第2讲 直角三角形(基础)

直角三角形

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

，斜边长为，那么.

要点诠释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建

立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， .

（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达

哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……

②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

③（是自然数）是直角三角形的三条边长； ④（是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中

，所以

.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

a b ，c 222a b c +=2

2

2

a c

b =-2

2

2

b c a =-()2

2

2c a b ab =+-222

x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22

1

21n n n -+，，1,n n >2

2

22,21,221n n n n n ++++n 2

2

2

2

,,2m n m n mn -+,m n m n >

、

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

要点三、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：

（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直

角三角形.

要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1） 首先确定最大边（如）.

（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的

直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.

要点诠释：

当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.

a b c ，，222

a b c +=c 2

c 2

2

a b +2

2

2

c a b =+2

2

2

c a b ≠+2

2

2

a b c +<2

2

2

a b c +>c

要点六、直角三角形全等的判定（HL ）

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角

形的形状和大小就确定了.

（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三

角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，

书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.

【典型例题】 类型一、勾股定理

1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求．

举一反三：

【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、．

（1）已知＝2，＝3，求；

（2）已知，＝32，求、．

2、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？

a b c a b c c b a a b c b c a :3:5a c b a c cm

cm