第一章 三角形的证明1.2 直角三角形

第一章三角形的证明

1.2 直角三角形（2）

郑州市回民中学八年级数学韩红丽

一、学情分析

学生已经学习了图形的全等、一般三角形全等的条件、勾股定理以及用尺规作三角形，且在一系列的活动实践中，积累了一定的探索与推理经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础。

在相关知识的学习过程中，学生已经经历了观察、测量、画图、比较、推理、交流等活动，积累了一定数学活动经验；同时，还在探索图形全等的过程中，发展了推理能力和有条理的表达能力，具备了一定的合作探索与合作交流能力。

二、任务分析

本课时在学生现有知识和活动经验的基础上，提出具体教学及学习任务：经历探索直角三角形全等条件的过程，用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，并解决一些简单的实际问题。

三、学习目标：

1.通过演示实验，探索直角三角形全等的条件；

2.学会用斜边直角边定理判定直角三角形全等。

四、学习重点和难点

学习重点：掌握判定直角三角形全等的条件；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。

学习难点：HL定理的获得及证明。

五、学习过程：

（一）、创设情境

如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直

角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

（1）你能帮他想个办法吗？（有卷尺、量角器）

（2）如果只带了一个卷尺，他能完成这个任务吗？

工作人员测量了两个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？

下面让我们一起来验证这个结论。

设计意图：本环节紧扣《数学课程标准》，体现数学与现实生活的联系,从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学，从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事情中提供观察和操作的机会,使他们感受到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,对数学产生亲切感. （二）、探索与发现

动动手做一做

已知：线段a,c(a﹤c)和直角α，

求作：Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a,AB=c.

设计意图：让学生动手制作直角三角形纸板，培养学生的操作能力；通过作图、观察、比较、交流等活动探索直角三角形全等的特殊条件，给学生充分实践和探索的空间。

探索交流

（1）剪下这个三角形，和其他同学所做的三角形进行比较，它们全等吗？你是如何判断的？

（2）这两个直角三角形全等是满足哪几个条件相等的？

（3）你能得到什么结论？

设计意图：对比一般三角形全等的条件，引出直角三角形全等的特殊判定方法，同时为分析直角三角形的特性与全等条件的关系埋下伏笔。在“做一做”中，学生用尺规完成直角三角形，通过作图感受结果的唯一性。

预期：提出问题后，学生根据对一般三角形全等的认识作出判断。

在“做一做”中，学生观察对比所作出的直角三角形，发现这些三角形全等。学生把这些三角形剪下来重叠在一起，发现他们重合，从而说明他们全等；也可能根据勾股定理得出AC,从而根据SSS说明三角形全等。

（三）、猜想与验证

请尝试用规范的数学语言概括你的发现，并证明它的正确性。

学生通过小组讨论或同学交流归纳直角三角形特有的全等判定方法，规范学生语言，在证明定理时，提示学生首先要画出图形，写出已知求证，再进行证明。

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C'=90°，

AB=A′B′,AC=A′C′.

求证:△ABC≌△A′B′C′.

证明：在△ABC中

∵∠C=90°

∴BC²=AB²-AC²

同理：B′C′²=A′B′²-A′C′

∵AB=A′B′,AC=A′C′

∴BC=B′C′

在△ABC和△A′B′C′中

∵ AB=A'B'

AC=A′C′

BC=B′C′

∴△ABC ≌△A′B′C′(SSS).

设计意图：通过对HL定理的证明，使学生经历定理的获得过程：在

图形中抽取信息——归纳概括——提出猜想——证明，在这一过程中感受证明的必要性。

预期：引导学生在叙述时关注斜边、直角边、直角三角形这三个关键词，并告诉学生这一定理简述为“斜边、直角边”、“HL”。

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(“斜边、直角边”或“HL”)

符号语言表示：

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中

∵ AB=A′B′

AC=A′C′

∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′(HL).

想一想：到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？SAS、ASA、AAS、SSS、HL

（四）、巩固与应用

例：如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？

分析：引导学生从下面角度观察、思考，分析直角三角形的特性和HL 定理的使用条件。

（1）∠ABC 和∠DFE 分别在哪两个三角形中？

（2）在Rt △ABC 和Rt △DEF 中有哪些分别相等的量？

（3）∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？

练习：如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB ≌△BDA,还需要添加什么条件？请你选择其中一个加以证明。

设计意图：这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．

（五）、当堂测评

1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的是（ ）

A 、两条直角边对应相等

B 、斜边和一锐角对应相等

C 、斜边和一条直角边对应相等

D 、两个锐角对应相等

2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）,根据 （用简写法）。

A B C

D