第五讲 用二次函数解决实际问题
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.5 用二次函数解决问题》教案_5
5.5 用二次函数解决问题（1）教学目标：1．会运用二次函数的有关知识求面积问题中的最大值或最小值；2．在交流过程中，让学生学会尊重和理解他人的见解，敢于发表自己的观点． 教学重点：列出关系式，运用二次函数求面积问题中的最大值或最小值．教学难点：分析题意，将现实生活中的相关问题转化为二次函数问题，列出关系式． 教学过程：一、情境引入1.求当x 为何值时，函数()522+--=x y 有最大或最小值？并画出草图. 当1≤x ≤4时，y 最大值为____，最小值为____2.求当x 为何值时，函数822--=x x y 有最大或最小值？并画出草图.当0≤x ≤5时，y 最大值为____，最小值为____二、合作探究问题一某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田．预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？问1：问题中有什么等量关系？问2：问题中有几个变量？问3：问题一可以抽象成什么函数？分析：如果今年多承租x 亩稻田，那么新承租的稻田共收益（440－2x ）x 元．1．独立思考后尝试解答，并各组派代表展示．2．用二次函数求实际问题的最值一般要经历哪些步骤？★用二次函数解决实际问题的一般步骤：1. 审题,找等量关系；2. 设出自变量和函数；3. 列出函数表达式；4. 作函数求解(将二次函数化为顶点式)；5. 检验（自变量的取值范围）；6. 作答.问题二去年鱼塘里饲养鱼苗10千尾，平均每千尾鱼的产量为1000kg．今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg．今年应投放鱼苗多少千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？分析：如果今年向鱼塘里投放鱼苗x千尾，那么鱼塘里共用鱼苗（10＋x）千尾，每千尾的产量为（1000－50x）kg．1．独立解答后分组交流．2．全班交流．3．解题过程中有什么困难，解决得如何？三、学以致用1．用16m长的篱笆围成矩形的养兔场饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？2．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？（3）请画出上述函数的大致图像．四、课堂小结教师总结：本节课主要学习如何用二次函数来解决现实问题中出现的一些最优化的问题，如求最好、最近、最多等．解决此类问题的关键在于把现实问题转化为数学中的二次函数，也就是根据题意写出正确的函数关系式，然后运用配方法或者公式法来解出函数的最大值或最小值．学生总结：说说这节课主要的学习思路．五、作业布置完成课本第36——37页，第8、16题.。
运用二次函数解决实际问题 衡水中学内部资料 精品教学课件
2．(6 分)某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门 的地面宽度为 8 m，两侧距地面 3 m 高处各有一盏壁灯，两 壁灯之间的水平距离 6 m，如图所示，则厂门的高度(水泥建 筑物的厚度不计，精确到 0.1 m)为( A A．6.9 m B．7.0 m C．7.1 m D．6.8 m )
3．(6 分)平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形 状可近似地看成抛物线． 如图，正在甩绳的甲、 乙两名 学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为 1 m，学生丙、 丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 m，2.5 m 处．绳 子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙 的身高是 1.5 m，则学生丁的身高为( B ) A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m
(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，当每件服 装的销售价定为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的 毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？(注：每件服装销售 的毛利润＝每件服装的销售价－每件服装的进货价)
解：(1)t＝－2x＋80 (2)当每件服装的销售价定为 30 元 时，每天获得的毛利润最大，最大毛利润为 200 元
8 ．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平 地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空 中划出的曲线是抛物线 y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则 水喷出的最大高度是( A ) A．4 米 C．2 米 B．3 米 D．1 米
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 1 9．隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为 y＝－ 8 x2 ＋ 2 ，一辆车高 3 米，宽 4 米，该车 __ 不能 __ 通过该隧 道．(填“能”或“不能”) 10．某一型号飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)与滑行 时间 x(单位：s)之间的函数关系式是 y＝60x－1.5x2，该型号 飞机着陆后需滑行__600__m 才能停下来．
二次函数解决实际问题
二次函数解决实际问题【文章主题】二次函数解决实际问题【引言】二次函数是高中数学中的重要概念，它可以用来解决各种实际问题。
二次函数不仅具有图像美观和数学特性丰富的优点，还能够帮助我们解决现实生活中的一系列实际问题。
本文将深入探讨二次函数对于解决实际问题的具体应用，并结合示例来进一步加深理解。
【正文】1. 什么是二次函数？二次函数是一种具有形式为y = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 为常数，且a不等于0。
它的图像通常呈现出一个开口向上或向下的U型曲线，称为抛物线。
二次函数的解析式和图像特性使得它成为解决实际问题的有力工具。
2. 二次函数的实际问题应用2.1 抛物线的轨迹由于二次函数具有抛物线形状，因此它在物理学中的应用非常广泛。
在炮弹的抛射问题中，我们可以利用二次函数来描述弹道的形状和轨迹，从而计算出炮弹的射程、最高点和最大高度等重要参数。
二次函数还可以应用于天体运动的研究、桥梁设计的拱形以及运动物体的轨迹预测等领域。
2.2 最值问题二次函数在经济学和管理学中也有广泛的应用，尤其是涉及利润、成本和收益等问题。
在销售决策中，我们可以建立一个二次函数模型来找到最大利润所对应的产量或价格，从而为企业的营销活动提供科学依据。
二次函数还能够帮助我们解决最小成本和最大效益的问题，为管理决策提供指导。
2.3 预测与优化问题二次函数在预测和优化问题中也有重要应用。
在金融领域，我们可以利用二次函数来建立股票价格的模型，预测未来趋势和价格波动。
二次函数还可以用于优化问题，例如最佳化分工与生产，最佳投资组合等。
3. 示例分析为了更好地理解二次函数解决实际问题的应用，我们以一个典型例子进行分析。
假设有一块田地，面积为1000平方米，现在需要修建一个矩形花坛在田地中。
我们想要找到面积最大的花坛。
我们需要建立数学模型。
设田地的长为x米，宽为(1000/x)米，花坛的面积为A(x) = x*(1000/x) = 1000米^2。
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：h = ax² + bx + c其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利用二次函数。
九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)
【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，
解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题
数学 5二次函数的应用-课件
20
3 100
【跟踪训练】
【例2】桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.
4 二次函数的应用
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
顶点坐标为(h,k)
①当a>0时，y有最小值k
②当a<0时，y有最大值k
【解析】
当 时，w有最大值.
∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000． 设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．
9 112.5
（x-2.5）
1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956，则获利最多为______元.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米 B.3米 C.2米 D.1米【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.
用二次函数解决实际问题优秀课件
如何定价才使他的利润最大？
第二十一页，共二十二页。
【解析】设将这种书包的售价上涨x元，他的利润为y元，
y=(40+x)×(200-10x)-30×(200-10x)
=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250
即将这种书包的售价上涨5元时，他的利润最大.
【解析】设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
y=(50- x)(180+x)-20(50- )x
10
10
= 1 +x234x+8 000
10
b 2a
=170,即房价定为170元时，宾馆利润最大.
第二十页，共二十二页。
4. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包.起初以40元每 个售出，平均每个月能售出200个.后来，根据市场调查发现：这
最多光线问题
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半
xx
部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度
和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确 y
到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解析 : 1由4 y 7x x 15
得, y 15 7x x .
4
2 窗户面积S
x(元) 15
20
30
…
y(件) 25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数. （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多 少元？此时每日销售利润是多少元？
第十七页，共则
第五讲 二次函数的实际应用
二次函数的实际应用-第五讲．第五讲二次函数的实际应用【知识速览】1．实际问题中函数解析式的求法xx的函数，在求解析式时，一般与解应用题列方程一样，先列出关于为设为自变量，yxxx的取值范围. 的代数式表示变量，最后还要写出自变量，的二元方程，再用含yy2．利用函数知识解应用题的一般步骤（1）设定实际问题中的变量；（2）建立变量与变量之间的函数关系式，如一次函数、二次函数或其他复合而成的函数式；（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）解答函数问题，如最值等；（5）写出答案2.与二次函数有关的实际问题大概有以下几种类型：图形问题、销售利润问题、抛物线形建筑物问题等【典型例题】例1. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（考查应用二次函数解决销售利润问题）例2.恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库元，但冷库存放这批香菇时每天需要支0.5中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨．千克的元，而且香菇在冷库中最多保存出各种费用合计340110天，同时，平均每天有6 香菇损坏不能出售．与y（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出 x之间的函数关系式．收（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额- 购成本-各种费用））李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？（考查应用二3（次函数解决销售利润问题）米长的篱笆，准备围成一个如图所示的养鸡场，为了节省篱笆，养鸡场一面可以现有60例3.米，养鸡x用墙来替代，另一面的篱笆与墙平行，中间再用篱笆分开.设与墙平行的一边长为.平方米场的总面积为y关于x的函数解析式；（1）求出y x取多少时，养鸡场的总面积最大？最大是多少？（2）（考查利用二次函数解决图形问题）秒的速以1cm/B从点A出发，沿AB边向点12cm6cmABCD例4.在矩形中，AB＝，BC＝，点P两点在分别到、Q如果以出发沿度移动，同时，点Q从点BBC边向点C2cm/秒的速度移动.P C达B、两点后就停止移动，回答下列问题：2；8cm1（）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于C D 2t）设运动开始后第（2t与S，写的面积为APQCD秒时，五边形Scm出QBP A的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值.（考查利用二次函数解决图形问题）例5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4m，若该车要想通过此门，则装货后的最大高度为多少？处的A将球从O点正上方2m例6. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，2已+h.x(m)满足关系式y=a(x-6)发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离18m. 点的水平距离为2.43m，球场的边界距O9m知球网与O点的水平距离为，高度为的取值范围）x的关系式（不要求写出自变量x）当h=2.6时，求y与1（时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；）当h=2.6（2. 的取值范围）若球一定能越过球网，又不出边界，求h（3【考点速练】的直角边ABC如图，等腰Rt△1.两A、CQAB＝2，点P、分别从的延长线运沿边BC沿射线点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点PAB运动，点QD.与直线相交于点PQ动，的函数关x，求出，△xPCQ的面积为SS关于的长为设(1) AP SSAP(2)系式；当的长为何值时，ABCPCQ=△△2.某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB--BC--CD 所示（不包括端点A）．（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和成本进3.（月）的关系可用一条线段上的点来tM行了调研，结果如下：每件商品的售价（元）与时间（月）的关系可用一条抛物线的一部分上的t，每件商品的成本Q（元）与时间表示（如图1）．2）点来表示（如图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本．）（说明：图1，图2 请你根据图象提供的信息回答： -成本）是多少元？售价）每件商品在（13月份出售时的利润（利润=（月）之间的函数关系式（不要求写t（元）与时间中表示的每件商品的成本）求图（22Q ；自变量的取值范围）．（月）之间的函数关系式吗）你能求出三月份至七月份每件商品的利润W（元）与时间t（3件，准备30000（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）？若该公司共有此种商品在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？米；水位上升4米，就达4.如图，有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽为64米.到警戒线CD，这时的水面宽为若洪水到来时，水位以每时0.5米速度上升，求水过警34戒线后几小时淹到拱桥顶端M处？【拓展提高】1.如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上.令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止.设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN2.求y与x之间的函数关系式. y重叠部分的面积为cm心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开2.始时，学生的注意力初步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学的变化规律有如下关系随时间t生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y2?10)t??t?24t?100(0???20)??y?240(10t??40)?7t?380(20?t??? 1）讲课开始后第5分钟与讲课开始第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？，那么经过3）一道数学题，需要讲解18024分钟，为了效果较好，要求学生的注意力达到（适当安排，老师能否在注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【课堂检测】恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又T50元的1.某服装公司试销一种成本为每件x（元）的关系可以近似的看作一次函（件）与销售单价不高于每件70元，试销中销售量y．数（如图）y(x与1）求之间的函数关系式；（403?总成本）（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额的为P元，求并写出自变量之间的函数关系式，xP与Ｏ的值最大？取何值时，Px 取值范围；根据题意判断：当x76(最大值是多少？A处安装一某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的2.．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落0.8 m个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为xy）下，根据设计图纸已知：图中所示直角坐标系中，水流喷出的高度（（m）与水平距离m42??2xy??x.之间的函数关系式是5喷出的水流距水平面的最大高度是多少？如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？3．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？【课后作业】1.“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出x?30x）存在如下图所与销售单价千克(400千克．由销售经验知，每天销售量)?(元)(y示的一次函数关系式．x与的函数关系式；⑴试求出y元，当销售单价为何值时，每天可获得⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 最大利润？最大利润是多少？现该超市经理要求每天利润4480元，?⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过x )．4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(?直接写出答案不得低于下信根据市场调研，发现如某公司营销A、B两种产品，2.信息息：2．在x（吨）之间存在二次函数关系y=ax+bx1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品 x=3时，y=3.6．x=1时，y=1.4；当y=0.3x.x（吨）之间存在正比例函数关系（万元）2：销售B种产品所获利润y与销售产品信息（1）求二次函数解析式；根据以上信息，解答下列问题；两种产品、BBA、两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A（2）该公司准备购进获得的利润之和最大，最大利润是多少？Rt在.3.为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场G、DEFGD、EFACBC、ABC上；使顶点，分别在直角边在斜边上，△内修建矩形水池AB AC、BC、AB，两弯新月部分栽又分别以为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分）?BAC?60?EF?x米3AB?24米，..植花草；其余空地铺设地砖其中，设米. y?DEx之间的函数解析式；与）求（1y DEFG x的面积最大？最大面积是多少？为何值时，矩形）当（2x为何）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当3（1DEFG于两弯新月面积的值时，矩形？的面积等3第六讲二次函数与几何图形的综合专题【知识速览】二次函数与几何综合专题大概涉及以下几方面：（1）求面积最值；（2）求周长最小值；（3）与直角三角形结合；（4）与等腰三角形结合；（5）与平行四边形结合；（6）与圆结合；（7）与相似三角形结合等.本节课主要研究前五种问题.【典型例题】例1. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．（二次函数中求周长最小问题、二次函数与等腰三角形结合）例2.如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．（利用二次函数求面积最大值问题）2xy?个单位，抛物线41个单位，再向下平移向左平移中，例3.如图，在平面直角坐标系xoy2B、A xkh)?(y?x?轴交的左边），与在点.所得抛物线与得到抛物线两点（点轴交于BAy C. ，顶点为于点D kh、）求的值；（1ACD△）判断的形状，并说明理由；（2两点，其中，BA，直线，0） y=x+m 与该二次函数交于1C4.例已知二次函数图象顶点为（.轴上y点在B，）4，3点（A．）求m值及这个二次函数关系式；（1，设轴垂线与二次函数交于点ExB重合），过P做（2）P为线段AB上一动点（P不与A， x取值范围；，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量线段PE长为h，点P横坐标为x为，使四边形DCEP 与二次函数对称轴的交点，在AB上是否存在一点P（3）D为线段AB请,平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在A说明理由.（二次函数与平行四边形结合DBEC【考点速练】点，C轴交于A、1．如图，抛物线B两点，与y的图象与x轴交于．4点坐标为（，0）已知B ）求抛物线的解析式；（1点M下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时BC（2）若点M是线段的坐标．是P（0，﹣3），点、3y=x2+mx+n2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）B t．的横坐标为轴的垂线交抛物线于点上的动点，过点直线ABP 作xM，设点P 和这条抛物线的解析式．（1）分别求出直线AB 的面积．ABM△最长时，求PM，当线段BM、AM在第四象限，连接P）若点2（．为顶点的四边形为平行四边形？若存在，、O，使得以点P、M、B）是否存在这样的点（3P P的横坐标；若不存在，请说明理由．请直接写出点至OB的位置．顺时针旋转在3.如图，点Ax轴上，OA=4，将线段OA绕点O120°B的坐标；）求点（1、（2）求经过点AO、B的抛物线的解析式；（3P，使得以点）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P求点B、O、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，P 的坐标；若不存在，说明理由．11x B；二次函数y＝＋1的图象与4.已知：如图一次函数yx轴交于点轴交于点A，与y＝x221D两点且D轴交于、EC1ybx2＋＋c的图象与一次函数＝x＋的图象交于B、两点，与x2）0点坐标为（1， 1（）求二次函数的解析式；（；SBDEC2）求四边形的面积为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所PBCPx3（）在轴上是否存在点，使得△是以P ，若不存在，请说明理由．有的点P yC2【课堂检测】????y2)a?0?y?axbx?c(1?2,30,，Q轴交于点，且与C1.如图，已知抛物线的顶点坐标为x轴交于A、B两点（点A在点B与的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点y轴，交AC于点D． A不重合），过点P 作PD∥PA运动（点与(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；x轴上，点F在在抛物线上， (3)在问题(2)的结论下，若点E问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．（1题2.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【课后作业】2xcAlyxyx﹣5上．的顶点=1.如图，抛物线在直线= ﹣2：+A的坐标；（1）求抛物线顶点yBxCD 、（2）设抛物线与，与轴交于点轴交于点CDABD的形状；点的左侧）（，试判断△点在lPPABD 、，使以点上是否存在一点、、（3）在直线P的坐标；为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点若不存在，请说明理由．2(h为常数)1)，抛物线与y5，A(－，0)，B(2，142.如图，已知点O(0，0)1h??(x?)?l：y轴的交点为C.ll的对称轴及顶点坐标；，求它的解析式，并写出此时经过点B (1)????lx?x?x，yyx，0yy，，其中，求的最大值，此时上有两点 (2)，设点C的纵坐标为211212CC yy 的大小；与比较21l只分为两部分，且这两部分的比是1：4被时，求h的值. 当线段(3)OA．．．2y=kx+2：l）的直线2，0（F，过定点）5，4（，）2，2过点（﹣+cy=ax．如图，已知抛物线3．（1）与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．。
《二次函数的实际运用》课件
教学内容二次函数的实际运用教学目标1、通过建立适当的平面直角坐标系，求实际问题中的二次函数关系式，并运用二次函数的图象和性质解决实际问题2、通过二次函数与一元二次方程的关系进行转化解决实际问题重点用二次函数的图像和性质以及和一元二次方程的关系解决实际问题难点如何将实际问题转化为二次函数的问题教学过程一．二次函数图像和性质回顾：练习1：请研究二次函数y=x2+4x+3的图象及其性质，并尽可能多地写出有关结论解（1）图象的开口方向:___________;（2）顶点坐标：______________;（3）对称轴：________________;（4）图象与x轴的交点为：___________;（5）图象与y轴的交点为：____________;（6）图象与y轴的交点关于对称轴的对称点坐标为：___________;（7）最大值或最小值：______________;（8）y的正负性：___________________;（9）图象的平移：__________________;（10）图象在x轴上截得的线段长:_________________;例如：苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足，则s与t 的函数图像大致是（）二、考点聚焦：常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系解题思路：找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系解题思路：找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解例1（抛物线问题）：要点：建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式①赵州桥桥拱跨径约38m, 拱高约7m.请你建立适当的直角坐标系并写出与该抛物线桥拱对应的二次函数②（2019石家庄中考）跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4 m,离地面的高度为1 m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.(1) 当身高为1.5 m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子的手1 m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式(2) 若身高1.65米的小丽也站在绳子下方，当小丽在距小亮拿绳子的手1.5米时，绳子能碰到小丽的头吗？说明理由例2（销售利润问题）①某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为()A.11元B.12元C.13元D.14元②（2019武汉中考）某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:售价x(元/件) 50 60 80周销售量y(件) 100 80 40周销售利润w(元) 1000 1600 1600 注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)1.求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);2.(该商品进价是元/件;当售价是元/件时,周销售利润最大,最大利润是多少元;例3（面积问题）：①一边靠校园围墙,其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB的长为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD的面积最大,则x为()A.40米B.30米C.20米D.10米②[2017·义乌]某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).(1)如图①,当饲养室长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.三、易错题：飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是________m失分点：求实际问题中的最值时,注意自变量取值范围的限制。
利用二次函数解决实际问题
y
直线x=h
y=ax2
O
(0, k)
y=ax2+k
y=a(x-h)2
(h,0)
x
y=a(x-h)2+k
(h ,k)
二次函数的图象是抛物线: 1．对称轴: 2、顶点坐标： 3、开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上
无限延伸。
a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。 4、抛物线与y轴交点坐标：(0, c) 5、抛物线与x轴的位置关系： （Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点； （Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点； （Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点。
函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的图象的关系：
开口方向及形状相同，顶点坐标、对称 轴不同。y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平 移得到。h>0时向右平移|h|个单位；h<0 时向左平移|h|个单位；k>0时向上平移|k| 个单位；k<0时向下平移|k|个单位；也可 以看顶点的移动, 顶点从（0，0）移到 （h, k)，由此确定平移的方向和单位。
（1）直接写出图(1)中表示的市场销售单价y（元）与上市 时间t（天）(t>0)的函数关系式。
利用二次函数解决实际问题-教师版
2.9利用二次函数解决实际问题【学习目标】1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型（一）二次函数有关面积问题的应用【例题1】如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．（1）如果设矩形的一边xmAB=，那么AD边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解:（1）由题意得: AD边的长度表示为:____________ ；（2）由题意得:矩形的面积为:=y ____________ 整理得: =y ___________将此二次函数化为顶点式为:=y ____________所以当x= _____时, y的值最大，______最大值是__________【例题2】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．【例题3】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为米，面积为平方米则长为：(米)则：∵∴∵，∴与的二次函数的顶点不在自变量的范围内，而当内，随的增大而减小，∴当时，(平方米) 答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．x S x x 4342432-=+-)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x 104340≤-<x 2176<≤x 6417<S x x 2176<≤x S x 6=x 604289)4176(42max =+--=S 6A B CD 练习：1.如图，已知BC=120cm ，BC 边上的高AM=80 cm ，在三角形的内部作一个长方形DEGF ．（1）设长方形的一边DG ＝x cm ，那么DE 边的长度如何表示?（2）设长方形的面积为y cm2．当x 取何值时，y 的值最大?最大值是多少?2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .类型（二） 二次函数在最大利润问题中的应用单件利润=销售单价 - 单件成本总利润=销售总额 - 总成本=单件利润×销售量公式：售价=标价×折扣 利润=售价-进价销售额=单价×数量 总利润=销售额-进价=单利润×数量利润率==【例题1】渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++，当2x =时，2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+， ∵500-<，∴当4x =时，W 取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+，解得：15=x ，23x =，∵要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【例题2】.进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵∴3≤x≤8； （2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．练习：1.在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．解：（1）设B 原料单价为m 元，则A 原料单价为1.5m 元．依题意，得9009001001.5m m-=．解得，3m =，1.5 4.5m =．经检验，3m =是原方程的根． ∴每盒产品的成本为：4.5243930⨯+⨯+=（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）()()305001060w x x =---⎡⎤⎣⎦210140033000x x =-+-；（3）∴抛物线210140033000=-+-w x x 的对称轴为w =70，开口向下∴当70a ≥时，a =70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当6070a <<时，每天的最大利润为()210140033000a a -+-元． 2.某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩， ∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++，当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将①代入②可得：()100002010930m W b m -=-+⨯， 化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．类型（三）二次函数解决实际建模问题你喜欢篮球运动吗？你知道二次函数和篮球运动有密切的联系吗？掌握其中的奥秘，能够帮助我们更好的从事这项运动．例题1：如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少米？注：抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．解析：（1）设所求抛物线为2y ax bx c =++，顶点（0，3.5）和另一点（1.5,3.05）在抛物线上， 所以2024 3.542.25 1.5 3.05b a ac b a a b c -=-=++= 解得 0.203.5a b c =-== 所求抛物线的解析式为20.2 3.5y x =-+（2）当 2.5x =-时，()20.2 2.5 3.5 2.25y =-⨯-+= 2.25 1.80.250.20--=（米）所以球出手时，他距离地面高度为0.20米．可见，球在空中飞行的是一个漂亮的抛物线形状，掌握合适的出手角度和起跳高度，对投篮来说是很关键的．仔细观察一下，还有哪些运动和二次函数有着联系？[情景1]如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五讲 用二次函数解决实际问题复习学案
班级： 姓名：
【典型例题】
例 1 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图20－5－1 ），则需塑料布y （m 2）与半径R （m ）的函数关系式是（不考虑塑料布埋在土里的部分）
分析：考查在实际问题情况中确定二次函数的表达式，
y =2πR ×21×30+2R π，再整理而得。
例2某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元。
(1)当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？
(2)由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件.若生产第x 档的产品一天的总利润为y 元（其中x 为正整数，且1≤x ≤10），求出y 关于x 的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？
分析：考查二次函数的应用。
解：（1）当每件利润为16元时，此产品质量在第四档次.
（2）根据题意，得y =[10+2（x －1）][76－4（x －1）]=－8x 2+128x +640 当总利润为1080元时，－8x 2+128x+640=1080 解得 x 1=5，x 2=11（不符合题意，舍去）
答：当生产的是第5档次的产品，一天的总利润为1080元．
例 3 随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是0.5万元,这种水果市场上的销售量y (t )是每吨的销售价x (万元)的一次函数,且x =0.6时，y =2.4；x =1时,y =2.
图20-5-1
图20-5-2 (1)求出销售量y (t )与每吨的销售价x (万元)之间的函数关系式；
(2)若销售利润为w (万元),请写出w 与x 之间的函数关系式,并求出销售价为每吨2万元时的销售利润.
分析：考查二次函数的应用.
解：(1)设y =kx +b ∵x =0.6时,y =2.4;x =1时,y =2 ∴⎩⎨
⎧=+=+24.26.0b k b x ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴函数关系式为y =－x +3
(2)∵由已知 w =（x －0.5）y =(x －0.5) (－x +3) =－x 2+3.5x －1.5
∴当x =2时,w =－22+3.5×2－1.5=1.5 故此时的销售利润是1.5万元． 例4一辆电瓶车在实验过程中，前10s 行驶的路程s (m )与时间t (s )满足关系式s =at 2，第10s 末开始匀速行驶，第24s 末开始刹车，第28s 末停在离终点20m 处，图20－5－2是电瓶车行驶过程中每2s 记录
一次的图象.
(1)求电瓶车出发到刹车时的路程s (m )与时间t (s )
的函数关系式．
(2)如果第24s 末不刹车 继续匀速行驶,那么出
发多少秒后通过终点?
(3)如果10s 后仍按s =at 2的运动方式行驶, 那么
出发多少秒后通过终点?
(参考数据:5≈2.24, 6≈2.45,计算结果保留两个有效数字)
分析：这是一道综合性问题,考查学生一次函数、二次函数的应用， 以及综合分析问题、解决问题的能力.
解：（1）当0≤t ≤10时，点（10，10）在s =at 2上，可解得a =0.1，s =0.1t 2 当10≤t ≤24时，由图象可设一次函数s =kt +b ，过(10,10),(24,38)，
∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 24381010 解得 ⎩⎨⎧-==102b k ∴s =2t －10。
(2)当s=40+20=60时，60=2t－10，∴t=35 即第24s末不刹车继续匀速行驶，那么出发35秒后通过终点。
(3)当s=60时，由s=0.1t2，60=0.1t2，t=
6
10
600±
=
±(舍去负值)
∴t≈25 即出发25秒后通过终点。
【知识运用】
1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t （s）满足关系：h=20t－5t
2.当h=20时，小球的运动时间为（）
A .20s B. 2s C. （22+2）s D .（22－2）s
2. 苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=2
2
1
gt（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（）
3..如图20－5－3，有一抛物线形拱桥，当水线在AB位置时，
拱桥离水面2m，水面宽4m，水线下降1m后，水面宽为（）
A. 2m
B. 3m
C. 6m
D. 26m
4. 如图20－5－4，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分
别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE 为x，则S关于x的函数图象大致是（）
二、填空题
图20-5-3图20-5-4
5、汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系是s =21001v ，在一辆车速为100km/h 的汽车前方80m 处发现停着一辆故障车，此时刹车 有危险.（填“会”或“不会”）
6、如图20－5－5，一男生推铅球，铅球行进高度y （m ）
与水平距离x （m ）之间的关系是3
5321212++-=x x y ，则铅球推出距离为 m 。
三、解答题 7.一养鸡专业户计划用116m 长的竹篱笆围成如图20－5－6所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
8.如图20－5－7为某市立交桥横断面的示意图，以地面水平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴建立坐标系.已知横断面为抛物线形状，跨度为40m （即AB =40m ），最高处离地面10m （即CD =10m ）.问：一辆宽5m ，高8m 的大货车能否通过该立交桥下面？
图20-5-5
图20-5-6 图20-5-7。