高一数学必修4任意角教案
人教版高中数学必修四《任意角》教学设计
体会在直角坐标系内讨论角的好处
学习新概念与回答问题相结合，进一步加强学生对概念的理解
终边相同的角
在同一直角坐标系中画出下列各角，观察它们的终边的关系，角的度数上的关系（1）300（2）3900（3）-3300
问题2.思考下面的角如何表示？
（1）你的手表慢了10分钟，想将它校准，分针应该如何旋转？旋转多少度？
（2）你的手表快了10分钟，想将它校准，分针应该如何旋转？旋转多少度？
（3）你的手表慢了1小时10分钟，想将它校准，分针应该如何旋转？旋转多少度？
回忆角的的定义和分类；
学生讨论回答，让学生关注旋转方向和旋转量这两个要点
回顾本节的核心内容
6布置作业
习题A1（1）（2）3（3）（4）
通过具体例子，了解终边相同的角的关系，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题
3例题讲解
在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°.
1.在0°～360°间，找出下列终边相同角：－1040°、－940°.
2.写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角. 120°、－270°、1020°
任意角教学设计
教学
课题
1.1.1任意角
课程
类型
新授课
课时
一课时
教学
重点
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角)；掌握终边相同的角的表示法。
教学
难点
终边相同的角的表念(包括正角、负角、零角)；
2.掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角；
3.掌握终边相同角的表示法。
高中数学必修四(人教新A版)教案8任意角
高中数学必修四课时教案
一、引入
1．回忆：初中时，我们已学习
了0○～360○
角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图1，
2 （1）用扳手拧螺母；
（2）体操比赛中“转体720o
”
(3) 时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转? 如果慢了5分钟，又该如何校正？ 本节课将在已掌握
～
角的范围基础上，重新给出
角的定义，并研究这些角的分类及记法． 二、新课
1. 角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
2．正角、负角、零角概念
为了区别起见，如图2中的角为正角，它等于300与7500
； (1)我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角.
高中数学必修四课时教案
B
α O A
高中数学必修四课时教案。
高中数学试讲任意角教案
高中数学试讲任意角教案一、教学内容：任意角的概念和相关性质二、教学目标：1. 理解任意角的定义及其性质；2. 掌握任意角的标准位置；3. 能够应用任意角的相关性质解决问题。
三、教学重点：任意角的定义和标准位置四、教学难点：任意角的相关性质的理解和应用五、教学步骤：1. 引入任意角的概念（5分钟）引导学生回顾已学习的角的概念，引出任意角的概念，并与常见角（如锐角、直角、钝角）做对比。
2. 任意角的定义和标准位置（15分钟）解释任意角的定义：在坐标平面上，以一个边在x轴正半轴上、顶点在原点的射线为初始边，以这条射线终边在一个固定位置的角叫做任意角。
介绍任意角的标准位置：通过旋转射线，将任意角旋转至标准位置，然后测量终边与x轴的夹角（角的角度），用度来表示角的大小。
3. 任意角的性质（20分钟）介绍任意角的正弦、余弦、正切等三角函数，并讲解它们之间的关系。
讲解任意角的终边与x轴的夹角和终边的正弦、余弦、正切值的关系。
通过例题演示任意角的相关性质的应用。
4. 练习与拓展（15分钟）组织学生进行练习题目，巩固所学内容。
引导学生进一步拓展，能够应用任意角的相关性质解决实际问题。
六、板书设计：1. 任意角的定义2. 任意角的标准位置3. 任意角的性质七、教学反馈：通过练习题目和实际问题的解决，检验学生对任意角的理解和应用能力。
八、课后作业：1. 完成课后习题；2. 思考任意角的应用场景，写出相关问题并解答。
以上是本次高中数学任意角教案的范本，具体实施时可以根据课堂实陃情况进行适当调整。
愿您的教学活动取得圆满成功！。
高中数学必修四任意角教案
1.1.1 任意角【课题】：任意角 【学情分析】：教学对象是高一的学生，首先通过实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广，引发学生的认知，然后用具体例子，将初中学过的过0360︒︒~之间的角的概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合.使学生可以在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念。
【教学三维目标】： 一、知识与技能1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；2、象限角的概念；3、终边相同的角的表示方法； 二、过程与方法1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；2、掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法； 三、情感态度与价值观树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 【教学难点】：终边相同的角的表示. 【课前准备】：几何画板课件。
【教学过程设计】： 教学环节 教学活动设计意图 一、课程引入教师提问：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？教师讲解：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.创设问题情景，让学生在问题解决的过程中感知任意角.二、探究新知教师提问：1．过去我们是如何定义的？角的范围是什么？[展示投影] 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1，教师讲解：一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 角的范围是0360︒︒~。
苏教版高中数学必修4-1.1《任意角》参考教案
课题：任意角的概念教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”、“负角”、“轴线角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义.教学重点: 象限角的判定；化与0︒—360︒间的某角终边相同的角教学过程：一、问题情境1．回忆初中学过的一些角,如锐角、直角、钝角、平角、周角.2．举日常生活中的一些例子，其中哪些不能用上面的角表示？（如：跳水、体操、行驶中的自行车车轮，等）3．回忆初中是如何定义角的？，这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”不易推广. 二、建构数学1．任意角的概念：一个角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置到另一个位置所形成的图形.射线的端点称为，射线旋转的开始位置和称为角的和终边.2．“正角”、“负角”——这是由旋转的方向所决定的.记法：角α或∠α可以简记成α说明：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了.1︒角有正负之分如：，2︒角可以任意大实例：，3︒还有零角：一条射线，没有旋转.3．关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角.以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，这样一来．．．．，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，也称为轴线角.）例如：30︒、390︒、-330︒是第一象限角；300︒、-60︒是第象限角；585︒、1180︒是第Ⅲ象限角；-2000︒是第Ⅱ象限角等4．关于终边相同的角1︒．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同 2︒．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与∈k(k Z)个周角的和 3︒．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}∈o S =β|β=α+k×360,k Z即：任何一个与角α终边相同的角，都与角α与相差周角的整数倍.三、数学应用：例1.在0︒——360︒的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：①650︒ ②－150︒ ③－990︒15＇例2.试写出终边在x 轴上的角的集合.注意变式：例3. 试写出第三象限角的集合.例4.①如图，将终边落在阴影部分的角的集合表示出来。
《任意角》教学设计
《任意角》教学设计第一篇：《任意角》教学设计《任意角》教学设计教材分析：本小节是人教版A版必修四第一章第一节的内容。
角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行，对求角的集合的交、并等计算技能的考查，有一定综合性，涉及的知识点较多，不过多比较浅显。
三角函数的意义与三角函数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的形式考查。
此节是三角函数的基础，在锐角三角函数的基础上，通过具体事例，再利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画。
这样，在研究三角函数之前，就有必要先将角的概念推广，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系。
信息技术的使用可动态表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察到角的变化与终边位置的关系，进而更好地了解任意角和弧度的概念，体会角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础。
一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于的概念；（2）理解任意角并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解象限角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；角和负角，要求学生掌握用“旋转”定义角（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（7）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；2、过程与方法通过创设情境：“转体三周半，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，说明角不够用了，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法；及象限角的含义.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、电子白板，粉笔，三角板四、教学设计【创设情境】思考:1、初中时我们是如何定义一个角的？角的范围是多少？2、如果你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？学生活动：1、①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．范围（0°,360°）2、[实际操作]看看我们教室的时钟，会发现，校正过程中分针需要顺时针方向或逆时针方向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说之前的之间的角已经不够用了，这就是我们这节课要研究的主要内容——任意角设计意图：形象，具体的让学生感知角可以通过终边不停的旋转得到，以前的角度范围明显不满足现实要求，所以要进一步推广【探究新知】1、初中时，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1一条射线由原来的位置着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置线叫做角的始边，叫终边，射线的端点，就形成角叫做叫，绕.旋转开始时的射的顶点.记做：∠AOB或说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．图12、再如在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）、自行车车轮、两个齿轮旋转的示意图等都是按照不同方向旋转时成不同的角,要准确地描述这些角，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须要知道旋转量，又要知道旋转方向。
1.1.任意角-人教A版必修四教案
1.1 任意角-人教A版必修四教案一、教学目标1.了解角的概念、度数、弧度制。
2.学会用角度和弧度来表示任意角，并能够在不同单位之间进行转换。
3.掌握圆周角的性质和计算方法。
二、教学重点1.角的概念、度数、弧度制。
2.圆周角的定义和计算方法。
三、教学难点1.角度和弧度的相互转换。
2.圆周角和弧角的关系。
四、教学方法讲授法、示范法、探究法五、教学过程1. 角的概念及度数1.引入概念：什么是角？角有哪些特点？2.教师讲解角的度数概念及符号。
3.通过掌握正、负角的概念，进一步了解角的度数。
4.练习：求解几组角的度数。
2. 角的弧度制1.引入概念：什么是弧度制？2.讲解弧度制概念及与角度的换算公式。
3.探究：用弧度制表示任意角。
4.练习：进行角度和弧度的相互转换。
3. 圆周角的定义1.引入概念：什么是圆周角？2.讲解圆周角的定义。
3.通过练习探究：圆周角的性质。
4. 圆周角的计算方法1.讲解圆周角的计算方法。
2.讲解圆周角的补角和余角。
3.练习：利用公式计算圆周角。
5. 任意角的计算1.引入概念：什么是任意角？2.讲解任意角的概念。
3.通过练习探究：任意角的性质和计算方法。
4.练习：利用公式计算任意角。
六、教学反思本节课我采用了讲授法、示范法和探究法相结合的方式进行教学，让学生通过解题和练习的方式来掌握角度和弧度的概念，并进行相互转换和计算。
在教学过程中，学生积极参与，上课气氛活跃，但也发现部分学生对弧度概念和圆周角的理解还不够深入，下一节课需要进一步加强复习和练习。
高中数学必修四《任意角》教学设计
1.1.1 任意角（教学设计）内容：人教A版高中数学必修④第一章第一节第一课时.适合对象：高一学生【教材分析】三角函数是基本初等函数之一，也是中学数学的重要内容之一，它是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具．因此，本节课作为高中三角函数的起始课，有着衔接初高中学习，承前启后的作用，也为今后学习任意角的三角函数奠定了基础．本节课主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；介绍象限角的概念；终边相同的角的表示方法；帮助学生树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广后角的概念．【教学目标分析】根据新课程标准和上述教材分析，本节课的教学目标设计如下：1．知识与技能目标：（1）使学生理解用“旋转”定义角；（2）理解“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义；（3）掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．2．过程与方法（1）通过问题情境，让学生自己完成角的概念的推广这一认知过程，培养学生观察、分析、运用所学知识解决问题的能力；（2）指导学生通过各种角表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力．3．情感态度价值观（1）通过对角的定义的推广过程的教学使学生感受到数学的应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心，激发学生学习数学的热情；（2）重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，同时体会到创新的乐趣；（3）通过对角的集合表示的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风．【教学重难点】1．教学重点：理解并掌握正角、负角、零角及象限角的定义，会表示终边相同的角的集合；2．教学难点：把终边相同的角用集合的符号语言表示出来．【教学问题诊断分析】学生在初中已学过0360范围内的角，这可能对角的概念的推广在认识上有一定的困难，因此，在教学中可结合生活中的具体例子，以学生熟悉的背景，引起学生的认知冲突，让学生体会角的概念有推广的必要．接着给出有关角的概念，在已有的认知条件下，学生是可以接受的.值得注意的是，终边相同的角的概念并不难理解，但用集合表示终边相同的角时，部分学生还是会有一些障碍，针对这一问题，在教学时应多举实例将特殊问题推广到一般情况，最好能让学生自己总结.【教学方法分析】新课程要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课可采用问题引领的方式让学生思考、自主探究及教师启发的教学方法．教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，并以多媒体辅助教学为手段，构建学生自主探究的平台，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.【信息技术分析】多媒体教室及PowerPoint2003．【教学过程】导入新课师：今天这节课，我想和大家共同探讨一个话题：角（教师板书）师：对于角，我们并不陌生，初中就学过角的概念．问题1：初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？师生活动：教师提问，学生思考、回答.设计意图：回忆初中所学角的概念，为接下来角的推广作准备．新课讲解内容一：角的定义问题2：体操名词“程菲跳”是“踺子后手翻转体180度接前直转体空翻540度”的动作命名．这里的540度是一个什么样的角，能描述它吗？设计意图：用体操情境引发学生思考，激发学生探究新知的欲望，调动学生参与教学的积极性，由此引出用“旋转”来定义角.师生活动：师：540度角初中学过吗？怎么描述呢？生：初中没学过，我认为540度实际上就是旋转了一周半．师：那540度角能画出来吗？生：我目前画不出来.师：现在540度角还画不出来，说明初中角的概念不能满足我们进一步学习的需要，所以本节课的首要任务就是将角推广到任意角．（教师板书：1.1.1任意角，同时PPT给出角的定义）角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的的图形.（接着用PPT演示角的形成过程并给出角的表示方法以及角的顶点、始边和终边的概念）内容二：正角、负角和零角师：好，我们接着看下一个问题.问题3：跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度？设计意图：使学生认识到角的推广不仅考虑要用旋转量，还应考虑旋转方向，为接下来正角、负角和零角的概念做好准备.师生活动：生：这是900度的角（教师追问：你是怎么想到的？学生继续作答）师：那向内旋转和向外旋转完全一样吗？生：不完全一样，空中旋转过程不一样（因为方向不同）师：也就是说，我们不仅需要从数量的角度将角推广，还需要根据旋转方向不同将角加以区分．在新的定义下，我们继续探讨与角有关的概念．（教师板书，同时PPT给出概念）1．正角、负角和零角我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．师：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．内容三：象限角师：前面我们讲了这么多，现在请大家动手画出120的角.设计意图：利用新概念重新认识角的问题，通过画120角发现位置可能不同，让学生感受没有统一标准时，角的表示不方便. 通过画图探究、交流，不难给出合理的规定，让学生感知把角放到平面直角坐标系中的好处.师生活动：教师让学生把所画的图形在黑板上展示，最好有位置不同的图形作对比.如果没有的话，教师自己画一个和学生所画位置不同的角.师：可以看出，由于选取始边的位置不同，可能同样大小的角画出来的位置不同，我们更好的管理任意角，我们要给任意角加以规定.为了后续学习的需要，我们常在平面直角坐标系中讨论角，那么怎么呢把角放到坐标系中比较合理？生：把角的顶点放在坐标原点，始边放在x 轴的正半轴.（教师纠正为x 轴非负半轴） 教师在总结分析角的始边和顶点规定的基础上，给出象限角的概念.（教师板书：象限角.同时PPT 上给出象限角的概念）2．象限角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．内容四：终边相同的角师：学习了这些概念，我们再画几个角.问题4：在平面直角坐标系中作出32-，328，392-的角，观察这些角之间有什么内在联系？设计意图：从具体问题入手，了解终边相同的角的关系.师生活动：学生独立画图.教师巡视后，学生回答.生：这些角的终边相同.（教师追问：为什么？能解释一下吗？）师：与32-角终边相同的角有多少个？（学生回答：无数个）师：这些与32-角终边相同的角，包括32-的角在内，能用集合表示出来吗？教师给足时间让学生思考、作图，教师巡视后请学生（可找多个学生）在黑板上写出自己的答案，教师归纳总结，得出终边相同的角的集合.（教师板书，PPT 展示下面文字）3．终边相同的角一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}=360,k k Z ββα+⋅∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数 个周角的和．例题分析例 1 在0360（即0360α≤<）范围内，找出与95012'-角终边相同的角，并判定它是第几象限角．解：95012129483360''-=-⨯，所以在0360范围内，与95012'-角终边相同的角是12948'，它是第二象限角．设计意图：通过例题，使学生进一步理解任意角的概念以及象限角和终边相同的角的概念. 师生活动：学生独立完成后回答，教师点评总结.学生练习1．下列说法正确的是（ ）参考答案：DA ．第一象限的角小于第二象限的角B ．若90180α≤≤，则α是第二象限的角C ．小于90的角都是锐角D ．有些角不是任何象限的角2．与460-角终边相同的角可以表示成( )参考答案：CA ．460360,k k Z +⋅∈B ．100360,k k Z +⋅∈C ．260360,k k Z +⋅∈D ．260360,k k Z -+⋅∈设计意图：通过练习，检验是否掌握的任意角的概念.师生活动：学生独立思考，教师巡视、个别辅导后请学生回答，教师再点评. 课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？设计意图：让学生复习本节课的主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法. 师生活动：学生回答，教师补充.同时解决学生提出的疑惑布置作业必做题：课本第9页 习题1.1 A 组 1、2、3选做题：已知α是第一象限角，那么2α和2α是第几象限角？ 板书设计。
人教课标版高中数学必修4《任意角》教学设计
《任意角》教学设计一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.推广角的概念、引入大于360︒角和负角；2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；3.理解任意角以及象限角的概念；4.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（三）学习重点理解任意角的概念；掌握终边相同角的表示方法．（四）学习难点掌握终边相同角的表示．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）回顾初中学习的角的概念．（2）阅读教材第2页到第5页的内容．2.预习自测（1）下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．－30°C．630°D．－630°【知识点】终边相同的角【解题过程】先作出330°的角的终边，在选项里面寻找预期终边相同．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】B．（2）－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】终边相同的角，象限角概念【解题过程】先作出－1120°的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】D．（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】480︒-(二)课堂设计1.知识回顾本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．2.问题探究探究一从生活中感受角的新定义．●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上，这就是说角已不仅仅局限于0°~360°之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【设计意图】带着活动①的问题继续实际操作动手感受这个转动过程，继续思考任意角的定义．这些都说明了我们研究推广角概念的必要性．为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle)，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角(zero angle) ．这样零角的始边与终边重合．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.如果α是零角，那么α=0°．B O如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角，它等于750°；图 1.1.3(2)中，正角α=210°，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ），包括正角、负角和零角.探究二 巩固正负角的定义●活动①巩固训练正负角的概念．做出下列各角：－50°，405°，210°，－200°，－450°，－950°12′．【设计意图】仿照教材例子，继续研究给定度数的任意角的练习●活动② 过手演示，加强记忆．将活动①中的例子让学生动手，利用手中的播时钟的方式旋转出角形成的过程．【设计意图】通过动手练习加强从旋转的方式认识任意角的定义．探究三 探究象限角的定义．●活动①角是一个几何量，我们经常要将几何问题代数化，那么我们要通过怎样的工具才能将角这个几何量转化成代数信息呢？（此处让学生互相探讨出坐标系的答案）我们探讨出来了要将角放在坐标系中，那么该怎么放更合适呢？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1－4中的30°角、－210°角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角.例1.指出下列各角：－50°，405°，210°，－200°，－450°，－950°12′所在象限．【知识点】象限角【数学思想】数形结合【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向【思路点拨】做出坐标轴，按照正负角的定义作图．【答案】－50°为第四象限角405°为第一象限角210°为第三象限角－200°为第二象限角－450°为终边在y轴负半轴的角－950°12′为第二象限角同类型训练题：指出下列各角：328°，－32°，－392°所在象限.【知识点】象限角，终边相同的角【数学思想】数形结合【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向【思路点拨】做出坐标轴，按照正负角的定义作图．【答案】以上三个角均与－32°终边相同，在第四象限．将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以他为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？不难发现，在右图中，如果－32°的终边是OB，那么328°，－392°，……角的终边都是OB，并且与－32°角的终边相同的这些角都可以表示成－32°的角与k个（k Z）周角的和，如328°=－32°+360°(这里k =___1___)－392°=－32°－360°(这里k =___－1___) 设{}S 32360k k Z ββ==-︒+⋅︒∈，，则328°，－392°角都是S 的元素，－32°角也是S 的元素（此时k =_0__)．因此，所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与－32°角终边相同．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα︒==+⋅∈，即任意一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．说明：（1）k ∈Z ；“+”也可以是“－”；（2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍例2在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．【知识点】终边相同角的表示【数学思想】类比，归纳【解题过程】先找出一个在[0,360°]的代表角，在套用终边相同角的表示公式，理解记忆．【思路点拨】【答案】''-95012129483360︒︒︒=-⨯是第二象限角同类型训练题：在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：（1）－54°18′；（2）395°8′；（3）－1190°30′．【知识点】终边相同角的表示，象限角【数学思想】类比，归纳，数形结合【解题过程】（1）''-541830542360︒︒︒=-（2）''3958358+360︒︒︒=（3） 3603-03110-031190-⨯'='【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角，在套用终边相同角的表示公式，理解记忆．【答案】（1）是第四象限角（2）是第一象限角（3）是第三象限角【设计意图】巩固终边相同角的表示方式，同时训练了象限角的概念．●活动2例3.写出终边在y 轴上的角的集合．【知识点】终边相同角的表示，轴线角．【数学思想】类比，归纳【解题过程】先找到y 轴正半轴的角90°，再将其按照周期为180°进行逆时针旋转．【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角，在套用终边相同角的表示公式，理解记忆．【答案】{}|90180,k k Z ββ︒︒=+⋅∈同类型训练题：（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在y 轴右侧的角的集合．【知识点】终边相同角的表示【数学思想】类比，归纳【解题过程】（1）在[0,360°]内找到各象限的代表角范围，再加上旋转的周期360°即可．第一象限角0°<α<90°，所以第一象限角｛α∣k·360°<α<90°+ k·360°，k ∈Z ｝；第二象限角90°<α<180°，所以第二象限角｛α∣90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k ∈Z ｝；第三象限角180°<α<270°，所以第三象限角｛α∣180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k ∈Z ｝；第四象限角270°<α<360°，所以第四象限角｛α∣270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k ∈Z ｝（2）在[-90°,90°]内找到各象限的代表角，终边落在y 轴右侧的角的－90°<α<90°，所以｛α∣－90°+k·360°<α<90°+ k·360°，k ∈Z ｝【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角，再套用终边相同角的表示公式，理解记忆，蕴含了对周期的理解．【答案】（1）第一象限角｛α∣k·360°<α<90°+ k·360°，k ∈Z ｝第二象限角｛α∣90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k ∈Z ｝第三象限角｛α∣180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k ∈Z ｝第四象限角｛α∣270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k ∈Z ｝（2）｛α∣－90°+k·360°<α<90°+ k·360°，k ∈Z ｝例4.写出终边在直线y =x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．【知识点】终边相同角的表示【数学思想】类比，归纳【解题过程】{}|45180,S k k Z ββ︒︒==+⋅∈满足－360°≤β<720°的【思路点拨】将直线先分成两条射线，在从中总结归纳出直线的旋转的周期结论．【答案】=45225405585-135-315β︒︒︒︒︒︒，，，，， 同类型训练题：若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是 _____________【知识点】终边在一条直线的角的终边【数学思想】类比，归纳【解题过程】首先考虑β终边相同的角的表示方法360,k k Z βα︒=+⋅∈，然后将这条射线【思路点拨】从规律中总结，并能结合图形提炼出周期．【答案】180,k k Z βα︒=+⋅∈【设计意图】巩固终边相同的角的表示，让学生通过类比用周期的方式理解并能将其推广应用．●活动3 （探究型例题）例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）（1） （2） （3）【知识点】正负角的概念，终边相同的角的应用【数学思想】类比，数形结合【解题过程】先把每条终边表示出来，然后按照逆时针的方向由小角到大角写出区域．【思路点拨】由旋转的方式理解区域的形成过程及周期的理解．【答案】（1）{}90360180360225360,|45+k 360k +k +k k Z βββ︒⋅︒≤≤︒+⋅︒︒⋅︒≤≤︒⋅︒∈或 （2）{}1503600360360360,|90+k 360k +k +k k Z βββ︒⋅︒≤≤︒+⋅︒︒⋅︒≤≤︒⋅︒∈或24 （3）{}4518090180135180,|k 180k +k +k k Z βββ⋅︒≤≤︒+⋅︒︒⋅︒≤≤︒⋅︒∈或同类型训练题：已知角α是第二象限角， 求：（1）2α角是第几象限的角；（2）2α角终边的位置．【知识点】正负角的概念，终边相同的角的应用及象限角的考察．【数学思想】类比，数形结合【解题过程】{}90180360,|+k 360k k Z αα︒⋅︒≤≤︒+⋅︒∈在不等式两边同除2或者同乘以2即可．【思路点拨】利用象限角的表示方法结合不等式的运算性质． 【答案】（1）4590180,22|+k 180k k Z αα⎫⎧︒⋅︒≤≤︒+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭（2）{}21802360720,|+k 720k k Z αα︒⋅︒≤≤︒+⋅︒∈3.课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）任意角的概念（2）象限角的概念重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）任意角的概念（2）终边相同角的表示方法（三）课后作业基础型1.下列说法中，正确的是()A.第一象限的角一定是锐角B.锐角一定是第一象限的角C.小于90°的角一定是锐角D.第一象限的角一定是正角【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】排除法，举反例【解题过程】将每一个选项的定义回顾一下．【思路点拨】注意角的终边一定，但角的大小没有确定．【答案】B2.－50°的角的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】数形结合【解题过程】作图注意负角是顺时针旋转【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】D3.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为.【数学思想】数形结合【解题过程】逆时针旋转二周增加720︒又增加30︒【思路点拨】逆时针旋转一周增加360︒【答案】750°4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角?(1)420°，(2)－75°，(3)855°，(4)－510°.【知识点】终边相同角的表示【数学思想】 数形结合【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向360【思路点拨】先找到含有的周期角的倍数【答案】(1)420°=1×360°+60°，第一象限角;(2)－75°=－1×360°＋285°，第四象限角;(3)855°=2×360°+135°，第二象限角;(4)－510°=－2×360°+210°，第三象限角;5.分针一分钟转过的角度是 度;时针一小时转过的角度是 度;分针一昼夜转过的角度是 度.【知识点】正负角的概念【数学思想】【解题过程】60分钟分针转一圈，那么一分钟就是160；12小时时针一圈，那么一小时转112以此类推． 【思路点拨】在头脑要有时钟的模型，理解好每个刻度代表多少度，并能将终边相同的角的概念利用好．【答案】.－6，－30，－8640.能力型6.设第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝ 小于{G {F 90{o ==E ，，那么有（ ）A ．B ．C ．（）D ． 【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】【解题过程】利用不等式将每个集合的角表示出来【思路点拨】角的终边确定，但角的大小不定．【答案】D自助餐1.下列命题正确的是（ ）（A ）终边相同的角一定相等（B ）第一象限的角都是锐角（C ）锐角都是第一象限的角（D ）小于090的角都是锐角【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】特值法举反例，排除法【解题过程】回顾终边相同角，象限角等定义【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】C2.若α是第一象限的角，则2α-是第象限角．【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】【解题过程】由题知36090360k k α⋅︒<<︒+⋅︒两边同除以-2即可．【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】一或三3.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】数形结合【解题过程】作图【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】1110°4.集合M＝{α=k o⋅，k∈Z}中，各角的终边都在（）90A．轴正半轴上B．轴正半轴上C．轴或轴上D．轴正半轴或轴正半轴上【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】【解题过程】分别给k赋值，直到旋转一个周期为止．【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】C5.设，C＝{α|α= k180o+45o，k∈Z}，，则相等的角集合为_ _．【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】归纳，类比【解题过程】作图观察角的终边的位置【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】B＝D，C＝E。
高中数学必修四4-1.1.1任意角(1)教案
我们可以用 S={ β| β =k ×3600+300， k∈ Z} 来表示所有与 300 角终边
相同的角的集合。 S={ β | β=α +k× 3600，k∈ Z} ，即任一与角 α 终边相同的角， 都可以
（
）D．教学小正角、负角和零角的概念，象限角的概念，终边相同的角的表示法
结
课 后 反 思
学
要加这四个字？
过 思考 :
3. 是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
程
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
(2 ）锐角就是小于 900 的角吗？
及
小于 900 的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
（3）锐角就是 00～ 900 的角吗？
如
程
果慢了 5 分钟，又该如何校正？
及
本节课将在已掌握
～
角的范围基础上， 重新给出
角的定义，并研究这些角的分类及记法．
方
二、新课
1. 角的概念的推广：
法
(1)定义：一条射线 OA 由原来的位置 OA ，绕着它的端点 O
按一定方向旋转到另一位置 OB ，就形成了角 α。其中射线
OA 叫角 α的始边， 射线 OB 叫角 α的终边，O 叫角 α的顶点。
2．正角、负角、零角概念 为了区别起见，如图 2 中的角为正角，它等于 300 与 7500；
(1) 我们 把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 .
高中数学 1.1.1任意角教案 新人教A版必修4 教案
是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
根据终边相同的角的概念，回答下列问题：
问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°
S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．
问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边
相同的角，其中最小的正角是.
问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终
边落在上．
探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角
问题1写出终边落在x轴上的角的集合S.
答S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．。
高中数学任意角的教案
高中数学任意角的教案
教学内容：高中数学任意角
教学目标：
1. 了解什么是任意角，熟练运用任意角的性质和相关定理；
2. 掌握任意角的三角函数公式及其相关推导过程；
3. 能够灵活运用任意角的三角函数计算角度、边长、面积等问题。
教学重点：
1. 任意角相关概念及性质；
2. 任意角的三角函数公式；
3. 任意角的应用问题解答。
教学难点：
1. 任意角的三角函数公式的推导；
2. 任意角的应用问题解答。
教学过程：
一、引入：
1. 引导学生回顾正角和负角的概念；
2. 介绍任意角的概念及性质，并引出任意角的三角函数。
二、讲解：
1. 任意角的三角函数公式及其推导过程；
2. 任意角的简单应用练习；
3. 解答学生提出的疑问。
三、练习：
1. 让学生自主完成一些任意角的计算练习；
2. 指导学生如何应用任意角的三角函数解决实际问题。
四、归纳总结：
1. 总结任意角的定义、性质、三角函数公式及应用方法；
2. 强调任意角的重要性和实用性。
五、作业布置：
1. 布置相关练习题，巩固所学知识；
2. 鼓励学生主动探索学习更多任意角相关内容。
教学反思：
1. 教学内容是否贴近学生实际需求，能否激发学生学习兴趣；
2. 教学方法是否多样灵活，利于学生深入理解和掌握知识点；
3. 教学过程中是否及时发现问题并及时调整，以保证教学质量和效果。
高一数学必修4任意角教案
1.1.1 任意角教学目标知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360°角和负角；(2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；(3)理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角）的表示方法；过程与方法会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写。
情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分。
角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物。
教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学方法与教学用具教学方法:学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。
教学用具：投影仪。
课型新授课课时1课时教学过程（一)导入新课1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．（二）研讨新课1．角的有关概念:①角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角的分类：③注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α "；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角．④练习：请说出角α、β、γ各是多少度?2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．在直角坐标系中,作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°； ⑹ 480°;正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边顶点 A O B答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．3．探究:教材P3面终边相同的角的表示:所有与角α终边相同的角，连同α在内，构成一个集合S=｛β｜β=α+k ·360 °,k ∈Z ｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：⑴ k ∈Z⑵ α是任一角;⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个,它们相差360°的整数倍；⑷ 角α+k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角．例2．在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答:⑴240°，第三象限角;⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇，第二象限角;例3．写出终边在y 轴上的角的集合（用0°到360°的角表示) ．解:｛α｜α=90°+ k ·180°,k ∈Z ｝．例4．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． （三）反馈练习1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．—30°C ．630°D ．—630°2、－1120°角所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°， k ∈Z )的形式是 （ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°〈α<180°}B ．｛α∣90°＋k ·180°<α〈180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z}D ．｛α∣－270°＋k ·360°〈α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝（四)总结归纳①角的定义；②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法．(五）作业安排①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1—5题； ③教材P 。
高一数学 必修4示范教案：第一章第一节任意角 Word版含解析
1．1.1 任意角教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1，在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品．由此发问：指针怎样旋转，旋转多少度才能赢？还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度，自行车车轮旋转的角度，螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释？在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广．进而引入角的概念的推广的问题．图1思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？用这些角怎样解释现实生活的一些现象，比如你原地转体一周的角度，应怎样修正角的定义才能解释这些现象？由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题．推进新课新知探究提出问题①你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当时间调整准确后，分针转过了多少度角？②体操运动中有转体两周，在这个动作中，运动员转体多少度？③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中，他们各转体了多少度？活动：让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实地演示拨表的过程．让学生站立原地做转体动作．教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向．对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边．我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.讨论结果：①顺时针方向旋转了30°；逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③－180°或＋180°或－540°或＋540°或900°或1 080°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角：210°，－45°，－150°.②如何在坐标系中作出这些角，象限角是什么意思？0°角又是什么意思？活动：先让学生看书、思考，并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路．学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角．教师可以适时地提醒学生：如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢？并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处：使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象．今后我们在坐标系中研究和讨论角，为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．讨论结果：①能．②使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．这样：210°角是第三象限角；－45°角是第四象限角；－150°角是第三象限角．特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角．可以借此进一步设问：锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？提出问题①在直角坐标系中标出210°，－150°的角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？328°，－32°，－392°角的终边及数量关系是怎样的？终边相同的角有什么关系？②所有与α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个式子表示出来？活动：让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体给学生演示象限角、终边相同的角，并及时地引导：终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备．为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成－32°角后提问学生这是第几象限角？是多少度角？学生对后者的回答是多种多样的．至此，教师因势利导，予以启发，学生对问题探究的结果已经水到渠成，本节难点得以突破．同时学生也在这一学习过程中，体会到了探索的乐趣，激发起了极大的学习热情，这是比学习知识本身更重要的．讨论结果：①210°与－150°角的终边相同；328°、－32°、－392°角的终边相同．终边相同的角相差360°的整数倍．设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}，则328°、－392°角都是S的元素，－32°角也是S 的元素(此时k＝0)．因此，所有与－32°角的终边相同的角，连同－32°在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任何一个元素显然与－32°角终边相同．②所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和．适时引导学生认识：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．应用示例例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．解：－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°的范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．点评：教师可引导学生先估计－950°12′大致是360°的几倍，然后再具体求解．例2写出终边在y轴上的角的集合．活动：终边落在y轴上，应分y轴的正方向与y轴的负方向两个．学生很容易分别写出所有与90°，270°的终边相同的角构成的集合，这时应启发引导学生进一步思考：能否化简这两个式子，用一个式子表示出来．让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来．并强调数学的简捷性．在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式．解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°和270°角，如图2.图2因此，所有与90°角的终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}．而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．点评：本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示．教学中，应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意采用简约的形式.变式训练①写出终边在x轴上的角的集合．②写出终边在坐标轴上的角的集合．答案：①S＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．②S＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.例3写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．解：如图3，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°和225°，因此，终边在直线y＝x上的角的集合图3S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°.点评：本例是让学生表示终边在已知直线上的角，并找出某一范围的所有的角，即按一定顺序取k的值，应训练学生掌握这一方法．例4写出在下列象限角的集合：①第一象限；②第二象限；③第三象限；④第四象限．活动：本题关键是写出第一象限角的集合，其他象限角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把①中的范围写成0°～90°，可引导学生分析360°～450°范围的角是不是第一象限角呢？进而引导学生写出所有终边相同的角．解：①终边在第一象限的角的集合：{β|n·360°<β<n·360°＋90°，n∈Z}．②终边在第二象限的角的集合：{β|n·360°＋90°<β<n·360°＋180°，n∈Z}．③终边在第三象限的角的集合：{β|n·360°＋180°<β<n·360°＋270°，n∈Z}．④终边在第四象限的角的集合：{β|n·360°＋270°<β<n·360°＋360°，n∈Z}．点评：教师给出以上解答后可进一步提问：以上的解答形式是唯一的吗？充分让学生思考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同的角的意义．知能训练课本本节练习．解答：1.锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角．点评：要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的区别与联系，并理解记忆．为弄清概念的本质属性，还可以再进一步启发设问：锐角一定小于90°吗？小于90°的角一定是锐角吗？钝角一定大于90°吗？大于90°的角一定是钝角吗？答案当然是不一定．让学生展开讨论，在争论中，将对问题的认识进一步升华，并牢牢地记忆这些基础知识．2．三、三、五．点评：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上．题目联系实际，把教科书中除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”来确定7k天后、7k天前也是星期三，这样的练习难度不大，可以口答．3．(1)第一象限角．(2)第四象限角．(3)第二象限角．(4)第三象限角．点评：能作出给定的角，并判断是第几象限角．4．(1)305°42′，第四象限角．(2)35°8′，第一象限角．(3)249°30′，第三象限角．点评：能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角，并判断是第几象限的角．5．(1){β|β＝1 303°18′＋k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′.(2){β|β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，－585°，－225°，135°.点评：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角．课堂小结以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结：让学生自己回忆：本节课都学习了哪些新知识？你是怎样获得这些新知识的？你从本节课上都学到了哪些数学方法？让学生自己得到以下结论：本节课推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，零角是射线没有作任何旋转．一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：(1)与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}；(2)在0°～360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是用所给的角除以360°，所得的商为k(k必须是正数)，余数为α，α即为所找的角．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业①课本习题1.1 A组1、3、5.②预习下一节：弧度制．设计感想1．本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好．教师可充分利用多媒体做好课件，在课堂上演示给学生；有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究，让学生在动态中掌握知识、提炼方法．2．本节设计的指导思想是加强直观．利用几何直观有利于对抽象概念的理解．在学生得出象限角的概念后，可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处．前瞻性地引导学生体会：在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础．3．几点说明：(1)列举不在0°～360°的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的顶点不动．(2)在研究终边相同的两个角的关系时，k 的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟．(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习．备课资料备用习题1．若角α与β终边相同，则一定有( )A ．α＋β＝180°B ．α＋β＝0°C ．α－β＝k ·360°(k ∈Z )D ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z )答案：C2．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}答案：C3．在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝α＋90°＋k ·360°(k ∈Z )D ．β＝α±90°＋k ·360°(k ∈Z )答案：D点拨：将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后，知α±90°与角β的终边重合．4．集合Z ＝{x |x ＝(2n ＋1)·180°，n ∈Z }，Y ＝{x |x ＝(4k ±1)·180°，k ∈Z }之间的关系是( )A ．Z YB ．Z YC ．Z ＝YD ．Z 与Y 之间的关系不确定答案：C点拨：先分别将n 和k 赋以不同的整数值，找出角x 的终边，然后再比较．5．已知角θ的终边与168°角的终边相同，则在(0°，360°)范围内终边与θ3角的终边相同的角是__________．答案：56°，176°，296°点拨：根据已知条件有θ＝k ·360°＋168°，k ∈Z ，θ3＝k ·120°＋56°，k ∈Z .又0<k ·120°＋56°<360°，满足条件的k 为0,1,2.6．若集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°＋315°<β<k ·360°＋405°，k ∈Z }，求A ∩B .答案：解：B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．采用数形结合法，在直角坐标系内，分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B，可以求得A∩B＝{x|30°＋k·360°<x<45°＋k·360°，k∈Z}．7．写出终边在四个象限角平分线上的角的集合．答案：解：终边在四个象限角平分线上的角的集合为{β|β＝n·90°－45°，n∈Z}．。
数学：1.1.1《任意角》教案(新人教A必修4)
1.1.1 任意角教学目的：使学生认识角的始边、终边，知道什么是正角、负角、零度角，0到360 度以外的角，会用集合表示与角α终边相同的角。
教学重点：任意角的理解与表示方法。
教学难点：用集合表示与角α终边相同的角。
教学过程一、新课引入在体操中旋转1周多少度？旋转2周呢？旋转3周呢？二、新课1、角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
如图，从起始位置OA逆时针方向旋转到终止位置OB，形成一个角α，射线OA、OB分别是角α的始边和终边。
2、任意角体操中，旋转2周（720°），旋转3周（1080°），角度大于360°，有没有负角呢？我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边与终边重合，若α是零角，则α＝0°。
角包括正角、负角和零角，时针旋转形成的角都是负角。
角的顶点与原点重合，角的绐边与x轴非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角在第几象限，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
3、终边相同角的表示328°＝－32°＋360°－392°＝－32°－360°设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}328°、－392°、－32°角都是S的元素，因此，所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与－32°角终边相同。
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
4、例题讲解例1、在0°－360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限的角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.1 任意角
教学目标
知识与技能
(1)推广角的概念、引入大于360°角和负角；
(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义；
(3)理解任意角以及象限角的概念；
(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；
过程与方法
会建立直角坐标系讨论任意角，能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写。
情感、态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写．
教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．
教学方法与教学用具
教学方法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成
本节课的教学目标。
教学用具：投影仪。
课型
新授课
课时
1课时
教学过程
（一）导入新课
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
（二）研讨新课
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的分类：
③注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； 正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
④练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
例1．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；
答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．
3．探究：教材P3面
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，构成一个集合S={β|β=α+k ·360 °，k ∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k ∈Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；
⑷ 角α+k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例2．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．
答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；
例3．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．
解:{α|α=90°+ k ·180°,k ∈Z}．
例4．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
（三）反馈练习 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A ．30°
B ．-30°
C ．630°
D ．-630°
2
、－1120°角所在象限
是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ）
A ．45°－4×360°
B ．－45°－4×360°
C ．－45°－5×360°
D ．315°－5×360°
4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）
A ．｛α∣90°<α<180°｝
B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝
C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝
D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝
(四)总结归纳
①角的定义；
②角的分类：
③象限角；
④终边相同的角的表示法．
(五)作业安排 正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题
思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2
各是第几象限角？
本节课主要是让学生结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；能用集合和数学符号表示终边相同的角，能建立适当的坐标系来讨论角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示。
整节课各个环节的转换与连接显得十分自然，浑然一体，前后呼应，师生沉浸在轻松的学习氛围中。