中考数学解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题(2020年最新)
解题技巧专题：利用一次函数解决实际问题
——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义
◆类型一费用类问题
一、建立一次函数模型解决问题
1．(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用
水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；
(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；
(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？
二、分段函数问题
2．(2016·荆州中考)为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植
培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计
购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
三、两个一次函数图象结合的问题
3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴
滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象，下列说法：①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费 1.2元；
③A点的坐标为(6.5，10.4)；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”
要比“快车”少用 3.4元．其中正确的个数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
四、分类讨论思想
4．(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，
平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，
付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
一、两个一次函数图象结合的问题
5．(2017·青岛中考)A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2)；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；
(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?
二、分段函数问题
6．(2016·新疆中考)暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示．
(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？
(2)求线段AB对应的函数解析式；
(3)小刚一家出发 2.5h后离目的地有多远？
一、两个一次函数图象结合的问题
7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度
都相差100米．正确的有________(填序号)．
二、分段函数问题
8．(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池
周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．
参考答案与解析
1．解：(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场价为n元．由题意得
14m＋（20－14）n＝49，14m＋（18－14）n＝42，解得
m＝2，
n＝3.5.
答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为 3.5元．
(2)当0≤x≤14时，y＝2x；当x＞14时，y＝14×2＋(x－14)×3.5＝3.5x－21.综上所述，
y＝2x（0≤x≤14），
3.5x－21（x>14）.
(3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为 3.5×26－21＝70(元)．
答：小明家5月份应交水费70元．
2．解：(1)当0≤x≤20时，设y与x的函数解析式为y＝ax，把(20，160)代入y＝ax中，
得a＝8.即y与x的函数解析式为y＝8x；当x>20时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
把(20，160)，(40，288)代入y＝kx＋b中，得20k＋b＝160，
40k＋b＝288，
解得
k＝6.4，
b＝32，
即y与x的函数
解析式为y＝6.4x＋32.综上所述，y与x的函数解析式为y＝8x（0≤x≤20），6.4x＋32（x>20）.
(2)∵B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，∴x≤35，
x≥45－x，
∴22.5≤x≤35.设总费用为W元，则W＝6.4x＋32＋7(45－x)＝－0.6x＋347.∵k＝－0.6<0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝35，45－x＝10时，总费用最低，即购买B种树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低，W最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．
3．D
4．解：(1)设y甲＝kx，把(2000，1600)代入，得2000k＝1600，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x.当0＜x＜2000时，设y乙＝ax，把(2000，2000)代入，得2000k＝2000，解得k＝1，所以y乙＝x.当x≥2000时，设y乙＝mx＋n，把(2000，2000)，(4000，3400)代入，得
2000m＋n＝2000，4000m＋n＝3400，解得
m＝0.7，
n＝600，
所以y乙＝
x（0 0.7x＋600（x≥2000）. (2)当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，若到甲商店购买 更省钱，则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样． 5．解：(1)l23020解析：由题意可知，乙的函数图象是l2，甲的速度是60 2 ＝30(km/h)， 乙的速度是60 3 ＝20(km/h)．故答案为l2，30，20. (2)设甲出发xh两人恰好相距5km.由题意30x＋20(x－0.5)＋5＝60或30x＋20(x－0.5)－ 5＝60，解得x＝1.3或1.5. 答：甲出发 1.3h或1.5h两人恰好相距5km. 6．解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4h. (2)设线段AB对应的函数解析式为y＝kx＋b.把点A(1，80)，B(3，320)代入得 k＋b＝80， 3k＋b＝320，解得 k＝120， b＝－40. ∴y＝120x－40(1≤x≤3)． (3)当x＝2.5时，y＝120×2.5－40＝260，380－260＝120(km)．故小刚一家出发 2.5h后离目的地120km. 7．①②④ 8．解：(1)暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5(h)．∵排水时间为 3.5－0.5＝3(h)，一共排水900m3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300(m3/h)． (2)当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数解析式为Q＝kt＋b，易知图象过点(3.5，0)．∵当t＝1.5时，排水300×1.5＝450(m3)，此时Q＝900－450＝450，∴点(2，450)在直线Q＝ kt＋b上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q＝kt＋b，得2k＋b＝450， 3.5k＋b＝0， 解得 k＝－300， b＝1050， ∴Q关于 t的函数解析式为Q＝－300t＋1050.