第一部分 第二章 2.4 第一课时 等比数列

(3)每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调
的是“同一个”． 返回
(4)对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比， 次序不能颠倒． (5)各项不为零的常数数列，既是等差数列，又是等 比数列． 2．对等比中项的理解 (1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号 相反的两个实数不存在等比中项． G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数． (2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如 02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．
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等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项 公式为：an＝ a1qn－1 .
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1．对等比数列定义的理解
(1)公比q≠0，这是必然的，也就是说，不存在公比
q＝0的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在 数值为0的项． (2)每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具 有任意性的，但须注意是从“第2项”起．
＝2an＋1”，其他条件不变，试判断数列{an＋1}是
否为等比数列．
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解：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． 由 a1＝1，知 a1＋1≠0，从而 an＋1≠0. an＋1＋1 ∴ ＝2(n∈N*)． an＋1 所以数列{an＋1}是以 2 为公比的等比数列.
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[例2] 在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [思路点拨] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1
倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是
1,2,22,23，…，263，
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(3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那
么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055， 问题：以上数列有何共同特征？ 提示：每一个数列从第2项起，每一项与它前一项的 比值都等于同一个常数．
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3．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项
是 A．405 C．135 B．－405 D．－135 ( )
解析：∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405. 答案：A
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4． 一个各项均为正数的等比数列， 每一项都等于它后面两 项的和，则公比 q＝ 3 A. 2 5－1 C. 2 3 5 B. 2 5＋1 D. 2 ( )
－3
或 an＝(－1)n 1·n 3. 3
－
－
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1 4 法二：∵a6＝a2· ，∴－27＝－3· .∴q4＝81. q q
4
∴q＝± 3. 据 an＝a2· q
n－2
1 n－2 1 － ，有 an＝－3· 或 an＝－3· 3 (－3)n 2.
∴an＝－3n－3 或 an＝(－1)n－1·n－3. 3
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解析：依题意 a1＝a2＋a3，∴a1＝a1q＋a1q2.∵a1≠0， －1＋ 5 －1－ 5 ∴q ＋q－1＝0，∴q＝ 或 q＝ (舍去 Nhomakorabea． 2 2
2
答案：C
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1 5．已知等比数列{an}中，a2＝－3，a6＝－27.求数列{an}的通 项公式．
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解：法一：设等比数列{an}的公比为 q. 1 1 1 a1q＝－ ， a1＝－ ， a1＝ ， 3 9 9 由已知得 解得 或 a1q5＝－27， q＝3， q＝－3. 1 n－1 1 ∴{an}的通项公式是 an＝－9· 或 an＝9· 3 (－3)n－1， 即 an＝－3n
G b 提示：由等比数列的定义可得 a ＝G，所以 G2＝ab.
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如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成
等比数列
，那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三
个数满足关系式 G＝± ab.
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问题：若数列{an}为等比数列，公比为q，则： a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝ a1q4，…，由此你可以得出什么结论呢？ 提示：an＝a1qn－1.
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1．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n,3an＋1－an ＝0，则an＝__________.
an＋1 1 1 解析： 由题设 a ＝3， ∴数列{an}是等比数列， 公比为3， n
1n－1 ∴an＝2· . 3
1n－1 答案：2· 3
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2．本例题条件中“an＋2an－1＋3＝0(n≥2)”改为“an＋1
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3．等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列． (2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量， 已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
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第一课时
等比数列
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[例1]
设数列{an}满足a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2)，
试判断数列{an＋1}是否是等比数列，并指出该数列的首项． [思路点拨] 首先分清该数列的通项是什么，然后根据
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定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，
表达式
每一项与它的前一项的比等 于 同一个常数 ，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 0 通常用字母q表示(q≠ )
an＋1 an ＝q
(q为常数，q≠0) ，
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问题：若在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比 数列，则G与a，b有何关系？
与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
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[精解详析]
a q3＝2 1 所以 6 a1q ＝8
a ＝a q3， 4 1 (1)法一：因为 a7＝a1q6，
① ②
② 3 3 由 得 q ＝4，从而 q＝ 4，而 a1q3＝2， ①
2 n 5 2 1 －1 于是 a1＝ 3＝ ，所以 an＝a1qn ＝2 3 . q 2
1 n－ 1 所以 32×(2) ＝1， 即 26 n＝20，所以 n＝6. 1 法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝2. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6.
－
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[一点通]
等比数列基本量的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量， 其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求an， 法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也 是常见的方法．
1n 即第 n 次操作后酒精的浓度是(1－a) . 1 1 当 a＝2 时，由 an＝(2)n＜10，解得 n≥4. 故至少应操作 4 次后才能使酒精浓度小于 10%.
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1．等比数列的证明(判断) 等比数列的证明(判断)常有三种方法，即定义法、等比 an＋1 中项法和通项法．解答题通常都用定义法，即 a ＝q(常数)． n 这里必须注意两点：①n≥1；②q 为与 n 无关的常数．只 有满足了这两点才能说明此数列为等比数列．
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法二：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4.
2 n 5 3 n－4 所以 an＝a4qn－4＝2· 4) ＝2 3 . (
a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18 (2)法一：因为 a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9
③ ④
④ 1 由 得 q＝2，从而 a1＝32，又 an＝1 ③
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解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成 一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n 次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制
的时间为15×3＝45分钟．
答案：45
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7．从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇 匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续 下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时， 至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
等比数列的定义进行判断．
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[精解详析] ∵an＋2an－1＋3＝0(n≥2)， an＋1 ∴an＋1＝－2(an－1＋1)，即 ＝－2. an－1＋1 ∴数列{an＋1}是以－2 为公比的等比数列． 其首项为 a1＋1＝2.
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[一点通]
判定数列是等比数列常用的方法
an＋1 an (1)定义法： a ＝q(常数)或 ＝q(常数)(n≥2)⇔{an} an－1 n 为等比数列． (2)等比中项法 a2 ＋1＝an·n＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等 a n 比数列． (3)通项法：an＝a1qn－1(其中 a1、q 为非零常数， n∈N*)⇔{an}为等比数列．
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2．等比数列的通项公式
除了公式an＝a1·n－1外，公式an＝amqn－m也可以称 q
为通项公式，要根据题目的特点灵活选用公式，使问题
的解答快捷、准确．
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[精解详析] 设从 2011 年 1 月开始，第 n 个月该厂的 生产总值是 an 万元，则 an＋1＝an＋anm%， an＋1 ∴ a ＝1＋m%. n ∴数列{an}是首项 a1＝a， 公比 q＝1＋m%的等比数列． ∴an＝a(1＋m%)n－1. (8 分) (4 分)
∴2012 年 8 月底该厂的生产总值为 a20＝a(1＋m%)
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1 解：设开始的浓度为 1，操作一次后溶液浓度 a1＝1－a，设 操作 n 次后溶液的浓度为 an， 1 则操作 n＋1 次后溶液的浓度为 an＋1＝an(1－a)．从而建立了 递推关系．
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1 1 ∴{an}是以 a1＝1－a为首项，公比为 q＝1－a的等比数列． ∴an＝a1q
n－1
1n ＝(1－a) ，
20－1
＝a(1＋m%)19(万元)．