勾股定理专题复习(经典一对一学案)

专题复习一 勾股定理
第一课时
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。

如果用字母ａ,b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。

2、勾股数：满足ａ2+b 2＝c 2的三个 ，称为勾股数。

常见勾股数如下：
3121112=; 144122=; 169132=； 196142=; 225152=；256162=
289172=； 324182=; 361192=; 400202=;441212=; 484222= 529232=; 576242=； 625252=; 676262=；729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
１、、在Rt ▲ABC 中,∠C=︒90，a=5，c=3.,则R ｔ▲ＡBC 的面积Ｓ
＝ 。

2、一个直角三角形周长为１2米，斜边长为５米,则这个三角形的面积为： 。

3、直线ｌ上有三个正方形a 、b 、c,若a 和c 的面积分别为５和11，则ｂ的面积为
４、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别
是１、2、３，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、Ｓ2、Ｓ3、S 4, 则S 1＋S ２+S ３+S ４等于 。

3
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。

６、如果一个三角形的三边长分别为a ，b,c 且满足：a 2+ｂ2+c 2＋50＝6ａ＋8b+１0c,则这个三角形的面积为 。

7、如图1,︒=∠90ACB ,ＢC=8，AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长?
7、如下图,在∆ＡBC 中,︒=∠90ABC ，AB=8cm,B Ｃ=15cm ，P 是到∆ＡB Ｃ三边距离相等的点,求点P 到∆ABC 三边的距离。

８、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ,ＡB=20米,B Ｃ=15米，ＣD ＝7
米,请计算这块土地的面积。

(添加辅助线构造直角三角形)
9、如右图:在四边形ABCD 中,AB=2,CD=1,∠A=60°,求四边形AB ＣD 的面积。

A
B
C
P
10、如图2-3,把矩形ABＣD沿直线ＢD向上折叠,使点C落
在C′的位置上,已知AB=•３，BC=7,求：重合部分△ＥBD
的面积
１1、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S１、Ｓ2、S3表示,则不难证明S1=S2＋S３.
(1）如图②,分别以直角三角形ＡBＣ三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、Ｓ3之间有什么关系?(不必证明)
（2)如图③,分别以直角三角形ABＣ三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S３之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABＣ三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用Ｓ１、S２、S3表示,请你猜想S１、S2、Ｓ3之间的关系?．
专题二、勾股定理与折叠
第二课时
D
C
B
A
１、如图4，矩形纸片A ＢC Ｄ的边ＡB ＝10cm,ＢC=6cm,E 为ＢＣ上一点,将矩形纸片沿ＡE 折叠,点B 恰好落在DC 边上的点G 处,求BE 的长。

2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长ＡC ＝6ｃm,ＢC=8ｃｍ,现将直角边AC 沿AD 对折,使它落在斜边AB 上,且与A Ｅ重合,求C Ｄ的长?
3、如图6,在矩形纸片ABCD 中,AB ＝33,B Ｃ=6,沿ＥF 折叠后，点Ｃ落在AB 边上的点P 处,点Ｄ落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点Ｈ,∠BPE=︒30
(1) 求ＢE 、QF 的长
(2) 求四边形Q ＥFH 的面积。

E
B
C D
A
专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度
第三课时
1、如图7，铁路上Ａ、B 两站相距２5千米,C 、D 为两村庄,DA ⊥AB 于A 点，CB ⊥ＡＢ于点Ｂ,D Ａ=15千米，CB=１0千米,现在要在铁路上建设一个土特产收购站E,使得C 、Ｄ两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多远的距离？
2、一架长为5米的梯子,斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底C 为３米，如果梯子的顶端Ａ沿墙下滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E 处吗?请给出证明。

3、 △ABC 中，ＡB ＝ＡC=２0,B Ｃ=32，D 是ＢC 上
一点，且AD ⊥AC,求ＢD 的长．
专题四、勾股数的应用
第四课时
图7
E D
C
B A
１、下列是勾股数的一组是（ ）
A 4,５,6,
B 5,7,12
C 12,13，15
D 14 ，48，50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是 。

３、下列是勾股数的一组是( )
A 2,3,4,
B ５,6，７,
C 9,40，４1
D 10 24 25 ４、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c,其中a,b ，c 为正整数,且ａ<b ＜ｃ
（1）:试找给他们的共同点,并证明你的结论 (2):当ａ=2１时,求b ，ｃ的值
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
第五课时
1、 在四边形ABC Ｄ中,∠C 是直角，AB=１３，B Ｃ=3,ＣD=４,AD ＝１2 证明:ＡD ⊥ＢD
２、CD 是▲ABC 中ＡB 边上的高,且ＣD 2=ＡD •ＤB ，试说明∠ACB=︒90
３、在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 为C Ｄ上一点 且C Ｆ=
4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。

4、▲ABC 三边的长为a,b ， c,根据下列条件判断▲AB Ｃ的形状
（1）:ａ2
＋b 2
+ｃ2
＋２00=12ａ＋1６b ＋２0c ； (2)：a 3
-a 2
b+ab 2
－ac 2
＋bc 2
-b 3
=0
5、试判断，三边长分别为2n 2+2ｎ，2n ＋１，2n 2＋２n+1(n 为正整数)•的三角形是否是直角三角形？
6、如图２-1２,△ＡB Ｃ中，∠C=90°,M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D.
求证：A Ｄ2＝AC ２
+BD 2．
7、在▲ＡＢC 中,ＢC=a,AC ＝ｂ,AB=c,若∠C=︒90，如下图(１)根据勾股定理可
以得出:a 2＋ｂ2＝ｃ2,若▲ＡＢＣ不是直角三角形，如图(2)与图(3),请你类比勾股定理猜想a 2+ｂ2与c 2的关系,并且证明你的结论。

８、如图ABC ∆中，P AC AB BAC ,,90=︒=∠为ＢC 上任意一点,求证：
2222AP CP BP =+．
图(1)
B
B
B
A
A
A
C
C
C
图(2)
图(3)
A
专题六、勾股定理与旋转
第六课时
1、在等腰Rt▲ABC中,∠CAB＝︒
90,P是三角形内一点，且PＡ＝1，PB=3,PC=7
求:∠CＰA的大小?
2、如图,在等腰△ＡBC中，∠ＡCB＝90°，Ｄ、E为斜边ＡB上的点,
且∠DCE=45°。

求证：DＥ2=AD2＋ＢＥ2。

3、如图所示，△ＡBＣ是等腰直角三角形，ＡＢ=ＡC,D是斜边BC的中点，E、
F分别是AB、AC边上的点,且ＤＥ⊥ＤＦ,若BE=12,ＣF=５．求线段EF的
长。

ﻫﻫ
C
B
A
P
E
A
B
4、已知,如图△AB Ｃ中,∠ＡCB=9０°,ＡC ＝BC,P 是△ABC 内一点，且PA=3，P Ｂ=1,PC=２，求∠ＢＰＣ。

5、如图,在ABC ∆中,090B ∠=,M 为ＡB 上一点，AM=BC,N 为A Ｂ上一点，C Ｎ＝B Ｍ,连接A Ｎ、ＣM 交于点P 。

求APM ∠的大小。

专题七、最短路线问题
第七课时
1、 有一正方体盒子，棱长是１0cm ，在Ａ点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食,那么它爬行的
最短路线是多少？
B M
C A
N
B
A
２、有一个长方体盒子。

它的长是７0cm，宽和高都是５0cｍ，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食,那么它爬行的最短路线是多少？
B
A
３、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为6０cm、30ｃm、10ｃm,A和B 是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食,那么它爬行的最短路线是多少?
A
4、如下图、王力的家在高楼15层,一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2ｍ,
１.2ｍ,1.3ｍ,则他所买的竹竿最大长度是多少？
５、如图,已知圆锥的母线AＳ=10㎝,侧面展开图的夹角是９0°,点Ｃ为AＳ的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处，只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
B。