$ 。
于是，$3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 53^{\circ})$ 。
我记得之前给学生讲这部分内容的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。
我就跟他说：“你就把这公式想象成一个魔法盒子，把两个三角函数扔进去，它就能给你变出一个更厉害的！” 那孩子听了之后，眼睛瞪得大大的，好像突然来了兴趣。
再说说辅助角公式的应用吧。
在求三角函数的最值、周期、单调区间等问题时，它可真是大显身手。
比如说，求函数 $y = 2\sin x +2\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。
用辅助角公式一化简，变成 $4\sin(x +\frac{\pi}{3})$ ，一下子就能看出最大值是 4 啦。
还有啊，在解三角形的时候，辅助角公式也能帮上忙。
比如已知三角形的两边和夹角，要求第三边的长度。
通过正弦定理和余弦定理把式子变成含有三角函数的形式，再用辅助角公式化简，就能更方便地求出结果。
我曾经在课堂上出了一道题：已知函数 $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ ，求它在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值。
有个学生很快就用辅助角公式算出了结果，还得意洋洋地跟旁边的同学炫耀。
三角函数公式一览表
四心口诀
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
4. 5. 6. 7. 8. 向量平行：X1Y2=X2Y1 x y a ( x1 , y1 ห้องสมุดไป่ตู้, b ( x2 , y2 ), 1 1 则a // b x2 y2 向量垂直：X1X2+Y1Y2=0
重心...中线交点... 3个端点为(X1,Y1) (X2,Y2) (X3,Y3)重心坐标就是【(X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3】
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源； 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为“外心”，用它可作外接圆． “内心”“外心”莫记混， “内切”“外接”是关键．
倍角公式
三角函数一览表
奇变偶不变，符号看象限
和差化积
万能公式
+ + - sin a
- + - + cos a
- + + tan a
半角公式
两角和差
积化和差
辅助角公式
1=tan45°=cot45°= sin2α +cos2β =sin90°=cos0°=tanα ·cotα＝sinα ·cscα＝cosα ·secα＝sec2α- tan2α＝csc2α-cot2α 二倍角：sin2a=(sina+cosa)2-1=1-(sina-cosa)2=(sina+cosa+1)(sina+cosa-1)=(1+sina-cosa)(1-sina+cosa) cos2a=cos2a-sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina) 三倍角：sin3a=3sina-4cos3a cos3a=4cos2a-3cosa 其他：sina=sin2a/2cosa cosa =sin2a/2sina 1+cosa =2cos2(a/2) 1-consa =2sin2(a/2) 降次：sin2a=(1-cos2a)/2 cos2a=(1+cos2a)/2
三角函数公式大全及记忆口诀
三角函数公式大全及记忆口诀-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角函数公式大全一、定义锐角三角函数任意角三角函数图形直正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）二、函数关系倒数关系：；；商数关系：；．平方关系：；；三、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限公式一：设?为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设?为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角?与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：四、基本公式1.和差角公式口诀：正余同余正，余余反正正；；；2.和差化积口诀：正加正，正在前。
正减正，余在前。
余加余，余并肩。
余减余，余不见，负号很讨厌。
；；3.积化和差4.倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）5.半角公式五、万能公式六、辅助角公式七、三角形定理1.正弦定理在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有正弦定理变形可得：2.余弦定理在如图所示的在△ABC中，有或。
三角函数公式大全
三角函数公式大全锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a ² tan(π/3+a)² tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα²cosβ²cosγ+cosα²sinβ²cosγ+cosα²cosβ²sinγ-sinα²s inβ²sinγcos(α+β+γ)=cosα²cosβ²cosγ-cosα²sinβ²sinγ-sinα²cosβ²sinγ-sinα²s inβ²cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα²tanβ²tanγ)/(1-tanα²tanβ-tanβ²ta nγ-tanγ²tanα)两角和差cos(α+β)=cosα²cosβ-sinα²sinβcos(α-β)=cosα²cosβ+sinα²sinβsin(α±β)=sinα²cosβ±cosα²sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα²tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα²tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n] =0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0一、诱导公式口诀：（分子）奇变偶不变，符号看象限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
和，辅，倍角公式
一、和差公式：
1、sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-； cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；cos()cos cos +sin sin αβαβαβ-=； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
--=+
二、辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ+=+， 其中：
tan ,sin b a ϕϕϕ===证明过程：
三、二倍角公式：
1、二倍角：
2、降幂
sin 22sin cos ααα=；1sin cos sin 22
ααα= 例题4：化简求值之基础训练：
（2）cos32cos77sin148cos13o o o o +=
（3）sin()sin()cos()cos()x y x y x y y x +-++-=
（4）若3
53cos ,sin ,(,),(,2)51322
ππαβαπβπ=-=-∈∈，则sin()αβ+= （5）已知3
3sin ,(,2)52
πααπ=-∈，则cos()4πα-= 例题5：化简求值之升华训练
（1）已知1cos(),cos sin 38
πααα-=+则的值为
（4）已知11tan(),tan ,tan(2)27
αββαβ-==--=求 例6：化简求值之综合应用：
（5）sin()sin()cos 66y x x x ππ
=++-+ 辅助角公式专项训练
1.已知函数1()sin cos 44
f x x x =-。
（1）若5cos 13x =-，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。
2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222
f x x x πϕϕϕ=+-+(0)ϕπ<<，其图像过点1(,)62
π。
(1)求的ϕ值；
(2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最值。
3.已知函数()2cos sin()3f x x x π
=+。
（1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；
（2）求函数()f x 图像的对称轴方程。
4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42
f π=。
（1）求()f x 的单调递减区间；
（2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？ 5.设22()cos()2cos ,32
x f x x x R π=+
+∈。
（1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。
6.已知()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ=-+-+。
（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦上的值域。
7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324
f x x x
g x x ππ=+-=-。
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。
8.设2()sin(
)cos 1468
f x x x πππ=--+，若函数()y
g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()y g x =的最大值。
9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-。
（1）求()3f π
的值；（2）求()f x 的最值。
10.已知向量(sin ,cos )m A A =r ，1)n =-r ，1m n =r r g ，且A 为锐角。
（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域。