专题讲座9-全同粒子
量子力学中的全同粒子互换原理
量子力学中的全同粒子互换原理量子力学是描述微观世界的一门基础科学，它的出现彻底改变了我们对物质和能量的认识。
在量子力学中，有一个重要的原理被称为全同粒子互换原理，它揭示了微观粒子之间独特的性质和相互关系。
全同粒子是指具有相同物理性质的微观粒子，如电子、质子和中子等。
根据全同粒子互换原理，当两个全同粒子互相交换位置时，系统的物理状态不会发生变化。
这意味着，无论是电子还是质子，它们之间是无法区分的，它们之间不存在“个体差异”。
这个原理的提出源于对实验结果的观察和分析，它揭示了微观粒子之间的奇妙关系。
在经典物理中，我们通常认为物体的位置和速度是可以准确测量的，而在量子力学中，由于测量的不确定性原理，我们无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这就意味着，当我们试图测量两个全同粒子的位置时，我们无法区分它们的身份。
这种无法区分的现象被称为全同粒子的统计特性。
全同粒子的统计特性在物理学的许多领域中都有重要的应用。
在固体物理学中，电子是最常见的全同粒子。
根据全同粒子互换原理，电子在固体中的行为受到限制，它们必须遵守泡利不相容原理。
泡利不相容原理指出，两个全同电子不能占据相同的量子态。
这就解释了为什么电子在原子轨道中会填充不同的能级。
除了电子，光子也是一种全同粒子。
光子的全同性质使得我们可以利用它们进行量子通信和量子计算。
在量子通信中，利用光子的全同性质可以实现安全的信息传输。
在量子计算中，利用光子的全同性质可以实现并行计算和量子纠缠等重要操作。
除了在实验室中的应用，全同粒子互换原理还在宇宙学中发挥着重要的作用。
根据宇宙学原理，宇宙中的物质是均匀且各向同性分布的。
这意味着，宇宙中的粒子应该是全同的，它们之间不存在个体差异。
这个原理的应用使得我们能够更好地理解宇宙的演化和结构形成。
然而，全同粒子互换原理也引发了一些哲学上的思考。
根据全同粒子互换原理，我们无法区分两个全同粒子的身份，它们之间不存在个体差异。
这就引发了一个问题，即个体的存在和意识是否仅仅是由于物质的组合和排列所决定的？这个问题涉及到物质和意识的本质，是哲学和心理学领域的重要课题。
全同粒子体系
全同粒子本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。
首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。
例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。
而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。
即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。
这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧H 的交换对称性考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧H 写为∑∑<++∇-=ji j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(ˆ2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧H 显然是不变的，记为),,,(ˆ21t q q q q q H P Nj i ij ∧),,,(ˆ21t q q q q q H Ni j = ),,,(ˆ21t q q q q q HNji= （2） ij P ∧称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧H P ij （3）1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧对波函数的作用设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i Φ描述，则有),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij Φ=Φ∧（4）根据全同性原理，Φ∧ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即Φ=Φ∧λij P （5） 上式用ij P ∧再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即Φ=Φ=Φ=Φ∧∧22λλij ijP P （6）由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性当λ＝+1时，则Φ=Φ∧ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为对称波函数，记为S Φ 。
全同粒子和泡利不相容原理的关系
全同粒子和泡利不相容原理的关系引言：全同粒子和泡利不相容原理是量子力学中两个重要的概念。
全同粒子指的是具有相同内部属性（如质量、电荷、自旋等）的粒子，而泡利不相容原理则规定了这些全同粒子在量子态中的行为。
本文将探讨全同粒子和泡利不相容原理之间的关系，并解释其在物理学中的重要性。
一、全同粒子的定义和性质全同粒子是指在物理性质上完全相同的粒子，它们无法通过任何实验手段来区分。
例如，所有的电子都是全同粒子，它们具有相同的电荷和质量。
全同粒子之间不存在任何区别，它们之间的交换不会改变系统的性质。
二、泡利不相容原理的概念泡利不相容原理是由奥地利物理学家泡利于1925年提出的。
该原理规定，在一个量子态中，不允许有两个全同费米子（具有半整数自旋的粒子）处于相同的量子态，即不允许多个全同费米子同时处于系统的同一个量子态。
这意味着费米子的态空间是排斥的，每个量子态最多只能容纳一个费米子。
三、全同粒子和泡利不相容原理的关系全同粒子和泡利不相容原理之间存在着密切的关系。
泡利不相容原理实际上是对全同粒子的一种限制。
由于全同粒子之间无法区分，如果允许多个全同费米子同时处于相同的量子态，那么在描述系统的波函数中就无法正确地反映全同粒子的统计性质。
因此，泡利不相容原理保证了全同费米子在量子态中的正确描述。
四、泡利不相容原理的应用泡利不相容原理在物理学中有着广泛的应用。
首先，它解释了为什么原子中的电子能够按照能级填充，即为什么电子不能全部处于最低能级。
根据泡利不相容原理，每个能级最多只能容纳两个全同费米子，因此电子在填充能级时必须按照一定的顺序进行。
这就解释了为什么原子中的电子分布会呈现出规律性。
泡利不相容原理还解释了为什么物质会表现出不同的化学性质。
由于泡利不相容原理的存在，不同原子中的电子组态不同，导致它们的化学性质也不同。
例如，氢原子中只有一个电子，因此它只能形成一种化学键；氧原子中有六个电子，因此它可以形成多种化学键。
全同粒子体系概念
全同粒子体系概念
全同粒子体系是物理学中的一个重要概念，涉及到全同粒子、粒子体系、全同性原理、量子态、玻色子和费米子等多个方面。
1.全同粒子
全同粒子是指具有完全相同属性的粒子。
这些粒子可以是光子、电子、质子、中子等基本粒子，也可以是由这些基本粒子组成的复合粒子，如原子、分子等。
2.粒子体系
粒子体系是指由一组粒子组成的系统。
这些粒子可以是全同粒子，也可以是不同的粒子。
在粒子体系中，粒子之间可以相互作用，例如通过力场、电磁场等相互耦合。
3.全同性原理
全同性原理是指在一个全同粒子体系中，无法区分单个粒子，因为它们的属性完全相同。
这一原理是全同粒子体系的基本特征之一，也是导致全同粒子表现出集体行为的重要原因。
4.量子态
量子态是描述量子系统状态的数学对象，它包含了系统的所有信息，包括粒子的位置、自旋、能量等。
在全同粒子体系中，粒子的量子态可以相同或不同，这将对体系的性质产生影响。
5.玻色子
玻色子是全同粒子中的一种特殊类型，其特性符合玻色子的统计规律。
玻色子具有整数自旋，包括光子、胶子、W和Z玻色子等。
玻色子在凝聚态物理、核物理和宇宙学等领域中具有重要应用价值。
6.费米子
费米子是另一种全同粒子，其特性符合费米子的统计规律。
费米子具有半整数自旋，包括电子、质子、中子等基本粒子以及由它们组成的原子和分子等。
费米子在描述多体系统中的粒子的行为时具有重要作用，例如在超导和费米凝聚等领域中。
量子力学--第九章 全同粒子体系
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
A
1 2
1 2
S1z
1 2
S2z
1 2
S1z
1
2
S2z
可以证明，上面四个波函数是正交归一的见习题。
（二）自旋单态与三重态
上面我们从全同粒子波函数的对称性角度来考虑，构造了
七. 两个电子的自旋函数
两个电子系统是很重要的，氦原子，氢原子都是两个
电子的系统。另外它是多粒子系的最简单情况，
因此理论上也很重要。
（一）两电子的自旋波函数（不计自旋―自旋相互作用）
1、自旋波函数
电 子 的 两 个 单 粒 子 自 旋态：
这四个自旋波函数
1 Sz 1 Sz
2
四个对称化的自旋波函数，
下面我们从两个角动量的耦合角度来考察这个问题。
1、两电子体系总自旋角动量算符
定 义：
Sˆ Sˆ1 Sˆ 2
或者
Sˆ x Sˆ1x Sˆ 2x Sˆ y Sˆ1 y Sˆ 2 y Sˆ z Sˆ1z Sˆ 2z
再 引 入 Sˆ 2 Sˆ x 2 Sˆ y 2 Sˆ z 2
为泡利不相容原理
(2) 玻色子系的对称波函数
S C Pi (q1 ) j (q2 )k (qN )
P
(7.7 7)
（7.7-7）式中P表示N各粒子在波函数中的某一种排列， 表
P
示对所有可能的排列求和.
i) Hˆ S ES E i j k
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系§6.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现Stern-Gerlach 实验：测量氢原子的磁矩。
经典理论的预言是M M M z≤≤-，连续变化。
实验结果是：.B z M M ±= eB m e M 2≡(Bohr 磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。
推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。
Uhlenbeck-Goudsmit 假设(1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：,2±=z S这自旋角动量又导致电子有自旋磁矩，其投影为.2B ez e z M m e S m e M ==-= (SI 制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为∧S ，自旋磁矩算符记为s M ∧，则.∧∧-=S m e M es2. 电子自旋的描述自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。
自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符zy x S S S ˆ,ˆ,ˆ都是22⨯矩阵。
通常选z S ˆ是对角矩阵，这些矩阵是： .10012ˆ,002ˆ,01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x S i i S S 引入Pauli 矩阵.1001,00,0110⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z y x ii σσσ则.2σ=∧SPauli 矩阵的主要性质是：,z x y y x i σσσσσ=-= 和x z y x →→→的轮换,222I z y x ===σσσ I 是22⨯单位矩阵显然，zS ˆ的对应于本征值2±的本征矢量是：,01,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+v S z.10,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-v S z3. 带有自旋的电子波函数现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。
由叠加原理，-+⋅ψ+⋅ψ=ψv t r v t r t r ),(),(),(21,),(),(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=t r t r 这称为电子的二分量波函数，又称为旋量。
全同粒子
具体说明
具体说明
全同粒子的存在是客观物质世界的一项基本实验事实，也是被物理学界所普遍接受的一项基本理论信念。仍 以电子的电荷为例，虽然实验测量受到精确度的限制，而且各次测量结果在最后几位有效数字上有出入，但是当 前绝大多数物理学家仍一致相信，所有电子（包括未被测量过的电子）的电荷值应该完全相同，没有丝毫差别。 任何物理理论，尤其是量子理论，都是在这种信念的基础上建立起来的。
地位
地位
全同粒子是量子力学的基本概念之一。指内禀属性（质量、电荷、自旋等）完全相同的粒子。它们可以是基 本粒子，也可以是由基本粒子构成的复合粒子（如α粒子）。
量子力学
量子力学
量子力学是研究微观粒子运动规律的理论，是现代物理学的理论基础之一。量子力学是在本世纪20年代中期 建立起来的。19世纪末，人们发现大量的物理实验事实不能再用经典物理学中能量是完全连续性的理论来解释。 1900年，德国物理学家普朗克提出了能量子假说，用量子化即能量具有的不连续性，解释了黑体辐射能量分布问 题。1905年，爱因斯坦在此基础上提出了光量子假说，第一次揭示出光具有波粒二象性，成功地解释了光电效应 问题。1906年，爱因斯坦又用量子理论解决了低温固体比热问题。接着，丹麦物理学家玻尔提出了解释原子光谱 线的原子结构的量子论，并经德国物理学家索末菲等人所修正和推广。1924年，德国物理学家德布罗意在爱因斯 坦光量子假说启示下，提出了物质波假说，指出一切实物粒子也同光一样都具有波粒二象性。1925年，德国物理 学家海森堡和玻恩、约尔丹以矩阵的数学形式描述微观粒子的运动规律，建立了矩阵力学。接着，奥地利物理学 家薛定谔以波动方程的形式描述微观粒子的运动规律，建立了波动力学。不久，薛定谔证明，这两种力学完全等 效，这就是今天的量子力学。量子力学用波函数描写微观粒子的运动状态，以薛定谔方程确定波函数的变化规律。 应用量子力学的方法解决原子分子范围内的问题时，得出了与实验相符的结果;量子力学用于宏观物体或质量、能 量相当大的粒子时，也能得出与经典力学一样的结论。因此，量子力学的建立大大促进了原子物理、固体物理和 原子核物理学的发展，并推动了半导体、激光和超导等新技术的应用。它标志着人类认识已从宏观领域深入到微 观领域。量子力学为哲学研究的发展开辟了新的领域，它向人们提出了一系列新的哲学课题，诸如微观客体的存 在特征、微观世界是否存在因果关系、主客体在原则上是否不可分、主客体之间的互补问题等等。深入和正确地 回答这些问题，无疑将会推动马克思主义哲学的深入发展。
量子力学--第九章 全同粒子体系
U(q)是粒子在外场中的势,W是两；质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。 2、全同粒子体系：电子系、质子系、中子系、光子系、电子 气、中子星等等。显然，对于全同粒子体系，哈密顿中的 i 都相同，q i 也都有相同的组成，但是在量子力学中，全 同粒子体系与非全同粒子体系有更多的区别。 在经典力学中，即使两个粒子是全同的，它们也仍然 是可区别的，因为它们各自有自己的轨道。但是在量子力 学中，粒子的状态用波函数描写，当两个粒子的波函数在 空间中发生重叠的时候，我们无法区分哪个是“第一个” 粒子，哪个是“第二个”粒子。所以，在量子理论中有“ 全同粒子不可区别性原理”： 3. 全同性原理: 当一个全同粒子体系中两个粒子交换不改 变体系的状态。
其中
ˆ ( s s s ) ( s s s ) E ( s s s ) H 1 1 N 1 1 N s 1 1 N
对于两个费米子体系的情况，只有如下两种形式：
(q1q2 q N ) (r1 r2 rN ) ( s1 s2 s N ) ˆ H (r1 r2 rN ) (r1 r2 rN ) Er (r1 r2 rN )
2 2 2 ˆ [ H 1 U (q1 )] [ 2 2 U (q 2 )] 2 2 ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) H
0
1
0
2
ˆ (q) (q) H 0 i i i
E i j
H0称为单粒 子哈密顿 φ j称为单粒 子波函数
1 ˆ S (q, t ) H (q, t ) S (q, t )dt i
§4.16 全同粒子的特性
§4.16 全同粒子的特性一全同粒子1、全同粒子的定义我们称质量、电荷、自旋、同位旋等所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。
例如：所有电子是全同粒子。
2. 全同粒子的重要特点在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化。
3、全同性原理在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。
因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。
比如说给粒子编号，根据粒子的编号来追踪各个粒子的运动情况。
而在量子力学中由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。
随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。
因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。
我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
三、交换对称性从全同性原理出发，可以推知，由全同粒子组成的体系具有以下性质：1. 全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
讨论一个由N个全同粒子组成的体系，第i个粒子的全部变量用表示，体系的哈密顿算符是i1ˆ(,,,,,,,)i j NH t ξξξξ ，由于全同粒子的不可区分性，将粒子i 和j 互换，体系的哈密顿算符不变11ˆˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)i j N j i NH t H t ξξξξξξξξ= 引入交换算符ˆij P ，它是将第i 个粒子和第j 个粒子进行相互交换的运算：11ˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)ij i j N j i NP t t ψξξξξψξξξξ= ψ是任意波函数，由ˆH 的交换不变性有：1111ˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)ˆ(,,,,,,,)(,,,,,,,)ij i j N i j N i j N ij i j NP H t t H t P t ξξξξψξξξξξξξξψξξξξ= 即ˆˆ[,]0ijP H = 可见交换算符和体系的哈密顿算符有相同的本征函数。
全同粒子的特性
h2
2
2j
U (qj ,t)
ji
1 2
W
(q
j
,
qi
)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t) Hˆ (q1,..., qj ,..., qi,..., qN ,t)
二、全同性原理
全同性原理：全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子， 体系的物理状态保持不变。
全同粒子的不可区分性导致了全同性原理。
例如：氦原子中有两个电子，一个处于基态，一个处于第一激发 态，能量分别为
E1
Z 2es2 2a0
E2
Z 2es2 2a0 22
体系的能量为E E1 。E2
若交换两个电子的位置和自旋，体系的能量不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿 用 qi (代rvi ,表Siz )第i个粒子的坐标和自旋。
全同粒子体系的波函数和哈密顿分别为
(q1, q2 ,..., qN ,t)
Hˆ (q1, q2 ,...,qN
当 时 ，1有
1
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
则波函数是交换对称的，用 表S 示；
当 时 ，1 有
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
,t)
N i 1
2
2
2 i
全同性原理
内找到另一个粒子的几率为(几率密度仍为P)
2 4r P (r )dr r dr | (r ) | d
2 A k
2
A k
dr
2r dr 2 d sin (kr cos ) sin d 3 (2 ) 0 0
4r dr 1 2 sin (kr cos )d(krcos ) 3 (2 ) kr 0
任何可观测量，特别是Hamiltonian量，对于 任何两个粒子的交换是不变的，即交换对称 性。
例1
He原子中两个电子组成的体系 （我们只研究电子的运动规律）
电子的Hamiltonian表达式可以写为
两电子动能 两电子与核库仑能 两电子相互作用能
2 2 2 2 2 ˆ ˆ p p 2e 2e e 1 2 ˆ H 2m 2m r1 r2 | r1 r2 |
这样由前面的知识可知
1 1 A ik r k (r ) (1 P e 12 ) 3/ 2 (2 ) 2
2i e 3/ 2 (2 )
ik r
e 2i
ik r
2i sin( k r ) 3/ 2 (2 ) 因此对于一个粒子，在半径(r , r dr )的球壳
来描述。其中 q (i 1,2, N ) 表示第i个
i
粒子的全部坐标（空间和自旋）。 若Pij表示第i个粒子与第j个粒子的全部 坐标变换，即
பைடு நூலகம்
Pij (q1 , q2 ,, qi , q j ,, qN ) (q1 , q2 ,, q j , qi ,, qN )
根据全同性原理，有
本征值为 k，k .
讨论它们在空间距离的几率分布
量子力学-自旋与全同粒子
自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态 、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易， 定值。 所以， 定值 。 所以 ， 只能用某一方向的分量 来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点 。一般用Sz ， 即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象） 立Sz 表象 （ 或称 S 2和 Sz 的共同表象） ， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态 研究电子的运动状态。 在Sz 表象研究电子的运动状态。 （1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式 ）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电 在 年 根据上述现象提出， 自旋。 没有经典对应， 子具有一种特殊的运动——自旋。 该运动方式没有经典对应， 子具有一种特殊的运动 自旋 该运动方式没有经典对应 不能用经典运动来解释（与自转有本质区别） 不能用经典运动来解释 （ 与自转有本质区别）。 这就是电子的 自旋假设： 自旋假设： 自旋角动量， （ 1） 电子具有 自旋角动量 ， 它在空间 ） 电子具有自旋角动量 任何方向上的投影只能取两个值： 上的投影只能取两个值 任何方向上的投影只能取两个值： 自旋磁矩， （ 2） 电子具有 自旋磁矩 ， 它与自旋角 ） 电子具有自旋磁矩 动量的关系为： 动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 中的势能为： 原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：
量子力学第五章-全同粒子
（一）2 个全同粒子体系波函数
密顿量是对称的，所以 H s 在t 时刻也是对称的。
因为等式两边对称性应是一样的，所以Shrodinger方程
i
t
s
Hˆ s
在 t+dt 时刻，波函数变化为
二对称波函
对称
中式右的 t
s是对称的。
s t sdt
对称
数之和仍是
对称的
依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。
同理可证：t 时刻是反对称的波函数a ，在t 以后任何时刻都是反对称的。
1 二粒子互换后波函数变号，即
反对称波函数
(q1 , q2 ,qi q j qN , t ) (q1 , q2 ,q j qi qN , t )
引入粒 子坐标 交换算 符
ˆij(i, j) ( j, i) (i, j)
ˆi2j (i, j) ˆijˆij(i, j)
ˆij(i, j) 2(i, j)
偶数个 Fermi 子组成
Bose 子组成
例如： 例如：
2 1
H（1 氘核）和24
He（ 2 粒子）是Bose子
3 1
H（1 氚核）和23
He1是Fermi
子
奇数个 Fermi子组成
奇数个 Fermi子组成
全同粒子体系波函数 Pauli 原理
（一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理
实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交换对称性是 完全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的联系。
（1）Bose 子 自旋为 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其多粒子波函数对 于交换 2 个粒子总是对称的，遵从Bose统计，故称为 Bose 子。
同位旋和全同粒子讲座
CD Lu
11
π介子与核子N的散射
n 散射过程的反应几率和按角度的分布用散 射截面来描写，可以用σ1，σ2，。。。σ10 分别表示这十个过程的截面
n 前六个是弹性散射过程，后面四个是电荷 交换过程．如果没有同位旋守恒，也没有 其它对称性的限制，这十个截面是互相独 立的，需要独立进行测量．
CD Lu
n 同位旋守恒要求系统在同位旋空间中的状态在反 应过程中保持不变．
n 由于系统在同位旋空间所处的态可以完全地通过 系统的同位旋I及其在第三方向的投影I3来描写 ，同位旋守恒直接表现为系统的I和I3在反应前 到反应后不变
n 以π介子与核子N的散射为例，来看同位旋守恒 给出的限制和预言
CD Lu
10
π– n àπ– n σ6
n M(1) = M(6) = M3/2
π −n = 1,−1,, 1 ,− 1 = 3 ,− 3
22 22
CD Lu
18
π +n = 1,1,, 1 ,− 1
1 =
3,1 +
2 1,1
2 2 32 2 32 2
π+ n àπ+ n σ2
π– p àπ– p σ5
n M(2) = M(5) = (M3/2 +2 M1/2) / 3
同位旋和全同粒子对称性
重味物理（1）
吕才典 lucd@
中国科学院高能物理研究所
CD Lu
1
Outline
n 同位旋的引入 n 强作用同位旋守恒
n 全同粒子交换变换 n 强子弱衰变中同位旋和全同粒子对称性的应用
Bà D π B à π π Ds (Bc) à π π
CD Lu
n “3”方向由ΔI3 = ΔQ 来定
(9)全同粒子体系波函数构造例题选讲
解：（a）单粒子Hamilton量
Hˆ pˆ 2 V( x) pˆ 2 1 m 2 x2
2m
2m 2
能数级，为最低En三 条 n能 12级 上的波谐函振数子为波函n( x数) 如A下nHn( x)e2x2 /2，其中 m ，An为归一化常
0(x)
1/ 4
e2x2 / 2
1(x)
2 1/4
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已知自旋三重态（S=1）的自旋波函数为
10S
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1/
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2
(1)
(2) 第一激发态：E1 E0 (1) E1(2) E1(1) E0 (2) 2
As
1 2
0
(1)1
(2)
0
(
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1/ 2 (1)1/ 2 (2)
1/ 2 (1)1/ 2 (2)
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2
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2
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(
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/
2
其中
S 11
与
S 02
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专题讲座9-全同粒子全同粒子: 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的粒子称为全同粒子。
在一个微观体系中，全同粒子是不可区分的。
费米子：自旋为1/2, 3/2, 5/2……, 体系的波函数是反对称的, 两个全同费米子不能处于同一个状态.波色子: 自旋为0, 1, 2, 3, 体系的波函数是反对称的, 两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态.交换力假设我们有一个两粒子体系, 一个粒子处于()a x ψ,另一个处于()b x ψ态.(简单起见,先不考虑自旋)如果两个粒子是可以区分的,粒子1处于()a x ψ,粒子2处于()b x ψ态,那么体系的波函数为1212(,)()()a b x x x x ψψψ=如果是全同玻色子, 波函数必须是对称的]1212211(,)()()()()a b a b x x x x x x ψψψψψ+=+ 如果两个态相同 a b =1212(,)()()a a x x x x ψψψ=对于费米子, 波函数必须是反对称的]1212211(,)()()()()a b a bx x x x x xψψψψψ-=-两个费米子的状态不能相同,否则波函数为零.我们来求两个粒子坐标差平方的期待值222121212()2x x x x x x-=+-1.可区分粒子222 2222 111122111()()()a b a a x x x dx x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2222222 211222222()()()a b b b x x dx x x dx x x dx x ψψψ===⎰⎰⎰2212111222()()a b a bx x x x dx x x dx x xψψ==⎰⎰所以22212()2a bd a bx x x x x x-=+-2.对全同粒子()22211122112221()()()()212a b a ba bx x x x x x dx dxx xψψψψ=±=+⎰同样有其中显然有：同可分辨粒子情况相比较,两者差别在最后一项和处于相同状态的可分辨粒子相比，全同波色子（取上面的+号项）将更趋向于相互靠近，而全同费米子（取下面的-号项）更趋向于相互远离。
注意到：除非两个波函数有重叠（如果()a x ψ为零，()b x ψ不为零，方程5.20的积分将为零。
），否则ab x <>将会消失。
所以，如果a ψ表示一个身处北京的电子，b ψ表示另一个呆在郑州的电子，你是否将波函数反对称化，都不会产生什么影响。
因此，为了便于实际操作，我们不妨认为波函数没有重叠部分的电子是可分辨的。
当波函数出现一定程度的重叠时将会出现一些有趣的现象。
整个系统好像受到外力的作用：对全同波色子，这个力是吸引力，把粒子拉近；对全同费米子，这个力是排斥力，让粒子相互远离（再次提醒一下，我们此时的讨论都是不计及自旋的）。
我们把这个力称为交换力，虽然事实上并不存在这样的一个力（因为并没有任何施力物存在并作用于粒子）；它仅仅是对称性要求导致的一个几何结果。
它也是一个严格的量子力学的现象，在经典力学当中并没有对应。
然而，它却导致了一些意义深远的结果。
比如：氢分子（H2）。
粗略来说，它的基态由一个处于原子基态且以原子核1为中心的电子和一个同样处于原子基态但以原子核2为中心的电子组成。
如果电子是波色子，对称性要求（或者说“交换力”）将趋向于聚拢电子到两质子连线的中心位置,而这种负电荷的积累将导致质子受到向内的吸引力，这正是共价键的来源。
可惜的是，电子并不是波色子，它们是费米子，这就意味着在现实中，负电荷不是向中间聚集而是向外分散开来，进而导致分子被撕裂。
(a) 对称结构产生吸引力。
(b) 反对称结构产生排斥力。
但是如果考虑到自旋, 完整的电子状态不仅包含它的空间位置波函数，还包括一个用来描述电子自旋状态的自旋波函数：()().ψχr s 当我们把它们都考虑在内时，系统的状态就不仅是空间部分了。
整个波函数应满足交换反对称。
两个电子的自旋的叠加, 可以得到总自旋为0的自旋单态和总自旋为1的自旋三态. 自旋单态是反对称的（因此空间波函数是对称的,从而总波函数是反对称的），而自旋三态为对称态（因此空间波函数是反对称的,从而总波函数是反对称的）。
很显然，自旋单态为成键态，自旋三态为反成键态。
这样，我们就可以理解为什么共价键要求两个电子占据总自旋为零的自旋单态。
例题 1 设有两个无相互作用的电子处于一维无限深势阱中, 若两个粒子都处于基态, 能级的简倂度为多少? 若一个处于基态,另一个处于第一激发态,能级的简倂度为多少?解: 若n m ≠对称与反对称的空间波函数为()121212(,)()()()()n m m n x x x x x x ψψψψψ±=± 若n m =则只有对称的空间波函数.1212(,)()()n n x x x x ψψψ=总自旋波函数为自旋单态(反对称的)]1212()()()()A z z z z s s s s χχχχχ+--+=- 自旋三态(对称的)112()()S z z s s χχχ++=]012121()()()()S z z z z s s s s χχχχχ+--+=+112()()S z z s s χχχ---= 总波函数对于两个粒子都在基态, 总波函数为121112(,)()()A x x x x ψψχψ=能级简倂度为1(不简倂)若一个在基态,另一个在第一激发态,总波函数为112(,)A x x ψχ+ψ=1212(,)S x x ψχ-ψ=0312(,)S x x ψχ-ψ= 1412(,)S x x ψχ--ψ=这四个态能量都一样,所以简倂度为4.自由电子气体假设我们所讨论的是一块方形固体，三边长分别是l x，l y，l z，且固体中的电子在阱内没有受到任何力的作用：将薛定谔方程，在直角坐标系下分离变量：ψ（x, y, z）=X(x)Y(y)Z(z)，其中：有E=E x+E y+E z。
令同解一维无限深势阱问题一样, 我们得到归一化的波函数为：允许的能量为：(0.1)其中，k 为波矢量的大小，(,,).x y z k k k ≡k如果你想象一个三维空间，三个轴分别为,,x y z k k k ，在(/),(2/),(3/x x x x k l l l πππ=，(/),(2/),(3/),...y y y y k l l l πππ=和(/),(2/),(3/),...z z z z k l l l πππ=处画一个平面，每一个交点表示一个不同的（单粒子）定态（图5.3）。
在这个格子中切割出来的每个小块（也就是每个状态），在这个“k 空间”中所占用的体积为：(0.2) 其中x y z V l l l ≡为固体块自身的体积。
假设此样品有N 个原子，每个原子贡献q 个自由电子。
（事实上，N 将是一个相当大的数字——对于宏观尺寸的物体来说，这个数字将是阿福加德罗常数量级的——但q 却是一个很小的数字——通常为1或者2。
）由于电子是费米子，它服从泡利不相容原理，所以每个态只能容纳两个(自旋z 分量相反)电子。
所以Nq 个电子在k 空间占据的体积为312Nq V π⎛⎫ ⎪⎝⎭由于,,x y z k k k 都是正值, 所以他们将占据k 空间一个球的八分之一，该球半径k F所以，其中，称为自由电子密度（单位体积内自由电子的数目）。
k 空间中被占据和未被占据的得分界面称为费米面（所以下标用F 表示）。
对应的能量称为费米能量，E F ；对于一个自由电子气体有，自由电子气体的总能量可以用如下的方法计算出来：一个厚度为dk 的球壳体积为图5.4：k空间中一个球壳的八分之一。
所以球壳中的电子态数目为：每个态的能量为22/2（方程5.39），所以整个球壳所具有的能量为：k m所以，总能量为：(0.3)这里能量所扮演的角色和正常气体内能(U)的角色很相似。
特别地，它对“墙壁”施加一个压力，如果盒子扩大了dV，那么总能量就会下降：它可以被看做是量子压力P在盒子外侧所做的功（dW=PdV）。
显然有：到此现在，我们就可以部分的解决低温固体为什么不会简单地坍缩：固体受到一个稳定的内部压力，这个压力和电子间的排斥力（我们已经忽略了它）无关，也和热运动无关（我们也已经排除了它），它属于一种量子效应，来源于全同费米子波函数的反对称条件。
我们把它成为简并压，虽然说“排斥压力”可能会更贴切一些。
价带结构固体内规则化排列且带正电的定态核子会对电子产生一个力的作用，现在我们把这个力考虑进来，进一步完善自由电子气体模型。
定性来看，电子的行为，很大程度上决定于势场的周期性——势的具体形状则取决于具体的更精细的数据。
为了帮助你理解，我将举出一个最简单的例子：一维狄拉克梳，它由无数平均分布的狄拉克函数峰组成（如图）。
但首先，先介绍一个定理，它可以大大地简化周期势的分析过程。
周期势的定义是每经过一个固定的距离a就会重复自身的势场：+=()().V x a V x布洛赫定理告诉我们，对于含周期势的薛定谔方程，它的解必定具有如下形式：其中，K为某些适当的常数（这里我们称之为常数是因为它和x无关；但是它有可能和E有关系）。
证明：令D为“位移”算符：Df x f x a=+(0.4)()().对于一个周期势（方程5.47），D和哈密顿算符对易：D H=(0.5)[,]0,因此，我们可以任意选择H的本征函数，它亦是D的本征函数：Dψ=λψ，或者，()().x a x ψλψ+= 现在，λ显然不为零（很容易发现若λ为0，()x ψ将为零，作为波函数，它显然是不成立的）；同其它非零复数一样，λ可以写为指数式： =,iKa e λ（其中K 为某些适当的常数）。
证毕。
可以发现 2()x ψ满足：这个结果和我们所期待的正好一致。
当然，某个固体物质不可能无限大，它的边界一定会破坏周期势V （x ），导致布洛赫不再适用。
但是，对于任何宏观的晶体，它都具有阿福加德罗常数量级的原子数目。
因此，边界效应对位于固体内部较深处电子的可能性是微乎其微的。
这就启示我们可以用下面的方法来修正布洛赫定理：每过2310N ≈个周期，我们就把x 轴首尾相连弯曲成一个圈；形式上，我们加上边界条件：()().x Na x ψψ+= (0.6) 由它可以推出（利用方程5.49）：()(),iNKa e x x ψψ=所以iNKa e =1，或者NKa=2πn ，因此有：(0.7) 特别地，对于这种排列方式，K 一定是实数。
布洛赫定理的优点就是我们仅需求解一个晶格内的薛定谔方程（比如，区间0x a ≤ ）；就可以得到固体各处的解了。
现在，我们假设势场由一系列狄拉克函数峰（狄拉克梳）：(0.8) （在图5.5中，我们需要把x轴想象成被弯成了一个圈，所以第N个峰实际上将出现在x=－a处。