对实数域的认识
如何理解实数域内倍数的意义
如何理解实数域内倍数的意义
郭乃光
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1983(000)002
【摘要】<正> 全日制十年制学校中学高中数学第二册102面第18题中有一句:“求征圆柱的侧面积是两底面积和的2π倍.”2π倍是什么意思?我们应如如何去理解?倍数这个概念,在初等数论里是这样定义的:“当整数a被自然数b整除时,a 就叫做b的倍除。
”很明显倍数的概念是在整数域内考虑的.2π不是整数,就这个意义上
【总页数】1页(P1-1)
【作者】郭乃光
【作者单位】江西永新县教研室
【正文语种】中文
【中图分类】G6
【相关文献】
1.实数域R上n+1维n-Lie代数的内导子代数 [J], 白瑞蒲;安宏伟
2.实数域内矩阵的特殊分解 [J], 周再禹
3.欧拉公式在实数域内的应用 [J], 李宗涛;邢婷文
4.实数域内矩阵奇数次方根的唯一性探究 [J], 王磊;郭新宇;冯伟杰
5.高次实系数多项式在实数域内的因式分解 [J], 张楠; 梅月兰; 王双
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实数的概念
实数的概念实数的概念是由，引出来的。
现在通常所说的实数都指复数集合上的实数。
这些具体的实数对象称作实数对象或者实数域，它们分别被称作实数集、实数域或实数环等等。
但也有少数情况下使用实数域，如只讨论平面区域的几何问题时就可以不考虑其形状和大小而仅仅考察其长度，即把实数域当作无穷大。
除了特殊需求外，人们总是试图将实数集按照某种规律划分成若干个子集，最后构造成一个完整的闭合回路。
比如：将实数集合划分为若干个连续区间(空间)，每一个连续区间(空间)都与原实数集合相交于一点，然后建立起闭合区间(空间)与开放区间(空间)之间的联系，从而得到全新的实数集；或者根据需要将实数域拓展到某个方向，扩充实数集的应用范围，产生新的性质等等。
有些情况下我们还会遇到多个区间(空间)的情况，此时可能很难找到简单明确且能表示各个区间(空间)特征的元素，因此人们又设想建立一个全新的元素---实数系，用它来代替原实数集中的元素。
同样，实数系也必须是闭合的。
但事实证明，这两条途径是走不通的。
经过许多学者的研究探索，目前人们已经认识到：所谓实数集的闭合性质并非绝对的，更重要的是它的一般化性质。
从某种意义上讲，区间(空间)的“结合律”才是唯一的，也是正确的。
至于拓扑结构，则早已发展成为独立的学科——拓扑学，而不再作为函数、微积分、群等数学内容的辅助工具了。
为什么要引入无理数呢?第一个原因是近代数学的需要。
众所周知，19世纪末20世纪初，人们认识到三角函数和对数运算具有极值性质，但没有证明或反例。
直到1903年，大数学家高斯才创立了极值定理和函数的单调性定理，这才证明了三角函数和对数运算的极值存在性。
在1904年，德国数学家希尔伯特首先提出著名的希尔伯特第二问题：实数域上是否存在连续函数?直接推动了实数系的建立，标志着实数域上连续函数的严格刻画。
随后，柯西利用有限差数列研究函数的连续性获得突破性进展。
一、基本概念。
实数的概念是由引出来的。
数域的包含关系
数域的包含关系数域的包含关系是数学中一个重要的概念。
数域是数学中的一个基本概念，是指由一组数构成的集合，包含了加法、减法、乘法和除法等运算，并满足一定的性质。
在数域的研究中，数域之间的包含关系是一个重要的研究方向。
我们需要明确什么是数域。
数域是满足一定性质的数的集合。
在数学中，常见的数域有有理数域、实数域和复数域等。
有理数域是由整数和分数构成的数的集合，实数域是由有理数和无理数构成的数的集合，而复数域是由实数和虚数构成的数的集合。
在数域的包含关系中，有理数域是实数域的子集，实数域是复数域的子集。
这是因为实数域包含了有理数域中的所有数，并且还包含了无理数，而复数域则包含了实数域中的所有数，并且还包含了虚数。
因此，我们可以得出有理数域包含于实数域，实数域包含于复数域的结论。
除了这些常见的数域之外，还存在着其他的数域，如有限域和无限域等。
有限域是指元素个数有限的数域，而无限域则是指元素个数无限的数域。
有限域的研究在密码学和编码理论等领域有着重要的应用。
在数域的研究中，还存在着一些重要的结论和定理。
例如，代数基本定理指出，任何一个非常数的单项式方程都至少有一个复数解。
这个定理在复数域中是成立的，但在实数域和有理数域中却不一定成立。
这个定理的证明需要使用到复数域的性质，因此也说明了复数域包含了实数域和有理数域。
除了数域之间的包含关系，还存在着数域之间的扩张关系。
数域的扩张是指将一个数域中的元素扩展到另一个数域中。
例如，将有理数域中的元素扩展到实数域中，或者将实数域中的元素扩展到复数域中。
数域的扩张是数学中一个重要的概念，它在代数学和数论等领域有着广泛的应用。
数域的包含关系是数学中一个重要的研究方向。
不同的数域之间存在着包含关系和扩张关系，这些关系对于数学的发展和应用起着重要的作用。
通过对数域的包含关系的研究，我们可以更好地理解数学中的各种数的集合，为其他数学理论的研究提供基础。
复数域和实数域的关系
复数域和实数域的关系当我们学习数学时，经常会遇到复数和实数的概念。
复数域和实数域是数学中两个重要的数域，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨复数域和实数域之间的关系。
我们来介绍一下复数和实数的概念。
实数是我们日常生活中常用的数，包括整数、有理数和无理数等。
它们可以在数轴上表示，并且可以进行加减乘除等基本运算。
而复数则是由实数和虚数单位i组成的数，其中虚数单位i是一个满足i²=-1的数。
复数可以用a+bi 的形式表示，其中a是实数部分，bi是虚数部分。
复数域是由所有的复数组成的集合，记作C。
实数域是由所有的实数组成的集合，记作R。
可以看出，实数是复数的一个特例，也就是说实数是复数的一种特殊形式。
在复数域中，实数可以看作虚数部分为0的复数。
虽然实数是复数的一种特殊形式，但复数和实数在数学中有着不同的性质和应用。
首先，复数域是一个扩充了实数域的数域。
在实数域中，方程x²=-1没有解，而在复数域中，我们可以用i来表示这样的解。
这样的解对于解析几何和代数等领域有着重要的应用。
复数域具有良好的代数性质。
在复数域中，我们可以进行加减乘除等基本运算，并且满足交换律、结合律和分配律等运算规则。
这些性质使得复数域成为一个重要的数学工具，在解决实际问题中起到了重要的作用。
复数域还与实数域有着紧密的联系。
在数学中，我们常常将复数表示为实部和虚部的形式，即a+bi。
实部表示复数的实数部分，虚部表示复数的虚数部分。
通过实部和虚部的运算，我们可以将复数域中的运算转化为实数域中的运算，从而更好地理解和应用复数。
在物理学中，复数域也有广泛的应用。
例如，在电路分析中，复数可以用来表示交流电的大小和相位差。
在波动光学中，复数可以用来描述光的振幅和相位。
这些应用都是基于复数域和实数域之间的关系，通过将复数转化为实数的形式，进而进行具体的计算和分析。
复数域和实数域之间存在着密切的关系。
实数可以看作是复数的一种特殊形式，在复数域中可以进行更加广泛和丰富的数学运算。
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复数域和实数域在学习复变函数之前，我们接触到的数域最大到实数域，碰到的变量、函数、极限、积分、导数等概念和运算都在实数域范围内。
域是数学上的一个概念，简单地说就是有一个数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为0）四则运算封闭，即集合中的任意两个元素做四则运算，结果得到的元素仍然在这个集合里。
根据这一规则可知，全体自然数、全体整数不构成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域。
在学习了复变函数论以后知道，全体复数也构成复数域。
那么，实数域和复数域是什么关系呢？也许可以认为，复数域是比实数域更大的数域，复数域包含了实数域。
这样一种观点不能算是正确的。
的确，在复平面内，横轴表示复数的实部，这条轴看起来就表示了全体实数。
但是当复数z 在这上面取值的时候，是不是表示z 就是一个实数呢？不是的。
不管z 在复平面内哪里取值，它都是一个复数，即z x iy =+是由实部和虚部的二元结构表示的数。
只是当z 在实轴上取值时，其虚部0y ≡，因此对复数z 进行运算时相当于只对其实部x 做运算，而其虚部将不会对运算结果起任何作用，这就使得此时对复数的运算完全相同于对实数的运算。
虽然如此，请记住：此时只是复数z 的虚部等于0，并不等于说此时复数z 变成了实数x ，更不能说复数z 没有虚部。
而这一结论能够成立的一个前提条件是：实数对四则运算是封闭的，不会在运算过程中产生复数。
这种关系还可以这样理解：实数轴上的全部复数可以和实数域中的全体实数之间建立一个一一映射关系，0x i x +→，此时对复数的四则运算，包括求积分、求导数等运算，完全相同于对实数的运算。
在整个复平面内，只有实轴对四则运算是封闭的，虚轴对乘法和除法不封闭，不能构成一个数域。
而其它任意一条过原点的直线上的点对应的复数也对四则运算不封闭，不能形成一个数域，因此它们看起来都是一条直线，但是却不能和实轴一样，跟全体实数之间建立一个一一映射关系，让复数运算等同于实数运算。
构成数域的条件
构成数域的条件数域是数学中一个重要的概念，它是由一些复数所构成的集合。
这些复数在数域内满足一些特定的运算规律，同时可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且有一些特定的性质，如封闭性、交换律、结合律、分配律等。
本文将围绕着构成数域的条件进行讲解，其中包括素域、代数闭域、有理数域、实数域和复数域。
一、素域素域是指仅包含两个元素0和1的数域，其中0和1分别代表加法单位元和乘法单位元。
素域的数学符号为F2，其中F是Field的缩写。
在素域内，加法和乘法的运算规律如下：加法(模2) 乘法(模2)0+0=0 0×0=00+1=1 0×1=01+0=1 1×0=01+1=0 1×1=1由此可见，素域内的任意两个元素之间都有唯一的和与积，并且满足交换律、结合律和分配律，因此可以构造出各种复杂的数学结构。
二、代数闭域代数闭域是指任意多项式在该数域内都能够分解因式的数域。
代数闭域中的元素可以表示为有理数和某些根号的和、差、积、商等形式，其中每个根号都可以用一个代数式来表示。
代数闭域的定义及性质如下：（1）代数闭域中的元素必须能够通过加、减、乘、除、求根式等运算规律构造出。
（2）任何一个代数方程在代数闭域内都有解。
（3）代数闭域允许构造出广义的实数域，例如去掉实数域中的无理数，剩下的部分就构成了一个代数闭域。
三、有理数域有理数域是指在数域内，每个元素可表示为两个整数的比值，其中分母不等于零，例如1/2、3/4、-5/9等。
有理数域的运算规律包括加、减、乘、除、幂等等，同时满足交换律、结合律和分配律。
有理数域中的元素可以用分数或小数表示。
它是实数域和复数域的基础。
四、实数域实数域是指由所有有理数和无理数共同构成的数域，其中无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，例如根号2、根号3、π等。
实数域的运算规律与有理数域相同，但包含了更广泛的数值类别。
实数域内的元素可以表示为小数、分数或根式形式。
实数域中的完备性与区间套定理
实数域中的完备性与区间套定理在数学领域中，实数域是非常重要的一个概念。
实数域包含了所有的有理数和无理数，它是一个无穷无尽的数集。
实数域的一个重要性质就是其完备性。
完备性是指实数域中的每一个非空子集都有一个上确界和一个下确界。
首先，我们来了解一下上确界和下确界的概念。
在实数域中，给定一个非空的有上界的数集，那么这个数集的上确界就是这个数集中的最小上界。
类似地，给定一个非空的有下界的数集，那么这个数集的下确界就是这个数集中的最大下界。
上确界和下确界的存在性是实数域完备性的一个重要体现。
实数域的完备性可以通过区间套定理来进行证明。
区间套定理是实数域完备性的一个重要推论。
它的表述是：如果在实数域中有一系列闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...，满足以下两个条件：1. 对于任意的正整数n，都有[a(n+1), b(n+1)]是[a(n), b(n)]的子集；2. 这些闭区间的长度都趋于零，即对于任意的正整数n，都有b(n) - a(n) → 0。
那么，区间套定理就保证了存在一个实数x，它同时属于所有的闭区间[a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], ...。
这个实数x就是这个闭区间序列的交集的唯一元素。
这个定理的证明可以通过实数域的确界性质和序列的收敛性进行推导。
区间套定理的重要性在于它为实数域的完备性提供了一个重要的工具。
通过区间套定理，我们可以证明实数域中的柯西序列是收敛的。
柯西序列是指对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n, m > N时，序列中的任意两个元素的差的绝对值小于ε。
柯西序列的收敛性是实数域完备性的一个重要推论。
实数域的完备性和区间套定理在数学分析中有广泛的应用。
它们为我们解决一些重要的数学问题提供了有力的工具。
例如，通过实数域的完备性，我们可以证明无理数的存在性，以及无理数的无限循环小数表示。
通过区间套定理，我们可以证明实数域中的闭区间套序列都有一个公共点，这个点可以用来构造实数域中的实数。
根号下的定义域范围
根号下的定义域范围根号是一种数学符号，它的定义域范围非常广泛，主要包括：1. 实数域：实数域是根号的最常用范围，是指在实数域内对数进行根开，例如，它可以应用于数字2，16，25等实数，并得到相应的根号值，即√2=1.414，√16=4，√25=5。
2. 复数域：复数域是指在复数(或虚数)系统中运用根号开方，例如：√(-1)=i，0000i 为虚数单位，其中i=√(-1)。
在复数域中，可以利用复数的性质来解决根开的问题，并且可以对复数矩阵进行根开，例如对任意给定的非奇异型复数矩阵$A$，可以定义其平方根为A$^{1/2}$。
3. 三角形域：三角形域是指在三角函数中应用根号开方，例如：√($\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}$)=1，说明三角形$ABC$，即角$A$，$B$，$C$满足$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}$=1，即三角形有一个内角，其内角为$\theta$。
4. 代数式域：代数式域是指在代数式中运用根号开方，例如：√$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$，该式的定义域是包含a和b的实数集合，要求a≠0,b≠0，即a，b总不能同时等于0。
当a≠0,b≠0时，可以得出该式的正确根号值。
5. 方程式域：方程式域是指在方程式中运用根号开方，例如：$x^2-1=0$，当x≠0时，可以求出方程式的正确解x=√1=-1,1，即在实数集合范围内，x可以取±1两个值。
6. 组合数学域：组合数学域指的是在组合数学中使用根号开方，例如：$\frac{(x+1)(x-1)(x)}{x^3-1}$，利用根号的性质，可以写出它的等价表达式$x^2-1=0$，从而求出方程式的正确解x=±1，即所代表的定义域是包含x的实数集合。
以上就是根号的最常用定义域范围，它以不同的方式应用于实数、复数、三角形、代数式与方程、组合数学等不同的域中，从而推出更多的数学结论和概念。
复数域和实数域的关系
复数域和实数域的关系复数域和实数域是两个不同的数学概念，但它们之间存在着密切的关系。
在本文中，我们将探讨复数域和实数域之间的关系，并介绍一些相关概念和定理。
首先，我们来回顾一下复数的定义。
一个复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位。
虚数单位定义为 i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出一些基本的性质：1. 任何实数都可以表示为 a+0i 的形式；2. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等；3. 复数加法和乘法都满足交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来看看复数域和实数域之间的关系。
实际上，复数域包含了实数域。
也就是说，每一个实数都可以看作是一个形如 a+0i 的复数。
因此，在某种意义上说，实数域是复数域的一个子集。
然而，这并不意味着两者完全相同。
事实上，在复平面上，我们可以将每一个复数表示为一个点。
而对于实轴上的点，则只有一维坐标（即实部），而对于虚轴上的点，则只有一维坐标（即虚部）。
因此，实数域可以看作是复平面上的一个直线，而复数域则是整个平面。
这种区别在数学中有着重要的意义。
例如，在解析几何中，我们通常使用复数来表示向量。
这是因为复数可以表示为模长和幅角的形式，而模长和幅角分别对应向量的长度和方向。
因此，使用复数可以更方便地进行向量运算。
另一个重要的概念是共轭复数。
对于一个形如 a+bi 的复数，它的共轭复数定义为 a-bi。
显然，如果一个复数是实数，则它的共轭复数就等于它本身。
共轭复数在求解方程、证明定理等方面都有着重要的应用。
最后，我们来介绍一些与实数域和复数域相关的定理。
其中最著名的定理之一就是欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)这个公式表明了指数函数和三角函数之间的关系，并且在许多领域都有着广泛的应用。
另外还有柯西-施瓦茨不等式、洛朗级数、拉格朗日插值等等定理，它们都涉及到实数域和复数域的概念，并且在数学中有着广泛的应用。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学的一个重要分支，它研究实数域上的函数、极限、连续性、可导性、积分等基本概念和性质。
本文将对数学分析的一些重要知识点进行总结，帮助读者加深对数学分析的理解。
一、实数和实函数1.实数的定义和性质：实数是指具有无理数和有理数两类的数字，它们共同构成了实数域。
实数具有有序性和完备性两个重要性质。
2.函数的概念：函数是一种映射关系，它将自变量的值映射到因变量的值上。
函数可以通过函数关系式、函数图像和函数表达式等方式表示。
3.实函数的性质：实函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
另外，实函数可以是周期函数、有界函数、单调函数、非负函数等。
二、极限和连续性1. 极限的概念：函数f(x)在x趋于无穷大或无穷小时的极限表示为lim(x→∞)f(x)=L或lim(x→a)f(x)=L。
其中，无穷大极限表示函数在x趋向于∞或-∞时的极限，而有限极限表示函数在x趋向于其中一点a 时的极限。
2. 极限的性质：极限具有唯一性、有界性、局部性和四则运算的性质。
也就是说，如果lim(x→a)f(x)=L，那么L是唯一确定的，并且lim(x→a)c= c、lim(x→a)(c*f(x)) = c*lim(x→a)f(x)等。
3. 连续性的概念：函数f(x)在其中一点a处连续，表示为f(a)=lim(x→a)f(x)。
也就是说，在这一点上，函数的值等于极限。
4.连续性的性质：连续函数具有限制相容性、四则运算的连续性、复合函数的连续性等性质。
另外，闭区间上的连续函数是有界的，且在闭区间上存在最大值和最小值。
三、可导性和微分1. 可导性的概念：函数f(x)在其中一点a处可导，表示为f'(a)=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。
也就是说，在这一点上，函数在图像上具有一条切线。
初等数学研究第三讲
n na b
即n
性质3 实数集具有连续性（数学分析中已证明） 性质4 实数是不数集
二、复数域
1、复数的概念（矩阵）
定理：复数集C关于它的加法和乘法构成复数 域。
2、复数的代数形式 1）、复数的代数形式 a bi(a, b R) 叫做复数的代数形式。虚部不为 零的复数叫做虚数，实部为零的虚数叫做纯虚数。 2）、共轭复数
实数的乘法运算
对于 , R
有n n n n
则
注：正实数的积唯一
实数的除法运算
x,
x
注：正实数的商唯一 两个负实数，正、负实数以及正负实数 与零的四则运算按有理数数集中的相关规定 进行。
b、正实数的开方 定理 对于a R , 存在唯一的x R ，
第三讲
实数域和复数域
一、实数域
1、无理数的引入 1）证明 2 不是有理数。 2）可 2 为无限不循环的小数。
2、无理数的概念 无限不循环的小数叫做无理数 3、实数及其顺序 1）、实数的概念 a、正实数：十进位小数叫做正实数 b、负实数：对于每一个正实数 ，有一个新元 素 与其对应，满足 ( ) ( ) 0 c、正实数和负实数统称为实数。
2）、实数的顺序
3、退缩有理闭区间序列 1）、区间套定义：
4）、实数的运算 a、实数的四则运算 实数的加法运算（减法运算 , x,
x
n
）
对于 , R
有
n n n
则
定理：正实数 与 的和是唯一的。 正实数的加法运算满足交换律和结合律。
2024《实数》说课稿范文
2024《实数》说课稿范文今天我说课的内容是《实数》，下面我将就这个内容从以下几个方面进行阐述。
一、说教材1、《实数》是高中数学必修一第一章的内容。
它是在学生已经学习了有理数和无理数的基础上进行教学的，是高中数学中的重要知识点，而且实数在现实生活中有着广泛的应用。
2、教学目标根据新课程标准的要求以及教材的特点，结合学生现有的认知结构，我制定了以下三点教学目标：①认知目标：理解实数的概念和特点，掌握实数的分类方法。
②能力目标：能够在实数的范围内进行运算和比较。
③情感目标：让学生体会实数在现实生活中的重要作用，增强对数学的兴趣。
3、教学重难点在深入研究教材的基础上，我确定了本节课的重点是：理解实数的概念和特点，掌握实数的分类方法。
难点是：能够在实数的范围内进行运算和比较。
二、说教法学法在教学实践中，我注重培养学生的自主学习能力和合作交流能力。
因此，这节课我采用的教法：情景教学法，激发学生的学习兴趣；学法是：探究学习法，让学生通过实际操作和讨论来掌握知识。
三、说教学准备在教学过程中，我将使用多媒体教具进行辅助教学，以便更好地展示教学素材，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
四、说教学过程新课标强调学生的主体地位和积极参与，因此我设计了以下教学环节。
1、引入新知通过展示一幅数轴图，让学生回顾有理数的概念和表示方法。
然后，我会通过一个趣味的小游戏让学生猜测一个数在数轴上的位置，激发学生的好奇心和求知欲望。
接着，我将引入新知——实数，并解释实数的概念和特点。
2、分类讨论让学生以小组合作的形式根据给定的数进行分类讨论，比如有理数和无理数的区别，有理数的分类等。
我将在讨论过程中及时给予指导和帮助，然后引导学生总结出实数的分类方法。
3、实践运用我会设计一些实际问题，让学生运用实数进行计算和比较。
同时，我还会组织学生进行小组竞赛，通过比赛来巩固和检验他们对实数的掌握程度。
4、总结归纳在本节课的最后，我将让学生进行总结归纳，帮助他们梳理和巩固所学内容。
数域知识点
数域知识点数域是数学中一个重要的概念，它是指具有加法、减法、乘法和除法运算的数的集合。
数域是代数学的基础，它涉及到了很多重要的知识点，本文将围绕数域展开讨论。
一、数域的定义和性质数域是一个非空集合，其中定义了加法、减法、乘法和除法运算，并满足以下性质：1. 加法性质：对于任意两个数a和b，其和a+b也属于数域。
2. 减法性质：对于任意两个数a和b，其差a-b也属于数域。
3. 乘法性质：对于任意两个数a和b，其积ab也属于数域。
4. 除法性质：对于任意两个数a和b（其中b不等于0），其商a/b 也属于数域。
二、常见的数域1. 有理数域：有理数域是指所有可以表示为两个整数的比的数的集合，包括正整数、负整数、0、分数等。
2. 实数域：实数域是指包括有理数和无理数的数的集合，可以用无限不循环小数表示。
3. 有限域：有限域是指元素个数有限的数域，其中的元素可以用一个整数模一个素数表示。
4. 复数域：复数域是指所有实部和虚部都是实数的数的集合，可以用a+bi的形式表示，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
三、数域的运算性质1. 加法交换律：对于任意两个数a和b，有a+b=b+a。
2. 加法结合律：对于任意三个数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
3. 加法零元素：对于任意数a，有a+0=a。
4. 加法负元素：对于任意数a，存在一个数-b，使得a+(-b)=0。
5. 乘法交换律：对于任意两个数a和b，有ab=ba。
6. 乘法结合律：对于任意三个数a、b和c，有(ab)c=a(bc)。
7. 乘法单位元素：对于任意数a，有a×1=a。
8. 乘法倒数元素：对于任意非零数a，存在一个数1/a，使得a×(1/a)=1。
四、数域的扩张数域的扩张是指在一个数域上添加新的元素，使得新的集合仍然构成一个数域。
常见的数域扩张有：1. 有理数域到实数域的扩张：添加无理数，如π和√2。
2. 实数域到复数域的扩张：添加虚数单位i。
定义域的取值范围总结
定义域的取值范围总结定义域是数学中一个重要的概念，它指的是函数中自变量的取值范围。
在数学中，函数可以看作是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
而定义域就是确定这个映射关系的自变量的取值范围。
对于一个给定的函数，其定义域的取值范围决定了该函数在哪些点上有意义。
在数学中，我们常常使用各种符号来表示定义域的取值范围。
下面我们将从不同的角度来总结定义域的取值范围。
1. 实数域（R）：实数是数学中最基本的数集，包括所有的有理数和无理数。
对于大多数函数来说，其定义域通常是实数域。
例如，对于函数y = 2x + 1来说，它的定义域可以是整个实数域。
2. 有理数域（Q）：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
对于一些特殊的函数来说，它们的定义域可能限制在有理数域中。
例如，对于函数y = 1/x来说，由于分母不能为零，所以它的定义域就是除了x = 0之外的所有有理数。
3. 整数域（Z）：整数是正整数、负整数和零的集合。
在某些情况下，函数的定义域可能限制在整数域中。
例如，对于函数y = |x|来说，它的定义域就是整数域。
4. 自然数域（N）：自然数是正整数的集合。
在某些情况下，函数的定义域可能限制在自然数域中。
例如，对于函数y = √x来说，由于根号下面不能为负数，所以它的定义域就是自然数域。
5. 开区间（a, b）：开区间是指介于a和b之间，但不包括a和b 的所有实数的集合。
在某些情况下，函数的定义域可能是一个开区间。
例如，对于函数y = 1/x来说，由于分母不能为零，所以它的定义域就是开区间(-∞, 0)和(0, +∞)。
6. 闭区间[a, b]：闭区间是指介于a和b之间，且包括a和b的所有实数的集合。
在某些情况下，函数的定义域可能是一个闭区间。
例如，对于函数y = √x来说，由于根号下面不能为负数，所以它的定义域就是闭区间[0, +∞)。
7. 半开半闭区间[a, b)或(a, b]：半开半闭区间是指包括其中一个端点但不包括另一个端点的所有实数的集合。
数学中域的定义
数学中域的定义域是数学中一个重要的概念，它在代数学、几何学和数论等领域中都有广泛的应用。
它是指一个集合，具有加法和乘法运算，并满足一定的性质。
在这篇文章中，我将介绍域的定义及其一些基本性质。
我们来看域的定义。
域是一个集合F，其中定义了两个二元运算：加法和乘法。
加法运算满足结合律、交换律和存在零元素的性质；乘法运算满足结合律、交换律和存在单位元素的性质。
此外，对于任意元素a和b，存在相反元素和倒数元素，使得加法和乘法满足消去律。
这样的集合F被称为一个域。
举个例子来说明域的概念。
我们考虑有理数集合Q，其中加法运算定义为常规的有理数加法，乘法运算定义为常规的有理数乘法。
我们可以验证Q满足域的定义：加法和乘法满足各种性质，零元素为0，单位元素为1，任意有理数a存在相反元素-a和倒数元素1/a。
因此，有理数集合Q是一个域。
域具有一些基本性质。
首先，对于任意元素a和b，加法和乘法都是封闭的。
也就是说，a+b和ab仍然属于域F。
其次，对于任意元素a、b和c，加法和乘法满足分配律，即a(b+c)=ab+ac。
此外，域中的乘法满足消去律，即如果ab=ac且a不等于0，则b=c。
最后，域中的乘法满足取消零因子律，即如果ab=0，则a等于0或者b等于0。
域在代数学中有广泛的应用。
例如，线性代数中的向量空间就是一个域上的向量集合，其中的加法和乘法满足域的定义。
矩阵代数也是建立在域的基础上。
此外，域还在密码学、编码理论和通信等领域中发挥着重要作用。
除了有理数域Q，实数域R和复数域C也是常见的域。
实数域R包括所有实数，满足域的定义。
复数域C包括所有复数，其中的加法和乘法运算也满足域的定义。
实数域和复数域在数学中有重要的地位，它们是许多数学理论和应用的基础。
总结起来，域是数学中一个重要的概念，它是一个集合，具有加法和乘法运算，并满足一定的性质。
域具有许多基本性质，如封闭性、分配律和消去律等。
常见的域包括有理数域、实数域和复数域。
实数与复数域的性质与运算法则
复数域的应用
工程学：控制系统、信号处 理、电路设计等领域中复数 域的应用
物理学：量子力学、电磁学 等领域中复数域的应用
数学：代数几何、函数分析 等领域中复数域的应用
计算机科学：算法设计、数 据压缩等领域中复数域的应
用
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物理科学：实数域在物理科学中有着广泛的应用，例如在描述物体 的运动、波动、热传导等现象时，都需要用到实数域的数学知识。
工程领域：实数域在工程领域中也有着广泛的应用，例如在电路分 析、信号处理、控制系统等领域，都需要用到实数域的数学知识。
计算机科学：实数域在计算机科学中也有着重要的应用，例如在计 算机图形学、数值计算等领域，都需要用到实数域的数学知识。
减法法则：实数的减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。 乘法法则：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)， (a+b)*c=a*c+b*c。 除法法则：实数的除法可以转化为乘法，即a/b=a*(1/b)，其中1/b是b的倒数。
实数域的应用
数学分析：实数域是数学分析的基础，为研究函数的性质提供了重 要的工具。
复数域的性质与运 算法则
复数域的定义
复数域是由所有形如a+bi（a，b 为实数）的数构成的集合，其中i是 虚数单位，满足i^2=-1。
复数域是唯一的代数封闭域，即任 何代数封闭域都可以通过添加一个 元素得到复数域。
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复数域是实数域的代数闭包，即任 何复数域中的多项式都有根。
复数域是可分的，即对于任意非零的复数z，存在一个非零的复数c，使得cz不等于0。
求函数定义域的几种类型
求函数定义域的几种类型函数定义域指函数在自变量上的取值范围。
根据函数定义的不同，可以分为以下几种类型的函数定义域。
1. 实数域：实数域是最常见的函数定义域类型，对于绝大多数函数，其定义域都是实数集（R）。
实数集包括所有的有理数和无理数。
例如，在函数y = sin(x)中，定义域是实数集。
2.闭区间：闭区间定义域是指定义域包含端点的区间，用[a,b]表示。
闭区间的端点可以是实数或无穷大。
例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间[-∞,0)∪(0,+∞]。
3.开区间：开区间定义域是指定义域不包含端点的区间，用(a,b)表示。
例如，在函数y=√x中，定义域可以是区间(0,+∞)。
4.半开半闭区间：半开半闭区间定义域是指定义域只包含一个端点的区间。
例如，在函数y=1/x中，定义域可以是区间(-∞,0]∪(0,+∞)。
5.单个点：有些函数的定义域只包含一个点，用{x}表示。
例如，在函数y=1/x中，定义域可以是{x，x=1}。
6.开放区域：开放区域定义域是指定义域是一个开放集。
开放集是指不包含边界的区域。
例如，在函数y=e^x中，定义域是开放区域R。
7.中心对称区域：中心对称区域定义域是指定义域关于其中一点对称。
例如，在函数y=√(x^2-1)中，定义域可以是(-∞,-1]∪[1,+∞)；定义域关于x=0对称。
8. 关于x轴对称区域：关于x轴对称区域定义域是指定义域关于x 轴对称。
例如，在函数y = sin(x)中，定义域是全体实数，关于x轴对称。
9.关于y轴对称区域：关于y轴对称区域定义域是指定义域关于y轴对称。
例如，在函数y=x^2中，定义域是全体实数，关于y轴对称。
10.复数域：复数域是指定义为变量可以取复数的函数的定义域。
例如，在函数y=√(1-x^2)中，定义域是复数集合。
综上所述，函数定义域可以是实数域、闭区间、开区间、半开半闭区间、单个点、开放区域、中心对称区域、关于x轴对称区域、关于y轴对称区域和复数域等多种不同类型。
实数域中的有界性与最值问题
实数域中的有界性与最值问题实数域是数学中一个重要的概念，它包含了所有的有理数和无理数。
实数域的性质十分丰富，其中有界性与最值问题是实数域中的重要内容。
有界性是实数域的基本性质之一。
在实数域中，一个数称为有界的，当且仅当存在两个实数a和b，使得对于该数x，满足a≤x≤b。
换句话说，一个数是有界的，意味着它在一个特定的范围内。
相反，如果一个数不在任何范围内，那么它就是无界的。
实数域中有界性的一个重要应用是最值问题。
最值问题是数学中常见的一类问题，它要求找到一个函数在给定范围内的最大值或最小值。
在实数域中，最值问题常常涉及到有界性的概念。
考虑一个简单的例子：给定一个实数函数f(x)=x^2，我们要找到它在实数域上的最小值。
由于实数域是无穷的，我们不能遍历所有的实数来找到最小值。
然而，由于实数域的有界性，我们可以通过观察函数的性质来找到最小值。
首先，我们注意到函数f(x)=x^2是一个二次函数，它的图像是一个开口朝上的抛物线。
由于抛物线的性质，我们知道它在顶点处取得最小值。
对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c来说，顶点的横坐标为-x0=-b/2a，纵坐标为y0=f(-b/2a)。
对于函数f(x)=x^2来说，a=1，b=0，c=0，所以顶点的横坐标为-x0=0，纵坐标为y0=f(0)=0。
因此，函数f(x)=x^2在实数域上的最小值为0。
这个简单的例子展示了有界性与最值问题的关系。
实数域的有界性使得我们能够通过观察函数的性质来找到最值，而不需要遍历所有的实数。
除了最值问题，有界性在其他数学领域中也有广泛的应用。
例如，在实数域中，有界性是数列收敛性的一个重要条件。
一个数列称为收敛的，当且仅当它有界且存在一个极限。
通过有界性的概念，我们可以判断一个数列是否收敛，并找到它的极限。
有界性还在实数域的测度论中扮演着重要的角色。
测度论是数学中研究集合的大小的一个分支。
在实数域中，有界性是测度论中测度可定义的一个重要条件。
第三节 实数域和复数域
第三节实数域和复数域1．实数和实数域前节所说的，用N中自然数序对作为新数——整数，用Z中整数序对作为新数——有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张．但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)．但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致．(1)定义含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数．如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域．事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列｛a n｝的极限．则存在k∈N，使|a k －a|＜1，从而a＜1＋|a k|．1＋|a k| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在n∈N，使n＞1＋|a k|．故有n ＞a．因此，R是阿基米德序域．反之，设R是实数域，则对于任意a∈R及n∈N，存在m1，m2∈N，使有上界(例如m1)．又A非空(至少-m2∈A)，故A有最大数m∈Z，于是即lima n＝a即R中任意数a都是有理数基本列的极限．若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限．现作映射f：R1→R1，使对任意a∈R1，若lima n=a，｛a n｝为有理数基本列，｛a n｝在R2中极限为a′，则f(a)=a′．易知f是R1到R2的同构映射．因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的．(2)构造设M是所有有理数基本列的集合．在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：对任意｛a n｝，｛b n｝∈M．1°｛a n｝～｛b n｝当且仅当lim(a n－b n)=0；2°｛a n｝＋｛b n｝＝｛a n＋b n｝；3°｛a n｝·｛b n｝＝｛a n·b n｝；4°｛a n｝＜｛b n｝当且仅当存在有理数ε＞0，及n0∈N，使当n＞n0时，b n－a n＞ε．由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．所定义的基本列的序，是全序．作商集M／～＝R0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：对任意α，β∈R0，｛a n｝∈α，｛b n｝∈β，1°若｛a n＋b n｝∈γ，则规定α＋β＝γ；2°若｛a n·b n｝∈ρ，则规定α·β=ρ；3°若｛a n｝＜｛b n｝，则规定α＜β．不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关；R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律．若α＞0，称α为正元；若α＜0，称α为负元．对任两正元α，β，存在n∈N，使nα＞β．因此，R0是阿基米德序域.(3)嵌入设R1是R0中所有有理常数列｛a｝所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1∪R2．作映射f:R1→Q，使f(｛a｝)=a．则f是同构映射，因而(R1；＋，·，＜)与(Q；＋，·，＜)同构．作集合R=Q∪R2，R中的运算由f的扩张决定．则R是通常所说的实数域．R2中的实数，称作无理数．有时为了方便，将正实数集合记为R＋．实数集R的若干性质．1°有理数集Q在R中处处稠密对任意两实数a，b，若a＜b，则必存在c∈Q，使a＜c＜b．2°连续统实数集R与直线上点集R1一一对应．建立对应的方法如下：在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数．划分直线，得第n批分点，其中p∈N＋，p＞1，n=2，3，…．这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数．现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间Δn，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间Δn之中，这些Δn形成一个区间套｛Δn｝：实数b．这时规定B与b对应．建立直线坐标系的直线R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”．由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R1．3°实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数．方法如下：设a为正实数，它对应R1上区间套｛Δn｝(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)．又令a1为Δ1左端点对应的整数(自然数)；n＞1时，Δn左端点为Δn－1中第a n(a n=0，1，2，…，p-1)个分点．于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)(0≤a i＜p，i=1，2，3，…)．反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数．我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，…，a n，…)记作a1·a2a3…a n…并称之为实数a的p进小数表示．在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作a＝a1·a2a3…a n…对每个负实数a，-a＞0，故也可表示成无尽小数形式．为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数．有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数．无理数则是无尽不循环小数．4° R不是可数集这只须指出单位区间I=｛x∈R＜x＜1｝不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：a1=0．a11a12a13…a2＝0．a21a22a23………a n=0．a n1a n2a n3………令b=0．b1b2…b n…，其中显然，b∈I，但b≠an，n=1，2，3，…．这与I可数矛盾．所以I不是可数集，因此R也不是可数集．*2．实数的公理化定义实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域．可以用一组公理(实数公理)将它整体地给出来．设在集合R中定义了两种代数运算，加法“＋”和乘法“·”，定义了序关系“＜”，(R；＋，·，＜)满足以下公理(实数公理)：Ⅰ．域公理对于任意x，y，z∈R，有Ⅰ1．x＋(y＋z)＝(x＋y)＋z；Ⅰ2．x＋y＝y＋x；Ⅰ3．存在元素o∈R，使0＋x＝x；Ⅰ4．存在兀素－x∈R，使x＋(－x)＝0；(至此，(R；＋)为群)Ⅰ5．x(yz)=(xy)z；Ⅰ6．xy＝yx；Ⅰ7．x(y＋z)=xy＋xz；Ⅰ8．存在元素1∈R，使1·x=x；(至此，(R；＋，·)为具有单位元的可换环)Ⅰ9．若x≠0，则总存在元素x-1∈R，使x-1·x=1．(至此，(R；＋，·)为域)Ⅱ．序公理对任意x，y，z∈R，有Ⅱ1．x＜y或x=y或y＜x，有且仅有一个成立；Ⅱ2．若x＜y，y＜z，则x＜z；(至此，(R；＜)为全序集)Ⅱ3．若x＜y，则x+z＜y+z；Ⅱ4．若0＜x，0＜y，则0＜xy；(至此，(R；＋，·，＜)为全序域)Ⅲ．阿基米德公理对于任意R中正元0＜x，0＜y，总存在n∈N，使y＜nx．(至此，(R；＋，·，＜)为阿基米德序域)Ⅳ．完备公理(柯西准则)R中基本序列在R中收敛(至此，(R；＋，·，＜)为连续的或完备的阿基米德序域)公理Ⅳ又称连续公理，它有许多等价形式：1° (戴德金定理) R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数；或B中有最小数，A中无最大数2° (确界存在定理) R中有上(下)界子集必有上(下)确界．3° (单调有界定理) R中单调有界数列必有极限．4° (区间套定理) R中任意闭区间套｛［a n，b n］｝确定唯→0，则存在唯一实数a∈［a n，b n］，n=1，2，3，…．6° (致密性定理) R中每个有界数列必合收敛子列．7° (聚点定理) R中有界无穷点集至少有一个聚点．3．复数域从实数集向复数集的扩充，又可以采用代数扩张的办法．(1)定义含有实数域R和i(i具有性质i2=-1)的最小域C，称为复数域．即1°域(R；＋，·)是(C；＋，·)的子域；3°若域(C′；＋，·)满足上述1°与2°，则(C；＋，·)是(C′；＋，·)的子域．域C中元素叫做复数．如果复数域C存在，则C具有形式C＝｛a＋bi|a，b∈R，i2=－1｝因此，所有在此定义下的复数域C是同构的．即复数域C若存在，则在同构的意义上是唯一的．(2)构造作集合C0=｛(a，b)|a，b∈R｝在C0中定义加法“＋”和乘法“·”如下：对任意实数对(a，b)，(c，d)∈C0，规定(a，b)＋(c，d)=(a＋c，b＋d)(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad＋bc)容易证明，(C0；＋，·)是域．与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集．(3)嵌入令C0=C1∪C2，其中C1=｛(a，0)|a∈R｝C2由C0中其余元素组成．作映射f：R→C1，使对每一a∈R，都有f(a)＝(a，0)．易知f是(R；＋，·)到(C1；＋，·)的同构映射，故(R；＋，·)是(C0；＋，·)的子域．令C＝R∪C2，C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于(0，1)(0，1)=(-1，0)所以i=(0，1)，i2=-1复数的性质1°复数域是代数闭域这由下面定理保证：代数基本定理复系数n次方程x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x+a0＝0在复数域C中有n个根．只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹．2°复数域不能成为序域首先，要明确全序集与序域的区别．复数集C，可以定义序＜，使(C；＜)成为全序集．例如，对于任意a1＋b1i，a2＋b2i∈C，规定a1+b1i＜*a2+b2i当且仅当a1＜a2；或a1=a2，b1＜b2．则“＜*”是C的一个全序，从而(C；＜*)是全序集．但是，对于复数域C上任意序＜，(C；＋，·，＜)都不是序域．事实上，只要考虑i与0的序关系即可．由于i≠0，只有0＜i或i＜0．若0＜i，由实数序公理Ⅱ4，有0＜i·i=-1所以0＜(－1)(－1)=1 (*)又由序公理Ⅱ3，应有0＋1＜(－1)＋1，即1＜0，与(*)矛盾若i＜0，则0＝i＋(-i)＜0＋(-i)=-i，同样推得矛盾．因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域(C；＋，·)中的复数，没有大小顺序．这就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在．在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有性质．例如，N扩充到Z，失去了良序性等．当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远了．因此，通常所说的数，都是指实数或复数．第四节代数数、超越数和作图不能问题1．代数数和超越数有理系数(或整系数)多项式p(x)＝a n x n＋a n-1x n-1＋…＋a1x＋a0(1)的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数．以下主要讨论实代数数和实超越数．一个代数数α所满足的有理系数多项式的最低次数，称作α的次为它们满足一次方程qx-p=0．代数数，而是四次代数数，因a5是四次方程x4-5x2＋5＝0的根有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数．超越数是无理数中的非代数数．人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：①认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的．但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来．第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问题”相关．1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”．然而人们具体认识的超越数却很少．1873年，Hermite(1822—1901)第一次证明了e是超越数．1882年，Lindemann(1852—1939)越数，列为他著名的“23个问题”的第7个．1929年，Gelfond(1906—1968)证明了eπ是超越数；1930年，Kuzmin(1891—1949)将本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类．例如sin1，cos3，ln2，ln5，…和都是超越数(这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：若u1，u2，…，u n是不同的代数数，那么复指数eμ1，eμ2，…，eμn在代数数域上线性无关)．然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连π＋e，πe是不是超越数，至今还不知道．*2．π和e这是两个最常见、最有用的超越数．然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟．圆周率π，即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值．1761年，Lambert(1728—1777)证明了π是无理数，这才打破了人们的梦想．但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lambert是借用了与前人类似的方法．因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明．取自然数n＞q，用n！乘下列级数表达式两边：得n！e＝a n＋b n因n＞1，故0＜b n＜1．即b n不可能是整数．产生矛盾．所以e是无理数．π和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明大意，方法与上面相仿．e不是二次代数数即证明：对于任意a0，a1，a2∈Z且a0≠0，都有a0e2＋a1e＋a2≠0事实上，如果有某三个整数a0(≠0)，a1，a2使a0e2＋a1e＋a2=0即a0e＋a1＋a2e-1=0 (3)将(2)代入(3)，便有从而(n-1)！S n＝-(n-1)！R n因(n－1)！S n为整数，故也应为整数．令A＝|a0|＋|a2|，取n＞3A．则因此，(n－1)！R n=0，(n-1)！S n=0．由此可以导致矛盾(详见［39］)．证明π是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题“化圆为方”作图是不可能的．3．几何作图不能问题华罗庚在1952年发表过一篇题为“三分角问题”的文章①．他说：“我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚(即使不能严格证明)，以免引人走入歧途．”作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚．古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是1 三等分任意角问题；2 倍立方问题(作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍)；3 化圆为方问题(作一正方形使其面积等于已知圆的面积)．如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题．所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题．如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形．设给出一单位长线段1(用线段的长度表示该线段)，则可作出：1°所有正整数n(长度为n的线段)；3°上述各种数的和、差、积、商及算术平方根．如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段(设为和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”．例其中a，b，A是较低层平方根数或有理数．每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程(1)或有理方程x n＋a1x n-1＋…＋a n-1x＋a n＝0，a i∈Q (4)的根．反之，方程(4)如果有这样“多层平方根数”的根x=α，则α是由方程(4)的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数．设方程(4)的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域：x4-5x2＋5＝0于是a5∈F2．为解决几何作图问题，我们先证明定理Q上三次方程x3＋a1x2＋a2x+a3=0 (5)的一个根若为“多层平方根数”，则一定有有理根．证设(5)有一个根x1是“多层平方根数”：其中a，b，A∈F k-1，k≥1．(6)代入(5)：整理得x3=-a1-x1-x2=a1-2a也是(5)的根如果a∈Q，则定理已经证明．若a∈F k-1≠Q，那么又令a=a′因此，方程(5)有根x1或x2，即由此定理得推论如果三次方程(5)没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图．利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”．4．“几何作图三大难题”的解答(1)三等分角问题设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线由于4x3-3x-cosA＝0的根．特别地，当A=60°时，cos20°是方程8x3－6x－1=0 (8)的根．方程(8)没有有理根．事实上，令y=2x，(8)变成y3-3y-1＝0 (9)p3－3q2p＝q3即p(p2－3q2)=q3(10)从而p|q3，但(|p|，|q|)=1，故p=±1．同样，由(10)有q|p3，又得q=±1．从而(9)若有有理根，则只能为y=±1．经检验，y=±1均不是(9)的根．所以方程(9)，从而(8)，没有有理根．由上段推论，(2)倍立方问题设已知立方体棱长为1，2倍体积的立方体校长为x，则有x3＝2 或x3－2=0 (11)同上可证，(11)也无有理根，因此，它的根不能尺规作出．方程(8)和(11)都至少有一个实根，显然它们都是代数数，但却不是“多层平方根数”．这说明：代数数并不都能用有理数的多层平方根来表示．(3)化圆为方问题设给定圆半径为1，则其面积为π．设正方形边长为x，面积为x2，与圆面积相等，得方程x2＝π 或x2－π=0 (12)有代数数根，当然更没有有理数域上的“多层平方根数”根，所以它的根不能尺规作出．至此，三个几何作图不能问题，均化为二次或三次方程有理根的判定问题，从而得到彻底解决．研究与思考题1．试说明在数的扩充过程中，从N→C的每一步，数的性质增加了什么？减少了什么？2．试证明：有理数域Q是最小的无限域；实数域R是最小的完备域．3．从Q到R的扩充，与数的其他几次扩充，在方法上有何不同？原因何在？4．证明：实数集R中实数项基本列｛rn｝不再定义出新数．5．证明：代数数集A构成实数域R的子域．又问，超越数集T是否也构成R的子域？6．作图不能问题的含义是什么？希腊“几何作图三大难题”是怎样解决的？7．“复数不能规定大小”的含义是什么？8．能否用尺规作图方法，作出正七边形？为什么？。
实数域与复数域在几何中的应用
在几何学中，实数域和复数域是两个重要的数学概念。
实数是指包括有理数和无理数的数集，而复数是指由实数和虚数相加而成的数集。
实数和复数在几何学中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和描述几何形状和变换。
首先，实数域在几何中的应用可以帮助我们确定一条直线或曲线的方程。
以直线为例，如果我们知道直线上的两个点的坐标，那么我们可以通过求斜率和选择其中一个点作为起点来确定直线的方程。
方程的形式可以是一般式、点斜式或截距式，而实数域可以帮助我们解决这些方程并得出直线的准确位置。
其次，复数域在几何中的应用主要体现在平面几何中的复平面上。
复平面是由实部和虚部组成的平面，可以将复数表示为一个有序对(x, y)，其中x和y分别是实数部分和虚数部分。
复数域的应用使得我们能够更方便地描述和分析二维空间中的点和形状。
例如，利用极坐标系可以将复平面的点表示为极坐标(r, θ)，其中r是极径，θ是极角。
这种坐标系可以让我们更容易地理解和展示复数的模和幅角。
复数的模表示复数到原点的距离，而幅角表示复数与复平面的实轴之间的夹角。
通过极坐标系，我们可以更好地理解和运用复数在几何学中的运算和变换。
此外，复数域也可以用于表示和分析几何中的旋转和变换。
以平面上的旋转为例，我们可以将旋转的中心点表示为一个复数，并以旋转的角度表示。
利用复数的旋转公式，我们可以很容易地计算出一个点经过旋转后的新位置。
这种方法在计算机图形学和工程应用中有着广泛的应用。
最后，实数和复数域还在几何学的几何体积计算中发挥着重要的作用。
例如，在计算三角形、矩形、圆形等几何形状的面积时，我们需要用到实数域的数值计算方法。
而在计算复杂的几何体积，如球体、圆柱体等，我们需要借助复数的数学性质和计算方法。
实数和复数域为我们提供了一种更准确和有效的方式来处理几何学中的数据和问题。
综上所述，实数域与复数域在几何学中扮演着重要的角色。
实数域可以帮助我们确定直线或曲线的方程，而复数域可以在复平面上描述和分析二维空间中的点和形状。
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实数域认识摘要：实数, 是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数。
本来实数只唤作数，後来引入的虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
关键词：实数域，特性，传递性，公理系统阿基米德（Archimedes）性，稠密性，唯一性正文：实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
分数可以分为正分数和负分数。
无理数可以分为正无理数和负无理数。
实数集合通常用字母R 或R^n 表示。
而R^n 表示n 为实数空间。
实数是不可数的。
实数是实分析的核心研究对象实数可以用来测量连续的量的。
实数是不可数的。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点後n位，n为正整数)。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数(floating point numbe）。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a。
2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离）实数a的绝对值是：|a|①a为正数时，|a|=a②a为0时，|a|=0③a为负数时，|a|=a(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。
)3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数）实数a 的倒数是：1/a （a≠0）4）数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。
实数域- 历史埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。
在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。
印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。
在1871年，德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。
从有理数构造实数实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。
实数可以不同方式从有理数构造出来。
这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。
公理的方法设R 是所有实数的集合，则：集合R 是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
域R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数x, y 和z：若x ≥ y 则x + z ≥ y + z；若x ≥ 0 且y ≥ 0 则xy ≥ 0。
集合R 满足完备性，即任意R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若S 在R 内有上界，那么S 在R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。
例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如1.5；但是不存在有理数上确界（因为√2 不是有理数）。
实数通过上述性质唯一确定。
更准确的说，给定任意两个有序域R1 和R2，存在从R1 到R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
实数域- 公理系统实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
a.实数对于四则运算封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
实数集有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b.b.如果R 是所有实数的集合，则：集合R 是一个体：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等运算规律。
集合R 是有序的：设x, y 和z 为实数，则：若x ≥ y 则x + z ≥ y + z;若x ≥ 0 且y ≥ 0 则xy ≥ 0.集合R 是完整的：设R 的一个非空的子集合S (<math>S \in R, S\ne\emptyset</math>), 如果S 在R 内有上限，那幺S 在R 内有最小上限。
最後一条是区分实数和有理数的关键。
例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限(1.5), 但是不存在有理数最小上限(<math>\sqrt2</math>)。
实数是唯一适合似上等特性的集合：亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
特性1.实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c.2.实数的阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.3.实数的稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数.4.实数唯一性如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。
于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。
完备性作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。
例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。
实际上，它有个实数极限√2。
实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是微积分的基础。
实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。
“完备的有序域”实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
首先，有序域可以是完备格。
然而，很容易发现没有有序域会是完备格。
这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z，z + 1 将更大）。
所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。
上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。
这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
这两个完备性的概念都忽略了域的结构。
然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。
上述完备性中所述的只是一个特例。
（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。
）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。
实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。
可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。
这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。
他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R 的子域。
这样R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。
这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。
高级性质实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。
这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。
实际上，实数集的势为2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。
由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。
实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。
该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。
所有非负实数的平方根属于R，但这对负数不成立。
这表明R 上的序是由其代数结构确定的。
而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于R。
这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例。
证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。
不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于R，但也同样满足和R 一样的一阶逻辑命题。
满足和R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为R 的非标准模型。
这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在R 中也成立。
拓扑性质实数集构成一个度量空间：x 和y 间的距离定为绝对值|x - y|。
作为一个全序集，它也具有序拓扑。
这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。
实数集又是1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。
但实数集不是紧致空间。
这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。
以下是实数的拓扑性质总览：令a 为一实数。
a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。
R 是可分空间。
Q 在R 中处处稠密。
R的开集是开区间的联集。
R的紧子集是有界闭集。
特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。
每个R中的有界序列都有收敛子序列。
R是连通且单连通的。
R中的连通子集是线段、射线与R本身。
由此性质可迅速导出中间值定理。
实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：最自然的扩展可能就是复数了。
复数集包含了所有多项式的根。
但是，复数集不是一个有序域。
实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。
它不是一个阿基米德域。
有时候，形式元素+∞ 和-∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。
它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。
希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。
参考文献：1.《现代数学观点下的中学数学》胡炳生吴俊等编高等教育出版社2.<实数的构造理论>王建午曹之江著3.中学数学教学参考丛书-实数张镜清霍纪良编上海教育出版社4.龙门专题:实数(初中数学)(最新修订) 沈立新著。