第七章：3李氏第二方法要点

x
2 2
2x1x 2是一个常正函数。
若当0< x 时有（v x ) 0( 0)，且（v x ) 0仅有零 解x =0,则称（v x )为正定（负定）函数。
常正（负）函数又称为半正（负）定函数。常正、 常负函数统称常号函数。
例：v(x ) x12 x22是一个正定函数。 （2）若v(x,t)在t t0,x 上恒有v(x,t) 0( 0),
分方程的运动而减小的，也就是 说，运动轨线从v=C的椭圆的外
面穿过椭圆走向其内部。因此， 系统关于零解必是渐近稳定的。
x2 x1
以上例子说明，我们借助于一个特殊的v函数， 不求解微分方程，就可以按v及dv/dt的符号性质来判
断零解的稳定性，而我们知道，在大多数情况下，求 解微分方程是做不到的。
因此，利用Lyapunov 函数判断零解的稳定性 包含如下要点：
正定函数 v(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是一 族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩
的曲线。 C1＜C2＜C3＜C4＜C5＜C6＜C7
C7
C6
C5
C2 C1
C4
C3
一、符号函数的定义
我们首先考察定义在 x ,t t0上的时变量实值
函数(x,t),这里， 0，并假定v(x,t)为单值连续的，
例：考虑小阻尼线性振动系统：
x2
x1 x2
x2
x1
x2
阻尼比
0.5
x1
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试研究其平衡状态x1 0, x2 0的稳定性。
类似于前例，取一个函数，通常称为v函数：
v(x1,x2 )
3x12
2x1x 2
2x
2 2
易于验证，这是一个正定函数。而方程
3x12 2x1x2 2x22 C, 当0 C 时表示一个椭圆族。
fi
(x )
v(x ) v(x )
x1
x 2
f1(x )
v(x xn
)
f2 fn
(x (x
)
)
v
(x
)
T
x
f
(x )
定理7-20*（Lyapunov,1892)： v(x,t)正定（负定），且沿方程（7-39）
x f (x,t), f (0,t) 0 （7 39）
的始于x、t 的运动的导数
v(x ,t)
v t
§7—4 李雅普诺夫第二方法
为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方 程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的 方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构 造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断 运动的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具。
例：v (x ,t )
x12
tx22不具无限小上界，只要取t
1
x
2 2
；
而v(x ,t) x12 sint x22具无限小上界，只要取
即可。
w(x )=x12
x
2 2
二、几个主要定理
本节讨论方程
x f (x ,t ) Rn，f (0,t ) 0;
或
x f (x)， f (0) 0
(7 39)
x [x1, x2 , , xn ]T , f (x,t) [f1, f2 , , fn ]T
关于平衡状态 x = 0 的稳定性。
首先，对函数 v(x) 沿方程(7-39)解对时间 t 求导数：
dv(x ) dt
n i 1
v(x ) xi
dxi dt
n i 1
v (x xi
)
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x 5x
首先构造一个正定函数：
v(x ) x 2
显然，v(x) 0x 0,且v(x) 0 x 0。
现在，我们考虑v沿上述微分方程的解对时间t的 导数，有
v 2xx 10x 2 0x 0 由于v(x )正定，v负定，这意味着v(x )，从而x必将 渐近收敛到零。我们得出了这个结论但却并未求 解微分方程。
1) 构造一个函数v(x1,…,xn),它具有一定的符号特性， 例如证明渐近稳定时要求v(x1,…,xn)=C(C>0),且当C 趋向于零时是一闭的、层层相套的、向原点退缩 的超曲面族；
2) v(x1,…,xn)沿着解x1=x1(t),…,xn=xn(t)的时间导数 dv/dt= w(x1,…,xn)也具有一定的符号性质，例如 负定或半负定。
正定和常正函数的例子：
例：v (x ,t )
(a
et )(x12
x
2 2
)（a
0)是t
t0
0上的正定
函数。
例：v (x ,t )
et
(x12
x
2 2
)是t
t0
0上的常正（半正定）
函数。
（4）称v (x ,t )是具无限小上界的，若存在正定函数 w(x)，使得 v(x,t) w(x)，即lim x 0 v(x,t) 0对 t一致。
例：v (x ,t )
(1
1 1t2
)(x12
x
2 2
),
t
t0
0, 正定，只要
取w(x ) x12 x22就可看出。
正定、负定函数统称定号函数。
（3）不是常号和定号函数的函数统称变号函数。
例：v(x ) x1x2是变号函数。
例： 变号 v(x1, x2) = x1x2
x2
－+ ε
+－
x1
一般说来，微分方程的解不能求得，故 v 的显式不 能得到。但却可求出 v 沿微分方程解的导数：
v
v x1
x1
v x2
x2
(6x1
2x2 )x2
(2x1
4x2 )(x1
x2)
2(x12
x
2 2
)
当x1和x2不同时为零时，即在相 平面上，除原点x1=x2=0外，总 有dv/dt<0，这说明v总是沿着微
则称v (x ,t )为常正(常负）函数。
例：v (x ,t )
1 1t2
(x12
x
2 2
),t
t0
0就是一个常正函数。
注意到在这个例子中limt v(x,t) 0。
若当 x 存在正定函数w(x )，使得对于t t0 成立v(x,t) w(x )，则称v(x,t)为正定函数；
若对于t t0，成立v(x,t) w(x )，则称v(x,t) 为负定函数。
且当x =0时，v(0,t) 0。例如
v (x ,t )
1 1t2
(x12
x
2 2
),t
t0
0
就是这样的函数。
定义7 - 12
（1）若v不显含t,只是x的函数，当 x 时有（v x ) 0( 0), 且（v x ) 0有非零解x 0,则称v(x )为常正(常负）函数。
例：v(x )
x12