等腰三角形性质及判定

等腰三角形性质及判定

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示,在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°。等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角)，但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B,∠B＝∠C＝180

2

A

︒-∠

.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”)．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3。等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边"）。

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

例1、如图,在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.

举一反三:

1。已知:如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD,AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．

2.如图，在△ABC 中AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求三角形各角的度数。

3。 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别在AC 、AB 边上，且BC=BD ,AD=DE=EB ，求∠A 的度数

类型二、等腰三角形中的分类讨论

例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）．

A ．60°

B ．120°

C ．60°或150°

D ．60°或120°

举一反三：

1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．

2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿

3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿

4。等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿

5。等腰三角形的周长是20cm ，一边长是8cm ，则其它两边长为＿＿＿＿

6。等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（ )

D C B A

7等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）

A．过顶点的直线B．底边的垂线［]C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线8、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

9.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．

（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．

10若x，y满足｜x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为( ）A． 12 B．14 C．15 D．12或15

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

例3、已知:如图,△ABC中，∠ACB＝45°,AD⊥BC于D，CF交AD于点F,连接BF

并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．

求证:(1）△ABD≌△CFD;（2)BE⊥AC．

举一反三：

2如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证:BD=CE．

1。如图所示，在直角梯形ABCD中,∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1)求证：BE＝AD;

（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；

（3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．

3。如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

构造等腰三角形解题的辅助线常用做法

等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解.那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：

（1）依据平行线构造等腰三角形；

（2）依据倍角关系构造等腰三角形；

（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；

（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。

1、依据平行线构造等腰三角形

例1：如图。△ABC中，AB=AB,E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，

EF交BC于D，求证DE=DF。

2、依据倍角关系构造等腰三角形

例2:如图.△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证:AB+BD=AB

3、依据角平分线+垂线,构造等腰三角形

例3，如图.△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD

交BF的延长线于D，求证：BF=2CD

4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形

例4，、如图。∠BAD=120° BD=DC AB+AD=AC 求证：AC平分∠BAD

4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝1

2

AD.（拓

展）

5。（拓展)已知,如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M. 求证：AM＝1

2

(AB＋AC）．