部分第二章25第一课时等比数列的前n项和

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《等比数列的前 n 项和》讲义

《等比数列的前 n 项和》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。

例如：数列 2，4，8，16，32，就是一个公比为 2 的等比数列。

二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n 1}＼），其中\（a_1\）为首项，＼（n\）为项数。

通项公式的作用在于，只要知道等比数列的首项和公比，就可以求出任意一项的值。

三、等比数列的前 n 项和公式推导我们先来考虑一个简单的等比数列：＼（a_1\），＼（a_1q\），＼（a_1q^2\），＼（a_1q^3\），，＼（a_1q^｛n 1}＼）。

其前 n 项和为：＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋a_1q^｛n 1}＼）①两边同乘以公比 q ，得到：＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1} ＋ a_1q^n\）②由②①，可得：＼＼begin{align}qS_n S_n&＝（a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1} ＋a_1q^n) （a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1}）＼＼（q 1)S_n&＝a_1q^n a_1\＼S_n&＝＼frac{a_1(q^n 1)｝｛q 1} （q ≠ 1)＼end{align}＼当 q ＝ 1 时，等比数列变为常数列，＼（S_n ＝ na_1\）。

四、等比数列前 n 项和公式的特点1、当q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和公式是一个关于 n 的指数型函数。

2、当 q ＝ 1 时，前 n 项和就是首项乘以项数。

五、等比数列前 n 项和公式的应用例 1：已知等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项\（a_1 ＝ 2\），公比\（q ＝ 3\），求前 5 项的和\（S_5\）。

等比数列的前n项和数列总结

等比数列的前n 项和一、等比数列的前n 项和公式 1．乘法运算公式法∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝a 1·1－q 1＋q ＋q 2＋…＋q n －11－q ＝a 11－q n1－q， ∴S n ＝a 11－q n1－q. 2．方程法 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，∴(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .∴S n ＝a 11－q n1－q. 3．等比性质法∵{a n }是等比数列，∴a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . ∴a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q 于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n1－q. 二、等比数列前n 项和公式的理解(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q n 1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．等比数列前n 项和性质（1）在等比数列{a n }中，连续相同项数和也成等比数列，即：S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍成等比数列．（2）当n 为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S 偶S 奇＝q . （3）若一个非常数列{a n }的前n 项和S n ＝－Aq n ＋A (A ≠0，q ≠0，n ∈N *)，则数列{a n }为等比数列，即S n ＝－Aq n ＋A ⇔数列{a n }为等比数列．题型一等比数列前n 项和公式的基本运算（在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1和q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用；在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．）1、在等比数列{a n}中，(1)若S n＝189，q＝2，a n＝96，求a1和n；(2)若q＝2，S4＝1，求S8.2、设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q.题型二等比数列前n项和性质的应用3、一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170，求出数列的公比和项数．4、等比数列{a n}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.题型三等比数列前n项和的实际应用5、借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)[规范解答] 方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款a n元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，……a6＝1.01a5－a＝……＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝1.016×1021.016－1.因为1.016＝1.061，所以a＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝a[1＋0.016－1]1.01－1＝a[1.016－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝1.016×1021.016－1. 以下解法同法一，得a≈1 739.故每月应支付1 739元．方法技巧错位相减法求数列的和若数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以公比q，并向后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．6、已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .数列归纳整合一、数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．(4)a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2. 等差数列等比数列性质 ①设{a n }是等差数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s＋a t ＝a m ＋a n ；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m 项的和组成的新数列是等差数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等差数列 ①设{a n }是等比数列，若s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ； ②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列； ③等比数列中连续m 项的和组成的新数列是等比数列，即：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…是等比数列(注意：当q ＝－1且m 为偶数时，不是等比数列)函数特性 ①等差数列{an}的通项公式是n 的一次函数，即an ＝an ＋b(a≠0，a ＝d ，b ＝a1－d)； ②等差数列{an}的前n 项和公式是一个不含常数项的n 的二次函数，即Sn ＝an2＋bn(d≠0) ①等比数列{an}的通项公式是n 的指数型函数，即an ＝c·qn ，其中c≠0，c ＝a1q ； ②等比数列{an}的前n 项和公式是一个关于n 的指数型函数，即Sn ＝aqn －a(a≠0，q≠0，q≠1)三、等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列． (2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．专题一数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究函数的性质，而有了数列的通项公式，便可求出数列中的任何一项及前n 项和．常见的数列通项公式的求法有以下几种：(1)观察归纳法求数列的通项公式就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与序号n 的内在联系，结合常见数列的通项公式，归纳出所求数列的通项公式．(2)利用公式法求数列的通项公式数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出a 1与d 或a 1与q ，再代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a 1q n －1中即可．(3)利用a n 与S n 的关系求数列的通项公式如果给出的条件是a n 与S n 的关系式，可利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2，先求出a 1＝S 1，再通过计算求出a n (n ≥2)的关系式，检验当n ＝1时，a 1是否满足该式，若不满足该式，则a n 要分段表示．(4)利用累加法、累乘法求数列的通项公式形如：已知a 1，且a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可求和数列)的形式均可用累加法；形如：已知a 1，且a n ＋1a n＝f (n )(f (n )是可求积数列)的形式均可用累乘法． (5)构造法(利用数列的递推公式研究数列的通项公式)若由已知条件直接求a n 较难，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项公式．1、已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2且a 1＝2，求a n .2、数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n ＋2a n (n ∈N *)，求通项公式a n . 3、已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，求通项公式．4、设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．专题二数列求和求数列的前n 项和S n 通常要掌握以下方法：1、公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对等比数列q ≠1的讨论．2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列再求和．4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)．1、求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1的前n 项和S n . 2、在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项的和． 3、求和S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n .专题三数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，也是高考的必考内容及重点考查的范围，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．1、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且 a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围． 2、数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .。

第二章 2.5 第1课时等比数列前n项和公式

§2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n项和公式知识点二错位相减法1．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，也可以用这种方法．思考如果S n ＝a 1＋a 2q ＋a 3q 2＋…＋a n q n －1，其中{a n }是公差为d 的等差数列，q ≠1.两边同乘以q ，再两式相减会怎样？知识点三使用等比数列求和公式时注意事项(1)一定不要忽略q ＝1的情况；(2)知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用S n ＝a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用S n ＝a 1－a n q 1－q； (3)在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．1．在等比数列{a n }中，a 1＝b ，公比为q ，则前3项和为b (1－q 3)1－q.( ) 2．求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法．( )3.a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1.( ) 4．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( )题型一等比数列前n 项和公式的直接应用例1 求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.反思感悟求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立．跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数．题型二前n 项和公式的综合利用例2在等比数列{a n}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.反思与感悟 (1)a n ＝a 1qn －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ⎝⎛⎭⎪⎫或S n ＝a 1－a n q 1－q 两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解． (2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1－q n )1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q 1－q比较方便．跟踪训练2 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝ .题型三利用错位相减法求数列的前n 项和例3 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．反思感悟一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．分期付款模型典例小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)[素养评析]本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和S n等于()A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.1723．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．2754．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝ .1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( )A ．4－2100B ．4＋2100C ．4－2－98D ．4－2－1002．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－114．已知数列{a n }是等差数列，若a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，则数列{a n }的公差d 等于() A ．1 B ．－1C ．2D ．－25．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.236．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米二、填空题8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝ .9．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝ .10．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ . 11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝ .三、解答题12．(2018·绵阳检测)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n .14．在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2 B.(2n －1)23 C ．4n －1 D.4n －1315．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．。

高中数学第二章数列 2.5 等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解练习(含解析)新

第1课时等比数列前n 项和的求解A 级基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为() A ．63 B ．64 C ．127 D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16，所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127.答案：C2．设在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为() A.154B.152C.74D.72解析：根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1（1－q 4）（1－q ）·a 1q 2＝（1－q 4）（1－q ）q 2＝1－24（1－2）×22＝154. 答案：A3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于()A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为()A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. 因为S 2m S m ＝a 1（1－q 2m ）1－q a 1（1－q m）1－q ＝q m ＋1＝9，所以q m＝8. 所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2. 答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________．解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…a 99＝4a 1（1－833）1－8＝4a 1（299－1）7＝47×30＝1207.答案：12077．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n－1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n＝2（1－2n）1－2－n＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －28．(2016·某某卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1121 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n 及其前n 项和S n ； (2)设b n ＝1＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前10项和T 10.解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1，S n ＝1（1－3n ）1－3＝3n－12.(2)由(1)知b n ＝1＋log 3a n ＝1＋(n －1)＝n ，则1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T 10＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②① —②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.B 级能力提升1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2B.13(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，即S n ＝2n－1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)．答案：D2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则该数列的项数n ＝________．解析：a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（a 1＋a 2＋a 3＋a 4）q 4a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2.因为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－2）1－q ＝－a 11－q ＝1，所以a 11－q ＝－1.所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝q n－1＝15，所以q n＝16，即(q 4)n4＝24，所以n4＝4，所以n ＝16.答案：163．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝5，4a 23＝a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝2，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设＝a nb n b n ＋1，求数列{}的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 23＝a 2a 6得4a 23＝a 24，所以q 2＝4，由条件可知q >0，故q ＝2，由a 1＋2a 2＝5得a 1＋2a 1q ＝5，所以a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由b n ＋1＝b n ＋a n 得b n ＋1－b n ＝2n －1，故b 2－b 1＝20，b 3－b 2＝21，……，b n －b n －1＝2n －2(n ≥2)，以上n －1个等式相加得b n －b 1＝1＋21＋…＋2n －2＝1·（1－2n －1）1－2＝2n －1－1，由b 1＝2，所以b n ＝2n －1＋1(n ≥2)．当n ＝1时，符合上式，故b n ＝2n －1＋1(n ∈N *)．(3)＝a nb n b n ＋1＝b n ＋1－b n b n b n ＋1＝1b n －1b n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝12－12n ＋1.。

高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和

数学必修5
第二章数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析：显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1，解得q＝3，
n＝4.
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第二章数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮助这个穷人.
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第二章数列
(2)由题意知：SS奇奇＋－SS偶偶＝＝－ 802，40， ∴SS奇偶＝＝－－8106， 0. ∴公比q＝SS偶奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学必修5
第二章数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－－－－qqqq36＝＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
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第二章数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学

第十五页，共五十页。
• 『规律总结(zǒngjié)』在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn 中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1，q列方程组求解．
第十六页，共五十页。
〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
第六页，共五十页。
• 1．等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量公式
首项、公比与项数
Sn＝__a_1_n1_a－_1 _q_n_q＝1 ___1_－__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn＝__a_1－_n_aa_1 _nq_q＝1
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(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得 Tn＝b111－－22n＝b1(2n－1)，由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk. ∵S6＝T4，S5＝－9， ∴6331bb11－－65kk＝＝1－5b91，，解得k＝8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
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第二章
数列(shùliè)
等比数列的前项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
第二页，共五十页。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页，共五十页。
自主预习(yùxí)学案

《等比数列的前 n 项和》说课稿

《等比数列的前 n 项和》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是“等比数列的前 n 项和”。

接下来，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“等比数列的前 n 项和”是高中数学必修 5 第二章数列中的重要内容。

等比数列在现实生活中有着广泛的应用，如金融领域的利息计算、生物种群的增长等。

而等比数列的前 n 项和公式则是解决这类问题的有力工具。

本节课是在学生已经学习了等比数列的定义、通项公式的基础上，进一步研究等比数列的前 n 项和。

通过本节课的学习，不仅能让学生掌握等比数列前 n 项和的公式推导方法，提高学生的逻辑推理能力，还能为后续学习数列的综合应用打下坚实的基础。

二、学情分析学生在之前已经掌握了等差数列的相关知识，具备了一定的数列学习经验和逻辑推理能力。

但是，等比数列的前 n 项和公式的推导过程相对复杂，需要学生具备较强的抽象思维和数学运算能力。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过类比、转化等数学思想方法，逐步理解和掌握公式的推导过程。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解等比数列前 n 项和公式的推导过程。

（2）掌握等比数列前 n 项和公式，并能熟练运用公式解决相关问题。

2、过程与方法目标（1）通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

（2）让学生经历从特殊到一般、类比、转化等数学思想方法的应用过程，提高学生的数学思维能力。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）通过数学在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学生的数学应用意识。

四、教学重难点1、教学重点等比数列前 n 项和公式的推导及应用。

2、教学难点等比数列前 n 项和公式的推导过程中错位相减法的理解和运用。

五、教法与学法1、教法为了突出重点、突破难点，我将采用启发式教学法、探究式教学法和讲练结合法相结合的教学方法。

高中数学第二章数列25等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和的求解课件新人教A版必修

解：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104 ×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝
a[（1＋1.001.0－1）1 6－1]＝a(1.016－1)×102(元)．由 S1＝S2，得 a＝11.0.0116×6－1102. 因为 1.016≈1.061，所以 a＝11.0.06611×－1102≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
＝12＋121－1－1212n－1－22nn－＋11 ＝32－22nn＋＋13，所以 Sn＝3－2n2＋n 3. 答案：3－2n2＋n 3
类型 1 等比数列求和公式的基本运算 [典例 1] 在等比数列{an}中： (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求 q. 解：(1)由题意知aa11（（11＋＋qq）＋＝q2）30＝，155，
[变式训练] 在等比数列{an}中：
(1)若 a1＝ 2，an＝16 2，Sn＝11 2，求 n 和 q； (2)已知 S4＝1，S8＝17，求 an.
解：(1)由 Sn＝a11－－aqnq得 112＝Βιβλιοθήκη 2－16 1－q2q，
所以 q＝－2，
又由 an＝a1qn－1 得 16 2＝ 2(－2)n－1，所以 n＝5.
又 Sn＝a11－－aqnq＝126，所以 q 为 2 或12. 归纳升华 1．在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，已知其中的三个量，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2．在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要判断公比 q 是否等于 1，若两种情况都有可能，则要分类讨论．

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

第一部分第二章 2.5 第一课时等比数列的前n项和

等比数列前 n 项和的重要性质
(1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn，S2n－Sn，S3n －S2n， 4n－S3n， S …成等比数列(其中 Sn， 2n－Sn， 3n－S2n， S S … 均不为 0)，这一性质可直接应用． S偶 (2)等比数列的项数是偶数时，＝q； S奇 S奇－a1 等比数列的项数是奇数时，＝q. S偶
理解教材新知
2.5 第二章数列等比数列的前第一课时把握热点考向考点一
考点二考点三
等比
n
项和
数列
的前n 项和应用创新演练
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已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 问题1：若q＝1，则Sn与an有何关系？提示：Sn＝na1.
na1q＝1， a11－qn Sn＝ q≠1 1－q
首项a1，末项an与公比q
na1q＝1， Sn＝ a1－anq 1－q q≠1
公式
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1.当公比 q＝1 时，等比数列{an}是常数列，各项均相等，所以 Sn＝na1. 2.当公比 q≠1 时，等比数列{an}的前 n 项和 Sn 有 a11－qn 两个计算公式，当已知 a1，q 与 n 时利用计算 1－q a1－anq 较方便；当已知 a1，an 与 q 时，用较好． 1－q
n
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又∵2
n－1
96 ＝ 3 ＝32，∴n＝6.
Байду номын сангаас
a1－anq 法二：由公式 Sn＝及已知条件得 1－q a1－96×2 189＝，解得 a1＝3，又由 an＝a1·n－1， q 1－2 得 96＝3·n－1，解得 n＝6. 2

高中数学《等比数列前n项和公式》课件

反思与感悟解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.
跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
跟踪训练2 在等比数列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.
方法二若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，
而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.
a111－－qq2＝30，
①
所以a111－－qq3＝155，
②
两式作比，得1＋1＋q＋q q2＝361，
解得aq1＝＝55，
a1＝180，或q＝－65，
达标检测
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
1－xn
√
C.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
解析当x＝1时，Sn＝n； 1－xn
当 x≠1 时，Sn＝ 1－x .
D.1－1－xnx－1，x≠1， n，x＝1
1234
2.设等比数列{an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于
A.2 解析
B.4
√C.125
17 D. 2
方法一由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝aq2＋a2＋a2q＋
a2q2，得Sa42＝1q＋1＋q＋q2＝125. 方法二 ∵S4＝a111－－qq4，a2＝a1q，∴Sa42＝11－－qq4q＝125.

2020版高中数学第二章等比数列的前n项和(第1课时)等比数列前n项和公式学案

第1课时等比数列前n 项和公式学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.知识点一等比数列的前n 项和公式知识点二错位相减法1．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和，即若{b n }是公差d ≠0的等差数列，{c n }是公比q ≠1的等比数列，求数列{b n ·c n }的前n 项和S n 时，也可以用这种方法．思考如果S n ＝a 1＋a 2q ＋a 3q 2＋…＋a n q n -1，其中{a n }是公差为d 的等差数列，q ≠1.两边同乘以q ，再两式相减会怎样？答案 S n ＝a 1＋a 2q ＋a 3q 2＋…＋a n qn -1， ①qS n ＝a 1q ＋a 2q 2＋…＋a n －1q n -1＋a n q n ， ②①－②得，(1－q )S n ＝a 1＋(a 2－a 1)q ＋(a 3－a 2)q 2＋…＋(a n －a n －1)q n -1－a n q n＝a 1＋d (q ＋q 2＋…＋q n -1)－a n q n. 同样能转化为等比数列求和．知识点三使用等比数列求和公式时注意事项 (1)一定不要忽略q ＝1的情况；(2)知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用S n ＝a 1－q n1－q；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用S n ＝a 1－a n q1－q； (3)在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．1．在等比数列{a n }中，a 1＝b ，公比为q ，则前3项和为b－q 31－q.( × )2．求数列{n ·2n}的前n 项和可用错位相减法．( √ ) 3.a 1－q n1－q＝a 1q n －q －1.( √ )4．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( ×)题型一等比数列前n 项和公式的直接应用例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝164081.反思感悟求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立．跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数．解 (1)方法一 a 1＝(－1)3＝－1，q ＝－1. ∴S 100＝－1[1－－100]1－－＝0.方法二数列{(－1)n +2}为－1,1，－1,1，…， ∴S 100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎨⎧78＝14q n +1，778＝14－78q1－q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．题型二等比数列基本量的计算例2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解由题意，得若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意．此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1－q31－q＝－q 31－q＝6，解得q ＝－2(q ＝1舍去)．此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8. 反思感悟 (1)a n ＝a 1q n -1，S n ＝a 1－q n1－q⎝⎛⎭⎪⎫或S n ＝a 1－a n q 1－q 两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解．(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1－q n1－q比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q比较方便．跟踪训练2 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且{a n }是递增数列，∴a 1＝1，a 3＝4，则q ＝2，因此S 6＝－261－2＝63.题型三利用错位相减法求数列的前n 项和例3 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．解设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n +1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n +1，即12S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n +1＝1－12n －n2n +1. ∴S n ＝2－12n -1－n 2n ＝2－n ＋22n (n ∈N ＋)．反思感悟一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n(x ≠0)．解当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n +1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n +1＝x－x n1－x－nx n +1， ∴S n ＝x－x n－x2－nx n +11－x. 综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，x ＝1，x－x n－x2－nx n +11－x，x ≠1且x ≠0.分期付款模型典例小华准备购买一部售价为5000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)解方法一设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则A 2＝5000×(1＋0.008)2－x ＝5000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5000×1.0084－1.0082x －x ，…，A 12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0，解得x ＝5000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5000×1.008121－261－1.0082≈883.5. 故小华每期付款金额约为883.5元．方法二设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)；…，A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年底付清欠款， ∴A 12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝5000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈883.5.故小华每期付款金额约为883.5元．[素养评析] 本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n 1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1且x ≠0时，S n ＝1－x n1－x .2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4C.152D.172答案 C解析方法一由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q＋1＋q＋q 2＝152.方法二 ∵S 4＝a 1－q 41－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4－q q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179B ．211C ．243D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案 11a (1.15－1)解析去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a ， ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n，则S n ＝____________________. 答案 (n －1)2n +1＋2(n ∈N ＋) 解析 ∵a n ＝n ·2n，∴S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n，①∴2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n＋n ·2n +1， ② ①－②，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n +1＝－2n1－2－n ·2n +1＝2n +1－2－n ·2n +1＝(1－n )2n +1－2.∴S n ＝(n －1)2n +1＋2(n ∈N ＋)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.一、选择题1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( ) A ．4－2100B ．4＋2100C ．4－2－98 D ．4－2－100答案 C解析 q ＝a 2a 1＝12.S 100＝a 1－q 1001－q＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫121001－12＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析显然q ≠1，由S n ＝a 1－a n q 1－q ，得93＝3－48q 1－q，解得q ＝2.由a n ＝a 1q n -1，得48＝3×2n -1，解得n ＝5.故选B.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∵a 1≠0，q ≠0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1＋25a 1－22＝－11. 4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D.23答案 B解析由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3-10) B.19(1－3-10) C ．3(1－3-10) D ．3(1＋3-10)答案 C解析由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)．二、填空题8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3，∴q ≠1，∴a 1－q 61－q＝4·a 1－q 31－q，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.9．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.答案 2n－1(n ∈N ＋) 解析 a n －a n －1＝a 1qn －1＝2n －1(n ≥2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1n各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n－2，a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，符合． ∴a n ＝2n－1(n ∈N ＋)．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案－342解析当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1－q 31－q＋a 1－q 61－q＝2×a 1－q 91－q，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题12．(2018·绵阳检测)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．解设数列{a n }的公比为q (q ≠0)．由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ②解②得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1－qn1－q＝－3n1－3＝3n－12(n ∈N ＋)．13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n -1a n ＝n3，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n -1a n ＝n3，∴a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n -2a n －1＝n －13(n ≥2)，两式相减得3n -1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，∴a n ＝13n (n ≥2)．验证当n ＝1时，a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N ＋)．(2)∵b n ＝n a n＝n ·3n，∴S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n，①①×3，得3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n +1， ② 由①－②，得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n +1，即－2S n ＝3－3n +11－3－n ·3n +1， ∴S n ＝2n －14·3n +1＋34(n ∈N ＋)．14．在等比数列{a n }中，对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n －1)2B.n －23C ．4n －1D.4n－13答案 D解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a 1＝21－1＝1.∵a 1＋a 2＝1＋a 2＝22－1＝3，∴a 2＝2， ∴{a n }的公比为2.∴{a 2n }的公比为4，首项为a 21＝1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21－4n 1－4＝4n－13.15．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N ＋.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1， ①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n －12n －1＋a n2n . ② 所以，当n ＞1时，①－②得 S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N ＋.。

高中数学同步教学等比数列前n项和的性质及应用

3 达标检测
PART THREE
1.已知等比数列{an}的公比为2,且其前5项和为1,那么{an}的前10项和等于
A.31
√B.33
C.35
D.37
解析设{an}的公比为q,由题意,q＝2,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1, 则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32, ∴S10＝1＋32＝33.
12345
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若q＝2,S100＝36,则a1＋a3＋…＋a99等于
A.24
√B.12
C.18
D.22
解析设a1＋a3＋…＋a99＝S, 则a2＋a4＋…＋a100＝2S. ∵S100＝36,∴3S＝36,∴S＝12, ∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
12345
12345
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－
1 6
,则x的值为
1 A.3
B.－13
√1 C.2
D.－21
解析方法一 ∵Sn＝x·3n－1－16＝3x·3n－16，由 Sn＝A(qn－1)，得3x＝16，∴x＝21. 方法二当 n＝1 时，a1＝S1＝x－16；当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2,
(2)函数思想：等比数列的通项 an＝a1qn－1＝aq1·qn(q>0 且 q≠1)常和指数函数相
联系；等比数列前
n
项和
Sn＝q－a1 1(qn－1)(q≠1).设
A＝ a1 ，则 q－1
Sn＝A(qn－1)
与指数函数相联系. (3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时,常把qn, 数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理.

高中数学第二章第一课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修596

第一课时等比数列的前n 项和[提出问题已知等比数列{a n }，公比为q ，S n 是其前n 项的和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.问题1：若q ＝1，则S n 与a 1有何关系？提示：S n ＝na 1.问题2：若q ≠1，你能用a 1，q 直接表示S n 吗？如何表示？提示：能．∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①两边同乘以q ，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，②①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q.[导入新知]等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－q n1－qqS n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－a n q1－qq[化解疑难]1．在运用等比数列的前n 项和公式时，一定要注意对公比q 的讨论(q ＝1或q ≠1)． 2．当q ≠1时，若已知a 1及q ，则用公式S n ＝a 1－qn1－q较好；若已知a n ，则用公式S n ＝a 1－a n q 1－q较好．[例n (1)若a 1＝1，a 5＝16，且q ＞0，求S 7； (2)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q .[解] (1)∵{a n }为等比数列且a 1＝1，a 5＝16， ∴a 5＝a 1q 4. ∴16＝q 4. ∴q ＝2(负舍)． ∴S 7＝a 1－q 71－q＝1－271－2＝127. (2)①当q ≠1时，S 3＝a 1－q 31－q＝92，又a 3＝a 1·q 2＝32，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝92，即32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，解得q ＝－12(q ＝1舍去)，∴a 1＝6.②当q ＝1时，S 3＝3a 1， ∴a 1＝32.综上得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1.[类题通法]在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用] 在等比数列{a n }中： (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5.解：(1)设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1， ∴a 1－241－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1－q 81－q＝115－281－2＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q 2＝10， ①a 1q 3＋q 2＝54. ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1－q 51－q＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.[例2] n n 481718＋a 19＋a 20的值． [解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2，故S 4n －S 4n －4＝2n(n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32. [类题通法]等比数列前n 项和的重要性质(1)等比数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…均不为0)，这一性质可直接应用．(2)等比数列的项数是偶数时，S 偶S 奇＝q ；等比数列的项数是奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q . [活学活用]1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1－q21－q＝3，S 4＝a1－q 41－q＝15，两式相除得1＋q 2＝5，解得q 2＝4，故q ＝2或q ＝－2.若q ＝2，代入解得a 1＝1，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－261－2＝63.若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－－－6]1－－＝63.故选C.法二：在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63.法三：设等比数列的公比为q .则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2)×3＝15，解得q 2＝4.故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2＋q 4)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C. 2．等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴公比q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案：2[例3] n n 132 (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴2S 3＝S 1＋S 2，显然{a n }的公比q ≠1，于是2a 1－q 31－q＝a 1＋a 1－q 21－q，即2(1＋q ＋q 2)＝2＋q ，整理得2q 2＋q ＝0， ∴q ＝－12(q ＝0舍去)．(2)∵q ＝－12，又a 1－a 3＝3，∴a 1－a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，解得a 1＝4.于是S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . [类题通法]解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式是解决问题的关键．[活学活用]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n ＞0，求数列{b n }的前n 项和T n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2]＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n 1－125＝12524⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n.5.等比数列求和中的误区[典例] 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q . [解] 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件；当q ≠1时，a 1－q 31－q＝3a 1q 2，因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2， 2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12.综上所述，公比q 的值是1或－12.[易错防范]1．易忽视q ＝1这一情况，从而得出错解．2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q ，若其中含有字母，就应按q ＝0，q ＝1，q ≠0且q ≠1讨论．[成功破障]已知等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解：若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意．此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1－q 31－q＝－q 31－q＝6，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.[随堂即时演练]1．数列{2n －1}的前99项和为( )A ．2100－1 B ．1－2100C ．299－1 D ．1－299解析：选C 数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.2．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：选C a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4.3．已知等比数列{a n }中，q ＝2，n ＝5，S n ＝62，则a 1＝________. 解析：∵q ＝2，n ＝5，S n ＝62， ∴a 1－q n1－q＝62，即a 1－251－2＝62，∴a 1＝2. 答案：24．等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，则它的前15项和S 15＝________.解析：由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，故(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)，即(50－10)2＝10(S 15－50)，解得S 15＝210. 答案：2105．在等比数列{a n }中： (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ；(2)若S n ＝189，a 1＝3，a n ＝96，求q 和n .解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＝30，a 1＋q ＋q2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝14×5n ＋1－54，或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2)∵等比数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189， ∴3－96q1－q＝189.∴q ＝2. ∴a n ＝a 1q n －1.∴96＝3×2n －1.∴n ＝5＋1＝6.[课时达标检测]一、选择题1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n 等于( ) A.1－a n1－a B.1－an －11－aC.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n 1－a a n a ＝D.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n －11－a a n a ＝解析：选C 注意对公比a 是否为1进行分类讨论，易知选C.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158解析：选C 易知公比q ≠1. 由9S 3＝S 6，得9·a 1－q 31－q＝a 1－q 61－q，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.5．等比数列{a n }的公比q ＜0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 016项和等于( )A ．2 016B ．－1C ．1D ．0解析：选D 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n 得qn ＋1＝q n ＋2qn －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1，S 2 016＝－1×[1－－ 2 016]1－－＝0.二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1－q41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15. 答案：157．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1－q2n1－q，S 奇＝a 1[]1－q2n1－q 2.由题意得a 1－q 2n1－q＝3a 1－q 2n1－q2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 答案：28．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S偶S 奇＝q ＝2，S奇＝a 1[]1－q 251－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2.∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9) ＝a 1q 2·1－q121－q3＝585.答案：585 三、解答题9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 10．已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 1＝1，b 3＝a 3，求T n . 解：(1)∵等差数列{a n }，∴设公差为d ，a 6－a 4＝2d ⇒2d ＝4⇒d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －2(n ∈N *)．(2)由(1)可知b 3＝a 3＝2×3－2＝4，又∵正项等比数列{b n }，∴q 2＝b 3b 1＝4⇒q ＝2，∴T n ＝－2n 1－2＝2n－1.11．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.12．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9求数列的公比q . 解：法一：若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.同理可得q ≠－1，依题意S 3＋S 6＝2S 9.∴a 1－q 31－q ＋a 1－q 61－q ＝2×a 1－q 91－q .整理，得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，由于q ≠0，得2q 6－q 3－1＝0. ∵q ≠－1，∴q 3≠－1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.法二：S 3＋S 6＝2S 9，∴S 3，S 9，S 6成等差数列．∴S 9－S 3＝S 6－S 9，∴a 1q 3＋a 1q 4＋…＋a 1q 8＝－a 1q 6－a 1q 7－a 1q 8，∴a 1q 3(1＋q ＋q 2)(2q 3＋1)＝0.∵a 1≠0，q ≠0,1＋q ＋q 2≠0，∴2q 3＋1＝0，q ＝－312＝－342.法三：∵S 3＋S 6＝2S 9，又S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．∴由⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＋S 6＝2S 9，S 3S 9－S 6＝S 6－S 32.消去S 9，得S 3＝2S 6，又由法一知q ≠1，∴q 3＝S 6－S 3S 3＝－12，∴q ＝－342.敬请批评指正。

等比数列的前n项和及性质

A.17
B.16
C.15
D.14
选A.q4S4=S8-S4 所以 S8=16+1=17.
变式2：已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6=1，S12=3，则S18= .
解析：根据Sn为等比数列{an}的前n项和，有(S12-S6)2=S6(S18-S12)，将S6=1，S12=3代入，计算得S18=7.
性质二：若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn， S3n-S2n，…，成公比为qn的等比数列.
性质三：等比数列的项数是偶数时，SS
偶＝q；
奇
项数是奇数时S 奇S－偶 a1＝q.

2
255 256
注:（1）公式中涉及a1, q, n, an , Sn 五个量
“知三求二” (方程思想)
（2）选择合适的公式，简化运算过程
q≠1时，已知首项和公比，用
Sn
a1(1 qn ) 1 q
已知首项和末项，用
Sn
a1 anq 1 q
等比数列前n项和性质
性质一：数列{an}是等比数列的充要条件是前n项和公式为 Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N*)
第二章数列
2.5 等比数列的前n项和
等比数列的前n项和
设等比数列 a1, a2 , a3, , an ,
它的前n项和是 Sn a1 a2 a3 an
即 Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
⑴×q, 得
qSn
a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn. ⑵
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn ,
说明：这种求和方法称为错位相减法
于是