计算方法-数值积分
计算方法_数值积分
f
(b)]
其中xk=a+kh
(k=0,1,2,…,N)，
h
ba N
2.复合Simpson公式
如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，
于是共有2N+1个节点，xk 在每个N等分的子区间[x2k ,
ak x2k+2]
h (k=0,1,2,…,2N)， (2k=0,1,2,…,N-1)上应
这个问题有明显的答案
I*
4 a rc tg
x
|
1 0
3 .1 4 1 5 9 2 6
取n = 8用复合梯形公式
T8
1 8
1 2
f
(0)
2
f
1 8
2
f
1 4
2
f
3 8
2
f
1 2
2
f
5 8
5.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又 有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有
b
b
a f (x)dx a (x)dx
现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有
b
b
a
算的结果进行比较。
解 计算结果列于表5-2中。
函数f (x) 梯形值 Simpson值 Cotes值 准确值
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
计算方法数值积分插值型积分PPT课件
bn1 an1 n1
1
其系数
x
0
矩阵
x02
x
n 0
1 …
x1 …
x
2 1
…
…
x
n 1
…
1
x
n
x
2 n
当
xk (k 0,1,…, n)
互异时，有唯一
x
n n
解 {Ak }
定理4.1 n+1个节点的求积公式
插值型求积
b f(x)dx a
理得
R(f) b f(x) P(x)dx b f(n1)(ξ) ω(x)dx
a
a (n 1)!
其中 ξ [a, b]
注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时， f(n1)(x) 0
R(f) 0 因此，求积公式(4.1)成为准确的等
式。
例1 给定插值节 为点定积分
home机械求积方法大家应该也有点累了稍作休息大家应该也有点累了稍作休息大家有疑问的可以询问和交流大家有疑问的可以询问和交流41数值积分概述图41数值积分的几何意义积分值的几何表示
计算方法 (Numerical Analysis)
第6次 数值积分-插值型积分-误差求积公式的收敛性与稳定性
第四章 数值积分
j0
(*)
lk (x)
(x - x0 )...(x (xk - x0 )...(xk
-
xk-1 )(x - xk1 )...(x - xn ) xk-1 )(xk - xk1 )...(xk - xn )
注意lk(xk ) 1, 而当j k的时候，lk(x j ) 0
数值求积公式
数值求积公式数值求积公式（Numerical Integration Formula），是数值分析中的重要概念，是指通过数学方法把一个连续函数在一个给定区间内的积分值近似计算出来的方法。
由于很多实际问题中的积分式是难以求解的，在计算机计算中，采取数值求积公式可以减少工作量，提高计算精度。
数值求积公式还有一个别名——数值积分。
相对于解析积分，数值积分的特点是可以对任何函数进行积分。
只要你能够用程序对函数进行求值，就可以计算相应的数值积分。
本文将在介绍数值求积公式的基本概念、计算方法、误差分析等方面进行详细的阐述。
一、基础概念1. 定义数值求积公式就是在求解一个确定积分的同时，用近似值代替积分值。
如果一个函数是在一个已知积分区间内可积的，那么我们就可以用数值积分的方法对该函数进行计算，并得到其数值积分值。
2. 积分区间能够进行数值积分的函数，必须在一个已知的积分区间内是可积的。
所谓积分区间，就是指一个确定的区间，该区间内的函数在数学上是成立的，可以进行积分。
3. 数值积分的目的数值积分的主要目的是求出积分函数在某个区间内的近似值，而这个近似值是通过一系列的数值计算所得的。
虽然这种方法无法完全解决所有的积分问题，但是它能够有效地求解一些特殊积分或者是一些无法用解析方法求解的积分。
4. 数值积分的特点数值积分的计算方法是基于一定的近似方法进行的，所以它其实是属于一种“近似计算”的方式。
和解析积分不同的是，数值积分从本质上来讲并不是“精确的”，因为不管采用何种数值积分方法，都需要一定的近似误差。
另外，数值积分通常需要输入整个积分区间的求积函数，这需要求积函数满足一定的数学条件，例如必须是一个连续函数，而且必须在整个积分区间上是有限的。
二、计算方法数值求积公式的计算方法主要有以下几种。
1. 复合梯形公式所谓复合梯形公式，就是对积分区间进行分割，对每一小段积分采用梯形法则进行微积分近似，然后对所有子积分区间的积分近似值求和。
数值分析-数值积分详解
xk
和 Ak 的代数问题.
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n
b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：
数值积分法
数值积分法
数值积分法是一种对积分形式进行数值求解的方法，也常称数值积分技术。
数值积分是在计算技术及数学运算中非常重要的一种技术，它主要应用于定积分、不定积分和高维积分的求解，它广泛地应用于工程科学技术中，为工程实践提供了技术支持。
数值积分的基本思想是采用一定的数值方法对积分方程进行步进运算，把不容易精确求解的积分问题变为若干个步进步长固定的离散状态的积分状态，从而利用问题的离散和近似性来求解积分问题。
数值积分包括定积分、不定积分和高维积分等。
定积分可以采用梯形公式、Simpson公式和三点高斯公式等。
梯形公式是最常用的积分公式，原理是把定积分看作一个多边形；Simpson公式是二阶精度的数值积分公式，它的变化灵活；三点高斯公式是基于三个节点（3和4阶）的积分解法。
不定积分采用Gauss-Legendre三点、Gauss-Lobatto七点、Newton-Cotes三、四点和Maszkarinow公式等。
Gauss-Legendre三点公式主要用于正态分布函数的积分——其精度为2阶； Gauss-Lobatto七点公式采用一系列不同权重值，用于求解非线性三次方程，精度为3阶；Newton-Cotes三点、四点和Maszkarinow公式也通常用于积分运算。
高维积分主要包括Monte-Carlo方法和偏微分法。
Monte-Carlo法将积分区间映射到概率空间，在概率空间中设定采样点，然后求解相应的积分值；偏微分法是用一系列多项式做有限元函数，以计算机代替定积分的积分算法。
因此，数值积分法是一种重要的数值分析工具，它能够在有限时间精确地解决复杂的积分问题。
熟练掌握数值积分法，有助于提高计算效率，进而更好地解决实际问题。
计算方法讲义：七 数值积分
第七章 数值积分如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b a-=⎰来求得定积分。
然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。
一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。
数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求⎰ba n dx x P )(得⎰ba dx x f )(的近似值。
7.1 插值型求积公式设⎰=ba dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使⎰=≈ba n dx x P I I )(*。
构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T ba ba +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--==⎰⎰称为梯形公式。
以a , 2ba c +=，b 为三个插值节点，构造二次插值多项式)())(())(( )())(())(()())(())(()(2b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x a f b a c a b x c x x P ----+----+----=，则可以推出)()()()(2102b f c f a f dx x P S baλλλ++===⎰，)(61))(())((0a b dx b a c a b x c x ba-=----=⎰λ，)(64))(())((1a b dx b c a c b x a x ba-=----=⎰λ，)(61))(())((2a b dx c b a b c x a x b a -=----=⎰λ。
计算方法 第六章 数值积分(深)
ò
b
a
Ln ( x)dx
若f (x)在[a，b]上具有n+1阶导数，则 f (x)=Ln (x) + Rn (x) 其中
wn+ 1 ( x) =
f ( n1) Rn ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
ξ∈(a,b)
Õ (xi= 0
n
xi ) = ( x - x0 )( x - x1 ) L ( x - xn )
i= 1
。
b- a 1 2 (b - a 2 ) 2 1 (b m+ 1 - a m+ 1 ) m+ 1
15
ò
b
a
å
i= 1
f ( xi )Ai ， n ì b 0 ï ï ï òa x dx = å Ai = ï i= 0 ï ï n ï b ï ï x1dx = å Ai xi = ï òa í i= 0 ï ïM M ï ï ï b n ï ï ï ò x m dx = å Ai xim = ï a ï i= 0 ï î
3
6.1 数值积分公式的构造 及其代数精度
4
6.1 数值积分公式的构造及代数精度
定义：设函数f (x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意 插入若干个分点a=x0<x1<……<xn-1<xn= b，把 区间[a, b]分成n个小区间
[x0 , x1]，[x1 , x2]，…[xn-1 , xn]
å
n
f (xi )Vxi
i= 1
记λ=max（ △x1， △x2，… ，△xn ）(λ：细度) 如果不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间上 点如何取法，只要当λ→0时，和S总趋向于确定 的极限I，称极限I为函数f (x)在区间上的定积分
计算方法--数值积分省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f
( x)
(x ( x1
x0 )( x x) x0 )( x1 x)
f
( x1 )
有
x1 f ( x)dx
x0
x1 x0
L2
(
x )dx
尤其地：当
x
1 2
(
x0
x1 )
,于是，
x1 x0
f
( x)dx
( x1
6
x0 )
f
(x0 ) 4
f
(
x0
2
x1 )
f
( x1)
Simpson公式
30
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时旳公式是最常用也 最主要三个公式,称为低阶公式
取n 1, 有x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为
C ( 1 ) 01(t01)dt1 2
C ( 1 ) 1
1
tdt
0
1 2
求积公式为
31
1
I1( f ) (b a) Ck(1) f (xk )
按此余项公式，对于次数不超出 n 旳多项式 f (x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点旳求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度.
反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则肯定 是插值型旳。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立旳:
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j ) Ak
j0
Return 24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 公式旳一般形式 第2节 低阶公式及其他项 第3节 复合求积公式
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值计算方法 数值积分基本公式 - 数值积分基本公式
求
积 公 式
? 存在的问题
1.插值型求积公式的求积系数当节点不等 距时很难求得；
2.误差表达式中的不确定点的处理有难度
4
设 将 积 分 区 间a , b n等 分 , 记 步 长h b a ,
n
牛
选 取 等 距 节 点xk a kh
顿 － 柯 特 斯
将xk
a
kh, h
b
a n
,
x
a
th代 入 求 积 公 式 得 ：
当 n 2时 , 这 时 柯 特 斯 系 数 为
C
2
0
1 4
2 t 1t 2dt 1 ,
0
6
C
1
2
1 2
2 tt 2dt 4 ,
0
6
C
2
2
1 4
2 tt 1dt 1 .
0
6
这时的求积公式为：
S
ba 6
f
a
4
f
a
2
b
f
b
辛普森公式的误差
取 H 3(a) f (a), H 3(b) f (b),
H
3
(
a
2
b
)
f
(
a
2
b
),
H
3
(
a
2
b
)
f ( a b ) 2
误差估计
根 据H ermite 插 值 余 项 ：
b
b
nb
a f ( x )dx a Ln ( x )dx a lk ( x)dx f ( xk )
k0
求 积 公
注意到：Ak
b
a lk ( x)dx
数值积分方法课件
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
计算方法数值积分教学PPT
ji
Rn ( f )
b a
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
dx
b f ( x)dx
a
n
f ( xi )ai(n) Rn ( f )
i0
}
推导具体计算公式
由
ai(n)
b a
jn x x j dx, j0 xi x j
ji
xi a ih, x j a jh, ba
5888/ 28350
-928/ 28350
10496/ 28350
-4540/ 28350
10496/ 28350
例如：n=2时，有
c(2) 0
1 6
,
c(2) 1
4 6
,
c(2) 2
1 6
n=3时，有
c(3) 0
1 8
,
c(3) 1
3 8
,
c(3) 2
3 8
,
c(3) 3
1 8
-928/ 28350
a
( i
n)
i!
(1)ni (n i)!
hn
n 0
n
(s
j0 ji
j) hn hds
(1)ni (b a)
i! (n i)!
n 0
n
(s
j0 ji
j ) ds
a(n) i
(b
a)
c(n) i
,
ci(n)
(1)ni i! (n i)!
n 0
n
(s
j0
j ) ds
ji
}
由
}
5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造
力学中的计算方法(数值积分)
机械求积法： f
a
b
x dx Ak f xk
k 0
定义 若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任
意 k n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1 ] 0 对某个 n+1 阶多项式
成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 例：对于梯形公式
解：设
1 1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) ，应有 3 次代数精度。
因为只有2个待定系数
b
a
x 2dx b
3
a 3 3
b a 2
[a 2 b2 ]
代数精度 = 1
就是梯形公式
思 利用插值多项式 P ( x ) f ( x ) 则积分易算。 n 路
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
多项式 Ln ( x ) f ( xk )l k ( x ) ，即得到
( 2) n = 2: C 0
1 2 1 ( 2) ( 2) , C1 , C 2 Simpson’s Rule 6 3 6 b bNewton-Cotes a n 为偶数阶的 ab f ( x ) dx [ f ( a ) 4 f ( 2 ) f ( b )] a 代数精度 = 3 公式至少有 n+6 1 次代数精度。
ba , i 0, 1, ... , n n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， 可查表得到。与 f (x) 及区 间[a, b]均无关。
Cotes系数 Ci( n )
( 1) ( 1) , C1 n = 1: C0
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例 5.2：利用数据表
xk
0
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
1
f (xk)
4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549 2
计算积分
I * 1 4 d x 0 1 x2
这个问题有明显的答案
I*
4 a rc tg
x
|
1 0
定积分计算可能 遭遇的三种情况
被积函数f(x)没有 具体的解析表达式
函数关系由表格 或图形表示,无法
求出原函数。
被积函数的原函 数不是初等函数
b e x2dx a
从几何上看定积分
定积分是曲边梯形的面积
左矩形
图 5.1 (5―2)
右矩形
(5―3)
图 5.2 梯形面积
图5.3 抛物求积
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
(5―4)
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (5―5)
a
6
2
第5章 数值积分
§5.1
牛顿 ― 柯特斯 (Newton―Cotes) 公式
I b f(x )dx a 近似值
§5.2
复合求积公式
§5.4
龙贝格(Romberg) 积分方法
M4
故
I SN
ba 2880
h4M4
3、复合Cotes公式的余项
同理
I
CN
ba 1935360
h6 f
(6) ()
(a,b)
由 f (6) (x) 在[a,b]上连续可知，f (6) ( x) 在[a,b]
上有界，于是存在常数M6，使
max
a xb
f
(6) (x)
M6
故
I CN
ba 1935360
5.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又 有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有
b
b
a f (x)dx a (x)dx
现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有
b
b
a
f (x)dx a
01(t
1)dt
1 2
n=2时，有三个Cotes系数
C1(1)
(1)0 11!0!
01tdt
1 2
C0(2)
(1) 2 2 0!2!
02(t
1)(t
2)dt
1 6
C2(2)
(1)0 2 2!0!
2
0 t
(t
1)dt
1 6
C1(2)
(1)1 2 1!1!
2t 0
(t
2)dt
4 6
类似可得，n=3时有四个Cotes系数
n
a)
C
(n) k
f
(x0
kh)
k 0
(5.9)
称为牛顿-柯特斯公式。其中Ck(n) 叫Cotes系数，Cotes系 数与被积函数及积分区间无关。
计算柯特斯系数
n=1时，有两个Cotes系数
C
(n k
)
(1) nk
n k!(n k)!
nn
(t
0 j0
j)dt
jk
C0(1)
(1) 1 0!1!
C0(3)
1, 8
C1(3)
3, 8
C2(3)
3, 8
C3(3)
1 8
n=4时，有五个Cotes系数
C0(4)
7, 90
C1(4)
32 , 90
C2(4)
12 , 90
C3(4)
32 , 90
C4(4)
7 90
几个常用的牛顿-柯特斯公式
n=1时，
I (b a)[1 f (a) 1 f (b)]
k 1
f (b)]
其中
xk
akh 2
(k=0,1,2,…,2N)，h b a
N
3.复合Cotes公式
CN
h 90
[7
f
(a)
N
32
k 1
f
( x4k 3
)
N
12
k 1
f
(x4k2
)
N
N 1
32 f (x4k1) 14 f (x4k ) 7 f (b)]
k 1
k 1
其中
xk
a
k
h 4
ak x2k+2]
h (k=0,1,2,…,2N)， (2k=0,1,2,…,N-1)上应
用Simpson公式，
x2 k 2 x2 k
h f (x)dx 6 [ f (x2k ) 4 f (x2k1)
f (x2k2 )]
2.复合Simpson公式
再求和得：
h
h
I
[ 6
f
(a) 4 f
(x1)
定理2 (抛物线公式的误差)设f(x)在［a, b］上有连 续的四阶导数,则抛物线公式的误差为
5.2 复合求积公式
1.复合梯形公式
如果在每个子区间上使用梯形公式，就得到复合梯形
公式。将积分区间[a,b]N等分后的节点记为xk， xk=a+kh(k=0,1,2,…,N )，在每个子区间[xk ,xk+1] (k=0,1,2,…，N-1)上应用梯形公式，
一般说来,若某个求积公式对于次数不高于m的多项 式都准确成立(即Rn(f)≡0),而对于某一次数为m+1的多项 式并不准确成立(即Rn(f) ≠0),则称这一求积公式的代数精 度为m。
牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精度至少为n，若n为 偶数，则至少具有n+1次代数精度。通常在基点个数相等 的情况下,代数精度愈高,求积公式愈精确。
1.复合梯形公式
TN
h[f 2
N 1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
其中xk=a+kh
(k=0,1,2,…,N)，
h
ba N
2.复合Simpson公式
如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，
于是共有2N+1个节点，xk 在每个N等分的子区间[x2k ,
h6M
6
二、复合求积公式的余项
当 n 时，h 0 ，于是从这些余项公式可以
看出，n 当时，复合求积公式TN ,SN , CN都收敛
于定积分值I，而且收敛速度一个比一个快。
例5.3 用复合梯形公式、复合Simpson公式、复
(k=0,1,2,…,4N)，h b a
N
4、复合Simpson公式算法
(1) 输入a,b,N (2) h b a , s f (a), x a
2N
(3) 当 i=1,2, …,N时 做循环
① x=x+h ② s=s+4f(x) ③ x=x+h ④ s=s+2f(x)
(4) s h (s f (b)) 3
f
(x2 )]
[ 6
f
(x2 )
4
f
(x3)
f
(x4 )]
h[ 6
f
(x2N 2 ) 4 f
(x2N 1)
f
(b)]
h
N
N 1
[f 6
(a) 4
k 1
f
(x2k1) 2
k 1
f
(x2k )
f
(b)]
2.复合Simpson公式
SN
h [ f (a) 4 N
6
k 1
N 1
f (x2k1 ) 2 f (x2k )
3 .1 4 1 5 9 2 6
取n = 8用复合梯形公式
T8
1 8
1 2
f
(0)
2
f
1 8
2
f
1 4
2f3 8源自2f1 2
2
f
5 8
2
f
3 4
2
f
7 8
f
1
3.13899
取n=4,用辛普森公式
S4
1 4
1 6
f
(0)
4
f
1 8
2
f
1 4
4
f
3 8
第5章 数值积分
复习
求定积分 I b f(x )dx a 若函数f(x)在区间［a, b］上连续且其原函数为F(x) , 则可用牛顿―莱布尼兹公式，来求定积分。
b
a
f
( x)dx
F
(b)
F
(a)
(5―1)
第5章 数值积分
被积函数f(x)的原 函数F(x)不易找到
sin x , 1 x ln x
其中 c,d,e为[a,b]的四等分点，称为Cotes公式。
表 5―1 柯特斯系数
柯特斯系数的特点
柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,
且满足
n
C(n) i
1
(5―15)
i0
柯特斯公式对f(x)=1是准确成立的。
b
a
f
(x)dx
(b
n
a) Ck(n)
f
(x0
kh)
k 0
梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有1、3、 5次代数精度。