等腰三角形性质及判定
等腰三角形的性质与判定
第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
等腰三角形判定
A ED**E DB CA 等腰三角形判定一、等腰三角形性质应用：等腰三角形还有许多特殊的结论，需要记住，用的时候将结论证明出来.1.等腰三角形两腰上的高相等。
2.等腰三角形两腰上的中线相等。
3.等腰三角形两腰上的角平分线相等.4.等腰三角形底边上一点到两腰距离之和等于一腰上的高；（底边延长线上一点到两腰距离之差等于一腰上高）5.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.6.辅助线方法：有中点：中线倍长；中点+平行⇒X型全等有角分线：过角分线上的点向角两边做高；角分线+平行⇒等腰遇三线合一中的任何两线，构造等腰；遇线段垂直平分线，连接中垂线上的点到线段两端点.二、基础知识1.等腰三角形的判定：（1）等角对等边. 几何语言：∵在△ABC中，∠B=∠C ∴ AB=AC（2）线段垂直平分线的性质定理：中线+垂线⇒等腰2.以下经验，也可得到是等腰三角形，但是需要证明，不能直接使用（1）若三角形一边上的高，平分这条边所对的角，则（2）若三角形一边上的中线，平分这条边所对的角，则这个三角形是等腰三角形（角分线+垂线⇒等腰）这个三角形是等腰三角形（角分线+中线⇒等腰）（3）角平分线+等腰⇒平行角分线+平行⇒等腰E FC B AD FED B C A P A BCA DB C A 3.有2倍角时候，常常构造等腰三角形，使2倍角是等腰三角形的顶角的外角（思想：平分2倍角或加倍小角） 例题：如图，AD 是△ABC 的平分线, ∠ABC=2∠C ，求证：AB+BD=AC三、应用1.霸王型：顶角为36°和108°的等腰三角形，BD(或AD)分别将等腰△ABC 分成了两个小等腰三角形2.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，过D 作DE ⊥CB 于E ，并与CA 的延长线交于F ，证：AD=AF （黑体字可互换条件与结论）3.如图，AD 是△ABC 的中线，BE=AC ，证明：AF=EF4.如图，△ABC 的面积为4，AP 垂直于∠ABC 的平分线于P ，(1)证明∠BAC=∠BAP+∠ACB ；(2)求△BPC 的面积5.如图，△ABC 中，AD 是它的角分线且AD=AB ，CM ⊥AD 于M ，求证：AM=12（AB+AC ）F E B C A D D E B C A D A BC D CB A 6.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE 交BC 于F ，求证DF=EF7.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AD 为∠BAC 的角平分线，BE ⊥AD 交AD 的 延长线于E ，求证AD=2BE8.如图，在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥AB. 证：2AC=BD9．已知：如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，AB BC =，AD 是A ∠的平分线. 求证：AB BD AC +=.10．如图，△DEF 中，∠D=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，判断EA 、AD 、DF 之间的关系。
等腰三角形的判定
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为“藏传佛教的八大神山之首。”我们到达梅里雪山的时候是在早晨，结束了几天的地下生活，到了梅里雪山脚下，阳光刺的我睁不 开眼睛，过了一会终于适应了。阳光明媚，山上的雪被阳光照得熠熠生辉，极蓝与极白相交辉映，看着这样的风景好像心也被洗干净 了，空气里都满是雪的味道。我现在终于体会到什么是壮观，在大自然的面前人类是多么的渺小。巍峨的雪山直插云霄，真是雾笼云 遮缥缈中，浑然浩气贯苍穹。山神说拉着我的手，我啊了一声，有点不好意思，脸红的发烫，感觉都红到耳根了。山神看着我说： “想什么呢，拉着我，我们飞上去，这样会节省不少时间。”这是要是有一条地缝，不管多小，我都要挤进去。可等了半天，山神也 没什么动静，他的手依旧如此冰凉。我以为他还在酝酿，只见他眉头紧皱，我说怎么了，我们怎么还在这里。山神说：“在这里，我 居然不能使用法术，我的法术好像被什么禁锢了一样，没法使出来。”我心想这座山这么厉害，居然连山神的法力都被禁锢了，看来， 我们凶多吉少了，真是壮士一去兮不复返啊。我说：“这样啊，那我们还是走吧，万一在这里挂掉了，我还好，你可怎么办啊，多不 划算啊。”我边说边往回走。山神说：“来都来了，再说了，怕什么，这是神山，不会有什么妖怪的。看来，我们只有爬上去了”。 这里有十三座峰，主峰卡瓦格博峰海拔高达6740米，看着主峰，我咽了口唾沫，心想这次不死也要退层皮了。我们修整了一会开始爬 山，我们就一直走，也无心欣赏身边的风景了，山很陡峭，有几次险些摔倒下去，我们一直提心吊胆地走了一天，到傍晚的时候终于 到达了雪线，我们又继续往前走，天也渐渐暗下来了，想想开始露出来，星星离我们很近，温度逐渐降低，风越来越大，尽管穿着很 厚很厚地冬衣，依然感觉很冷，只要一张口，风吹着雪就直往喉咙里灌，山神怕我摔倒后爬不起来，就一直拉着我走，满眼的白色， 一直看着白色突然头一阵眩晕，一不小心就跌了个狗**。山神连忙把我扶起来。山神还是一身玄色衣服，他无论在什么样的恶劣条件 都是这样，丝毫不受影响。走到后来就是他拖着我走了，他怕我失去意识，就一直不停的跟我说话。我们又走了一夜，到第二天中午， 我们来到了一个山洼里，这的山洼很奇怪，它很宽很大，周围长满了野花和野草，还能看到很多蝴蝶，一条清澈的小溪从旁边流过， 这里这的是一处世外桃源啊，想不到大山之中还能有这样的地方不受风雪的侵扰。山神的眼睛很尖，一下就看到了被草掩埋的相机， 拿起来一看，这是尼康FM3A上面的金属机身已经长锈了，相机更新速度很快，现在已经停产了，我们也不能评这个就判断时间，万一 他是胶卷相机的忠实用户呢，这也说不定，随后我们又找到
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质和判定，并通过几个例子加深理解。
首先，我们来了解等腰三角形的定义。
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
根据这个定义，我们可以得出等腰三角形的第一个性质：等腰三角形的底角（底边对应的角）是相等的。
这是因为等腰三角形的两条边相等，所以它们对应的角也必须相等。
接下来，我们来探讨等腰三角形的第二个性质：等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线段）是对称轴。
这个性质可以通过几何推理来证明。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
如果我们从顶点A向底边BC引一条垂直线段AD，我们可以证明BD = CD。
这是因为在等腰三角形中，高线将底边等分，所以BD = CD。
这也意味着高线AD是底边BC的中垂线，而中垂线是对称轴。
除了这些基本性质外，等腰三角形还有一些判定方法。
首先，我们可以通过边长判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两条边相等，那么它就是等腰三角形。
其次，我们可以通过角度判定法来判断一个三角形是否为等腰三角形。
如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。
这两种判定方法可以互相验证，帮助我们确定一个三角形是否为等腰三角形。
让我们通过一个例子来加深对等腰三角形性质和判定的理解。
假设我们有一个三角形DEF，其中DE = DF。
我们可以通过边长判定法得出这个三角形是等腰三角形。
接下来，我们可以通过角度判定法验证这个结论。
如果我们发现角D和角E相等，那么我们可以确定这个三角形是等腰三角形。
通过计算角度，我们可以发现角D和角E的度数相等，所以我们可以得出结论：三角形DEF是等腰三角形。
在实际生活中，等腰三角形的性质和判定方法也有一些应用。
例如，在建筑设计中，等腰三角形的对称性可以用于设计对称美观的建筑物。
在工程测量中，等腰三角形的判定方法可以帮助工程师确定一个三角形的性质，从而更好地进行测量和计算。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是在初中数学中经常讨论的一个概念，指的是具有两条边相等的三角形。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质及其相关定理。
通过对等腰三角形的研究，我们可以更好地理解三角形的特性和性质。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指一个三角形的两条边相等。
通常情况下，等腰三角形的两条等边分别称为腰，而未与之相等的边称为底边。
根据等腰三角形的定义，我们可以推导出等腰三角形的一些重要性质。
二、1. 等腰三角形的底角相等等腰三角形的两条边相等，因此根据三角形内角和定理可得，等腰三角形的底角相等。
也就是说，如果一个三角形的两条边相等，那么它的底角也相等。
2. 等腰三角形的顶角相等根据等腰三角形的定义和性质1，我们可以得出结论，等腰三角形的顶角必定相等。
因为等腰三角形的两条边相等，所以顶角必然相等。
3. 等腰三角形的高线和中线等腰三角形的高线和中线有一些特殊的性质。
等腰三角形的高线是从顶角所在的顶点到底边所在的垂足的线段。
等腰三角形的中线是连接两条等边中点和底边中点的线段。
4. 等腰三角形的高线和中线相等等腰三角形的高线和中线相等。
这是因为等腰三角形的两条等边分别是高线和中线的斜边，而两条斜边的长度相等。
所以，等腰三角形的高线和中线相等。
5. 等腰三角形的对称性等腰三角形具有一种对称性质。
如果我们把等腰三角形的底边作为对称轴，那么等腰三角形就具有对称性。
也就是说，等腰三角形的两个腰关于对称轴是对称的。
三、等腰三角形的判定怎样判定一个三角形是等腰三角形呢？在数学中，我们有一些判定等腰三角形的条件。
1. 两边相等如果一个三角形的两边相等，那么它就是等腰三角形。
2. 两角相等如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。
3. 等边判定法如果一个三角形的三边相等，那么它就是等边三角形，也是等腰三角形。
四、等腰三角形的应用等腰三角形在学习数学过程中有着广泛的应用。
除了上述的性质和定理，等腰三角形还与圆有着紧密的联系。
等腰三角形的性质与判断及应用
等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。
最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。
当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。
若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。
另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。
【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。
例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。
例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。
1.1等腰三角形的性质和判定
第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定Ⅰ.核心知识点扫描1.等腰三角形和等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形⑴等腰三角形两个底角相等(简称“等边对等角”) .⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).⑴如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.⑵定义：如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.图示（1）在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C；（2）在△ABC中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD；若BD=CD，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；若AD⊥BC，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD.在△ABC中，∵∠B=∠C ∴AB=AC.等边三角形⑴等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且，在每条边上都有“三线合一”；⑵等边三角形的每个内角都等于60°.⑴定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵有一个角是60°等腰三角形是等边三角形.⑶三个角都相等的三角形是等边三角形.图示∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°．(1)∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形；(2) ∵AB=BC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形；(3)∵∠A=∠B=∠C，∴∴△ABC是等边三角形．Ⅱ.知识点全面突破知识点1：等腰三角形性质（重点）⒈等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；可用符号语言表述如下:如图1-1-1，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C.已知：如图1-1-1，在△ABC中， AB=AC.求证：∠B=∠C.图1-1-3定理的证明分析：利用分析法思考证明的过程：如下所示：作顶角的平分线AD.()AB AC B C ABD ACD SAS BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⇐≅⇐∠=⎨⎪=⎩，具体证明过程略.此外，我们还可以用AAS 、ASA 、SSS 证明这一性质.如取BC 的中点D ，连接AD,在△ABD 和△ACD中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）,∴B C ∠=∠.2.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).可用符号语言表述如下:如图1-1-2，在△ABC 中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD=CD ； 若BD=CD ，那么∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ；若AD ⊥BC ，那么∠BAD=∠CAD ，BD=CD.详解：①等腰三角形是特殊的三角形，它拥有一般三角形所具有的所有的性质．同时它还具有一般三角形所没有的特点和性质；②定理1常用来证明同一个三角形中的两个角相等；定理2实际上是等腰三角形中的两个结论，已知其中任意一个可以得到另两个结论，常用来证明角相等、线段相等或垂直；③将这两条性质用在特殊的等腰三角形即等边三角形中，可得等边三角的性质:等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；等边三角形每一条边上的中线高都与所对的角平分线互相重合.例1.如图1-1-3，房屋的顶角∠BAC=100O ，过屋顶A 的立柱，屋椽AB=AC 求∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 的度数.解:在△ABC 中， AB=AC(已知).∴∠B=∠C(等边对等角) .∴∠B=∠C=21(180O -∠BAC) 图1-1-1图1-1-2=21(180O -100O )=40O (三角形内角和定理) .又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)，∴∠BAD=∠CAD=50O .点拨:已知等腰三角形的顶角，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B 与∠C 的度数，再根据等腰三角形的三线合一，可得AD 是顶角的平分线，则∠BAD 与∠CAD 的度数即可求.例2：（2010，山东济南）（一题多解）如图1-1-4，已知AB AC AD AE ==，．求证BD CE =．证明：方法1 如图1-1-5过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ∵AB=AC ，AD=AE ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH ， DH=EH∴BH 一DH=CH 一EH 即BD=CE 方法2 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED∴180O-∠ADE=180O-∠AED 即∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ，∠B=∠C ，∠ADB=∠AEC ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE ．点拨：在等腰三角形中，虽然顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但如何添加，要根据具体情况来定．本题中适合高AH AH ，利用等腰三角形的“三线合一”来解决这个问题。
等腰三角形的性质定理和判定定理
教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
等腰三角形的性质与判定
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1
定理：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
你能：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
A
B
D 整理ppt
C
3
定理：等腰三角形的顶角 平分线、
底边上的中线和高是同一条直线。 （三线合一）
A
B D
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C
E
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练：如图， 在△ABC中AD⊥BC于D、 AB+DB=DC 求证：∠B=2∠C
A
B
D
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练：如图，AB＞AC，AD是角平分线， E是AB上的一点，AE=AC，EF∥BC交 AC于F，求证：CE平分∠DEF
A
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F
B
D
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例：如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点， 以CD为一边向上作等边△EDC，连AE，
（2）△CEF是等边三角形
（3）将△ACM绕点C逆时针方向旋转 90 0 ，
在图2中补出符合条件的的图形，并判断（1） （2）两题的结论是否仍然成立，证明你的结论。
M
N
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定理：如果一个三角形的两个角相等， 那么这个这两个角所对的边也相等 （“等角对等边”）
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已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C 求证： AB=AC
等腰三角形的性质定理和判定定理
等腰三角形的性质和判定一、知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
二、【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。
例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。
求证：△DEF是等腰三角形。
综合应用题：例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
等腰三角形的判定课件(共21张PPT)
等腰三角形的性质定理
1、从边看：等腰三角形的两腰相等。 （定义）
2、从角看：等腰三角形的两底角相等。 （性质定理1）
3、从重要线段看：等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线和底边上的高三线合一。 （性质定理2）
如何判定一个三角形是等腰三角形？
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
还有其他方法吗？
A
B
D C
例2：已知：AD交BC于点O，AB∥CD，OA=OB
求证：OC=OD
问题：
1、若已知AB∥ CD，OC=OD，能
A
否证明OA=OB？
2、若已知OA=OB，OC=OD，能否
证明AB ∥ CD？
C
B O
D
规律：
AB ∥ CD，OA=OB，OC=OD中已知任两 个可推出第三个。
例3、如图，在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
已知：△ABC中，∠B=∠CBAC的平分线AD
A
在△ BAD和△ CAD中， 1 2
∠B=∠C，
∠1=∠2，
B
AD=AD
C
D
∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
∠ABC= ∠A’B’C’=90°，
AB=A’B’,AC=A’C’，
区别:条件和结论互换。
3、已知：ED ∥ OB，EO=ED
求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’ 求证：OD平分 AOB。
例1 :已知：如图，∠CAE是△ABC的外角∠1=∠2，
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定知识点拨：1.有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫2.等腰三角形的性质：性质1 等腰三角形的两个相等（简写成“”）性质2 等腰三角形、、互相重合定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”3.等腰三角形的判定定理如果一个三角形的两个相等，那么这两个角所对的也相等（简写为“”）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
说明：证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。
巩固练习：1.△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AB=AC，∴∠_____=∠______；（）（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，（）∴_______=________；________⊥_________；（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（）（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（）2.△ABC中，∵∠B=∠C∴_____=_____．（）3.在△ABC中，AB=AC．若∠A =50°，则∠B = °，∠C = °；若∠C =60°，则∠A = °，∠B = °；若∠A =∠B ，则∠A = °，∠C = °．4. 等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是 ．5.等腰三角形的周长是24 cm ，一边长是6 cm ，则其他两边的长是 ．6. 已知等腰三角形的两边长为7和 4，则它的周长为______7.如图已知△ABC 中，点D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE 。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有独特的性质和判定定理。
本文将介绍等腰三角形的性质定理和判定定理，并给出其详细证明。
一、等腰三角形的性质定理性质定理1：等腰三角形的底角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠ABC和∠ACB不相等，即∠ABC＞∠ACB或∠ABC＜∠ACB。
不妨设∠ABC ＞∠ACB。
由于∠ABC＞∠ACB，所以∠ABD＞∠ACD，其中D为∠ABC外一点沿边AC的延长线上的点。
又因为∠ABC=∠ACB，所以∠ADB=∠ACD。
根据角度相等的性质，∠ABD=∠ADB-∠ABD=∠ACD-∠ABD=∠ADC。
而∠ABD＞∠ADC，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠ABC=∠ACB，即等腰三角形的底角相等。
性质定理2：等腰三角形的等腰边上的角相等。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
假设∠BAC和∠BCA不相等，即∠BAC＞∠BCA或∠BAC＜∠BCA。
不妨设∠BAC ＞∠BCA。
由于∠BAC＞∠BCA，所以∠BAC＞∠BDC，其中D为∠BAC外一点沿边AB的延长线上的点。
又因为∠BAC=∠BCA，所以∠BCD=∠BDC。
根据角度相等的性质，∠BCA=∠BAC-∠BCA=∠BDC-∠BCA=∠CDB。
而∠BCA＞∠CDB，与三角形内角和定理矛盾。
所以，假设不成立，即∠BAC=∠BCA，即等腰三角形的等腰边上的角相等。
性质定理3：等腰三角形的高、中线、中位线、角平分线重合。
证明：设△ABC为等腰三角形，其中AB=AC。
过顶点A作边BC的垂线，交边BC于点D。
连接AD，BD与CD。
首先证明AD是三角形ABC的高。
根据性质定理1可知∠BAD=∠CAD，又因为AD是AB和AC的垂线，所以∠BAD=90°，∠CAD=90°，因此AD与BC垂直，即AD是三角形ABC的高。
接下来证明BD与CD分别是△ABC的中线。
等腰三角形性质定理和判定定理
等腰三角形性质定理和判定定理
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）
等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
等腰三角形的判定：
有两条腰相等的三角形是等腰三角形
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边.
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一.
4.;等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定1有两条边相等的三角形是等腰三角形
2有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）3顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形（4所有的等边三角形为等腰三角形）。
第四讲 等腰三角形的性质与判定
第四讲等腰三角形的性质与判定知识要点：1、等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：(1)等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（即等腰三角形三线合一）三边都相等的三角形叫做等边三角形，即等边三角形是腰和底相等的特殊三角形，因此它除具有等腰三角形的所有性质外，还有如下性质：等边三角形三个内角相等，并且每个角都等于60︒；性质的推论：在直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半。
2、等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法：（1）从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；（2）从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理：等角对等边。
等边三角形的判定定理：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形。
3、构造等腰三角形的常用方法（1）角平分线+平行线=等腰三角形（2）角平分线+垂线（或高）=等腰三角形（3）线段中垂线构造等腰三角形（4）将2倍角转化为相等角构造等腰三角形21(1) (2) (3) (4)4、解与等腰三角形有关的几何题，要结合全等三角形的知识和方法，但又不郁于全等三角形，要充分运用等腰三角形的有关性质与判定知识解决问题。
典型例题：例1如图，AE、AD是直线且A B B C C D D E E F F G G A======，若∠DAE=a，求a 的值。
AL 2L 1D例2如果，现有人骑马从C 点到D 点，但必须先到河岸1l 处的1P 点去让马饮水，然后再到河岸2l 处的2P 点再次让马饮水，最后到D 点，他如何选择饮水点1P 、2P ，才能使所走的路程D P P P CP 2211++为最短？例3在等腰Rt ∆ABC 中，AC=BC=1,M 是BC 的中点，CE ⊥AM 与E ，交AB 于F ，则M B F S ∆=ABF巩固训练：1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A 、20︒ B 、120︒ C 、20︒ 或120︒ D 、36︒2、已知等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ） A 、9 B 、12 C 、15 D 、12或153、如图，P 、Q 是∆ABC 的边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC 的大小等于 度 。
等腰三角形的性质和判断
F C
上的一动点， 例：如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点， 如图 ，等边△ 中 是 上的一动点 为一边向上作等边△ 以CD为一边向上作等边△EDC，连AE， 为一边向上作等边 ， ， 求证： ∥ 求证：AE∥BC 改为以BC为 （2）如图 ，将（1）中等边△ABC改为以 为 ）如图2， ）中等边△ 改为以 底边的等腰三角形所作△ 改为相似于△ 底边的等腰三角形所作△EDC改为相似于△ABC， 改为相似于 ， 请问：是否仍有AE∥ ？证明你的结论。 请问：是否仍有 ∥BC？证明你的结论。
例：如图，AD是△ABC的角平分线 AB=AC+DC，求证：∠C=2∠B
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B
D
C
E
练：如图， 在△ABC中AD⊥BC于D、 AB+DB=DC 求证：∠B=2∠C
A
B E
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练：如图，AB＞AC，AD是角平分线， E是AB上的一点，AE=AC，EF∥BC交 AC于F，求证：CE平分∠DEF
A
E B D
定理：如果一个三角形的两个角相等， 定理：如果一个三角形的两个角相等， 那么这个这两个角所对的边也相等 等角对等边” （“等角对等边”）
已知：如图， 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C 中 ∠ 求证： AB=AC 求证：
A
B
D
C
例：如图，∠EAC是△ABC的外角， AD平分∠EAC，且AD∥BC. 求证：AB=AC
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A
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B
C
如果AB=AC，AD∥BC，那么 ， ∥ ， 如果 AD平分∠EAC吗？ 平分∠ 平分 吗
E
A
D
B
C
练 习
证明： 证明：两角及其中一角的对边 对应相等的两个三角形全等。 对应相等的两个三角形全等。 证明：等边三角形的每个角都 证明： 等于 600 证明： 证明：线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等。 到线段两端距离相等。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定知识总结归纳：（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
等腰三角形的性质与判定
分析：设小角为α,则大角为 则大角为2α. 分析：设小角为 则大角为
为底角时， 当α为底角时， α +α+ 2α=1800 为底角时 解得 α=450，则2α=900 为底角时， 当2α为底角时， α +2α+ 2α=1800 为底角时 解得α 解得 =360，则2α=720 其内角的度数为45 ∴其内角的度数为 0，450，900，或360，720，720.
10.3 等腰三角形的性质（2） 等腰三角形的性质（
一、回顾与记忆
1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 如图： ABC就是等腰三角形 如图：在△ABC中,AB=AC，则 △ABC就是等腰三角形 ABC中 ，
顶角
它的各部分名称分别是什么？ 它的各部分名称分别是什么？
(1)相等的两条边叫做腰。 相等的两条边叫做腰 相等的两条边叫做 (2)另一边叫底边。 另一边叫底边 另一边叫底边。 (3)两腰的夹角叫顶角。 两腰的夹角叫顶角。 两腰的夹角叫顶角 (4)腰与底边夹角叫底角。 腰与底边夹角叫底角。 腰与底边夹角叫底角
B 底角 腰
A 腰
C
底边
底角
有两边相等的三角形叫做等腰三角形 两边相等的三角形叫做 的三角形叫做等腰三角形
例4，已知：AD是△ABC的角平分 ，已知：AD是 ABC的角平分 线，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是 DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别是 EF，试判断△ EF，试判断△AEF的形状 。 的形状
A F E C B D
E
1.如右图，在△DEF中，DE=DF,请问： 如右图， 请问： 如右图 中 请问
哪些边是腰？ 哪些边是腰？ 底边是哪条边？ 底边是哪条边？ 顶角是哪个角？ 顶角是哪个角 底角是哪些角？ 底角是哪些角？
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等腰三角形性质及判定
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示,在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
要点诠释:等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°。
等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角)，但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B,∠B＝∠C＝180
2
A
︒-∠
.
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”)．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3。
等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线)所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边"）。
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【典型例题】
类型一、等腰三角形中有关度数的计算题
例1、如图,在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
举一反三:
1。
已知:如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD,AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．
2.如图，在△ABC 中AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求三角形各角的度数。
3。
如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别在AC 、AB 边上，且BC=BD ,AD=DE=EB ，求∠A 的度数
类型二、等腰三角形中的分类讨论
例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）．
A ．60°
B ．120°
C ．60°或150°
D ．60°或120°
举一反三：
1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．
2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿
3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿
4。
等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿
5。
等腰三角形的周长是20cm ，一边长是8cm ，则其它两边长为＿＿＿＿
6。
等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（ )
D C B A
7等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）
A．过顶点的直线B．底边的垂线［]C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线8、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
9.已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．
（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．
10若x，y满足｜x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为( ）A． 12 B．14 C．15 D．12或15
类型三、等腰三角形性质和判定综合应用
例3、已知:如图,△ABC中，∠ACB＝45°,AD⊥BC于D，CF交AD于点F,连接BF
并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．
求证:(1）△ABD≌△CFD;（2)BE⊥AC．
举一反三：
2如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证:BD=CE．
1。
如图所示，在直角梯形ABCD中,∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1)求证：BE＝AD;
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．
3。
如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法
等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解.那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：
（1）依据平行线构造等腰三角形；
（2）依据倍角关系构造等腰三角形；
（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；
（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形
例1：如图。
△ABC中，AB=AB,E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，
EF交BC于D，求证DE=DF。
2、依据倍角关系构造等腰三角形
例2:如图.△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证:AB+BD=AB
3、依据角平分线+垂线,构造等腰三角形
例3，如图.△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD
交BF的延长线于D，求证：BF=2CD
4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形
例4，、如图。
∠BAD=120° BD=DC AB+AD=AC 求证：AC平分∠BAD
4、如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。
求证：BE＝1
2
AD.（拓
展）
5。
（拓展)已知,如图，AD为△ABC的内角平分线，且AD＝AB，CM⊥AD于M. 求证：AM＝1
2
(AB＋AC）．。